2021年暑假八年级数学科讲义 第11讲 角平分线的判定

       2019年暑假八年级数学科讲义

第十一讲 角平分线的判定

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[思考]角平分线上的点到角两边的距离相等，这里的条件是                                ；结论是                                               

如果将条件和结论互换，则可以得到命题 到角两边的距离相等的点在角平分线上。

那么，这个命题是真命题吗？可以证明吗？

【例1】证明如下：

已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE．

求证：点P在∠AOB的平分线上．

【例2】如图，已知BD = CD，BF⊥AC，CE⊥AB．求证：D在∠BAC的平分线上．

【例3】如图，∠CAB的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，求证：BP平分∠CBN

【例4】如图所示，BD平分∠ABC，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M、N为垂足．求证：PM=PN．

【思考】若OC为∠AOB的角平分线，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，除了可以得到DP=PE之外，还可以得到哪些角或线段之间的关系？

【例5】如图，在∠BAC的平分线上任取一点D，在AB,AC上各到一点E和F，若DE=DF，且AE＞AF,求证∠AED+∠AFD=180°

【例6】如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD=180°，求证CD=DB

【A】基础满分训练

1、如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝30°，则∠PCA＝________．

2、如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O到AB、BC、AC三边的距离相等，则∠AOC的度数为_______

3、如图所示，AB∥CD，点P是线段MN的中点，且MN⊥CD，点P到BC的距离等于，则点P应是________的平分线与________平分线的交点

4、如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，AD＝3，则点D到BC的距离是__________        

5、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是三角形的角平分线，DE⊥AB于E，下列结论错误的是（　　）

   A． BD＋DE＝BC   B． DE平分∠ADB   C． AD平分∠EDC    D． AC＝AE

6、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列结论中不正确的是（　　）

   A.  DA平分∠EDF         B． AD上任一点P到AB、AC的距离相等

   C．AE＝AF                D． AB、AC上的点到AD的距离相等

7、如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：（1）AM平分∠DAB；（2）∠DMA＝90°

【B】能力提升训练

1、如图所示，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，则结论：①△△AEG≌△△AFG；②△AED≌△AFD；③△DEG≌△DFG；④△BDE≌△CDF中正确的个数有（     ）

      A． 1个      B． 2个     C． 3个      D． 4个

2、如图，l1、l2、l3是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个加油站的位置共有（　　）

      A． 1处      B． 2处     C． 3处      D． 4处

3、如图，AE，BD是△ABM的高，AE,BD交于点C，且AE=BE，BD平分∠ABM，求证

（1）BC=2AD

（2）AB=AE+CE

（3）ED平分∠BDM

【C】创新思维训练

1、如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（-1，0），点C的坐标是（1，0），点D为y轴上一点，点A为第二象限内一动点，且∠BAC=2∠BDO，过D作DM⊥AC于M

（1）求证：∠ABD=∠ACD

（2）若E在BA的延长线上，求证:AD平分∠CAE