2021人教版八年级数学下册暑假复习巩固提高讲义 第2讲 勾股定理(无答案)

      2020年春季八年级数学科讲义

                 第二讲  勾股定理

姓名：﹍﹍﹍﹍                            分数：﹍﹍﹍﹍

主要知识点

勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足关系式，那么这个三角形是直角三角形。

常用勾股数：(1)整数边：(3, 4, 5,)；（6, 8, 10）；（5, 12, 13）；（7, 24, 25）；（8, 15, 17）等；

   （2）含特殊角：（30°, 60°, 90°）和（45°, 45°, 90°）的三角形三边之比分别为和；

   （3）如果（a, b, c）是一组勾股数，那么（ak, bk, ck）也是一组勾股数（k为正数）

考查角度1：求第三边边长

例题1：在Rt△ABC，∠C=90°

（1）已知a：b=1：2, c=5, 求a=        。 

（2）已知b=15，∠A=30°，求a=        ，c=        。

（3）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边是             。

练习：(1)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为             。

 (2)已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为             。

（3）已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为        ，面积为          。

   （4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且CD=，如果Rt△ABC的面积为1，则它的周长为（　　）

A.     B.       C.     D.

考查角度2：利用列方程求线段的长

例题2：（1）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，DE垂直平分AB，则BE=        。

（2）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAE，ED⊥AB，则BE=        。

练习:

（1）一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ=        厘米。

    （2）如图，折叠长方形纸片ABCD，是点D落在 边BC上的点F处，折痕为AE，AB=CD=6，AD=BC=10，则EC=        。

（3）如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，则CN的长为（　　）

A.       B.         C.        D.

考查角度3：利用勾股定理求面积

例题3：（1）如图1，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，正方形A、B、C的面积分别是8 cm2、10 cm2、14 cm2，则正方形D的面积是_______cm2．

（2）如图2，阴影部分是以直角三角形的三边为直径的半圆，两个小半圆的面积和为100．则大的半圆面积是__________．

练习：（1）如图3，已知1号、4号两个正方形的面积和为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a，b，c三个方形的面积和为          

（2）如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面积是（　　）

A.        B.         C.           D.

（3）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4． 则S1+S2+S3+S4等于（　　）

A.14          B.16              C.18                      D.20

（4）四边形ABCD中，∠ABC+∠DCB=90°，E、F分别是AD、BC的中点，分别以AB、CD为直径作半圆，这两个半圆面积的和为8π，则EF的长等于（　　）

A.10               B.8                        C.6                    D.4

（5）梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，则CD=（　　）

A.2.5AB             B.3AB                C.3.5AB             D.4AB

考查角度4：最短问题

例题4：（1）如图，一块长方体砖宽AN＝5 cm，长ND＝10 cm，CD上的点B距地面的高BD＝8 cm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，需要爬行的最短路径是            。

（2）如图，一透明的直圆柱状的玻璃杯，由内部测得其底部半径为3㎝，高为8㎝，今有一支12㎝的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度至少为       m

（2）如图，圆柱底面半径为cm，高为9cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（　　）

A.12cm           B.             C.15cm            D.

练习：（1）如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（　　）

A.1种          B.2种         C.3种            D.4种

（2）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（　　）

A.        B.        C.       D.

（3）如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（　　）

A.3            B.            C.            D.4

（4）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是　　　　尺．

考查角度5：灵活应用

例题5：（1）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②DE长度的最小值为4；③四边形CDFE的面积保持不变；④△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（　　）

A.①②③                  B.①③                C.①③④        D.②③④

（2）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA6的长度为　　　　　　．

练习：（1）如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下落了（　　）

A.0.9米              B.1.3米             C.1.5米             D.2米

（2）如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2012的坐标为　　　　　　．

（3）如图，△ABC中，∠C=45°，点D在AB上，点E在BC上．若AD=DB=DE，AE=1，则AC的长为（　　）

A.           B.2              C.             D.