第4讲整式的概念-沪教版（上海）2020年七年级数学暑假衔接课程（六升七）教学案（学生版+教师版）

授课日期

时 间

主    题

整式的概念

教学内容

1．了解整式产生的背景和整式的概念，能求出整式的次数；

2．理解单项式、多项式和整式的定义，并能分辨出它们的不同；

3．知道单项式的次数的含义，能对多项式进行降幂或升幂排列。

（以提问的形式回顾）

1．观察并思考：

(1)2x、 、、、m这些代数式包含哪些运算？

口答：请说出(1)中的几个单项式的系数和次数。

注意：单独一个非零数的次数是0，当单项式的系数为1或-1时，这个“1”应省略不写。

 (2)2x+3、、这些代数式包含哪些运算

口答：请说出(2)中的几个多项式是由哪几个单项式组成的？其中有没有常数项？它们的次数分别是多少？为什么？

注意：确定多项式的次数时，应先确定每个单项式每个字母的指数；再计算这个单项式中所有字母的指数的和。

单项式与多项式的区别：

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

例1. 判断下列各代数式，哪些是单项式，哪些是多项式，哪些不是整式．

(1)－3xy2；  (2)2x3＋1；  (3)(x＋y＋1)； (4) ；  (5)0；

(6)；   (7)；  (8)；   (9)； (10)．

解析：只有数字与字母的乘积，这样的代数式是单项式，几个单项式的和组成多项式，单项式和多项式都是整式。

整式最显著的特征是字母不能作分母。所以(6)；(8)；(9)；(10)；这几个代数式分母中含有字母，就不是整式，这也是我们后面要学到的分式。

【答案】单项式有：(1)－3xy2，(4) ，(5)0，(7)；

多项式有：(2)2x3＋1，(3) (x＋y＋1)；

不是整式的有：(6)，(8)，(9) ，(10)．

试一试：在x2， (x＋y)，，，－3，中，单项式是__       _______，多项式是____        ___，不是整式的是___           ______．

【答案】 单项式：x2 ，－3，；

多项式：(x＋y)；

不是整式：，．

例2. 指出下列各单项式的系数与次数：

（1）   （2）-mn3;   （3）  （4）－3．

解析：单项式的系数，包括前面的符号，当单项式的系数是1或－1时，“1”省略不写，如-nm3中，系数是－1，则把“1”省略不写；圆周率只是一个常数符号，不能把它作为字母，如：的系数是，次数是5。另外，像－3，，0等这样的常数，是零次单项式．

【答案】 （1）的系数是，次数是3；

（2）-mn3的系数是-1，次数是4；

（3）的系数是，次数是5；

（4）－3的系数是－3，次数是0 ．

试一试：如果是关于的单项式，且系数为2，次数为3，则分别是多少？

【答案】

例3.

1．说出下列各多项式分别是几次几项式．

(1)； (2)； (3)； (4)；

(5)； (6)．

【答案】

(1)多项式是一次二项式；

(2)多项式是三次四项式；

(3)因为，所以多项式是二次三项式；

(4)因为，所以多项式 是三次三项式；

(5)多项式是六次五项式；

(6)因为，所以多项式

是三次四项式．

2．（1）多项式是      次    项式，最高次项的系数是     ，

四次项的系数是      ，常数项是       ，按字母x升幂排列得          ；

（2）多项式是      次     项式，它的各项的次数都是    ，

按字母b降幂排列得                          ．

【答案】 （1）五，三，-3，2，－2π4，；

（2）三，四，3，．

试一试：

1．已知关于x的多项式是二次三项式，则a＝__  __，b＝     ．

【答案】由题意可知a－1＝0，即a＝1，|b＋2|＝2，即b＝－4或0，但当b＝0时，不符合题意，所以b＝－4。

2．如果关于的多项式的次数为4次，且有三项，则为多少？

【答案】

例4. 一个五次多项式，它的任何一项的次数都（     ）

A．小于5　　　　　B．等于5　　　　　　C．不小于5　　　　　D．不大于5．

【答案】D．

解析： 由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，因此五次多项式中，次数

最高的项是五次的，其余的项的次数可以是五次的，也可以是小于五次的，却不

能是大于五次的．因此，五次多项式中的任何一项都是不大于5次的．

试一试：如果一个多项式是五次多项式，那么（      ）

A．这个多项式最多有六项；

B．这个多项式只能有一项的次数是六；

C．这个多项式一定是五次六项式；

D．这个多项式最少有二项，并且最高次项的次数是五．

【答案】D．

解析：多项式的次数是多项式中次数最高项的次数，与多项式有几项无关。如果一个多项式

是五次多项式，那么这个多项式的最高次项是五次，至于有几项不能确定，但因为是

多项式，所以至少要有两项。所以选D．

（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）

1．下列代数式错误！未定义书签。中，单项式有（　　）

 （A）1个　　　　 （B）2个         （C）3个         （D）4个

2．在下列代数式：ab，，ab2+b+1，+，x3+ x2－3中，多项式有（   ）

A．2个    B．3个     C．4个     D5个．                                           

3．是_____次单项式，它的系数是___    __．

4．是_____次多项式，它由单项式_    ____，__    ___，_    ____组成．

5．多项式中，二次项系数是________，常数项是________．

6．是_____次多项式，关于y的最高次项是_____，关于x的一次项是_____．

7．按字母y的升幂排列是__        ___．

8．按字母x的降幂排列是_         ____．

9．写出同时满足下列条件的一个多项式：（1）该多项式中只含有字母x；（2）该多项式中不含有常数项；（3）该多项式次数是3；（4）该多项式中各单项式系数均为2．

10．已知是关于的三次四项式．

（1）求m的值，并按的降幂排列；

（2）当时，求该多项式的值．

答案：1．C； 2．B； 3．四，； 4．一，； 5．； 6．；

7．；  8． ；

9．；

10．（1）m=3，；   （2）-2

本节课主要知识点： 单项式与多项式的概念，整式的概念，多项式的次数

1．整式，3x－y2，23x2y，a，πx+y，，x+1中，单项式有                   ，多项式有                  ．

【答案】 、23x2y 、a 、； 3x－y2、πx+y、x+1 ．

2．系数是－3，且只含有字母x和y的四次单项式共有     个，分别是                  ．

【答案】三　；－3xy3、－3x2y2、－3x3y．

3．下列语句正确的是（       ）

 A．是二次单项式 B．是多项式

 C． 0不是整式 D．是二次四项式

【答案】 B ．

4．多项式－23m2－n2是（      ）　

A．二次二项式    B．三次二项式   C．四次二项式    D．五次二项式．

【答案】 A ．

5．下列说法正确的是（       ）

A．3 x2―2x+5的项是3x2，2x，5        

B．－与2 x2―2xy－5都是多项式

C．多项式－2x2+4xy的次数是3  

D．一个多项式的次数是6，则这个多项式中只有一项的次数是6．

【答案】 B ．

6．下列说法正确的是（       ）

A．整式abc没有系数     B．++不是整式

C．－2不是整式         D．整式2x+1是一次二项式．

【答案】D．

7．下列代数式中整式有(        ) 

，  2x+y， a2b， ， ， 0.5 ，  a 

A.4个   B.5个     C.6个  D.7个 ．

【答案】 B ．

8．将多项式按字母x降幂排列：_______                  ____．

【答案】．

9．把多项式按字母升幂排列：     _                  ．

【答案】．

10．将多项式按字母y的升幂排列为_____                  ．

【答案】 ．

【预习思考】

如图，两个正方形A、B的边长分别是a、3a．那么两个正方形A、B的周长一共是多少？面积一共是多少？