第6讲韦达定理推理及常见计算-人教版暑假班九年级数学上册教学案（教育机构专用）

圆梦堂文化培训学校精品班教案     第  6 讲   

1.根与系数的关系的猜想及证明

猜想：两根的和、两根的积与一元二次方程的系数a、b、c有什么关系？

结论： _____________， _____________。

证明猜想：一元二次方程   的求根公式：

●归纳：一元二次方程根与系数的关系：（由于这是数学家韦达提出并证明了的，所以后人为了纪念就把这个公式叫做韦达定理）

即：两根之和等于方程一次项系数与二次项系数的比的相反数；两根之积等于常数项与二次项系数的比。

●注意,韦达定理使用的前提：(且)

2.用到根与系数的关系的几种常见的求值

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

类型一：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况

【例1】不解方程，求一元二次方程两个根的①平方和；②倒数和。

答案：     3

【例2】不解方程，求下列方程两个根的和与积：

(1)  ；             (2)  ；           (3) ；

答案：（1）x1+x2=6， x1x2=-15

（2）x1+x2=-， x1x2=3        （3）x1+x2=， x1x2=-

【例3】求运用根与系数的关系一个一元二次方程，使它的两个根是：

答案：

1、设 是方程的两个根，则

答案：4、  1、   2x1x2、  14 、 X1+X2 、12       4

2、已知是一元二次方程的两个实数根，则的值为(    D      )

A．－1            B．9           C．23             D．27

3、已知关于的一元二次方程两根之积为12，两根的平方和为25，写出符合此条件的一个方程                        。

类型二：用韦达定理求参数的值

【例1】已知方程的两个实数根是，且，则的值为     -2      

【例2】已知关于的方程有两个实数根为，

（1）求的取值范围；

（2）若，求的值。

【例3】已知方程的两根为，当为何值时，。

答案：

1、菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO，BO的长分别是关于的方程的根，则的值为(         )A

A．－3       B．5           C．5或－3             D．－5或3

2、设是一元二次方程的两个实数根，则的值为________．答案：7

3、已知方程的两个实数根是，且,则的值为：__________ 答案：-2

4、已知关于的一元二次方程。

(1)若该方程有两个实数根，求的最小整数值；

(2)若方程的两个实数根为，且，求的值.

1.已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是－2，则这个方程是(   C    )

A．x2＋3x－2＝0              B．x2＋3x＋2＝0

C．x2－3x－2＝0             D．x2－3x＋2＝0

2.以方程的两个根的相反数为根的方程是（    B    ）

A.y2＋3y-5=0      B. y2－3y-5=0     C.y2＋3y＋5=0     D. y2－3y＋5=0

3.若α、β为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则的值为（   B   ）

A．-13 B．12 C．14 D．15

4.已知：x1，x2是方程2x2＋x－2＝0的两实根，则x12＋x22的值为（  B  ）

A．  B．  C．1 D．9

5.已知方程的两个解分别为、，则的值为___3____．

6.若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于___2028__．

7.设一元二次方程的两根为，，由求根公式可推出，，我们把这个命题叫做韦达定理．设，是方程的两根，请解决下列问题：

（1）理解：填空：          ，          ；

（2）应用：求的值；

（3）拓展：对于任意实数、，定义．若方程的两根记为、，求的值．

（1），；（2）；（3）

8.关于的一元二次方程的两个实数根分别为．

（1）求m的取值范围．

（2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值.

（1）m≤．　

（2）m=-3.

【课后作业】

1．若关于的一元二次方程的两根互为倒数，则的值等于（  B  ）

A． B． C．或 D．

2．若，是方程的两个实数根，则的值是（  A  ）

A．2019 B．-2019 C． D．2021

3．若方程的两根分别为和，则代数式：的值为（  A  ）

A． B． C． D．

4．设m、n是一元二次方程x2+5x﹣8=0的两个根，则m2+7m+2n=（    B  ）

A．-5  B．-2 C．2  D．5

5．已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是(  D   )

A． B． C． D．

6．关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（  A  ）

A． B． C．或1 D．或4

7. 已知关于的方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为___1____．

8．已知关于的一元二次方程.

（1）若该方程有两个实数根，求的最大整数值．

（2）若该方程的两个实数根为，是否存在实数k，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

（1）的最大整数值是0；（2）存在，．