第3讲一元二次方程的解法（2）-人教版暑假班九年级数学上册教学案（教育机构专用）

  第 3 讲   

1.一元二次方程的判别式

一般地，式子       叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示．当Δ＞0时，方程有  2个不等  的实数根；当Δ＝0时，方程有   2个相等    实数根；当Δ＜0时，方程    无    实数根．

2.用公式法解一元二次方程

解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式＝        (b2－4ac≥0)，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．

类型一：利用根的判别式判别一元二次方程根的情况

【例1】一元二次方程x2－2x＝0根的判别式的值为(  A  )

A．4      B．2          C．0     D．－4

【例2】下列方程有两个相等的实数根的是(   C   )

A．x2＋x＋1＝0      B．4x2＋2x＋1＝0      C．x2＋12x＋36＝0     D．x2＋x－2＝0

【例3】说明不论ｋ取何值，关于x的方程x2＋(2ｋ＋１)x＋ｋ－１＝0总有两个不相等的实根.

恒成立，所以该一元二次方程总有两个不等的实数根。

【例4】已知关于x的方程有实数根，

（1）求m的取值范围；

①该方程为一元一次方程时，。

②该方程为一元二次方程时，

综上所述，

（2）m为何值时，方程有两个相等的实数根，并求出这两个根。

1.一元二次方程x2－3x＋4＝0的根的情况是( C )

A．有两个不相等的实根     B．有两个相等的实根     C．无实数根     D．不能确定

2.已知关于x的一元二次方程x2＋2x－(m－2)＝0有实数根，则m的取值范围是( C )

A．m>1         B．m<1         C．m≥1         D．m≤1

3.如果关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ D   ）

A．k＜   B．k＜且k≠0  C．－≤k＜  D．－≤k＜且k≠0

4.已知一元二次方程x2－3x＋k＝0有两个相等的实数根，则k＝    ．

5.ｋ取什么值时，关于x的方程4x2-(ｋ＋2)x＋ｋ－１＝0有两个相等的实数根？求出这时方程的根.

时，方程的根为

时，方程的根为

类型二：公式法解一元二次方程

求根公式的推导

问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0），试推导它的两个根x1=，x2=(这个方程一定有解吗?什么情况下有解？)

【例1】 用公式法解方程x2＋2x－5＝0，分步填空：

(1)a＝  1  ，b＝  2  ，c＝  -5  ；

(2)b2－4ac＝ 9  ；

(3)x＝       ；

(4)x1＝        ，x2＝        ．

【例2】用公式法解下列方程：

(1)2x2－3x＋1＝0；            (2)1－x＝3x2；                (3)x2－3x＋1＝0.

【例3】关于x的一元二次方程(a＋1)x2－4x－1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是(  B )

A．a>－5        B．a>－5且a≠－1          C．a<－5          D．a≥－5且a≠－1

【例4】已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋a－2＝0.

(1)若该方程的一个根为－2，求a的值及该方程的另一个根；

(2)证明：无论a取何值，方程都有两个不相等的实根

（1），方程的另一个根为-2

（2）恒成立，所以无论a取何值，方程都有两个不等实数根。

1.用公式法解下列方程．

（1）2x2-x-1=0     （2）x2+1.5=-3x        (3) x2-x+ =0       （4）4x2-3x+2=0

2.一元二次方程x2－x－2＝0的解是(  D)

A．    B．      C．   D．

3.某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m-2）x-1=0提出了下列问题：

 若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．

 ，方程可整理为：

4.已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0(m≠0)．

(1)求证：方程总有实数根；

(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．

（1）因为，所以方程总有实数根。

(2)∵x＝＝，

∴x1＝＝1，x2＝＝.

∵方程的两个实数根都是整数，

∴是整数．    ∴m＝±1或m＝±2.

又∵m是正整数，∴m＝1或2.

1.已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b的值可以是(C)

A．b＝－3       B．b＝－2         C．b＝－1           D．b＝2

2.若关于x的方程x2＋2x－3＝0与＝有一个解相同，则a的值为(   C  )

A．1         B．1或－3          C．－1          D．－1或3

3.已知关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（  C  ）

A.a≤1      B. a<1     C. a≤1且      D. a≥1

4.若关于x的方程x2+2(k-1)x+k2=0有实数根，则k的取值范围是        （  B   ）

  A.    B.     C.     D. k≥

5.已知关于x的方程x2＋(1－m)x＋＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是  0  ．

6.若关于x的方程kx2－2x－1＝0有实数根，则实数k的取值范围是        ．

7.用公式法解一元二次方程：

(1)－3x2－2x＋2＝0；            (2)x2＋10＝2x；             (3)x(x－4)＝2－8x.

8.三角形两边长分别是6和8，第三边长是x2-16x+60=0的一个实数根，求该三角形的第三条边长。

6或10

【课后作业】

1.关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是（  D   ）

A．0        B．8         C．4±2       D．0或8

2.下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（  D  ）

（A）          （B）

（C）     （D）

3．已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx-c（1-x2）=0的两根相等，则△ABC为（ C  ）

    A．等腰三角形      B．等边三角形       C．直角三角形      D．任意三角形

4．不解方程，判断所给方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数根的方程有（  B   ）

    A．0个     B．1个     C．2个     D．3个

5.用公式法解方程4x2-12x=3，得到（  B   ）．

A．x=     B．x=     C．x=     D．x=

6.方程x2+4x+6=0的根是（  D  ）．

A．x1=，x2=       B．x1=6，x2=     C．x1=2，x2=       D.

7.关于x的一元二次方程（m-2）x2+（2m—1）x+m2—4=0的一个根是0，则 m的值是（  B  ）

 A、2      B、—2    C、2或者—2    D、

8.若关于x的方程有实数根，则k的非负整数值是  1或0   

9.利用公式法解下列方程。

(1)－3x 2＋22x－24＝0         (2) 2x（x－3）=x－3．       (3)3x2+5(2x+1)=0

10.已知，当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？

当有2个不相等的实数根。