2021年暑假人教版七年级数学上册第15讲 一元一次方程全章复习 复习讲义（无答案）

2021年暑假七年级数学（上）讲义

第十五讲 一元一次方程全章复习

导入:

      “方程”一词来源于中国古算术书《九章算术》。在这本著作中，已经列出了一元一次方程。法国数学家笛卡尔把未知数和常数通过代数运算所组成的方程称为代数方程。在19世纪以前，方程一直是代数的核心内容。方程的应用问题的学习可以说贯穿了整个小学高年级学段和初中学段，在学生的数学学习活动中占有相当重要的地位（整个初中段方程及其应用题学时为41学时，约占整个初中数学学时的11.5％），而一元一次方程应用题的学习，又是所有方程应用题中最基础的起始部分，因此，这一部分内容的成功学习，对后续包括二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用的学习有着至关重要的作用。

【学习目标】

1．理解方程，等式及一元一次方程的概念，并掌握它们的区别和联系；

2．会解一元一次方程，并理解每步变形的依据；

3．会根据实际问题列方程解应用题．

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、一元一次方程的概念

1．方程：含有未知数的等式叫做方程．

2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．

要点诠释：

（1）一元一次方程变形后总可以化为ax+b＝0(a≠0)的形式，它是一元一次方程的标准形式．

（2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1；

②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数．

3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．

4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程．

要点二、等式的性质与去括号法则

1．等式的性质：

等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．

    等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．

2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母的指数不变．

3．去括号法则：

（1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同．

（2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反．

要点三、一元一次方程的解法

解一元一次方程的一般步骤：

 (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．

 (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．

 (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．

 (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．

 (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．

 (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．

要点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型

1.行程问题：路程＝速度×时间

2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 

3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 

4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量

5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 

6.数字问题：多位数的表示方法：例如：.

【典型例题】

类型一、一元一次方程的相关概念 

1．下列方程中，哪些是一元一次方程? 哪些不是?

 (1)； (2)2x+y＝5； (3)x2-5x+6＝0； (4)； (5)．

【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．

【答案】 (1)、(5)是一元一次方程．因为它们或等价变形后是只含有一个未知数、并且未知数的次数是1的方程；

 (2)、(3)、(4)都不是一元一次方程，因为(2)中含有两个未知数；(3)中未知数的最高次数是2；(4)中分母含有未知数，它不是整式方程．

【解析】判断一个方程是不是一元一次方程，有时需要对方程进行等价变形后再判断．例如：

，可化为：，所以 是一元一次方程．

【总结升华】凡是分母中含有未知数的方程一定不是一元一次方程．

举一反三：

【变式】下列说法中正确的是(    ).

 A．2a-a=a不是等式    B．x2-2x-3是方程     C．方程是等式         D．等式是方程

2．已知方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m是关于x的一元一次方程，求m和x的值．

 【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．

【答案与解析】

解：因为方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m是关于x的一元一次方程，

所以3m-4＝0且5-3m≠0．

由3m-4＝0解得，又能使5-3m≠0，所以m的值是．

将代入原方程，则原方程变为，解得．

所以，．

【总结升华】解答这类问题，一定要严格按照一元一次方程的定义．方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m2是关于x的一元一次方程，就是说x的二次项系数3m-4＝0，而x的一次项系数5-3m≠0，m的值必须同时符合这两个条件．

举一反三：

【变式】下面方程变形中，错在哪里：

(1)方程2x=2y两边都减去x+y，得2x-(x+y)=2y-(x+y), 即x-y=-(x-y).

方程 x-y=-(x-y)两边都除以x-y, 得1=-1.

（2），去分母，得3(3-7x)=2(2x+1)+2x，去括号得：9-21x=4x+2+2x.

3. 若方程3(x-1)+8＝2x+3与方程的解相同，求k的值．

【答案与解析】

解：解方程3(x-1)+8＝2x+3，得x＝-2．

将x＝-2代入方程中，得．

解这个关于k的方程，得．

    所以，k的值是．

【总结升华】由于两个方程的解相同，所以可以将其中一个方程的解代入另一个方程中，从而求得问题的答案．

举一反三：

【变式】若关于x的方程2(x-1)-a＝0的解是x＝3，则a的值是(    )．

    A．4    B．-4    C．5    D．-5

4. 如果5(x+2)＝2a+3与的解相同，那么a的值是________．

【答案】

【解析】 由5(x+2)＝2a+3，解得．

    由，解得．

    所以，解得．

【总结升华】因为两方程的解相同，可把a看做已知数，分别求出它们的解，令其相等，转化为求关于a的一元一次方程．

举一反三：

【变式】已知|x+1|+(y+2x)2＝0，则________．

类型二、一元一次方程的解法

5．解方程

【思路点拨】通过方程的同解原理(去分母，去括号，合并同类项，系数化为1)，一步一步将一个复杂的方程转化成与它同解的最简的方程，从而达到求解的目的．

【答案与解析】

解：去分母，得3(y+2)-2(3-5y)＝12

    去括号，得3y+6-6+10y＝12

    合并同类项，得13y＝12

    未知数的系数化为1，得

【总结升华】转化思想是初中数学中一种常见的思想方法，它能将复杂的问题转化为简单的问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题，将未知转化为已知．事实上解一元一次方程就是利用方程的同解原理，将复杂的方程转化为简单的方程直至求出它的解．

6．解方程：

【思路点拨】本题按常规方法求解，比较繁锁，如能根据题目的特点，巧用“整体思维”，就能算得又快又对，起到事半功倍的效果．

【答案与解析】

解：

x＝-6

【总结升华】直接去括号太繁琐，若将(x+1)及(x-1)看作一个整体，并移项合并同类项，解答十分巧妙，可免去去分母的步骤及简化去括号的过程．

举一反三：

【变式】解方程：278(x-4)-463(8-2x)-888(7x-28)＝0

7．解方程：．

【答案与解析】

解：去分母，得：2(4-6x)-6＝3(2x+1)．

    去括号，得：8-12x-6＝6x+3．

    移项，合并同类项，得：-18x＝1．

    系数化为1，得：．

【总结升华】转化思想是初中数学中一种常见的思想方法，它能将复杂的问题转化为简单的问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题，将未知转化为已知．事实上解一元一次方程就是利用方程的同解原理，将复杂的方程转化为简单的方程直至求出它的解．

举一反三：

【变式1】解方程

【变式2】解方程： .

8．解方程3{2x-1-[3(2x-1)+3]}＝5．

【答案与解析】

解：把2x-1看做一个整体．去括号，得：

    3(2x-1)-9(2x-1)-9＝5．

    合并同类项，得-6(2x-1)＝14．  系数化为1得：，解得．

【总结升华】把题目中的2x-1看作一个整体，从而简化了计算过程．本题也可以考虑换元法：设2x-1＝a，则原方程化为3[a-(3a+3)]＝5．

类型三、特殊的一元一次方程的解法

1．解含字母系数的方程

5.解关于的方程：

【思路点拨】这个方程化为标准形式后，未知数x的系数和常数都是以字母形式出现的，所以方程的解的情况与x的系数和常数的取值都有关系．

【答案与解析】

解：原方程可化为：

当时，原方程有唯一解：；

当时，原方程无数个解；

当时，原方程无解；

【总结升华】解含字母系数的方程时，一般化为最简形式，再分类讨论进行求解，注意最后的解不能合并，只能分情况说明．

2．解含绝对值的方程

6. 解方程|x-2|＝3．

【答案与解析】

解：当x-2≥0时，原方程可化为x-2＝3，得x＝5．

    当x-2＜0时，原方程可化为-(x-2)＝3，得 x＝-1．

    所以x＝5和x＝-1都是方程|x-2|＝3的解．

【总结升华】如图所示，可以看出点-1与5到点2的距离均为3，所以|x-2|＝3的意义为在数轴上到点2的距离等于3的点对应的数，即方程|x-2|＝3的解为x＝-1和x＝5．

举一反三：

【变式1】若关于的方程无解，只有一个解，有两个解，

则的大小关系为：  (  )

A.    B.   C.   D.

【变式2】若是方程的解，则；又若当时，则方程的解是   ．

类型四、一元一次方程的应用

5． (南京)甲车从A地出发以60 km／h的速度沿公路匀速行驶，0.5 h后，乙车也从A地出发，以80 km／h的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶，求乙车出发后几小时追上甲车．

【答案与解析】

解：设乙车出发后x小时追上甲车，依题意得60×0.5+60x＝80x，解得x＝1.5．

    答：乙车出发后1.5小时追上甲车．

【总结升华】此题的等量关系为：甲前0.5 h的行程+甲后来的行程＝乙的行程．

6.  (南昌)剃须刀由刀片和刀架组成．某时期，甲、乙两厂家分别生产老式剃须刀(刀片不可更换)和新式剃须刀(刀片可更换)．有关销售策略与售价等信息如下表所示：

    某段时间内，甲厂家销售了8400把剃须刀，乙厂家销售的刀片数量是刀架数量的50倍，乙厂家获得的利润是甲厂家的两倍，问这段时间内乙厂家销售了多少把刀架?多少片刀片?

【答案与解析】

解：设这段时间内乙厂家销售了x把刀架．

    依题意，得(0.55-0.05)·50x+(1-5)x＝2×(2.5—2)×8400，

    解得x＝400．

    销售出的刀片数：50×400＝20000(片)．

答：这段时间内乙厂家销售了400把刀架，20000片刀片．

【总结升华】本题的相等关系为：甲厂家利润×2＝乙厂家利润．

举一反三：

【变式】某文具店为促销X型计算器，优惠条件是一次购买不超过10个，每个38元，超过10个，超过部分每个让利2元(即每个36元)，问李老师用812元共买了多少个？

7．李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟；若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站，求李伟此时骑摩托车的速度应是多少?

【思路点拨】本题中的两个不变量为：火车开出的时间和李伟从家到火车站的路程不变．

【答案与解析】

解：设李伟从家到火车站的路程为y千米，则有：

，解得：

由此得到李伟从家出发到火车站正点开车的时间为(小时)．

李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站时，设李伟骑摩托车的速度为x千米/时, 则有：

(千米/时)

答：李伟此时骑摩托车的速度应是27千米/时．

【总结升华】在解决问题时，当发现某种方法不能解决问题时，应该及时变换思维角度，如本题直接设未知数较难时，应迅速变换思维的角度，合理地设置间接未知数以寻求新的解决问题的途径和方法．

8. 黄冈某地“杜鹃节”期间，某公司70名职工组团前往参观欣赏，旅游景点规定：①门票每人60元，无优惠；②上山游玩可坐景点观光车，观光车有四座和十一座车，四座车每辆60元，十一座车每人10元．公司职工正好坐满每辆车且总费用刚好为4920元时，问公司租用的四座车和十一座车各多少辆?

【答案与解析】    

解：设四座车租x辆，十一座车租辆，依题意得：

    解得：x＝1，

 答：公司租用的四座车和十一座车分别是1辆和6辆。

【总结升华】解答本题需从“公司职工正好坐满每辆车且总费用刚好为4920元”中挖掘两个等量关系构建方程求解。

举一反三：

【变式】某商品进价2000元，标价4000元，商店要求以利润率不低于20%的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？