沪教版七年级第一学期同步第20讲：分式的意义、性质及综合计算（学生版+教师版）
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分式是不同于整式的另一类有理式，分式是代数式中重要的基本概念，讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分．在此基础上学习分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序．在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数，这给运算带来便利．与此同时借助对分数的认识学习分式的内容，是一种类比的认识方法，这在本章学习中经常使用．
一、分式的意义与基本性质：
1、分式的概念：两个整式、相除，即时，可以表示为．如果中含有字母，那么叫做分式，叫做分式的分子，叫做分式的分母．
在理解分式的概念时，注意以下三点：
（1）分式的分母中必然含有字母；
（2）分式的分母的值不为0；
（3）分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．
2、分式有意义的条件：
两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．例如：分式，当时，分式有意义；当时，分式无意义．
3、分式值为零的条件：
分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．
4、分式的基本性质：
分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：，()．
注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是；
②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；
③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．
二、分式的乘除：
1、分式的乘法：两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，用式子表示为：．
2、分式的乘方法则：分式乘方就是把分子、分母各自乘方．即．
3、分式的除法法则：分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘．用公式表示为：．
4、分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，有括号先算括号里的，没有括号按从左到右的顺序计算．
【注意】
1、在分式除法运算中，除式或（被除式）是整式时，可以看作分母是1的分式，然后按照分式的乘除法的法则计算．
2、要注意运算顺序，对于分式的乘除来讲，它只含同级乘除运算，而在同级运算中，如果没有附加条件（如括号等），那么就应该按照由左到右的顺序计算．
三、分式的加减：
1、同分母的分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．
2、异分母的分式加减法法则：
（1） 通分：将几个异分母的分式分别化为与原来分式的值相等的同分母分式的过程叫做通分，这几个相同的分母叫做公分母．
（2） 异分母分式加减法法则：分母不同的几个分式相加减，应先进行通分，化成同分母分式后再进行加减运算，运算结果能化简的必须化简．
四、分式的综合运算：
与分数的混合运算类似，先算乘除，再算加减，如果有括号，要先算括号内的．
一、选择题
- 代数式中分式有（ ）
A、6个 B、4个 C、3个 D、2个
【难度】★
【答案】C
【解析】，，是分式．
【总结】本题主要考查分式的概念．
- 下列判断中，正确的是（ ）
A、分式的分子一定含有字母 B、只要分式的分子为零，则分式的值为零
C、不是分式而是整式 D、只要分式的分母为零，则分式必无意义
【难度】★
【答案】D
【解析】考查分式的概念．
- 以下分式化简：（1）；（2）；（3）；
（4）．其中错误的有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
【难度】★
【答案】C
【解析】（1）（2）（3）都是最简分式，不能化简．
【总结】本题主要考查最简分式的概念以及如何化简分式．
- 不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（ ）
A、10 B、9 C、45 D、90
【难度】★
【答案】D
【解析】找5，10，3，9的最小公倍数．
【总结】本题主要考查分式的基本性质．
- 分式、、的最简公分母是（ ）
A、 B、
C、 D、
【难度】★
【答案】D
【解析】考察最简公分母的定义．
- 化简：的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
【难度】★
【答案】B
【解析】．
【总结】本题主要考查分式的约分．
- 已知：，则的值等于（ ）
A、 B、 C、 D、
【难度】★★
【答案】B
【解析】．
【总结】本题一方面考查异分母分式的加法，另一方面考查整体代入思想的运用．
- 在下列各式中：①；②；③；④．
相等的两个式子是（ ）
A、①② B、①③ C、②③ D、③④
【难度】★★
【答案】B
【解析】①； ②；
③； ④．
【总结】本题主要考查分式的约分．
- 计算的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
【难度】★★
【答案】C
【解析】．
【总结】本题主要考查分式的除法运算，注意要先分解因式．
- 化简：＋的结果是（ ）
A、 B、 C、 D、
【难度】★★
【答案】B
【解析】＋．
【总结】本题主要考查异分母分式的加法运算．
- 计算的结果是（ ）
A、 B、 C、a－b D、a＋b
【难度】★★
【答案】B
【解析】
．
另：本题也可以利用乘法分配律，不用先算括号里面的也可以计算．
【总结】本题主要考查分式的混合运算，注意按照运算法则进行计算．
- 已知，则代数式的值为（ ）
A、1999 B、2000 C、2001 D、－2
【难度】★★
【答案】D
【解析】．
【总结】本题主要考查分式的化简，分式的最终结果跟x的取值并无关系．
二、填空题
- 分式有意义的条件是_________．
【难度】★
【答案】且．
【解析】考察分式有意义的条件是分母不为0．
- 桶中装有液体纯农药升，刚好一满桶，第一次倒出8升后用水加满，第二次倒出混合药4升，则这4升混合药液中的含药量为__________升．
【难度】★
【答案】．
【解析】4升中含药百分比为．
【总结】本题主要考查的是含药量的问题，与浓度有关，可以选择性的讲解．
- 当_________时，分式的值等于1．
【难度】★
【答案】2．
【解析】，∴．
【总结】当分式的值为1时，在分式有意义的背景下，说明分子与分母相等．
- 若，则=______．
【难度】★
【答案】7．
【解析】．
【总结】当已知互为倒数的两个数的和时，它们的平方和等于和的平法减2．
- 若与互为相反数，则式子的值为__________．
【难度】★★
【答案】．
【解析】∵与互为相反数，∴，即， ∴，． ∴．
【总结】本题一方面考查分式的混合运算，一方面注意相反数的概念．
- 当x_______时，分式有意义．
【难度】★★
【答案】且．
【解析】∵且，∴且．
【总结】本题主要考查分式有意义的条件．
- 当x_______时，分式的值为零．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由题意，得：且且，所以．
【总结】本题主要考查分式值为零的条件．
- 已知：，则=_________．
【难度】★★
【答案】．
【解析】因为，所以．
【总结】本题一方面考查异分母分式的加减，另一方面考查当两个分式相等并且分母相等时， 分子也相等．
三、计算题
- 将下列分式化为最简分式：
（1）； （2）； （3）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）；
（2）；
（3）．
【总结】本题主要面考查分式的约分．
- 计算：
（1）； （2）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】本题考查分式的乘法．
- 计算：
（1） ； （2）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=．
【解析】本题主要考查分式的除法运算．
- 计算：
（1）； （2）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式=；
（2）原式=．
【解析】本题主要考查异分母分式的加减运算，注意最终结果一定要化到最简．
- 计算：
（1）；
（2）．
【难度】★★
【答案】（1）2；（2）．
【解析】（1）
；
（2）
．
【总结】本题主要考查分式的乘除运算，注意对法则的准确运用．
- 计算：
（1） ； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式
；
（2）原式
．
【总结】本题主要考查分式的混合运算，注意对法则的准确运用以及方法的选择．
- 计算：
（1） ； （2）．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）原式；
（2）原式．
【总结】本题主要考查分式的乘除运算，注意对法则的准确运用．
- 已知，，，是有理数，且，
求代数式：的值．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由题意得：，．
所以
．
【总结】本题一方面考查非负数的特性，另一方面考查分式的除法运算．
- 计算：
【难度】★★★
【答案】．
【解析】原式
．
【总结】本题主要考查分式的混合运算，注意有括号时先算括号里面的．
四、解答题
- 为何值时，分式无意义？
【难度】★
【答案】．
【解析】考查分式无意义的条件是分母为0．
- 求下列各分式有意义的条件：（1）；（2）；（3）．
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3），且，．
【解析】考查分式有意义的条件是分母不为0．
- 当为何值时，下列分式的值为0？
（1）； （2）； （3）； （4）
【难度】★
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或．
【解析】分式值为0的条件是分子为0且分母不为0．
- 若，的值扩大为原来的倍，下列分式的值如何变化？
（1）； （2）； （3）．
【难度】★
【答案】（1）不变；（2）缩小为原来的；（3）扩大为原来的3倍．
【解析】考查分式的基本性质．
- 求下列各组分式的最简公分母：
（1），，；
（2），，．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】考查最简公分母的定义．
- 把下列各式通分．
（1），，； （2），，．
【难度】★★
【答案】（1），，；
（2），，．
【解析】考查分式的基本性质．
- 求代数式的值：，其中．
【难度】★★
【答案】．
【解析】原式，
当时，原式．
【总结】本题主要考查分式的化简求值，注意符号的变化．
- 已知：，求下式的值：．
【难度】★★
【答案】．
【解析】∵，∴．
∴，，．
∴原式=．
【总结】本题主要考查分式的性质，也可以先对所求值的分式进行化简再求值．
- 已知，求的值．
【难度】★★
【答案】4144．
【解析】∵，∴．
∴．
【总结】本题综合性较强，一方面考查对原式的变形，另一方面考查立方差的运用．
- 已知：，，求证：．
【难度】★★
【答案】证明略，见解析．
【解析】∵，∴．
即．∴．
∵， ∴a、b、c均不为零．
∴．
【总结】本题综合性较强，主要还是利用了异分母分式的加减以及完全平方公式．
- 已知，求的值．
【难度】★★★
【答案】1．
【解析】原式．
又，所以原式=1．
【总结】本题一方面考查分式的混合运算，一方面考查整体代入思想的运用．
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