沪教版(上海)八年级上册暑假班讲义 第十八章 第二 节 正反比例函数综合-学生版

 正、反比例函数是八年级数学上学期第十八章内容，主要对正、反比例函数的图像及性质综合题型进行讲解，重点是正、反比例函数性质的灵活运用，难点是数形结合思想的应用的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习一次函数的应用提供依据．

一、    正比例函数

 1、如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量x、y成正比例，就是，或表示为，k是不等于零的常数．

 2、解析式形如（k是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数； 正比例函数的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式．

 3、一般地，正比例函数（k是常数，k≠0）的图象是经过（0，0），（1，k）这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线．

4、正比例函数图像的性质：

（1）当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y值也随着逐渐增大．

（2）当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y值也随着逐渐减小．

二、    反比例函数

 1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例，用数学式子表示两个变量x、y成反比例，就是，或表示为，其中k是不等于零的常数.

2、   解析式形如（k是常数，）的函数叫做反比例函数，其中k也叫做比例

系数．反比例函数的定义域是不等于零的一切实数．

 3、反比例函数的图像：按照作函数图像的一般步骤，通过列表、描点、连线，来画反比例函数（k是常数，k≠0）的图像.反比例函数（k是常数，k≠0）的图像叫做双曲线，它有两支．

 4、反比例函数图像的性质：

（1）当k>0时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小；

（2）当k<0时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大；

（3）图像的两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交．

【例1】        函数中，自变量x的取值范围是________________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例2】        函数与的图像的交点坐标是_______________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例3】        已知，，则_____________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例4】        函数的图像经过第二、四象限，则的图像不经过_____________象限．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例5】        已知直线与双曲线的一个交点A的坐标为；则=_________；

=_______；它们的另一个交点坐标是___________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例6】        若与z成正比例关系，z与成反比例关系，则y与成___________关系．

【难度】★

【答案】

【例7】        正比例函数的图像经过点A（1，）和点B（，），反比例函数

的图像经过点B，则此反比例函数的解析式为_____________________．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例8】        直线OA与反比例函数的图象在第一象限交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝_________．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例9】        若直线与双曲线在同一坐标系内的图像无交点，则、的关系是___________．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例10】     若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（  ）

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例11】     直线与双曲线交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM，若=2，则k的值是（                 ）．

A．    B．  C．  D．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例12】     函数的图像经过，则下列各点中在图像上的是（ ）

 A．  B．  C．  D．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例13】     点A、B（2，a）在反比例函数图像上，求点B同时在正比例函数图像上．

（1）求这个反比例函数的解析式；

（2）求a的值及这个正比例函数的解析式．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例14】     已知正比例函数和反比例函数的图象相交于点A（，）和（，）两点，求：（1）这两个函数解析式；（2）的值．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例15】     已知正比例函数和反比例函数的图像都经过A（，），

求：（1）的值；（2）正比例函数的解析式；（3）求出它们的交点坐标．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例16】     已知直线与双曲线的一个交点A的坐标为．求和的值，并求另一个交点的坐标．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例17】     已知正比例函数与反比例函数的图象的一个交点的横坐标是2，求反比例函数的解析式．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例18】     已知正比例函数与反比例函数的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标是1，求的值和两个函数解析式．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例19】     已知，其中与x成反比例，与x成正比例，且当时，，当时，，求：

（1）y与x的函数解析式；

（2）当时，y的值．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例20】     已知：，与成正比例，与x成反比例，且当和时，的值都是2，求和之间的函数关系式．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例21】     已知，与成正比例，与x成反比例，且当时，；当时，．求和之间的函数关系式．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例22】     已知正反比例函数的图像相交于A、B两点，过第二象限的点A作AH⊥x轴，点A的横坐标为，且，点B()在第四象限．

 （1）求这两个函数解析式；

 （2）求出它们的交点坐标．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例23】     点P是反比例函数上的一点，PA⊥x轴，PB⊥y轴，垂足分别为A、B，矩形PAOB的面积为5（O为坐标原点），求反比例函数的解析式．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例24】     反比例函数和正比例函数的图像都经过点A(，m)；

（1）求出正比例函数的解析式。

（2）请直接写出当时自变量的取值范围．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例25】     已知：反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于A、B两点，若点A在第二象限，且点A的横坐标为-3，且AD⊥x轴，垂足为D，△AOD的面积是4．

（1）          写出反比例函数的解析式；

（2）          求出点B的坐标；

（3）          若点C的坐标为（6，0），求△ABC的面积．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例26】     已知：如图，点P是一个反比例函数与正比例函数的图象的交点，PQ垂直于x轴，垂足Q的坐标为（2，0）．

（1）求这个反比例函数的解析式；

（2）如果点M在这个反比例函数的图象上，且△MPQ的面积为6，求点M的坐标．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例27】     如图，、都是等腰直角三角形，点、在函数()的图像上，斜边、都在轴上，则点的坐标为_________．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例28】     如图，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，4），四边形OABC为矩形，反比例函数的图像过AB的中点D，且和BC相交于点E，F为第一象限的点，AF=12，CF=13．

（1）求反比例函数和直线OE的函数解析式；

（2）求四边形OAFC的面积．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例29】     两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：

 ①△ODB与△OCA的面积相等；

 ②四边形PAOB的面积不会发生变化；

 ③PA与PB始终相等；

 ④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．

 其中一定正确的是________．（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例30】     已知：如图正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点

（3，2）．

（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；

（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？

（3）探索：在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【习题1】   已知一个正比例函数与一个反比例函数的图像交于点，则该反比例函数的解析式是________________，它们的另一个交点坐标为________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题2】   y与3x成正比例，当x=8时，y=－12，则y与x的函数解析式为___________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题3】   已知正比例函数和反比例函数的图象相交于点A（–3，4）和（3，a）两点，（1）求这两个函数解析式；（2）求a的值．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题4】   已知一个反比例函数的图像与正比例函数的图像相交于点A（a，6），求这个反比例函数的解析式．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题5】   如图，已知正比例函数和反比例函数的图像交于点A（m，-2）．

（1）          求反比例函数的解析式；

（2）          观察图像，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时，自变量x的取值范围．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题6】   正比例函数与反比例函数的图像交于A、C两点，AB⊥轴于B，CD⊥x轴于D，则＝________．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题7】   已知，与成正比例，与成反比例，当x=－1时，y=3；当x=2时，y=－3；

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当时，求y的值．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题8】   如图，已知：正比例函数的图像与反比例函数的图像交于M（a，1），MN⊥x轴于点N，若△OMN的面积等于2，求这两个函数的解析式．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【作业1】   已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点A（）．求此正比例函数的解析式．

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业2】   正比例函数和反比例函数的图像都经过横坐标为2的点P，求这两个函数的解析式和点P的坐标．

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业3】   已知，与成反比例，与成正比例，并且x = 2时，y = -6；x = 1时，y = 2；（1）求y与x的函数解析式；（2）并求当x=－2时，y的值．

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业4】   已知，与成正比例，与成反比例，当x=4时，y的值为3；当x=1时，y的值为，求当x=9时，y的值．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业5】   已知反比例函数的图像过点A（2，n）．

（1）求过点A的正比例函数的解析式；

（2）画出正比例函数图像；

（3）求过点A关于y轴对称的点B的反比例函数的解析式．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业6】   过原点的一条直线与反比例函数的图像分别交于A、B两点．若A点的坐标为（a，b），则B点的坐标为（                            ）

A、（a，b）  B、(b，a)  C、(-b，-a)  D、(-a，-b)

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业7】   正比例函数与反比例函数的图像交于A、B两点，点A在第一象限，过点A作AC⊥x轴于点C，求△BOC的面积．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业8】   如图，正比例函数与反比例函数的图像交于A、B两点，且直线AB与x轴的夹角是60°，OA=2．

 （1）求正比例函数和反比例函数的解析式．

 （2）若把直线AB绕原点逆时针旋转30°，请直接写出旋转后的直线与反比例函数的              交点坐标．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【作业9】   已知：如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点．

（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；

 （2）根据图像回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数              的值？

 （3）是反比例函数图像上的一动点，其中，过点作直线轴， 交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形

 的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．

【难度】★★★

【答案】

【解析】