第9讲一元二次方程的应用（3）-人教版暑假班九年级数学上册教学案（教育机构专用）

圆梦堂文化培训学校精品班教案    第  9  讲    

1、列一元二次方程解应用题的一般步骤：

与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。

（1）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；

（2）找：找出等量关系；

（3）列：列出一元二次方程；

（4）解：求出所列方程的解；

（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；

类型一：利润问题公式：

总利润=（售价-进价）×销量

【例1】某网店以每件40元的价格购进一批商品,若以60元销售,每月可售出300件.调查表明:单价每上涨2元,该商品每月的销售量就减少5件,若价格合理被接受,且利润为10000元,则该商品应涨价多少元?

　设涨价x元时,利润为10 000元,

由题意得(60-40+x)(300-x)=10 000,

解得x1=20,x2=80(舍去).

答:涨价20元时,可使利润为10 000元.

【例2】某商店将进价为8元的商品按每件10元售出,每天可售出200件,现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润,如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件,问应将每件售价定为多少元时,才能使每天利润为640元?

解:设售价为元,根据题意列方程得(x-8)(200-×10)=640,整理得(x-8)(400-20x)=640,即x2-28x+192=0,解得x1=12,x2=16.

故将每件售价定为12或16元时,才能使每天利润为640元.

又题意要求采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润,

故应将商品的售价定为16元.

【例3】小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元.按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元.请问她购买了多少件这种服装？

解：设购买了x件这种服装，根据题意，得[来源:Z+xx+k.Com]

  [80-2(x-10)]x=1 200.

  解得x1=20，x2=30.

  当x=30时，80-2(30-10)=40＜50,不合题意，舍去.

  ∴x=20.

  答：她购买了20件这种服装.

1．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施．在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．

(1)若降价3元，则平均每天的销售数量为________件．

(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1 200元？

(1)26　(2)当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1 200元．

2．某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后为324元/件，并且两次降价的百分率相同．

(1)求该种商品每次降价的百分率．

(2)若该种商品的进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3 210元，问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？

(1)该种商品每次降价的百分率为10%.

(2)为使两次降价销售的总利润不少于3 210元，第一次降价后至少要售出该种商品23件．

3.将进价为40元的商品按50元的价格出售时，能卖出500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？

 解：设每件商品涨x元依题意列方程得

 （50-40+x）(500-10x)=8000

 解得X1=10 x2=30(考虑到促销应舍去)

 答每件商品就定价为50+10=60元

类型二：围圈问题

【例1】 借助一面长6米的墙，用一根13米长的铁丝围成一个面积为20平方米的长方形，求长方形的两边？

 解：设长方形的一边为x，则另一边为依题意列方程得

  X()=20或x(13-2x)=20

 解得X1=5 x2=8(不符合题意舍去)

 当一边长为5米时，另一边为4米

【例2】 如图所示，利用22米长的墙为一边，用篱笆围成一个长方形养鸡场，中间用篱笆分割出两个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形的面积为96平方米，问和边各应是多少？  

1.公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图),原空地一边减少了1 m,另一边减少了2 m,剩余空地的面积为18 m2,求原正方形空地的边长.设原正方形空地的边长为 m,则可列方程为(　C　)

A. (x+1)(x+2)=18        B. x2-3x+16=0         C. (x-1)(x-2)=18        D.x2+3x+16=0

2.用13 m的铁丝网围成一个长边靠墙,面积为20 m2的长方形,求这个长方形的长和宽,设平行于墙的一边为m,可得方程为(　B　)

1. (13-)=20        B.(13-)=20     C.(13-)=20     D.

3.如图,若要建一个长方形鸡场,鸡场的一边靠墙,墙对面有一个2米宽的门,另三边用竹篱笆围成,篱笆总长33米.

(1)若墙长为18米,要围成鸡场的面积为150平方米,则鸡场的长和宽各为多少米?

(2)围成鸡场的面积可能达到200平方米吗?

4.如图,一块长5米宽4米的地毯,为了美观设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分),已知配色条纹的宽度相同,所占面积是整个地毯面积的.

(1)求配色条纹的宽度;

(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元,其余部分每平方米造价100元,求地毯的总造价.

解:(1)设条纹的宽度为x米.依题意,得

 2x×5+2x×4-4x2=×5×4.

解得x1=(不符合,舍去),x2=.

(2)条纹造价:×5×4×200=850(元).其余部分造价:(1-)×4×5×100=1 575(元).

∴总造价为850+1 575=2 425(元).

1.如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m),现在已备足可以砌50 m长的墙的材料.若设计一种砌法,使矩形花园的面积为300 m2,则AB的长度为(　B　)

1. 10 m       B. 15 m        C. 10 m或15 m        D. 12.5 m

2.一幅长20 cm、宽12 cm的图案,如图,其中有一横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为3∶2.若图案中三条彩条所占面积是图案面积的,则横彩条的宽为　3 cm　,竖彩条的宽为　2 cm　. 

3.利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。

（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；

（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元。

(1)60吨

（2）200

4.某商店从厂家以21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖(350-10a)件，但物价局限定每件加价不能超过进价的20%.商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价为多少元？

解：由题意，得(a-21)(350-10a)=400，

  解得a1=25，a2=31.

  ∵物价局限定每件加价不能超过进价的20%，

  ∴商品的售价不超过25.2元.∴a=31不合题意，舍去.

  答：每件商品的售价为25元，需要卖出100件.

【课后作业】

1.用10米长的铝材制成一个矩形窗框,使它的面积为6平方米,若设它的一条边长为x米,则根据题意可列出关于x的方程为(　 B  　)

A. x(5+x)=6      B. x(5-x)=6         C. x(10-x)=6         D. x(10-2x)=6

2.小萍要在一幅长60 cm、宽40 cm的风景画的四周外围,镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂画(如图),使风景画的面积是整幅挂图面积的54%.设金色纸边的宽为cm,根据题意所列方程为                                  

4.商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，已知这种衬衫每件降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场要想平均每天盈利1200元，那么每件衬衫应降价多少元？

 解：设每件衬衫应降价x元依题意列方程得

  （20+2x）(40-x)=1200

 解得X1=20 x2=10(考虑到促销应舍去)

 答每件衬衫应降价20元

5.合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“十·一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？

设降价x元。

6.如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB,BC各为多少米?

设

             BC=20，AB=20