第8讲一元二次方程的应用（2）-人教版暑假班九年级数学上册教学案（教育机构专用）

圆梦堂文化培训学校精品班教案     第  8  讲   

1、列一元二次方程解应用题的一般步骤：

与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤。

（1）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；

（2）找：找出等量关系；

（3）列：列出一元二次方程；

（4）解：求出所列方程的解；

（5）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；

2、一元二次方程应用问题的分类：

数字问题；

类型一：数字问题

 【例1】一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把这个数的十位数字与个位数字对调后，所得的新两位数与原两位数乘积为736，求原两位数。

 解：设原两位数的个位为x,则十位为10(5-x) 依题意列方程得

  [10(5-x)+x][10x+(5-x)]

 解得：X1=2  x2=3

 当X=2时，原两位数为32，当X=3原两位数为23

【例2】一个两位数,个位数字比十位数字大3,且个位数字的平方刚好等于这个两位数,求这个两位数是多少?

解:设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为(x-3).由题意,得

x2=10(x-3)+x.解得x1=6,x2=5.

当x=6时,x-3=3;当x=5时,x-3=2.

答:这个两位数是36或25.

1.两个连续奇数的和为16,积为63,则这两个连续奇数是　7,9　.

2.两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是(  C   )

A.2和4       　　B.6和8         C.4和6     　　　　D.8和10

3.一个两位数的十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字与十位数字互换后平方，所得的数值比原来的两位数大138，求原来的两位数.

设个位数为，则十位为

原：

新：

原数为31

类型二：平均增长率问题

 公式：M=a(1±x)n ， n为增长或降低次数 , M为最后产量，a为基数，x为平均增长率或降低率

【例1】某厂去年3月份的产值为50万元，5月份上升到72万元，这两个月平均每月增长的百分率是多少？

 解：设平均每月增长的百分率是x依题意列方程得

  50(1+x)2=72

 解得：X1=0.2  x2=-2(舍去)

 答：平均每月增长的百分率是20%

【例2】某厂一月份产值为10万元，第一季度产值共33.1万元。若每个月比上月的增长百分数相同，求这个百分数。

 解：设平均每月增长的百分率是x依题意列方程得

  10+10（1+x）+10(1+x)2=33.1

 解得：X1=0.1  x2=-3.1(舍去)   答：这个百分数为10%

【例3】收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一种方式．图21­3­1是甜甜和她的双胞胎妹妹在“六一”儿童节期间的对话．

(1)2015年到2017年甜甜和她妹妹在“六一”收到红包的年平均增长率是多少？

(2)2017年“六一”甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？

解：(1)设2015年到2017年甜甜和她妹妹在“六一”收到红包的年平均增长率是x.

根据题意，得400(1＋x)2＝484，

解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(舍去)，

故年平均增长率为10%.

(2)设2017年“六一”甜甜收到的微信红包为y元，则妹妹收到(2y＋34)元．

根据题意，得y＋(2y＋34)＝484，

解得y＝150.

故甜甜收到的微信红包为150元，妹妹收到的微信红包为2×150＋34＝334(元)．

1.某种植基地2016年蔬菜产量为80 t，预计2018年蔬菜产量达到100 t，求蔬菜产量的年平均增长率．设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为(　　)

A．80(1＋x)2＝100       B．80(1－x)2＝100    C．80(1＋2x)＝100       D．80(1＋x2)＝100

2.一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，则x满足　(　　)

A．16(1＋2x)＝25       B．25(1－2x)＝16     C．16(1＋x)2＝25        D．25(1－x)2＝16

3.雪融超市今年的营业额为280万元，计划后年的营业额为403.2万元，求平均每年增长的百分率？

1. 一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为，则方程为:       

2.某机械厂7月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂8,9月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是(　C　)

A．50(1＋x)2＝196                      B．50＋50(1＋x)2＝196

C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196         D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196

3.某市2017年平均房价为每平方米4000元.连续两年增长后,2019年平均房价达到每平方米5500元,设这两年平均房价年平均增长率为x,根据题意,下面所列方程正确的是(　 D 　)

A. 5500(1+x)2=4000                B. 5500(1-x)2=4000

C. 4000(1-x)2=5500                 D. 4000(1+x)2=5500

4.某种商品零售价经过两次降价后,价格为降价前的64%,则平均每次降价(　D  　)

A. 10%       B. 18%         C. 9.5%          D. 20%

5.一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所形成的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数.

解：设原来的两位数的个位数字为x，则十位数字为（6－x），则原两位数为10（6－x）＋x，新两位数为10x＋(6－x).

依题意可列方程：

    [10(6－x)＋x][ 10x＋(6－x)]＝1008

解得 x1＝2，x2＝4.

原来的两位数为24或42

6.在国家政策的宏观调控下,某市的商品房成交价由今年3月份14000元/下降到5月份的12600元/.

(1)问4,5两月平均每月降价的百分率是多少?(参考数据: ≈0.95)

(2)如果房价继续回落,按此降价的百分率,你预测到7月份该市的商品房成交均价是否会跌破10 000元/m2?请说明理由.

(2)    不会跌破10 000元/m2.如果按此降价的百分率继续回落,估计7月份商品房成交均价:12 600(1-5%)2=11 371.5>10 000,由此可以知道,7月份该市的商品房成交均价不会跌破10 000元/m2.

【课后作业】

1.近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低.为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员退休金.企业退休职工李师傅2011年的月退休金为1 500元，2013年达到2 160元.设李师傅的月退休金从2011年到2013年年平均增长率为x，可列方程为( B )

  A.2 016(1-x)2=1 500           B.1 500(1+x)2=2 160 

C.1 500(1-x)2=2 160         D.1 500+1 500(1+x)+1 500(1+x)2=2 160

2.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月的增长率是x,列方程为(  B    )

A.500(1+2x)=720       B.500(1+x)2=720    C.500(1+x2)=720        D.720(1+x)2=500

3.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程        。 

4.某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元.设平均月增长率为，根据题意所列方程是          2.25(1+x)2=36          .

5.某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为__20%___.

6.某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元.求3月份到5月份营业额的月平均增长率.

来解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x，根据题意，得

   400×(1+10%)(1+x)2=633.6.

   解得x1=0.2=20%，x2=-2.2(不合题意，舍去).

答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%.

7.已知一个两位数比它的个位上的数的平方小16,个位上的数与十位上的数的和是12,求这个两位数.

解:设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为(12-x),

由题意得10(12-x)+x+16=x2,

整理得x2+9x-136=0,

解得x1=8,x2=-17(不合题意,舍去),

∴12-x=4,

则这个两位数是48.