2021年暑假人教版七年级数学上册第11讲 一元一次方程 复习讲义（无答案）

2021年暑假七年级数学（上）讲义

第十一讲 一元一次方程

导入:

      “方程”一词来源于中国古算术书《九章算术》。在这本著作中，已经列出了一元一次方程。法国数学家笛卡尔把未知数和常数通过代数运算所组成的方程称为代数方程。在19世纪以前，方程一直是代数的核心内容。方程的应用问题的学习可以说贯穿了整个小学高年级学段和初中学段，在学生的数学学习活动中占有相当重要的地位（整个初中段方程及其应用题学时为41学时，约占整个初中数学学时的11.5％），而一元一次方程应用题的学习，又是所有方程应用题中最基础的起始部分，因此，这一部分内容的成功学习，对后续包括二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用的学习有着至关重要的作用。

第一部分   本讲考点、重难点分析

考点新动态

第二部分   本讲考点、重难点精讲精练

教材知识详解：

（一）一元一次方程概念的探索：

问题   汽车匀速行驶途径王家庄、青山、秀水三地的时间如表所示，翠湖在青山、秀水两地之间，距青山50千米，距秀水70千米。王家庄到翠湖的路程有多远？

问题1：你会用算术方法求出王家庄到翠湖的距离吗？

         从路程的角度可以列出不同的算式：

问题2：能否用方程的知识来解决这个问题呢？

     ①如果设王家庄到翠湖的路程为x千米，那么王家庄距青山     千米，王家庄距秀水   千米．

     ②题目中的“汽车匀速行驶”是什么意思？

     ③汽车在王家庄至青山这段路上行驶的速度该怎样表示？你能表示其他各段路程的车速吗？

     ④根据车速相等，你能列出方程吗？

思考

1、比较列算式和列方程两种方法的特点．

 2、思考：对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个相等关系？

像上面含有未知数的等式，叫           。

根据下列问题，设未知数并列出方程．　　

（1）用一根长20cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？　　

（2）某校女生占全体学生数的61℅，比男生多61个，这个学校有学生多少个？

（3）一台计算机已使用1200小时，预计每月再使用123小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2612小时？

    像上面（1）、（2）、（3）所列的方程，只含有一个      数，并且未知数的次数都是      ，这样的方程叫做      元      次方程。

注意：“ 一元”是指一个未知数；“一次”是指未知数的指数是一次（理解）。

上面的分析过程归纳如下：

   （1）分析实际问题中的      关系，利用       关系列出方程（一元一次方程），是用数学解决实际问题的一种方法。

   （2）列方程经历的几个步骤

A、设      数；B、找出题中的       关系； C、列出含有未知数的等式——（       ）。

3、理解列方程是解决实际问题的一种重要方法，利用方程可以求出未知数。

当=6时，4值是24。这时，方程4=24等号左右两边相等，所以=6，叫做方程4=24 的解；同样，当x=10时，2x+3=23,这时方程2x+3=23等号两边     相等，所以，x=10叫做方程2x+3=23的      ；像这样，解方程就是求出使方程中等号左右两边      的未知数的值，这个值就是方程的     。求方程的解的过程，叫做解方程．一般地，要检验某个值是不是方程的解，可以用这个值代替未知数代人方程，看方程左右两边的值是否相等．

思考：x=4与x=3中，哪一个是方程7x+1=15的解？

合作探究：

1、（1）判断下列式子             （填序号）是方程：

① 5=0；  ②24÷6=4；  ③=+3；  ④=0；  ⑤+9＜0；  ⑥；⑦1/x-3x=5;

（2）方程①；② ；③；④；⑤；中是一元一次方程的是           ；（注：分母中含有未知数的方程，不是一元一次方程）

2、根据题意列方程：（设某数为x）

①某数的5倍是30；其列方程为                      

②某数减去6,其差是25；其列方程为                

③某数的6倍比该数的2倍大12；其列方程为                

④某数的一半加上4，比该数的5倍小13；其列方程为              

3、下列方程是一元一次方程的是（       ）

A、x+x=0        B、x+y=0       C、         D、4x-6=0

4、若是一元一次方程，则m=        

5、关于x的方程的解是x=2，则a=        

6、下列方程中，解为1/2的是〔    〕

    A、5（t－1）＋2＝t－2        B、1/2x－1=0     C、3y－2=4(y－1)         D、3 (z－1) =z－2

7、设未知数，列出方程。

（1）甲、乙两车分别从相距360千米的两城同时出发，相向而行，刚好4小时相遇，已知甲的速度比乙车的速度快10千米/小时，求乙车的速度。 

（2）一个梯形的下底比上底多2cm，高是5cm，面积是40cm，求上底。

拓展提高：

若是关于x的一元一次方程，（1）求m的值；（2）请写出这个方程；（3）判断x=1 、x=2.5 、x=3是否是方程的解。

（二）等式的性质的探索

观察下面的这些等式，并填空。

1+3=4；                       2x+3x=5x

1+3+2011=4+     ；            2x+3x+6m=5x+    ；

 1+3-   =4-2010 ；             2x+3x-    =5x-；

 =4；         ；

由此你发现等式的什么性质？

等式性质1                                         

用式子表示：                                      

等式性质2                                         

用式子表示：                                      

你能用等式的性质解决下面的问题吗？

（1）从x=y能得到x+5=y+5吗？理由是：                          

（2）从x=y能得到x-5=y-5吗？理由是：                          

（3）若3x-2=7，那么3x=7+     , 你是根据等式性质        得到的.

（4）若-6x=18，那么x=      ， 你是根据等式性质          得到的.

2、尝试运用等式的性质解一元一次方程。

思路点击：所谓“解方程”，就是要求出方程的解“x= ？”，因此我们需要把方程转化为“x=a（a为常数）”的形式。

（1）x+2=5

解：方程的两边同时          ，得                 

于是，x=          ；  反思：这道题你应用了等式性质       来解决。

（2）-3x=15

解：方程的两边同时          ，得                      

于是，x=          。  反思：这道题你应用了           来解决。

（3）3-x=9

解：方程的两边同时减去          ，得                        

    化简，得            ；方程的两边同时乘以     ，得x=       

反思：这道题你引用了等式性质     与      来解决。

合作探究：

1、若a=b,则下列等式成立的是        

（1）a+1=b     (2) a+2=b-2      （3）a+3=b+5      (4) =

2、（1）若3+5=8, 则3=8-5，根据是                 

（2）-4x=12， 则 x=-3，根据是                 

3、将等式3a-2b=2a-2b变形，过程如下：

因为3a-2b=2a-2b，  

 所以  3a=2a   （第一步）

所以  3=2      (第二步)      上述过程中，第一步的依据是           

第二步得出错误的结论，其原因是                             

4、由等式能得到x=1，则必须满足的条件是           ；理由是    

5、下列变形中，错误的是（        ）

A、若2x+6=0，则2x=-6      B、若=1-x ，则x+3=2-2x

C、若ax=b，则x=         D、若=4, 则x=16

6、已x=y,下列变形中不一定正确的是〔   〕

A、x－2=y－2           B、－2x=－2y         C、ax=ay               D、x/c2=y/c2

7、下列说法中正确的是〔        〕

①     若x=y,则x/m2=y/m2;     ②若x=y,则mx=my;    ③若x/m=y/m,则x=y;     ④若x2=y2,则x3=y3

8、下列方程中，解是2的方程是（      ）

A、3x-2=2x      B、4x-1=2x+3     C、3x+1=2x-1    D、5x-3=6x-2

9、已知方程(m-2)x︱m︱-1+3=m-5是关于x的一元一次方程，求m的值。

10、已知x－5与2x－4的值互为相反数，列出关于x的方程．

11. 某班开展为贫困山区学校捐书活动，捐的书比平均每人捐3本多21本，比平均每人捐4本少27本，求这个班，有多少名学生？如果设这个班有x名学生，请列出关于 x的方程．

12、列方程：（1）某班有男生25人，比女生的2倍少15人，这个班有多少人？

解:设这个班共有x个人，则女生有          ，列方程                  

（2）植一批树，若每人种10棵，则剩6棵树苗未种；若每人种12棵，则缺6棵树苗，问有多少人种树苗？

13、用等式的性质求x的值

（1）x+12=19         (2)x+3=         (3)2-x=     （4）x+3=6-2x 

拓展提高：

已知关于x的方程3-x=+3的解是2，求的值。