苏科版八年级上册第4章实数知识点详细总结

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4.1平方根
一、平方根的概念及表示
拓展延伸：（1）由平方根的意义可知，x=±a，把x=±a代入x2=a，得（±a）2=a（a≥0）.
（2）当a≥0时，我们说式子a有意义，当a＜0时，式子a无意义。
二、平方根的性质
1.正数有两个平方根，它们互为相反数。如果a＞0，那么a的平方根为±a
2.0有一个平方根，就是0，即0=0
3.负数没有平方根
三、开平方
注意：开平方是求一个非负数的平方根的运算，开平方与平方互为逆运算，只不过一个数的平方是一个数，而一个数（正数）的平方根是一对相反数。
四、算术平方根的概念及性质
五、算术平方根与平方根的区别与联系
联系：（1）具有包含关系；
（2）存在条件相同：被开方数为非负数；
（3）0的平方根、算术平方根都是0.
4.2立方根
一、立方根的概念及表示
一般地，如果x3=a,那么x叫做a的立方根，数a的立方根记作“3a”，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数（注意：根指数3不能省略）。
注意：理解x3=a时，要弄清a是x的立方，x是a的立方根，千万不要把a与x的意义弄反。
二、开立方
1.求一个数的立方根的运算叫做开立方。开立方与立方互为逆运算，因此，求一个数的立方根可以通过立方运算来求。
2.重要公式：（1） (3a)3=3a3=a
（2）3-a=-3a
求负数的立方根时，可先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数，即三次根号内的负号可以移到根号外面。例如：3-125=-3125=-5
三、立方根的性质
正数的立方根是正数；
负数的立方根是负数；
零的立方根是零。
注意：立方根的性质可以概括为立方根的唯一性，即一个数的立方根是唯一的。
4.3实数
一、无理数
无限不循环小数叫做无理数。
注意：（1）无理数可分为正无理数和负无理数，要判断一个数是不是无理数，一要看它是不是无限小数，二要看它是不是不循环小数，只有同时满足“无限”和“不循环”这两个条件的小数才是无理数。
（2）无理数的常见形式有以下几种：
①开方开不尽的数的相应方根是无理数，如2，7，35等；
②圆周率π及一些含有π的数，如2π，3π+1等；
③以无限不循环小数形式写出的数，如0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）等。
二、实数的概念
有理数和无理数统称为实数。实数可以分类如下：
三、实数与数轴的关系
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数一一对应。
四、实数范围内的有关概念
五、实数的大小比较
有理数大小比较的方法在实数范围内仍然适用。
两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个正实数，绝对值大的较大；两个负实数，绝对值大的反而小；在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。
此外，还有如下方法：
（1）通过比较两数的平方（立方）后的大小，进而确定原来实数的大小关系，如比较13与3的大小，由于（13）2=13,32=9,13＞9，故13＞3
（2）用估算的方法求无理数的近似值，然后再比较大小。
（3）利用计算器计算出它们的近似值，然后再比较大小。
六、实数的运算
在实数范围内，可以进行加、减、乘、除（除数不为零）、乘方及开立方运算，任何非负实数都可以进行开平方运算。有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用，实数混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序基本相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减。同级运算按从左到右的顺序进行，有括号先算括号里的。在实数运算中，当遇到无理数时，可运用计算器进行求值。
4.4近似数
一、近似数与准确数
与实际接近的数称为近似数；与实际情况完全符合的数叫做准确数。实际生产生活中的许多数据都是近似数。例如：测量工具，计算时间、速度所得的结果都是近似数，且由于测量工具不同，测量的精确程度也不同。在实际计算中，对于像π这样的数，也常常取它的近似数。
二、近似数的取法
对较大的数取近似值时，结果一般要用科学记数法来表示。在一些计算或测量中，我们有时需要对近似值进行处理，通常应用四舍五入法对近似数进行精确。如果结果只取整数，那么就叫做精确到个位，如π≈3.如果结果取1位小数，那么就叫做精确到十分位（或精确到0.1），如π≈3.1.如果结果取2位小数，那么就叫做精确到百分位（或精确到0.01），如π≈3.14.
注意：对于“精确到哪一位”，是指四舍五入到哪一位。如313=3.333…，若要求精确到十分位，是指四舍五入到十分位，则313≈3.3
实数
1.平方根
（1）定义:如果x2=a(a≥0),那么x叫做a的平方根
（1）一个正数有两个平方根,它们互为相反数
（2）性质 （2）0的平方根是0
（3）负数没有平方根
（3）开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方
（4）算术平方根
（1）定义:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根
（2）规定:0的算术平方根是0
（3）性质:a具有双重非负性,即a≥0,a≥0
（5）意义:
(a)2=a(a≥0)
a(a≥0)
a2=∣a∣=
-a(a＜0)
2.立方根
（1）定义:如果x3=a,那么x叫做a的立方根
（2）性质
（1）正数的立方根是正数
（2）0的立方根是0
（3）负数的立方根是负数
（3）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方
（4）意义
3a3=a
(3a)3=a
3.实数
（1）实数的分类
1.按性质
（1）正实数
（2）0
（3）负实数
2.按概念
（1）有理数
（2）无理数-----无限不循环小数
（2）实数的性质
实数范围内的相反数、倒数、绝对值意义与有理数范围内完全一样
实数与数轴上的点是一一对应关系
有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用
与有理数的运算法则、运算律相同
4.近似数
定义：接近准确数而不等于准确数的数叫做近似数
精确度：常用四舍五入法对近似数进行精确
名称
定义
表示方法
举例
性质
平方根
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根
非负数a的平方根记作“±a”，读作“正、负根号a”，其中a叫做被开方数
如4和-4的平方都等于16，那么4和-4都是16的平方根，4和-4可简记为±4
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是0本身；负数没有平方根
名称
定义
表示方法
举例
性质
开平方
求一个数的平方根的运算，叫做开平方
a（a≥0）开平方用符号“±a”表示
∵（±9）2=81，∴±81=±9
开平方是一种运算，它和平方运算是互逆的
算术平方根
（1）定义:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根
（2）规定:0的算术平方根是0
（3）性质:a具有双重非负性,即a≥0,a≥0
当a≥0时，a2=a
区别
平方根
算术平方根
定义不同
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根
非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根
个数不同
正数有两个平方根
正数的算术平方根只有一个
表示方法不同
±a
a
取值范围不同
正数的平方根一正一负，互为相反数
正数的算术平方根为正数
实数
有理数
正有理数
0 整数、有限小数或无限循环小数
负有理数
无理数
正无理数
无限不循环小数
负无理数
名称
性质
举例
相反数
若a与b互为相反数，则a+b=0
3的相反数是-3
倒数
若a与b互为倒数，则ab=1
2的倒数是12
绝对值
任何实数的绝对值都是非负数，即∣a∣≥0
a（a＞0）
∣a∣= 0（a=0）
-a（a＜0）
互为相反数的两个数的绝对值相等，即∣a∣=∣-a∣
∣2∣=∣-2∣=2