沪教版(上海)八年级上册暑假班讲义 一元二次方程的应用（二）-学生版

列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．

1、数字问题：

对于数的应用题主要是要知道数的表示．

例如：一个三位数个位、十位、百位分别为x 、y、 z，那么这个三位数则可以表示为

．

【例1】        已知两个连续奇数的积是，求这两个数．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例2】        有一个两位数等于其数字之积的2倍，其十位数字比个位数字小3，求这个两位数．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例3】        有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得，求原来的两位数．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例4】        一个两位数是一个一位数的平方，把这个一位数放在这个两位数的左边所成的三位数，比把这个一位数放在这个两位数的右边所成的三位数大，求这个两位数．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

2、增长率问题

 基本公式：，

 表示增长前的数，表示增长率，表示增长后的数，要列出这类方程关键在于找出、．如果是降低率，则为．

【例5】        甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为元的商品，甲超市连续两次降价；乙超市一次性降价；丙超市第一次降价，第二次降价，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市是哪家？

【难度】★

【答案】

【解析】

【例6】        某钢铁厂去年月份钢的产量为吨，月份上升到吨，求这两个月平均每月增长的百分率是多少？

【难度】★

【答案】

【解析】

【例7】        某商场今年一月份销售额万元，二月份销售额下降，进入月份该商场采取措施，改革营销策略，使日销售额大幅上升，四月份的销售额达到万元，求三、四月份平均每月销售额增长的百分率．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例8】        某工厂月份产品数是万件，要求第1季度总产品数达到万件，若每月平均增长率相同，求该工厂每月的平均增长率．（只列方程不求解）

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例9】        某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？

【难度】★★★

【答案】

【解析】

3、利润问题：

总利润单件利润总件数；                 

总利润总售价总成本价．

根据公式想办法将降价后的利润以及降价后能售出的件数表示出来即可．

【例10】     某商店购进一种商品，进价元．试销中发现这种商品每天的销售量 (件)与每件的销售价 (元)满足关系：，若商店每天销售这种商品要获得元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？

【难度】★

【答案】

【解析】

【例11】     某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为只，且每日产出的产品全部售出，已知生产只熊猫的成本为（元），售价每只为（元），且、与的关系式分别为，．

（１）        当日产量为多少时每日获得的利润为元？

（２）        若可获得的最大利润为元，问日产量应为多少？

【难度】★

【答案】

【解析】

【例12】     某商场销售一批衬衫，进货价为每件元，按每件元出售，一个月内可售出件．已知这种衬衫每件涨价元，其销售量要减少件．为了减少库存量，且在月内赚取元的利润，售价应定为每件多少元？

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例13】 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．现该商品要保证每天盈利元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例14】               服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出件，每件盈利元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现，如果每件童装每降价元，那么平均每天就可多售出件．要想平均每天在销售这种童装上盈利元，那么每件童装应降价多少元？

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例15】               商场某种新商品每件进价是元，在试销期间发现，当每件商品售价为元时，每天可销售件，当每件商品售价高于元时，每涨价元，日销售量就减少件．据此规律，请回答：

（1）每件商品售价定为元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？

（2）在上述条件不变、商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到元？

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例16】          某汽车销售公司月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出辆汽车，则该汽车的进价为万元；每多售出辆，所有售出的汽车的进价均降低万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在辆以内（含辆），每辆返利万元，销售量在辆以上，每辆返利万．

（1）若该公司当月售出辆汽车，则每辆汽车的进价为    万元；

（2）如果汽车的售价为万元/辆，该公司计划当月盈利万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）

【难度】★★★

【答案】

【解析】

4、几何面积问题：

 对于面积问题首先判断要求面积的图形的形状，再根据公式将要求出的量用表示出来．例如要求的某个长方形面积，就必须先把长和宽表示出来．

【例17】     一个直角三角形的两条直角边的和是,面积是，两条直角边的长分别是­­­____________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例18】     一个菱形两条对角线长的和是，面积是，菱形的周长

是­­________．（结果保留根号）

【难度】★

【答案】

【解析】

【例19】     若把一个正方形的一边增加，另一边增加，得到的矩形面积的倍比正方形的面积多，则原正方形的边长为______．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例20】     如图，有一面积是平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长米），墙对面有一个米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长米．求鸡场的长和宽各多少米？ 

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例21】     如图，在宽为 ，长为的矩形地面上修建两条同样宽且互相垂直的道路，其余部分作为耕地为．则道路的宽为是      ．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例22】     台门中学为美化校园，准备在长米，宽米的长方形场地上，修筑若干条道路，余下部分作草坪，并请全校学生参与图纸设计．现有三位学生各设计了一种方案（图纸如下图），问三种设计方案中道路的宽分别为多少米？

（1）甲方案图纸为图1，设计草坪总面积平方米．

【难度】★★

【答案】

【解析】

（2）乙方案图纸为图，设计草坪总面积平方米．

【难度】★★

【答案】

【解析】

（3）丙方案图纸为图，设计草坪总面积平方米．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例23】                    如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动，如果、分别是从同时出发，求经过几秒时，

①的面积等于平方厘米？

②五边形的面积最小？最小值是多少？

【难度】★★★

【答案】

【解析】

传播问题

5、传播问题

 （1）送贺卡原则是我送你一张你也要送我一张，所以对于每个人都送出去了张，总共有个人所以列式为；

 （2）而握手以及单循环比赛是不重复进行的，但我们可以假设它重复进行，所以列式为．

这两类问题具有共同的特征，统称为传播问题．

【例24】     圣诞节昂立师生互送贺卡，总共送出张，求昂立共有师生多少人？

【难度】★

【答案】

【解析】

【例25】     参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛场比赛，共有多少个队参加比赛？

【难度】★

【答案】

【解析】

【例26】     生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了件，这个小组共有多少名同学？

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例27】     首届中国象棋比赛采用单循环制，每位棋手与其它棋手比赛一盘制，已知第一轮比赛共下了场，那么参加第一轮比赛的共有几名选手？

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例28】     某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，每个支干长出多少小分支？

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例29】     有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【习题1】   两个连续奇数的积是63，则这两个奇数是_________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题2】   长方形的长比宽多，面积是，则它的长是_________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题3】   某厂今年利润为元，计划今后每年增长，两年后利润是_________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题4】   若正方形的边长增加为两倍，它的面积就增加48，则原来的边长为________.

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题5】   某农场的总产值预计今年比前年翻一番，那么平均每年总产值约增长_____（精确到0.01）.

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题6】   张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多米，现已购买这种铁皮每平方米需元钱，问张大叔购买这张铁皮共花了      元钱

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题7】   有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为4，如果把十位数字与个位数字调换位子后，所得的两位数乘以原来的两位数得403，设原来的数的个位数是，则可得方程是（     ）.

  A.                 B.

C.                 D.

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题8】   某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出，若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出，若每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出，以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而利润大，每床每晚应提高（      ）.

  A.4元和6元          B.4元              C.6元             D.8元

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题9】   某工厂今年月份产品数是万件，要求月份达到万件，求这个工厂月份和月份的月平均增长率．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题10】              西瓜经营户以的价格购进一批小型西瓜，以的价格出售，每天可售出千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价，每天可多售出千克．另外，每天的房租等固定成本共元．该经营户要想每天盈利元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【习题11】              某商场销售一批名牌鞋子，平均每天可售出双，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施，经调查发现，如果每双鞋子降价一元，商场平均每天可多售出件．

（1）商场平均每天要盈利元，每双鞋子应降价多少元？

（2）商场平均每天盈利为，则每双鞋子降价多少元时，商场或利最大？最大值是多少？

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【作业1】   一个直角三角形的两条直角边相差，面积是，斜边的长是­­­________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业2】   为了绿化学校，需移植草皮到操场，若矩形操场的长比宽多米，面积是 平方米则操场的长为______米，宽为______米．

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业3】   如图，在长为，宽为的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使 得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的，所截去的小正方形的              边长是__________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业4】   有一个两位数等于它各位数字积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业5】   平面上有若干个点，没有任何三点在同一直线上，现将每两个点连成一条线段，共有36条线段，则平面上有________个点.

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业6】   参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛场比赛，共有多少个队参加比赛？

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业7】                   为执行“两免一补”政策，某地区年投入教育经费万元，预计年投入万元．求这两年投入教育经费的年平均增长率．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业8】   将进货单价为元的商品按元售出时，就能卖出个．已知这种商品每个涨价元，其销售量就减少个，问为了赚得元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【作业9】   某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，轮感染后，被感染的电脑会不会超过台？

【难度】★★★

【答案】

【解析】