第10讲二次函数y=ax^2的图像及性质-人教版暑假班九年级数学上册教学案（教育机构专用）

圆梦堂文化培训学校精品班教案     第  10  讲   

1.二次函数的概念

一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数.

　　若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2.

以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.

二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
　　① （a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.

要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2．二次函数的图象．

     用描点法画出二次函数的图象，如图，

它是一条关于轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.

3．二次函数的有关性质.

     因为抛物线关于轴对称，所以轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线的顶点是图象的最低点，因为抛物线有最低点，所以函数有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.

4．二次函数的图象画法.

     用描点画二次函数的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量的值，然后计算出对应的值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确。

4．二次函数的性质.

  （1）二次函数的性质，见下表：

（2）抛物线的对称轴是轴，顶点是原点，当时，抛物线开口向上，在对称轴左侧部分，随的增大而减小；在对称轴右侧部分，随的增大而增大.当时，抛物线开口向下，在对称轴左侧部分，随的增大而增大；在对称轴右侧部分，随的增大而减小；的大小决定抛物线的开口大小，越大，抛物线开口越小；越小，抛物线开口越大．

知识点一：二次函数的概念

【例1】(1)当m＝________时，函数y=(m+1)x2m+1+4x-5是二次函数?

      (2)当m＝________时，函数y=(m+1)x2m+1+4x-5是一次函数?

【例2】给出下列8个函数表达式：

①y＝；②y＝4x；③y＝(x＋2)2－4x；④y＝(x＋1)2；⑤y＝4x2＋2x－5；⑥y＝3x2＋；⑦y＝x2－x＋；⑧y＝2(x＋2)2－2(x2＋4)．其中，哪些是一次函数？哪些是二次函数？

一次函数：②⑧

二次函数：③④⑤⑦

【例3】已知函数y＝(m2－m)x2＋mx－2(m为常数)，分别根据下列条件求m的值或取值范围：

(1)y是x的一次函数；

(2)y是x的二次函数．

（1）

（2）

【例4】（1）三角形一边长为x，这边上的高比x的2倍少1，则三角形的面积y与x的函数关系式为                     。

（2）在新年到来之际，班里每个同学都为其他同学制作了一张贺卡，若这个班里有x个同学，那么全班同学制作的贺卡总张数y与x的函数关系式为                     。

1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　C　）．

A. y=3x﹣1        B. y=ax2+bx+c     C. s=2t2﹣2t+1        D．y=x2+1/x

2.若是关于x的二次函数，则a=　 　-1     ．

3.已知二次函数y＝3(x－2)2＋1，当x＝3时，y的值为(　A　)

A．4             B．－4             C．3             D．－3

4.如图，用20米长的篱笆围成一个长方形的院子，如果这个院子的面积是S米²，院子的一边长为x，那么S与的函数关系式为（   C ）

1.     B.     C.     D.

5.如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为米，面积为平方米，则与的函数关系式为             ，自变量的取值范围是          。

知识点二：的图像及性质

【例1】（1）在同坐标系中，用描点法画出函数，的图象；

(2) 在同坐标系中，用描点法画出函数，的图象；

结论：的图象的性质：

当时：

①______开口向上_____；②_____对称轴为y轴__；③____顶点（0,0）____；④_____________.

当时：

①______开口向下_____；②_____对称轴为y轴__；③____顶点（0,0）____；④_____________.

【例2】 如图所示抛物线①②③，则a、b、c的大小关系是_______；

【例3】若，点（），（），()均在抛物线上，则、、的大小关系是______________.      

1.请指出抛物线的开口方向是___向下_____；对称轴是__y轴___；顶点坐标是__顶点（0,0）_____.

2.函数的图象的开口  向上   ，对称轴是 _y轴    ，顶点是   （0,0） _    ；

3.函数的图象的开口  向下   ，对称轴是  y轴  ，顶点是   （0,0） ，顶点是抛物线的最 高   点；

4.函数的图象的开口  向上  ，对称轴是  y轴  ， 顶点是 （0,0）  ，顶点是抛物线的最   低  点；

5.若抛物线y=ax2(a≠0)，过点(－1，2).

(1) 则a的值是 2    ；

(2) 对称轴是   y轴  ，开口   向上     .

(3) 顶点坐标是  （0,0）   ，顶点是抛物线上的最   小  值.抛物线在x轴的   上  方(除顶点外).

(4) 若A，B在这条抛物线上，且，则     .

6.已知是二次函数，且其图象开口向上，求m的值和函数解析式.

1．下列函数表达式中，一定为二次函数的是(　C　)

A．          B．y＝ax2＋bx＋c     C．        D．

2.在半径为4 cm的圆中，挖去一个半径为x cm(0<x<4)的圆，剩下部分的面积为y cm2，则y与x之间的函数表达式为(　D　)

A．y＝πx2－4          B．y＝π(2－x)2           C．y＝－(x2＋4)         D．y＝－πx2＋16π

3．若正方形的周长为x cm，面积为y cm2，则y与x之间的函数表达式为(　B　)

A．y＝4x               B．y＝x2              C．y＝x2               D．y＝x2

4.二次函数y＝2x2＋x－3的二次项系数是__2______，一次项系数是____1____，常数项是___-3_____．

5．函数的图象顶点是___（0,0）____，对称轴是___y轴____，开口向___上___，当x＝__0_时，有最___小___值是___0___．

6. 函数的图象顶点是__（0,0）_  __，对称轴是___y轴__，开口向__下___，当x＝___0___时，有最____大_____值是___0______．

7. 二次函数的图象开口向下，则m___________．

8.已知二次函数y＝ax2.

(1)  若a=2,点(-2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则y1_____ y2；(填“> ”“＝”或“< ”)；

(2)若a＞0,点(2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则 y1_____ y2；(填“> ”“＝”或“< ”)；

(3)若a＜0,点(－2，y1)与(3，y2)，(5，y3)在此二次函数的图象上，则.y1，y2，y3的大小关系是___________.

9.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实数m的取值范围．

10.已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．

【课后作业】

1．下列函数中是二次函数的有(　  B  　)

①y＝x＋；②y＝3(x－1)2＋2；③y＝(x＋3)2－2x2；④y＝＋x.

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

2.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a辆单车，计划第三个月投放y辆单车．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，那么y与x之间的函数表达式是(　A　)

A．y＝a(1＋x)2        B．y＝a(1－x)2              C．y＝(1－x)2＋a         D．y＝x2＋a

3.已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3.当_____时，y是关于x的二次函数．

4. 二次函数y＝mx有最高点，则m＝___________．

5．若二次函数的图象过点（1，－2），则的值是__________．

6．如图，抛物线①② ③④ 开口从小到大排列是 ④③①②   ；（只填序号）其中关于轴对称的两条抛物线是    ①      和    ③      。

7．点A（，b）是抛物线上的一点，则b=        ；过点A作x轴的平行线交抛物线另一点B的坐标是          。

8．如图，A、B分别为上两点，且线段AB⊥y轴于点（0,6），若AB=6，则该抛物线的表达式为               。

9. 当m=  -1   时，抛物线开口向下．

10.二次函数与直线交于点P（1，b）．

（1）求a、b的值；

（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．

，当x>0时，y随x的增大而减小