2021年暑假人教版七年级数学（上）第13讲 解一元一次方程（2） 复习讲义

2021年暑假七年级数学（上）讲义

第十三讲 解一元一次方程

导入:

      “方程”一词来源于中国古算术书《九章算术》。在这本著作中，已经列出了一元一次方程。法国数学家笛卡尔把未知数和常数通过代数运算所组成的方程称为代数方程。在19世纪以前，方程一直是代数的核心内容。方程的应用问题的学习可以说贯穿了整个小学高年级学段和初中学段，在学生的数学学习活动中占有相当重要的地位（整个初中段方程及其应用题学时为41学时，约占整个初中数学学时的11.5％），而一元一次方程应用题的学习，又是所有方程应用题中最基础的起始部分，因此，这一部分内容的成功学习，对后续包括二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用的学习有着至关重要的作用。

第一部分   本讲考点、重难点分析

考点新动态

第二部分   本讲考点、重难点精讲精练

教材知识详解：

前面我们已经学会了运用移项、合并同类项来解一元一次方程，但当问题中的数量关系较复杂时，列出的方程也会较复杂，解方程的步骤也相应更多些，如下面的问题。

探索去括号解一元一次方程

问题   某加工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000度，全年用电150万度，这个工厂去年上半年每月平均用电多少度？

分析：问题中的等量关系是什么？

                     +                          =                 。

设去年上半年平均用电x度，那么下半年每月平均用电多少度？上半年共用电多少度？下半年共用电多少度？

下半年每月平均用电                度；上半年共用电         度；下半年共用电            度。

由此可得方程：                                                      

这个方程中含有括号，怎样才能转化为我们熟悉的形式呢？（利用“分配律”先去括号，然后移项，合并同类项，把未知数的系数化为1）

思考：你还有其它的解法吗？

例1  解方程：3x－7(x－1)=3－2(x+3)

2、自学例1，并完成如下填空：

(1)解方程：3x+5(138-x)=540

解: 去括号得 3x+690-     =540           （利用“                 律”）

移项得 3x-5x=540                    （移项必须改变该项的         ）

合并同类项得-2x=                    （合并     的法则）

系数化为1，得x=         .          （利用       的性质）

(2)解方程6x+3(2x-4)=2-8(1+x）

解：去括号得6x+6x-12 =2    8    8x  （填符号）

移项，得   6x+6x   8x=2    8    12      (移项必须改变该项的符号)

合并同类项得       =        

系数化成1 ，得x=       

跟踪练习：

解方程 （1） 4x+3(2x-3)=12-（x+4）  (2) 2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)

例2  一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时。已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度。

分析：顺流行驶的速度、逆流行驶的速度、水流的速度、静水中的速度之间有什么关系？

问题中的相等关系是什么？

设船在静水中的平均速度为x千米／时，那么顺流的速度是什么？逆流的速度是什么？

顺流的速度是              千米／时逆流的速度是           千米／时。

由些可得方程                                

例２　某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母。为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？

分析：当问题中的量比较多，关系比较复杂时，我们可以把量分成两类列表，从而使条件条理化，如下表所示：

请设未知数，填表。

问题中的等量关系是什么？

                     ＝                   。

由此，可列方程                                   

合作探究：

1．将方程7(2x-1）-3(4x-1)=11去括号正确的是（      ）

A、14x-7-12x+1=11          B、14x-7-12x-3=11

C、14x-7-12x+3=11          D、14x-1-12x+3=11

2.方程3(x+1)=5(2x-1)的解是 （       ）

A、          B、-         C、          D 、- 

3．x+2与x-7互为相反数，则x=      

4. 3(y+3)与2(y-1)的差是4，则y=      

5．解方程

（1） 2(x+8)=3(x-1)  （2） 8x=-2(x+4)    (3) 4(x+5)+x=17  （4） 6(x-4)+2x=7-(x-1)

6．甲、乙两人登山，甲每分钟登高10米，且比乙先出发30分钟，乙每分钟登高15米，结果两人同时登上山顶，甲用多少时间登山，这座山有多高？

7．一架飞机在两城之间飞行，若风速是24千米/时，顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求无风时飞机的飞行速度和两城之间的航程。

能力提升：

 已知x=是方程5a-3x=-14x的解

①求a 的值；②求关于y的方程ay+2=a(1-2y)的解。

英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文物—纸莎草文书．现存世界上最古老的方程就出现在这部英国考古学家兰德1858年找到的纸草书上．经破译，上面都是一些方程，共85个问题．其中有如下一道著名的求未知数的问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，这个数为几何？

设这个数为x，可得方程      2/3x+1/2x+1/7x+x=33

当时埃及人如果把问题写成这种形式，它一定是“最早”的方程。

含有分母的一元一次方程的解法和步骤

1、探索方法

请你用自己的方法试着解上答上面的方程。

现在我们来看一个例子。

例1  解方程：

怎样去分母？去分母的依据是什么？

下面去分母的结果正确吗？如果不正确，请说明理由。

①15x＋1－20=3x－2－2x+3;     ②5×(3x＋1)－2=3x－2－(2x+3);

③5×(3x＋1)－20=3x－2－(2x+3)。

注意：去分母时，方程两边的每一项都要乘，不能漏项；去分母后，分子要加上括号。

解有分数系数的一元一次方程的一般步骤、依据、注意事项，具体内容见下表：

2、归纳步骤

请大家总结一下，解一元一次方程有哪些步骤？

①        ；②        ；③        ；④           ；⑤        。

注意：上述步骤不是一陈不变的，要根据方程的特点，灵活处理，如有时可以先合并同类项再移项。

例1：解方程—=1

解：去分母，得 2(x+3）-3(x+1)=6         （等式的性质           ）

去括号得2x+6-3x-3=6                   （                 法则）

移项得2x-3x=6-6+3           （ 移项法则，即移项必须改变该项的        ）

合并同类项得-x=3                    （                 法则）

系数化成1得x=                       （等式的性质            ）

跟踪练习：解方程（1）=                （2）=1

例2  整理一批图书，由一个人做要40小时完成。现在计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作。假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？

分析：一个人的工作效率是多少？1/40。

问题中的等量关系是什么？

                           +                                    =         

设先安排x人工作，则x人4小时完成的工作量是多少？

增加2人和“他们”（即x人）一起工作8小时完成的工作量是多少？

由此可得方程                                     

例3 水池有一个进水管，6小时可注满空池，池底有一个出水管，8小时可放完满池的水，如果同时打开进水管和出水管，那么多少小时可以把空池注满？

分析：问题中的等量关系是什么？

                      －                         =           

设x小时可以把空池注满，那么注入的水量是多少？放出的水量是多少？

由此可得方程                            

合作探究:

1．解方程-=1，去分母后得                            

2．若2(a-6）与的值互为相反数，则a=           

3．当x=        时，式子= -1

4．解方程-= -4 ，去分母后得到的方程是(       )

A、2(2x-1)-(1+3x) = -4          B、2(2x-1)-(1+3x)= -16

  C、2(2x-1)-1+3x= -16            D 、2(2x-1)-= -4

5．下列方程的解法中，正确的有（       ）个。

(1) y-=1,去分母得3y-2y-4=1

(2) 2-3(x+1)=4(x+3), 去括号得2—3x+3=4x+12 ，所以x=-1

(3)-=1,去分母，得3x-4x=1,所以x= -1

(4)-16x= -8两边都乘以，得x=2

A、0            B、1            C、2           D、3

6．解方程（1）=                    （2）-1=

         （3） +=2-          （4）

         （5） x-=-                （6）2［x-(x-)］=x

7、 小明在做作业时，不小心将墨水滴到了作业本上，有一道方程题被盖住了一个常数，这个方程是2x-=x-□，怎么办？小明想了想，便翻看了书后的答案，此方程的解是x=- ，他很快补好这个常数项。小明补的这个数是  （  ）

    A．1              B.2              C.3              D.4

8、某车间18名工人生产螺钉与螺母，每人每天平均生产螺钉500个或者螺母1000个，一个螺钉要配两个螺母。为了使每天生产的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？

9、已知船在静水中的速度是24千米/小时，水流的速度是2千米/小时，该船在甲、乙两地间行驶一个来回共用24小时，求甲到乙及从乙到甲航行各用了多少时间？甲乙两地的距离是多少？

10、整理一批数据，由一个人做需80小时完成。现在计划先由一些人做2小时，再增加5人做8小时，完成这项工作的。怎样安排参与整理数据的具体人数？

11、某中学的学生整理操场，若让初一的学生单独工作，需要10小时完成；若让初二的学生单独完成，需要15小时完成。如果让初一与初二的学生一起工作5小时，再由初二的学生单独完成剩余的部分，还需几小时完成？

拓展提高:

  1、 m为何值时，方程2x+m=x-1的解满足2x+3=7?

  2、解方程：-=