沪教版八年级上册暑假班 第十八章第三节 函数的表示法-学生版

这是一份沪教版八年级上册暑假班 第十八章第三节 函数的表示法-学生版，共20页。


函数的表示法

内容分析


函数的表示法是八年级数学上学期第十八章内容，主要对函数的三个表示法进行讲解，重点是实际问题的函数表示法，难点是数形结合思想的应用的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习函数的应用提供依据．
知识结构




图像法：三模块模块一：解析法


精讲知识知识精讲



1、解析法：用等式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法，这个等式称为函数
的解析式（或函数关系式）．简单明了，能从解析式了解函数与自变量之间的关系，便于理论上的分析与研究，但求对应值时需要逐个计算，且有的函数无法用解析式表示．




例题解析


【例1】 填空：
两个变量之间的依赖关系用____________来表达，这种表示函数的方法叫做解析法；
【难度】★
【答案】
【解析】


【例2】 已知汽车驶出A站3千米后，以40千米∕小时的速度行驶了40分，请将这段时间内汽车与A站的距离（km）表示成（时）的函数．
【难度】★
【答案】
【解析】



【例3】 若某人以每分钟100米速度匀速行走，那么用行走的时间x（分）表示行走的路程y（米）的解析式为______________，这样行走20公里需要__________小时．
【难度】★
【答案】
【解析】



【例4】 已知物体有A向B作直线运动，A与B之间的距离为20千米，求运动的速度v（千米/时）与所用时间t（小时）的函数解析式．
【难度】★
【答案】
【解析】



【例5】 两个变量x、y满足：，则用变量x来表示变量y的解析式为________________．
【难度】★★
【答案】
【解析】


【例6】 若点P（x，y）在第二、四象限的角平分线上，则用变量x来表示变量y的函数解析式为_______________．
【难度】★★
【答案】
【解析】


【例7】 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，以80千米／小时的平均速度用6小时到达目的地．
（1） 当他按原路匀速返回时，求汽车速度v（千米／小时）与时间t（小时）之间
的函数关系式；
（2） 如果该司机匀速返回时，用了4.8小时，求返回的速度．
【难度】★★
【答案】
【解析】


【例8】 收割机的油箱里盛油65，使用时，平均每小时耗油6
（1）如果收割机工作了4小时，那么油箱还剩多少千克的油？
（2）如果油箱里用掉36千克油，那么使用收割机工作的时间为多少小时？
（3）写出油箱里剩下的油与使用收割机时间之间的函数关系式？
（4）在此函数关系式中，求函数定义域．
【难度】★★
【答案】
【解析】



【例9】 如图，一边靠墙，其他三边用12米长的篱笆围成一个矩形ABCD花圃．
（1）如果设花圃靠墙的一边的长为x（米）．花圃的面积为y(平方米)，求x、y满足的关系式；
A
D
B
C
（2）当长x从4米变到6米时，面积y变化如何？
（3）当长x从6米变到8米时，面积y变化如何？
【难度】★★★
【答案】
【解析】




x
x
10-2x
10
【例10】 把一块边长是10厘米的正方形铁皮，在四角各截去边长为x厘米的小正方形，再按虚线折成一个无盖的长方体盒子．求这个盒子的容积V（立方厘米）关于x（厘米）的函数解析式以及函数的定义域．
【难度】★★★
【答案】
【解析】




模块二：列表法


知识精讲



1、 列表法：用表格形式来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；从表格中直接
找到自变量对应的函数值，查找方便，但无法将自变量与函数值的全部对应值都列出来，且难以看出规律．


例题解析



【例11】 两个变量之间的依赖关系用列表来表达的，这种表示函数的方法叫做_______．
【难度】★
【答案】
【解析】


【例12】 一位学生在乘坐磁悬浮列车从龙阳路站到上海浦东国际机场途中，记录了列车运行速度的变化情况，如下表：
时间t（分）
0
1
1.5
2
3
4
5
5.5
6
7
8
速度v（千米/时）
0
146
217
300
300
300
300
300
281
121
0
根据表中提供的信息回答下列问题：
（1） 在哪一段时间内列车的速度逐渐加快？
（2） 在哪一段时间内列车是匀速行驶的？在这一段时间内列车走了多少路程？
（3） 在哪一段时间内列车的速度逐渐减慢？
【难度】★
【答案】
【解析】


【例13】 一种豆子在市场上出售，豆子的总售价与所售豆子的数量之间的数量关系如下表:
所售豆子数量x(千克)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
售价y(元)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
(1) 上表反映的变量是_____和____，_______是自变量，________是因变量，_____随
_____的变化而变化，_____是______的函数．
(2)若出售2.5千克豆子，售价应为_____元．
(3)根据你的预测，出售_____千克豆子，可得售价21元
(4)请写出售价与所售豆子数量的函数关系式________________．
【难度】★
【答案】
【解析】
【例14】 按照我国的税法规定，个人所得税的缴纳方法是：月收入不超过3500元，免缴个人所得税；超过3500元不超过5000元，超出部分需缴纳5%的个人所得税；例如下表：
月收入（元）
3000
3200
3600
4100
4500
月缴付个人所得税（元）
0
0
5
30
50
试写出月收入在3500元到5000元之间的个人缴纳的所得税（元）与月收入（元）之间的函数解析式，并求出月收入为4800元的职工每月需缴纳的个人所得税．（为正整数）
【难度】★★
【答案】
【解析】






【例15】 一根弹簧不挂重物时长10厘米，当弹簧挂上质量为xkg的重物时，其长度用y表示，测得有关的数据如下表：
所挂重物的质量x（kg）
1
2
3
4
……
弹簧的长度y（cm）
10+0.5
10+1.0
10+1.5
10+2.0
……
（1）写出弹簧总长度y（cm）随所挂重物质量x（kg）变化的关系式；
（2）若弹簧所挂重物的质量为10千克，则弹簧的长度是多少？
（3）所挂重物的质量为多少千克时，弹簧的长度是18cm？
【难度】★★
【答案】
【解析】












1、 图像法：用图像来表示一个变量与另一个变量之间函数关系的方法；函数与自变量的
对应关系、函数的变化情况及趋势能够很直观地显示出来，但从图像上找自变量与函数的对应值一般只能是近似的，且只能反映出变量间关系的一部分而不是全体．
2、 三种表示法的相互联系与转化：由函数的解析式画函数的图像，一般分为“列表、描点、
连线”三个步骤，通常称作描点作图法；同样，函数图像中点的坐标或表格中自变量与函数的对应值，也是函数解析式所表示的方程的一个解．






例题解析




【例16】 填空：
1、两个变量之间的依赖关系用图像来表达的，这种表示函数的方法叫做____________；
2、_____________、_____________、_____________是表示函数的三种常用方法；
【难度】★
【答案】
【解析】





【例17】 图中是某水池有水Q立方米与排水时间t小时的函数图像．试根据图像，回答下列问题：
（1） 抽水前，水池内有水________立方米；
（2） 抽水10小时后，水池剩水________立方米；
（3） 剩水400立方米时，已抽水_________小时；
（4） 写出Q与t的函数关系式______________．
【难度】★
【答案】
【解析】



【例18】 已知A城与B城相距200千米，一列火车以每小时60千米的速度从A城驶向B城，求：
（1）火车与B城的距离S（千米）与行驶的时间t（小时）的函数关系式；
（2）t（小时）的取值范围；
（3）画出函数的图象．
【难度】★
【答案】
【解析】


【例19】 如图是甲、乙两人的行程函数图，根据图像回答：
（1）谁走的快？
（2）求甲、乙两个函数解析式，并写出自变量的取值范围。
（3）当时，甲、乙两人行程差多少？
【难度】★
【答案】
【解析】





【例20】 小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图所示，若返回时，上、下坡的速度不变，则小明从学校骑车回家用的时间是多少？
【难度】★★
【答案】
【解析】





【例21】 为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量（单位：千瓦时）与应付电费（单位：元)的关系如图所示．
（1）根据图像，请求出当时，与的函数关系式．
（2）请回答：①若每月用电量不超过50千瓦时，收费标准是多少?
②若每月用电量超过50千瓦时，收费标准是多少?
【难度】★★
【答案】
【解析】





【例22】 甲、乙两人同时从A地前往相距5千米的B地．甲骑自行车，途中修车耽误了20分钟，甲行驶的路程S（千米）关于时间t（分钟）的函数图像如图所示；乙慢跑所行的路程S（千米）关于时间t（分钟）的函数解析式为．
S（千米）
t（分钟）
（1）在图中画出乙慢跑所行的路程关于时间的函数图像；
（2）甲修车后行驶的速度是每分钟_________千米；
（3）甲、乙两人在出发后，中途_________分钟时相遇．
【难度】★★
【答案】
【解析】


【例23】 汽车由天津驶往相距千米的北京，（千米）表示汽车离开天津的距离，（小时）表示汽车行驶的时间．如图所示
（1）汽车用几小时可到达北京？速度是多少？
（2）汽车行驶1小时，离开天津有多远？
（3）当汽车距北京20千米时，汽车出发了多长时间？
【难度】★★
【答案】
【解析】




26
20


5
0
30 x（千克）
y（元）
【例24】 一农民带了若干千克土豆进城销售，为了方便他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出土豆千克数x与手中持有的钱数y（含备用零钱）的关系式如下图所示，结合图像解答下列问题：
(1)农民自带的零钱是多少？
(2)降价前每千克土豆的出售价格是多少？
(3)降价后他按每千克0.4元将剩余的土豆售完，这时
他手里的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了
多少千克土豆？
【难度】★★
【答案】
【解析】


【例25】 如图，在甲、乙两位同学进行200米跑步比赛中，路程（米）关于时间t（秒）的函数关系式的图像分别为拆线OAB和线段OC，下列判断正确的是（ ）
A、甲先到达终点
B、乙的速度随着时间的增大而增大
C、出发后30秒，乙追上甲
D、在比赛全程中，甲始终比乙跑得快
【难度】★★★
【答案】
【解析】
【例26】 2008年5月，第六届长江三峡国际龙舟拉力赛揭开帷幕．上午9时参赛龙舟同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程（千米）与时间（小时）的函数关系如图所示．甲队在上午11时30分到达终点．
（1）________先到达终点，时间相差小时；
（2）比赛中________的速度始终保持不变，为________千米/小时；
（3）比赛行程总长为千米；1小时后两者距离________千米；
（4）从A从到B的速度是千米/小时________．
【难度】★★★
【答案】
【解析】








【例27】 为了预防“流感”，某学校对教室采用“药熏”消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物4分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）求药物燃烧时，y关于x的函数解析式及定义域；
（2）求药物燃烧完后，y关于x的函数解析式及定义域；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2毫克时，才能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒有效时间有多长？
【难度】★★★
【答案】
【解析】




【例28】 为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，据图中提供的信息，解答下列问题：
（1） 写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室?
【难度】★★★
【答案】
【解析】






【例29】 A、B两地相距25千米，甲于某日12时30分骑自行车从A地出发前往B地，乙也同日下午骑摩托车从A地出发前往B地．图中的折线PQR和线段MN分别反映了甲和乙所行驶的路程s与该日下午的时间t的函数关系
根据图像来获得基本信息：
（1）横、纵轴各表示什么含义？
（2）点P、M表示什么意思？点N、Q表示什么意思？甲、乙两图像的交点坐标？
（3）甲从下午1时到2时半的速度是每小时多少千米？
（4）乙的速度是每小时多少千米？
【难度】★★★
【答案】
【解析】







随堂检测



【习题1】 小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重如下表，你能看出小蕾各周岁时的体重是如何变化的吗？在哪一段时间内体重增加较快？
周岁
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
体重（kg）
7.9
12.2
15.6
18.4
20.7
23.0
25.6
28.5
31.2
34.0
37.6
41.2
44.9
【难度】★
【答案】
【解析】




【习题2】 某工厂现在年产值为150万元，计划今后每年增长10万元，年产值y（万元）与年数x的函数关系式是____________．
【难度】★
【答案】
【解析】




【习题3】 某风景区集体门票的收费标准是25人以内（含25人），每人10元，超过25人的，超过的部分每人5元，写出应收门票费y（元）与浏览人数x（人）之间的函数关系式．
【难度】★
【答案】
【解析】




【习题4】 等腰三角形顶角为度y，底角为x度，则x、y之间的函数关系式是____________．
【难度】★
【答案】
【解析】



【习题5】 在中，，，，设P是BC上任一点，P点与B、C不重合，且，若，则y与x之间的函数关系式是____________，自变量取值范围为____________．
【难度】★★
【答案】
【解析】



【习题6】 暑假后学校食堂采用了凭磁卡刷卡消费的形式，小王9月1日购买磁卡并充值80元，每天中午在学校用餐，每次花3.5元。设小王用餐次数为x，求当月卡内余额y(元）与x的函数关系式。已知小王每周在校5天，问：之后小王每月充值80元是否够用？
【难度】★★
【答案】
【解析】



【习题7】 某商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元．该商场为促销制定了两种优惠方法．A种方法：购买一支毛笔赠送一本书法练习本；B种方法：按购买金额打九折付款．某校为书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x（x≥10）本．分别求出两种优惠方法下实际付款金额y（元）与x(本)之间的函数关系式．
【难度】★★
【答案】
【解析】


【习题8】 小明暑假到黄岗山旅游，导游提醒大家要多带一件衣服，并介绍当地山区气温会随海拔高度的增加而下降．沿途小明利用随身带的登山表测得以下数据：
海拔高度x（m）
400
500
600
700
…
气温y(℃)
28.6
28.0
27.4
26.8
…
（1） 观察和分析已知数据，探索y与x之间的函数关系式并验证；
（2） 如果小明告诉你山顶的气温为18.1℃，你能求出黄岗山的海拔高度大约是多少吗？
【难度】★★
【答案】
【解析】







【习题9】 甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离为s（km）和行驶时间t（h）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）AB的路程是多少？
（2）甲比乙先出发多长时间？
（3）整个过程中甲的平均速度是多少？
（4）大约在乙出发多长时间时两人相遇，
相遇时距离A地多远？
【难度】★★★
【答案】
【解析】







【习题10】 小明骑自行车去学校，最初以某一速度匀速行驶，中途自行车发生故障，停下来修车耽误了几分钟，为了按时到校，他加快了速度，仍保持匀速行驶，结果准时到校，到校后，小明画了自行车行进路程s(km)与行进时间t(h)的图象，如图所示，请回答：
（1）这个图象反映了哪两个变量之间的关系？
1
2
3
4
0.1
0.2
0.3
0.4
(h)

(km)
O
（2）根据图象填表：
时间t/h
0
0.2
0.3
0.4
路程s/km




（3）路程s可以看成时间t的函数吗？
【难度】★★★
【答案】
【解析】






课后作业



【作业1】 已知x、y满足关系式，用含x的代数式表示y，则y=__________．
【难度】★
【答案】
【解析】



【作业2】 在地球表面的一定高度内，每升高1千米，温度下降6℃．已知地面温度为，设高度为h千米时的温度是t，则t与h之间的关系是______________．
【难度】★
【答案】
【解析】


【作业3】 一辆汽车正常行驶时每小时耗8升，油箱现有52升汽油．
（1）如果汽车行驶时间为t（时），那么油箱中所存油量Q（升）与t（时）的关系式是什么？
（2）油箱中的油总共可供汽车行驶多少小时？
（3）当t的值分别为1、2、3时，Q相应的值是多少？
【难度】★
【答案】
【解析】





【作业4】 某河流受暴雨影响，水位不断上涨，下面是某天此河流的水位记录：
时间（时）
0
4
8
12
16
20
24
水位（米）
2
2.5
3
4
5
6
8
（1）上表反映的是哪两个量之间的关系？自变量和因变量各是什么？
（2）根据表格画了表示两个变量的折线统计图.
（3）哪段时间水位上升得最快？
【难度】★★
【答案】
【解析】


【作业5】 在高处让一物体由静止开始落下，它下落的路程s与时间t之间的关系如下表：
时间t(秒)
1
2
3
4
5
落下路程s(米)
4.9×1
4.9×4
4.9×9
4.9×16
4.9×25
（1）请根据表格中的数据写出时间t与物体落下的路程s之间的关系；
（2）算出当t=4.5秒时，物体落下的路程.
【难度】★★
【答案】
【解析】


【作业6】 某港湾某日受热带风暴影响，其风力变化记录如下表：
t(时)
0
4
8
12
16
20
24
T(级)
2
3.5
7
9
10
11
8
（1）用横轴表示时间t，用纵轴表示风力T，建立直角坐标平面，并在平面内描绘出表中所对应的各个点，然后用线段从左到右顺次连接；
（2）根据图像说明：
①哪段时间里风力持续增强？其持续的时间是几小时？哪个时间风力最强？
②哪段时间里风力明显减弱？其持续的时间是几小时？哪个时间风力最弱？
【难度】★★
【答案】
【解析】



【作业7】 为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过部分按每吨1.8元收费，该市某户居民5月份用水x吨(x＞10)，应缴水费y元．
（1）写出y与x之间的关系式；
（2）某户居民若5月份用水16吨，应缴水费多少元？
【难度】★★
【答案】
【解析】



【作业8】 一销售员向某企业推销一种该企业生产必需的物品，若企业要40件，则销售员每件可获利40元，销售员（在不亏本的前提下）为扩大销售量，而企业为了降低生产成本，经协商达成协议，如果企业购买40件以上时，每多要1件，则每件降低1元．
（1）设每件降低x（元）时，销售员获利为y（元），试写出y关于x的函数关系式．
（2）当每件降低20元时，问此时企业需购进物品多少件？此时销售员的利润是多少？
【难度】★★★
【答案】
【解析】

【作业9】 已某单位为响应政府发出的全民健身的号召，打算在长和宽分别为20米和11米的矩形大厅内修建一个面积为60平方米的矩形健身房ABCD，该健身房的四周墙壁中有两侧沿用大厅的旧墙壁（如图所示），已知装修旧墙壁的费用为20元/平方米，新建（含装修）墙壁的费用为80元/平方米。设健身房的高为3米，一面旧墙壁AB的长为x米，修建健身房墙壁的总投入为y元。
（1）求y与x的函数解析式。
（2）为了合理利用大厅，要求自变量x必须满足条件：8≤x≤12.当投入的资金为4800元时，问利用旧墙壁的总长度为多少？
【难度】★★★
【答案】
【解析】


【作业10】 小王常去散步，从家走了20分钟，到一离家900米的报亭，看了10分钟报纸后，用了20分钟返回家中，图中哪一个表示了小王离家距离与时间的关系（ ）
900
0
20
30
50
y
x
900
0
y
x
30
40
y
900
20
40
0
x
20
40
60
900
0
y
x
A．
B． .
C．
D．












【难度】★★★
【答案】
【解析】




【作业11】 小明晚饭以后外出散步，碰见同学，交谈了一会，返回途中在读报栏前看了一会报.图中是据此情境画出小明离家距离与时间函数关系的图像，请据此回答下列问题：
（1） 小明是在什么地方碰到同学的，交谈了多长时间？
（2） 读报栏大约离家多少距离？
（3） 小明在哪一段路程中走的最快？
【难度】★★★
【答案】
【解析】