第1讲有理数的混合运算-沪教版（上海）2020年七年级数学暑假衔接课程（六升七）教学案（学生版+教师版）

授课日期

时 间

主    题

有理数的混合运算

教学内容

1．理解幂运算相关概念，并能灵活准确进行幂运算；

2．熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，正确地进行有理数的混合运算；

3．理解科学记数法的意义，会用科学计记数法表示绝对值较大的数，并能比较大小；

4．能将所学知识联系起来应用，进行综合计算。

（以提问的形式回顾）

把厚0.1毫米的纸依次折叠1次、2次、3次、4次、5次，列式并计算纸张的厚度，引导学生观察、发现纸张厚度所发生的变化是在成倍的增长.

   折叠一次：

   折叠两次：

折叠三次：

折叠四次：

折叠五次：

   提问：如果一层楼有3米高，假设把足够长的0.1毫米的纸连续折叠20次，会有多少层高？折叠几次就会超过珠穆朗玛峰？鼓励学生大胆猜想

答案：折叠20次：104857.6毫米 = 104.8576米米

     层

     折叠27次就可以超过珠穆朗玛峰了。

【知识点一：乘方运算】

1.乘方及相关概念

个相同因数相乘，记作 ，求个相同因数的积的运算，叫做乘方.

乘方是一种运算，乘方的结果叫做幂.

在中，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数. 读作.（是任意有理数，是正整数）

特别的， （是正整数）

注：一个数可以看作是这个数本身的一次方，例如5就是，就是，指数是1通常省略不写．

2、乘方运算的符号法则

（1）正数的任何次幂都是正数；

（2）负数的奇数次幂是负数，负数的偶次幂是正数；

（3）的任何非零次幂都是．

注：“负幂”与“负数的幂”区别：“负幂”例如表示的相反数，其结果为负数．“负数的幂”例如，结果要看指数，即负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数．

小练习：

1.

2. 把l米长的小棒，第1次截止一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的小棒长为         米

3. 下列各数对中，数值相等的是（    ）

A、+32与+23      B、—23与（—2）3   C、—32与（—3）2    D、3×22与（3×2）2

4. 表示的意义是（    ）

A、6个—5相乘的积   B、－5乘以6的积  C、5个—6相乘的积   D、6个—5相加的和

5. 现规定一种新运算“*”：a*b=，如3*2==9，则（）*3=（    ）

A、    B、8     C、      D、

答案：0； ； B； A； C

【知识点二：有理数的混合运算】

1.有理数混合运算的概念：

含有有理数加、减、乘、除、乘方这五种运算中两种或两种以上的运算称为有理数的混合运算.

2．有理数的运算顺序：

（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；

（2）同级运算，按照从左到右的顺序进行

（3）如果有括号，先算小括号里的，后算中括号，再算大括号

注：去括号要注意：括号前带负号，去掉括号后括号内各项要变号，即

，  ，

小练习：

1．÷                 2．÷    

3．        4.

答案：-26； ； ；

【知识点三：科学计数法】

科学计数法概念：

把一个数写成（其中是正整数，这种形式的记数方法叫做科学记数法

 注：在把用科学记数法表示的数还原为原数时，根据其基本原理和结构，把的小数点向右移动位，中数字不够时，用补足．

小练习：

1. 我国的国土面积约为九佰六十万平方千米,用科学记数法写成约为___________.

2. 2007年中国月球探测工程的“嫦娥一号”卫星将发射升空飞向月球。已知地球距离月球表面约为384000千米，那么这个距离用科学记数法表示应为               米.

答案：；

（采用教师引导，学生轮流回答的形式）

例1. 计算：

【分析】此题主要应用互为倒数、乘法运算律及乘方的意义进行计算，事实上我们不难发现，当与互为倒数时，其值为1，计算时要注意符号的问题，多加理解与练习。

解：

试一试：

1、 （1）       （2）

答案： （1）        （2）

例2. 计算：

1.  17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88 

分析：逆用运算律

在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．

解：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88 =17.48×37＋(17.48×10)×1.9＋17.48×44

=17.48×37＋17.48×19＋17.48×44

= 17.48×(37＋19＋44)

= 1748．

评析：很明显，灵活变形，逆用分配律，减少了运算量，提高了解题效率．

2.  2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．

分析：分组搭配

观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．

解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69

= (2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69)

= 0＋0＋0＋…＋0

= 0．

评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题．

试一试：

计算下式的值：

（1）211×555+445×789+555×789+211×445．

 (2)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；     

 (3)1+2-3-4+5+6-7-8+…+99+100；

答案：（1）1000000； （2）1000；  （3）-100

（学生统一完成，互相批改，教师针对重难点详细讲解）

1．  下面计算正确的是（　　）

A．;                          B．;

C．;                          D．     ．                                           

【答案】 D ．

2． 下列各组数中，相等的是…………………………………………………（   ）

    A、–1与（–4）+（–3）                B、与–（–3）

    C、与                             D、与–16

【答案】 B ．

3． l米长的小棒，第1次截止一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的小棒长为………（   ）    

   A、      B、      C、       D、               

【答案】C  ．

4． 计算的值是（     ）

   A．   B．   C．0   D．             

【答案】 D ．

5．  计算的结果是（     ）

   A. 3      B.     C. 7     D.12                

【答案】 D  ．

6． 下列公式计算正确的是（   ）

A．                B．

  C．                 D．               ．

【答案】 D ．

7．用科学记数法表示为1.999×103的数是（  ）

    A．1999     B．199.9    C．0.001999    D．19990

【答案】A

8． 2003年5月19日，国家邮政局特别发行万众一心，抗击“非典”邮票，收入全部捐赠给卫生部门用以支持抗击“非典”斗争，其邮票发行为12050000枚，用科学记数法表示正确的是(    )

A．1.205×107     B．1.20×108      C．1.21×107       D．1.205×104

【答案】 A ．

9．  若，则______________.                    

【答案】0  ．

10．如果 ，，那么值为_____________.                     

【答案】  ．

11．计算：

  （1）÷;                （2）÷

         （4）

（5）        （6）

【答案】（1） ；（2） ；（3） ； （4） 15； （5）； （6） 12

本节课主要知识点：有理数的加减乘除乘法运算，特别要注意符号。科学计数法。

【巩固练习】

1.  计算：（1）；         （2）.

（3）；         （4）

  【分析】进行有理数的混合运算时，首先要弄清题目中有几级运算，然后接法则进行计算即可，但一定要分析题目特点，灵活运用运算律等技巧简化运算。

解： （1）原式 ．

         （2）原式

         （3）

         （4）

2. 求当， ，代数式的值。

【分析】此类题一方面代入要准确，即负数或分数代入时一般加上小括号，另一方面代入后计算必须准确，最后是分数时一定是最简分数。

【答案】

3. 现规定一种运算“*”，对于a、b两数有：,试计算的值。

答案：

【预习思考】

1. 解一元一次方程的步骤有哪些，需要注意什么？

2. 一件工程，甲单独做要10天完成，乙单独做要12天完成，丙单独做要15天完成，甲、丙先合做了3天后，甲因事离去，由乙和丙继续合做，问还需几天才能完成？