沪教版七年级第一学期同步第12讲：分组分解法 （教师版+学生版）

分组分解法是在提取公因式法、公式法、十字相乘法的基础上学习的最后一种基本的因式分解方法．分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法，通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的．我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的．

如何将多项式因式分解？

分析：很显然，多项式中既没有公因式，也不好用公式法．怎么办呢？

由于,

而：．这样就有：

将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法．

说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．

【例1】 因式分解：

（1）；        （2）．

【难度】★

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）原式；

（2）原式．

【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．

【例2】 分解因式：．

【难度】★

【答案】．

【解析】原式

    ．

【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．

【例3】 分解因式：．

【难度】★

【答案】．

【解析】原式

    ．

【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．

【例4】 分解因式：．

【难度】★

【答案】．

【解析】原式

    ．

【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．

【例5】 分解因式：．

【难度】★

【答案】．

【解析】原式

    ．

【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化．

【例6】 因式分解：．

【难度】★

【答案】．

【解析】原式

    ．

【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．

【例7】 分解因式：．

【难度】★

【答案】．

【解析】原式

    ．

【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化．

【例8】 分解因式：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式

    ．

【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，注意分解要彻底．

【例9】 分解因式：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式

    ．

【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．

【例10】        分解因式：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式

    （未学过立方和的分解到这一步就可以）

【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．

【例11】        分解因式：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式

【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，注意分解要彻底．

【例12】        分解因式：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式

【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．

【例13】        分解因式：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式

【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，注意对字母指数的准确理解．

【例14】        分解因式：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式．

【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，当不能直接分解时，要利用乘法公式展开后再进行分组．

【例15】        分解因式：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式．

【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意先拆再重新分组．

【例16】        因式分解：．

【难度】★★★

【答案】

【解析】原式．

【点评】考查学生分组分解方法的运用以及十字相乘方法的运用能力，注意先拆再重新分组．

【例17】        已知三个连续奇数的平方和为251，求这三个奇数．

【难度】★★★

【答案】7、9、11．

【解析】设三个连续奇数最小的为且为整数，则由题意可得：

 ，即．

 整理，得：，即． ∵，∴．

 ∴这三个连续奇数为7、9、11．

【点评】如何设三个连续奇数是难点，然后完全平方公式的分解化为一元二次方程即可，再利用因式分解的思路求出方程的解．

【习题1】      因式分解：

（1）；      （2）、

【难度】★

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）原式；

（2）原式．

【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．

【习题2】      分解因式：．

【难度】★

【答案】．

【解析】原式．

【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．

【习题3】      分解因式：．

【难度】★

【答案】．

【解析】原式．

【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．

【习题4】      分解因式：

【难度】★

【答案】．

【解析】原式．

【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化．

【习题5】      分解因式：．

【难度】★

【答案】．

【解析】原式．

【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化．

【习题6】      分解因式：．

【难度】★

【答案】．

【解析】原式．

【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．

【习题7】      分解因式：．

【难度】★

【答案】．

【解析】原式．

【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．

【习题8】      分解因式：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式．

【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意不要漏项．

【习题9】      因式分解：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式．

【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．

【习题10】   分解因式：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式．

【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．

【习题11】   ．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式．

【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用，第一步先提取公因式很重要．

【习题12】   分解因式：

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式

【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．

【习题13】   分解因式：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式．

【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．

【习题14】   分解因式：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式．

【点评】考查学生分组分解方法以及乘法公式的运用．

【习题15】   分解因式：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式．

【点评】考查学生分组分解方法的运用，注意先拆再重新分组．

【习题16】   分解因式：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式

【点评】考查学生分组分解方法以及平方差公式的运用，注意先拆再重新分组，分解一定要彻底．

【习题17】   已知：，化简：．

【难度】★★

【答案】0或．

【解析】由，可得：，∴．

∵，∴的值为0或．

【点评】本题主要考查利用因式分解求解方程，以及利用整体代入进行求值的思想．

【习题18】   把多项式分解因式，所得的结果为（  ）

A．    B．

C．    D．

【难度】★★★

【答案】C

【解析】

【点评】考查学生分组分解方法的运用，注意先拆再重新分组．

【作业1】      因式分解：

（1）；      （2）．

【难度】★

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）原式；

（2）原式．

【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．

【作业2】      分解因式：．

【难度】★

【答案】．

【解析】原式．

【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．

【作业3】      分解因式：．

【难度】★

【答案】．

【解析】原式．

【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．

【作业4】      分解因式：．

【难度】★

【答案】．

【解析】原式．

【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．

【作业5】      分解因式：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式．

【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．

【作业6】      分解因式：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式．

【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．

【作业7】      分解因式：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式．

【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力．

【作业8】      分解因式：．

【难度】★★

【答案】．

【解析】原式．

【点评】考查学生分组分解方法的运用以及运用乘法公式的能力．

【作业9】      分解因式：．

【难度】★★★

【答案】．

【解析】原式

    ．

【点评】考查学生分组分解方法的运用以及运用乘法公式的能力，注意分解要彻底．