第10讲整式的综合-沪教版（上海）2020年七年级数学暑假衔接课程（六升七）教学案（学生版+教师版）

学员姓名：                                              学科教师：

年    级：                                              辅导科目：   

1．   理解整式的概念，掌握同类项以及整式的加减；

2．   掌握同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方的运算性质；并能熟练地运用；

3．   理解和掌握单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘法则；

1）  (★★★) 

2）  已知用、表示的值. (★★★★)

1）解答方法：逆向运用幂的乘方法则

2）解答方法：逆向运用同底数幂的乘法法则和幂的乘方，

答案：1）     2）      

1）同底数幂的乘法：同底数幂相乘：底数不变，指数相加

     注意：区分合并同类项和同底数幂的乘法，别混淆！

2）幂的乘方：底数不变，指数相乘 

1）  （n是正整数）=______________  (★★★★)

2）  用简便方法计算：(★★★)

3） 解方程：  (★★★★)

1）解答方法：易知2n-1为奇数，利用积的乘方则，再利用同底数幂的乘法法则。

2) 解答方法：逆向运用同底数幂公式把拆，结合和逆向运用积的乘方公式为，即

3) 解答方法：先方程两边同除以5得，注意到

答案：1）   2）    3）2

灵活综合利用各个公式的运算法则以及逆向运用，细心审题，计算仔细

积的乘方：每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘

1、已知，，试用 a、b 分别表示 ，和的值.(★★★)

2、若 ，则 =             (★★★★)

3、是________位整数  (★★★)

4、= _______________.  （用的幂的形式表示结果）(★★★★)

答案：1） ，    2）64    3）10   4）

计算以下各题

1） =____________(用科学计数法表示)   (★★★)

2）（n是正整数）（★★★★）

解题分析：（1）单项式乘以单项式法则对于三个以上的单项式相乘也适用，科学计数法前面的数字应大于等于1小于10；

（2）此题为讨论类的题目，当n为偶数时和当n为奇数时的会影响第一项的符号，导致结果不同，审题要仔细！；

答案：（1）  （2）当n为奇数时，；当n为偶数时，

计算： （★★★）                 

解题思路：混合运算，先积的乘方，单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加，再合并同类项，。

注：①用单项式遍乘多项式的各项，不要漏乘，②要注意符号；

单项式乘以多项式的实质是乘法的分配律与单项式乘以单项式的和．

答案：   

1）已知，  则a=______  b=______  （★★★★）

2) 在与的积中不含与项，求P、q的值（★★★★）

1）解题思路：先利用多项式乘以多项式的法则展开，然后二次项，一次项和常数项应对应相等。

2）解题思路：先利用多项式乘以多项式的法则将两个多项式相乘，找出所有含项合并，则其系数应为0，同理找出所有含项合并，其系数也应为0，从而求出p和q的值。

答案：1）2，-4   2）p=3，q=8

多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加.

注意：1.多项式乘多项式，积仍是多项式，且积的项数小于或等于两个多项式项数的积。

2.乘的过程中，不要漏掉，注意每项的符号

1）的积的一次项的系数是          (★★★)

2）已知中不含的三次项，则（★★★★）

3）计算：（★★★★）

答案：1) -30   2）   3）

计算下列各题

1）计算      （★★★★）            

2)     已知，求的值.（★★★★）

1）解题思路：运用平方差公式，进步约分化简；

2）解题思路：经观察不符合公式的结构特征，将代入，变形为：，从而符合平方差公式

答案：1)            2）

计算下列各题

1）   （★★★★）              

2）计算：已知 ，求的值. （★★★★）

解题思路：1）观察题目，找出完全相同的项和只有符号不同的项进行整理得，先利用平方差公式，再利用完全平方公式展开；

解题思路：2）将的值代入进行计算会很麻烦，可以尝试用乘法公式来解决，以简化运算。

答案： 1）        2）0

两个基本公式：（1）——平方差公式

             （2）——完全平方公式

学习乘法公式的关键在于理解公式的结构特征，善于正向运用、逆向运用、活用、变用、综合运用，把握公式的内在联系。

1）计算：  （★★★★）

2）化简 ：  （★★★★）

答案：1）   2)

1) 已知，，求的值. （★★★★）

2) 计算：（★★★★）

1）解题思路：利用完全平方公式的展开和变形

2）解题思路：同时应用完全平方公式和平方差公式化简，其中，1997×1999=(1998-1)(1998+1)

答案：1） 35   2）1

（1）公式 可以变形为

（2）公式的常见变形有：

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

例1. 如图，已知正方形ABCD与正方形AEFG，点E、G分别在边AB、AD上，正方形ABCD的边长为，正方形AEFG的边长为，且．求三角形BFG、三角形BFE、梯形BCFE的面积（用含、的代数式表示）．

答案：三角形BFG的面积为、三角形BFE的面积为、梯形BCFE的面积为

试一试： 一家住房如图所示，如果某种地砖的价格是元/，每间都要铺地砖，则购买所需地砖至少需要多少元？（用含字母、、的代数式来表示）  

答案：面积为 ，  至少需要 元．

例2. 求减去的差．

试一试：若一个多项式与的和是，求这个多项式．

解：由题意得，

            原式=

                =

例3. 先化简，再求值：，其中．

解：原式=

=

    把代入上式得，

试一试：先化简，再求值：，其中．

答案：化简得，代值得

例4. 计算：．

答案：

试一试：计算：，并将结果按字母x升幂排列．

解：原式=

            =

            =

            =

    按字母x升幂排列：

（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）

1．计算：＝ 　　   　  。   （）

2．如果单项式和是同类项，那么＝ 　　   　  。   （7）

3．计算：＝ 　　   　  。  （）

4．计算：=                         .   （）

5．请写出两个整式，使它们的和为，它们可以是                      和                    .    （等，答案不唯一）

6．如果，那么            .    （）

7．下列各式，代数式的个数是（       ）   B

①  ②  ③  ④  ⑤0  ⑥

⑦  ⑧ ⑨.

（A）4个；         （B）5个；         （C）6个；        （D）7个.

8．计算的结果是（    ）    B

（A）；         （B）；      （C）；        （D）.

9．对于与，下列叙述中正确的是  （    ）    C

（A）底数相同，运算结果相同；         （B）底数相同，运算结果不相同；

（C）底数不同，运算结果相同；         （D）底数不同，运算结果不相同.

10．下列多项式中，能用完全平方公式计算的是    （    ）  D

（A）；                  （B）；

（C）；                 （D）.

11．计算：.

解：原式=

            =

12．计算：.

解：原式=

            =

            =

            =

13．计算：.

解：原式=

              =

14．

本节课主要知识点：整式的基本概念，整式的运算

【巩固练习】

1．计算下列各题：

(1) (2)

   （）                                  （）

(3) (4)、

（）                      （）

2．如果，求（1）的值；  （2）的值。

（1）14；（2）12

3．已知（a、b都是正整数），用含m、n或p的式子表示下列各式：

   （1）；           （2）．

答案：（1）

（2）

4．如图：一套房子的客厅AEFD和房间EBHG分别是边长为a米和b米的正方形，厨房FGNM和卫生间MNHC分别是正方形和长方形．

（1）求卫生间MNHC的面积（用含a、b的代数式表示）；

（2）求当，时, 卫生间MNHC的面积的值．

解：（1）根据题意，得卫生间MNHC的面积．

        化简后，得．

    （2）当，时，得（米）．

【预习思考】

1、小学阶段学过的乘法对加法的分配率：                   

2、逆用乘法对加法的分配率进行计算： 

3、观察思考：

观察它们有什么共同的特点？