沪教版(上海)八年级上册暑假班讲义 函数的概念及正比例函数的概念-学生版

函数的概念及正比例函数的概念是八年级数学上学期第三章第一节、第二节内容，主要对函数和正比例函数的概念进行讲解，重点是函数的概念理解，难点是函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习正反比例函数提供依据．

1、函数的概念

a)         在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量；

b)        2.在某个变化过程中有两个变量，设为和，如果在变量允许的取值范围内，变量随着变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量叫做变量的函数，叫做自变量.函数用记号表示，表示时的函数值；表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式．

【例1】        （1）瓜子每千克12元，买千克瓜子需付款元，用的代数式表示,并指出这个问题中的变量和常量；

（2）写出圆周长公式，并指出公式中每个字母所表示的量是常量还是变量．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例2】        下列变量之间的变化关系不是函数关系的是（ ）

A、三角形的面积与底边的长   B、 与

C、圆的面积和它的半径    D、矩形的宽一定时，周长与长

【难度】★

【答案】

【解析】

【例3】        下列各式中，是否是的函数？为什么？

（1）； （2）．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例4】        已知汽车驶出站3千米后，以40千米∕小时的速度行驶了40分，请将这段时间内汽车与站的距离（km）表示成（时）的函数．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例5】        扇形的面积公式是，其中表示面积，表示圆心角，表示半径，表示圆周率，则其中常量是————．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例6】        物体所受的重力与它的质量之间有如下的关系：，其中表示质量，表示重力，牛/千克，物体所受重力是不是它的质量的函数？

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例7】        已知变量随着变量的变化而变化，且满足下列关系，试把它们改写成的形式

（1）；     （2）；

（3）；    （4）．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例8】        某厂有一水池，可贮水900吨，池内原有水100吨，现在以每小时15吨的速度注水，时后，池内贮水量是吨，注满为止，求与之间的函数关系式．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

1.函数的定义域和函数值

a)         函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域．

b)        函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域．

【例9】        求下列函数的定义域.

（1）；        （2）；

（3）；        （4）．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例10】     （1）如果函数，那么——————；

（2）如果函数， 那么——————；

（3）如果函数，那么=——————．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例11】     求函数的定义域．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例12】     求函数的定义域．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例13】     若函数，，求函数中自变量的取值范围．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例14】     已知长方形面积为60，长为厘米，求宽与的关系式，并写出自变量的取值范围．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例15】     已知．

(1)求，，，；

(2)当为何值时，没有意义？

(3)当为何值时，？

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例16】     等腰三角形的周长是10厘米，腰长是厘米，底边长是厘米，求关于的函数关系式，并求自变量的取值范围．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例17】     已知：求：

（1）；  （2）；  （3）．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例18】     已知函数的定义域是且，求的、值．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例19】     收割机的油箱里盛油65，使用时，平均每小时耗油6

（1）如果收割机工作了4小时，那么油箱还剩多少千克的油？

（2）如果油箱里用掉36油，那么使用收割机工作的时间为多少小时？

（3）写出油箱里剩下的油与使用收割机时间之间的函数关系式？

（4）在此函数关系式中，求函数定义域？

【难度】★★★

【答案】

【解析】

1．正比例函数的概念

a)       如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量、成正比例，就是，或表示为（不等于0），是不等于零的常数.

b)       解析式形如（是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数叫做比例系数.正比例函数的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式.

【例20】     下列那些函数是正比例函数？哪些不是?如果是，请指出比例系数．

（1）；         （2）；   

（3）；          (4)．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例21】     （1）已知是正比例函数，求m的取值范围．

（2）若函数是正比例函数，那么m的值是多少？

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例22】     已知是的正比例函数，且当时，，求与之间的比例系数，并写出函数解析式和函数定义域．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例23】     如果是正比例函数，求出函数解析式，当取何值时，？

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例24】     已知函数(m是常数)，当m是什么数时

是正比例函数？并求出解析式．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例25】     已知，与成正比例，与成正比例，且时，，时，求与的函数解析式．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例26】     点燃的蜡烛，长度按照与时间成正比例缩短，一支长21cm的蜡烛，点燃6分钟后，缩短3.6cm．设蜡烛点燃分钟后，缩短cm，求的函数解析式和x的取值范围．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例27】     已知是正比例函数，求k的值，写出这个正比例函数的解析式，并求出当变量x分别取-3，0，时的函数值．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例28】     已知与成正比例，并且时，．

（1）          写出与之间的函数关系式；

（2）          当时，求的值；

（3）          当时，求的值．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题1】   在圆的面积公式中，变量是_______，常量是_______．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题2】   东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款元与买鲜鸡蛋个数（个）之间的函数关系式是______________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题3】   平行四边形相邻的两边长为、，周长是30，则与的函数关系式是___________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题4】   函数中，自变量的取值范围是_________________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题5】   写出下列各题中与的关系式，并判断是否是的正比例函数？

（1）圆面积（cm2）与半径（cm）的关系；

（2）地面气温是28℃，如果每升高1km，气温下降5℃，则气温（℃）与高度（km）的关系；

（3）电报收费标准是每个字0.1元，电报费（元）与字数（个）之间的函数关系．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题6】   函数的自变量的取值范围是__________________．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题7】   在函数中，自变量的取值范围是__________．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题8】   函数中，自变量的取值范围是___________________．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题9】   已知函数，=__________时，的值时0，=______时，的值是1；=_______时，函数没有意义．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题10】              出租车收费按路程计算，3内（包括3）收费8元；超过3每增加1加收1元，则路程≥3时，车费（元）与()之间的函数关系式是_____________．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题11】              求下列各式的定义域：

（1）；     （2）．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题12】              若、是变量，且函数是正比例函数，则=_________．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题13】              已知函数是正比例函数，求的值．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题14】              一种豆子在市场上出售，豆子的总售价与所售豆子的数量之间的数量关系如下表：

（1）上表反映的变量是_____和_____，___________是自变量，___________是因变量， _____随_____的变化而变化，___________是___________的函数．

（2）若出售2.5千克豆子，售价应为_____元．

（3）根据你的预测，出售_____千克豆子，可得售价21元．

（4）请写出售价与所售豆子数量的函数关系式. ________________（解析式）．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【习题15】              已知与成正比例，且=2时=-6；则=9时，=________．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【习题16】              如果是关于的正比例函数，又函数，当取何值时？

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【作业1】   设，写出关于的函数关系式______________，自变量的取值范围是______________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业2】   在函数中，自变量的取值范围是______________．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业3】   已知的定义域为______________，当函数值为0时，自变量的取值为______________．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业4】   矩形的周长为20，矩形面积与其一边长之间的函数关系式______________，自变量的取值范围是______________．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业5】   等腰三角形中，底角的度数用表示，顶角的度数用表示，写出关于的函数解析式及函数的定义域．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业6】   已知与成正比例，且当=1时，=15，求与的函数关系式．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业7】   函数是正比例函数，求的值．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业8】   已知为正比例函数．

（1）求的值及函数解析式；   （2）当取什么值时，函数的值为．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业9】   甲、乙两同学从地出发，骑自行车在同一条路上行驶到地，他们离出发地的距离为（）和行驶时间（h）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）的路程是多少？

（2）甲比乙先出发多长时间？

（3）整个过程中甲的平均速度是多少？

（4）大约在乙出发多长时间时两人相遇，相遇时距离地多远？

【难度】★★★

【答案】

【解析】