2021年暑假人教版七年级数学（上）第6讲 有理数的除法和有理数的混合运算 复习讲义（无答案）

2021年暑假七年级数学（上）讲义

第六讲 有理数的除法和有理数的混合运算

导入:

  有理数运算是中学数学中一切运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算，不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。

第一部分   本讲考点、重难点分析

考点新动态

第二部分   本讲考点、重难点精讲精练

教材知识详解：

（一）有理数的除法法则的探索：

 1、求8÷（-4）的值（根据除法的意义，这就是求一个数，使它与－4相乘得8。）

∵（-2）(-4)=8，∴8÷（-4） =____；又∵8（-）=     

∴8÷（-4）___8（-），即一个数除以-4，等于乘以-4的倒数-.

思考：换其他数的除法是否发现类似上面有的等式？

是否仍有除以a（a≠0）可能化为乘？

同样可得：-8÷4____-8，  -8÷（-4）_____-8×（-）(填“=”或“≠”)

除法法则（一）:除以一个不等于0的有理数，等于乘以这个数的________．

即a÷b＝       （a、b是有理数，且b≠０）．

2、从（-２）4＝____              根据除法是乘法的逆运算

 (-8)÷（-２）＝_____       （同号两数相除）

（-8）÷4＝_____            （异号两数相除）

因为除法可化为乘法，所以有理数的除法有与乘法类似的法则：

除法法则（二）：两数相除，同号得_____，异号得_____，并把绝对值相______．零除以任一个不等于0的数，都得____.0不能作       ，0没有    数.

要点诠释：（1）能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除；不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法；

    （2）因为0没有倒数，所以0不能当除数．

（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．

    （4）有乘除混合运算时，注意运算顺序。先将除法转化为乘法，再进行乘法运算；

类型一、有理数的除法运算

1．计算：(1)(-32)÷(-8)    （2）

【答案与解析】 (1)(-32)÷(-8)＝+(32÷8)= 4              ……用法则二进行计算．

(2)    ……用法则一进行计算．

【总结升华】(1)乘法、除法的符号法则是一致的，两数相乘除，同号得正，异号得负；(2)除法的两个法则是一致的，应学会灵活选择．

【变式】 计算：（1）36÷（－9）      （2）       （3）（48）÷（－6）

                 （4）0÷（－8）       （5）（－）÷（－）      (6)   (－24)÷(－6)

                  (7)3÷(-2.25)      （8）（－32）÷4×（－8）   （9）17×（－6）÷5

巩固练习：

1、下列说法中，不正确的是    （         ）

A.一个数与它的倒数之积为1；          B.一个数与它的相反数之商为-1；

C.两数商为-1，则这两个数互为相反数；  D.两数积为1，则这两个数互为倒数；

2、下列说法中错误的是        （         ）

A.互为倒数的两个数同号；              B.零没有倒数；

C.零没有相反数；                      D.零除以任意非零数商为0

3、如果两个有理数在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（       ）

A.一定是负数；                        B.一定是正数；

C.等于0；                             D.以上都不是；

4、若一个数和它的倒数相等，则这个数是       ；若一个数和它的相反数相等，则这个数是       ；

5、若a + b＜0，＞0,那么下列结论成立的是（       ）

A．a ＞0，b＞ 0     B．a ＜0，b＜0   C．a＞ 0， b ＜0    D．a＜ 0 ，b＞ 0

6、若= 0，那么（        ）

A．a = 0，b=0    B．a = 0，b≠0    C．a ≠0 ，b = 0    D．a ≠0，b ≠0

7、如果（的商是负数，那么（     ）

A.异号    B.同为正数    C.同为负数    D.同号

8、下列结论错误的是（     ）

A.若异号，则＜0，＜0     B.若同号，则＞0，＞0 

C.                  D.

9、实数在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（      ）

A、     B、   

C、      D、

10、（-0.009）÷0.3 =                 ÷（-7）=-         -1÷(-1)=   

11、计算（1）-27÷（-3）          （2）32÷（-4）             （3）-153÷（-6）

        （4）5÷（-7）    （5）-3.5（-）     （6）（-7）÷（-2）

        （7）     （8）        （9）

拓展提高：

1、对整数（每个数只用一次）进行加减乘除四则运算，使其运算结果等于24，运算式可以是          、          、             .

2、b≠0,则+的取值不可能是    (         )

A.0                 B.1                 C.2                  D.-2

3、++=1，求（）2003÷（××）的值。

4、计算：（7+3－2－1）÷（15+7－4－3）（第15届“五羊杯”邀请赛试题）

5、a、b、c、d表示4个有理数，其中每三个数之和是－1，－3，2，17，求a、b、c、d；

6、2001减去它的，再减去剩余数的，再减去剩余数的，…，依此类推，一直减去剩余数的，求最后剩余的数；

（二）有理数的除法的探索：

1、化简 =（   ）÷（   ） =_____

       =(    )÷(   )=_____        =(   )÷(   )=______

注（1）有的题也可直接约分，不一定写成a÷b形式。

（2）从结果看可知分子分母都有负号时，可将负号约去。=。好好体会

类型二、有理数的除法运算

2、有理数乘除混合运算先将除法化成      ，然后确定符号，最后写出结果。

2：计算（1）（-）（-3）÷（-1）÷3

【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成分数，带分数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分．但要注意除法没有分配律．

解：原式=（-）（-）（ -）  （除法化成    ，带分数化成       ）

= -（） （确定积的      ，并把它们的绝对值          ）

= -

【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出结果．

【变式】计算（1）-54 2÷（-4）            （2）（-16）÷1（-1）

类型三、有理数的乘除混合运算

3.计算：

【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算.

【总结升华】在有理数的乘除运算中，可先将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级运算，再应按从左到右的顺序进行．

【变式】计算：

巩固练习：

1、计算（-9）÷2=             0÷（-9）÷6              =       

2、下列运算错误的是 （       ）

A．(-21)÷7= -3                  B．（-）÷（-1）=

C．÷（-1）= -1              D．(-24)÷（-6）=4

3、某冰库的室温时-4℃，有一批食品需在-28℃冷藏，若每小时降温3℃，则     小时后降到所要求的温度。

4、若a、b互为相反数，c、d互为倒数，则2(a＋b)-3cd=      

5、若定义一种新运算a ＊b = 1-，则3＊（-2）的值是（       ）

A．               B．               C．             D．-

6、计算

（1）-9×(-2) ÷6                 （2）÷（-）（-）

（3）3.5÷（-）（-）2      （4）（-49）÷（-2）÷

(5)               (6)

拓展提高:

如果                       表示运算x+y+z，            表示运算a- b-c+d ,

那么                        的结果是多少？

类型四、有理数的加减乘除混合运算

3、有理数加减乘除混合运算

有理数加、减、乘、除混合运算，若没有括号，则先算       ，再算      ，有括号先算括号里边的；

运算顺序规定：先算______运算，再算低级运算；同级运算在一起时，按从_________的顺序计算。

在混合运算中，除遵守以上原则外，还要注意灵活使用运算律，使运算准确快捷。

4. 计算：（1）÷（-4）（-4）

        解：原式=（-6）（-）（-4）  （先算括号里边的、把除法转化成乘法）

        = -（6）            （确定积的符号、把带分数化成假分数）

        = -

             （2）（-8）（-3）-80÷（-16）

        解：原式=24 -（-5）                     （先乘除，再加减）

        =                           

        =

【变式】计算：

【答案与解析】

方法1：

方法2：

所以

【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法2利用倒数关系巧妙解决，如果按a÷(b+c) ＝a÷b+a÷c进行分配就错了．

计算（1）19-18÷（-6）（-）   （2）-24×5-（-7）÷  （3）（-）÷0.1-（-）÷0.75

（4）  ；（5）

  (6)

类型五、含绝对值的化简

5.  已知a、b、c为不等于零的有理数，你能求出的值吗?

【思路点拨】先分别确定a、b、c的取值，再代入求值．

【答案与解析】

解：分四种情况：

 (1)当a、b、c三个数都为正数时，；

(2)当a、b、c三个数中有两个为正数，一个为负数时，不妨设a为负数，b、c为正数，

；

(3)当a、b、c三个数中有一个为正数，两个为负数时，不妨设a为正数，b、c为负数，

；

(4)当a、b、c三个数都为负数时，

综上，的值为：

【总结升华】在含有绝对值的式子中，当不知道绝对值里面的数的正负时，需分类讨论.

【变式】1、（1）计算的值         .  （2） 如果，则化简=         .

2、若k是有理数，则(+k)÷K的结果是（       ）

A．2          B．0            C．-2           D．0或2

3、在与它的倒数之间有个整数，在与它的相反数之间有个整数，则=     .

4、如果有理数都不为0，且它们的积的绝对值等于它们积得相反数，则中最少有

      个负数，最多有      个负数.

5、已知，则____________．

6、已知：a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的倒数等于它本身，则的结果是多少？

7、把-，-，-，-四个数按从小到大的顺序排列为___________________________

8、用计算器计算下列各式，将结果写在横线上：

；；；

（1）你发现了什么规律，请用字母（为正整数）表示.

（2）不用计算器，直接写出结果