第13讲二次函数解析式的求法-人教版暑假班九年级数学上册教学案（教育机构专用）

   第  13  讲   

1．二次函数解析式的三种常见形式

二次函数的解析式有三种常见形式：

    ①_________：（a，b，c是常数，a≠0）；

    ②_________：（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；

    ③_________： （a，b，c是常数，a≠0）；

2．待定系数法求二次函数解析式

用待定系数法求二次函数的解析式．

   在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，

   从而代入数值求解．

一般地，当已知抛物线上三点时，常选择________，用待定系数法列三元一次方程组来求解；

当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为________来求解；

当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为_______来求解．

参考答案：

        1.①一般式；②顶点式；③交点式

        2. 一般式 顶点式  交点式

知识点一：图像法判断二次函数解析式．

【例1】抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（　D　）

A．y=x2﹣x﹣2     B．y=﹣x2﹣x+2     C．y=﹣x2﹣x+1    D．y=﹣x2+x+2

1、已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（　 B　）

A．y=x2﹣2x+3   B．y=x2﹣2x﹣3   C．y=x2+2x﹣3     D．y=x2+2x+3

知识点二：一般式求二次函数解析式．菁

【例1】如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数与二次函数的图象上．

（1）求的值和二次函数的解析式．

（2）请直接写出使时自变量的取值范围．

解：（1）由于A（﹣1，0）在一次函数y1=﹣x+m的图象上，得：﹣（﹣1）+m=0，即m=﹣1；

已知A（﹣1，0）、B（2，﹣3）在二次函数y2=ax2+bx﹣3的图象上，则有：

，解得；∴二次函数的解析式为y2=x2﹣2x﹣3；

（2）由两个函数的图象知：当y1＞y2时，﹣1＜x＜2．

1.已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点（2，0）、（﹣1，6）

（1）求二次函数的解析式；

（2）不用列表，在下图中画出函数图象，观察图象写出y＞0时，x的取值范围．

解：（1）∵y=ax2+bx的图象经过点（2，0）、（﹣1，6）；

∴，解得；∴二次函数的解析式为y=2x2﹣4x．

（2）如图；由图可知：当y＞0时，x＞2或x＜0．

知识点二：菁待定系数法求二次函数解析式．

【例1】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．

解：（1）∵二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），

∴设二次函数解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，

把点B（3，0）代入二次函数解析式，得0=4a﹣4，解得a=1，

∴二次函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3；

（2）令y=0，得x2﹣2x﹣3=0，解方程，得x1=3，x2=﹣1．

∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（﹣1，0），

∴二次函数图象上的点（﹣1，0）向右平移1个单位后经过坐标原点．

故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为（4，0）．

【例2】已知二次函数的图象经过点（0，3），（﹣3，0），（2，﹣5），且与x轴交于A、B两点．

（1）试确定此二次函数的解析式；

（2）判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由．

解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c；

∵二次函数的图象经过点（0，3），（﹣3，0），（2，﹣5），则有：

，解得；

∴y=﹣x2﹣2x+3．

（2）∵﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=﹣4+4+3=3，

∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上，

∵﹣x2﹣2x+3=0，   ∴x1=﹣3，x2=1；

∴与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0），∴S△PAB=×4×3=6．

【例3】抛物线y=ax2+12x﹣19顶点横坐标是3，则a=　　．

解：∵抛物线的顶点横坐标是3，∴﹣=﹣=3，解得，a=﹣2．

 1.已知二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点A（0，﹣6），与x轴的一个交点坐标是B（﹣2，0）．

（1）求二次函数的关系式，并写出顶点坐标；

（2）将二次函数图象沿x轴向左平移个单位长度，求所得图象对应的函数关系式．

解：（1）依题意，有：

，解得；

∴y=x2﹣x﹣6=x2﹣x+﹣=（x﹣）2﹣；∴抛物线的顶点坐标为（，﹣）．

（2）由（1）知：抛物线的解析式为y=（x﹣）2﹣；

将其沿x轴向左平移个单位长度，得：y=（x﹣+）2﹣=（x+2）2﹣．

 2.已知二次函数图象的顶点是（﹣1，2），且过点．

（1）求二次函数的表达式，并在图中画出它的图象；

（2）求证：对任意实数m，点M（m，﹣m2）都不在这个二次函数的图象上．

3.已知抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣的顶点的横坐标是2，则m的值是　　．

解：∵抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣的顶点的横坐标是2，

∴=2；

解得m=﹣3，        故答案为：﹣3．

1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（　　）

A．y=2（x+1）2+8  B．y=18（x+1）2﹣8    C．y=（x﹣1）2+8   D．y=2（x﹣1）2﹣8

2．如图，抛物线的函数表达式是（　　）

A．y=x2﹣x+2      B．y=x2+x+2       C．y=﹣x2﹣x+2     D．y=﹣x2+x+2

3．由表格中信息可知，若设y=ax2+bx+c，则下列y与x之间的函数关系式正确的是（　　）

A．y=x2﹣4x+3 B．y=x2﹣3x+4 C．y=x2﹣3x+3 D．y=x2﹣4x+8

4．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：

则该二次函数的解析式为　　　　　　．

5.经过A(4，0)，B(－2，0)，C(0，3)三点的抛物线的解析式是    。

6. 已知二次函数的图象经过点（0，3），（﹣3，0），（2，﹣5），且与x轴交于A、B两点．

（1）试确定此二次函数的解析式；

（2）判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由．

【课后作业】

1．如果抛物线y=x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（　　）

A．8           B．14          C．8或14       D．﹣8或﹣14

2．抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为（﹣1，0），（3，0），其形状与抛物线y=﹣2x2相同，则y=ax2+bx+c的函数关系式为（　　）

A．y=﹣2x2﹣x+3   B．y=﹣2x2+4x+5 C．y=﹣2x2+4x+8   D．y=﹣2x2+4x+6

3．函数y=ax2（a≠0）的图象经过点（a，8），则a的值为（　　）

A．±2           B．﹣2         C．2           D．3

4．已知二次函数图象经过（1，0），（2，0）和（0，2）三点，则该函数图象的关系式是　　　　　　．

5．已知抛物线经过点A（﹣1，5），B（5，5），C（1，9），则该抛物线上纵坐标为9的另一点的坐标是　　　　　　．

6．抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线y=2上，则a=　　　　　　．

7．已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，﹣2），求这个二次函数的关系式．

8．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．

9．已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，当x≥0时，其图象如图所示．

（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；

（2）画出抛物线y=ax2+bx+c当x＜0时的图象；

（3）利用抛物线y=ax2+bx+c，写出x为何值时，y＞0．

参考答案：

高分秘诀

1.故选D．

2．【解答】解：根据题意，设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，

抛物线过（﹣1，0），（0，2），（2，0），

所以，

解得a=﹣1，b=1，c=2，

这个二次函数的表达式为y=﹣x2+x+2．

故选D．

3．【解答】解：将x=1，ax2=1，代入y=ax2，得a=1．

将x=﹣1，a=1分别代入ax2+bx+c=8，得1﹣b+c=8，

将x=0，a=1分别代入ax2+bx+c=3，得c=3，

则b=﹣4，

∴函数解析式是：y=x2﹣4x+3．

故选A．

4． 【解答】解：由于二次函数经过（﹣1，﹣2）、（0，﹣2）、（1，0），则有：

，解得；

∴该二次函数的解析式为y=x2+x﹣2．

5．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c；

∵二次函数的图象经过点（0，3），（﹣3，0），（2，﹣5），则有：

，

解得；

∴y=﹣x2﹣2x+3．

（2）∵﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=﹣4+4+3=3，

∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上，

∵﹣x2﹣2x+3=0，

∴x1=﹣3，x2=1；

∴与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0），

∴S△PAB=×4×3=6．

家庭作业

1． 【解答】解：根据题意=±3，

解得c=8或14．故选C．

2．【解答】解：根据题意a=﹣2，

所以设y=﹣2（x﹣x1）（x﹣x2），

求出解析式y=﹣2（x+1）（x﹣3），

即是y=﹣2x2+4x+6．

故选D．

3．【解答】解：把点（a，8）代入y=ax2，得a3=8，

∴a=2．故选C．

4．【解答】解：设：函数的解析式是：y=ax2+bx+c，

把（1，0），（2，0）和（0，2）三点的坐标代入得到：，

解得：，因而函数的解析式是：y=x2﹣3x+2．

5．【解答】解：由A（﹣1，5），B（5，5）知对称轴是x=2

C点与纵坐标为9的另一点关于x=2对称

因而这点的横坐标是3，点的坐标是（3，9）

故该抛物线上纵坐标为9的另一点的坐标是（3，9）．

6．【解答】解：因为抛物线的顶点坐标为（﹣，）

所以=2

解得：a1=2，a2=﹣1

又因为要有意义

则a≥0

所以a=2．

7．【解答】解：设这个二次函数的关系式为y=a（x﹣1）2﹣2，

∵二次函数的图象过坐标原点，

∴0=a（0﹣1）2﹣2     解得：a=2

故这个二次函数的关系式是y=2（x﹣1）2﹣2，即y=2x2﹣4x．

8．【解答】解：（1）∵二次函数图象的顶点为A（1，﹣4），

∴设二次函数解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，

把点B（3，0）代入二次函数解析式，得：

0=4a﹣4，解得a=1，

∴二次函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3；

（2）令y=0，得x2﹣2x﹣3=0，解方程，得x1=3，x2=﹣1．

∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（﹣1，0），

∴二次函数图象上的点（﹣1，0）向右平移1个单位后经过坐标原点．

故平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为（4，0）．

9．【解答】解：（1）依题意可设此二次函数的表达式为y=a（x+1）2+2，

又点（0，）在它的图象上，

所以=a+2，解得，，

所求为y=﹣（x+1）2+2，或y=﹣x2﹣x+．

令y=0，得x1=1，x2=﹣3，

画出其图象；

（2）证明：若点M在此二次函数的图象上，

则﹣m2=﹣（m+1）2+2，

得m2﹣2m+3=0，

方程的判别式：4﹣12=﹣8＜0，该方程无实根，

所以，对任意实数m，点M（m，﹣m2）都不在这个二次函数的图象上．