沪教版(上海)八年级上册暑假班讲义 一元二次方程章节复习-学生版

一元二次方程是初中数学计算的一个重要工具，一元二次方程思想也是初中数学中重要的解题思想，它与初三所学的二次函数有着密切的关系，同时在有求未知数的题目中，经常运用方程思想求解，这就要求同学们一定要把现在的一元二次方程基础夯实，为以后的综合学习奠定良好的基础．

1．一元二次方程的概念

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．

2． 一元二次方程的一般形式

一般形式：，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．

3．一元二次方程的解法

解法1：直接开平方法：适合类型：，当时，原方程无实数解．

解法2：因式分解法：

（1）       将方程右边化为；

（2）       将方程左边的二次三项式分解为两个一元一次方程；

（3）       令每一个因式分别为，得到两个一元一次方程；

（4）       分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．

解法3：配方法：

（1）       先把二次项系数化为：方程两边同除以二次项的系数；

（2）       移项：把常数项移到方程右边；

（3）       配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为的形式；

（4）           当时，用直接开平方法解变形后的方程．

解法4：公式法：

（1）把方程化为一般形式，进而确定的值．(注意符号)

（2）求出的值．(先判别方程是否有根)

（3）在的前提下，把的值代入求根公式，求出方程的根．

4、一元二次方程的根的判别式是．当时，方程有两个不相等的实数根，；当时，方程有两个相等实数根；当时，方程没有实数根．

5、韦达定理：如果是一元二次方程的两个根，由求根公式法

得：，；则．

这是一元二次方程根与系数的关系

6、二次三项式的因式分解：

（1）形如（都不为）的多项式称为二次三项式；

（2）当，先用公式法求出方程的两个实数根，

再写出分解式；当，方程

没有实数根，在实数范围内不能分解因式．

7、一元二次方程的应用

 列一元二次方程解应用问题的步骤和解法与前面讲过的列方程解应用题的方法步骤相同，但在解题中心须注意所求出的方程的解一定要使实际问题有意义，凡不满足实际问题的解（虽然是原方程的解）一定要舍去．

列一元一次方程解应用题的步骤：

①     审题；②设未知数；③找等量关系； ④列方程； ⑤解方程； ⑥写答句．

【习题1】        如果关于的方程和有相同的实数根,那么的值是（）．

 A． B．或C． D．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题2】        若是关于的一元二次方程的根，且，则的值为（）

 A．B．  C．  D．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题3】        用配方法解方程，下列配方正确的是（）．

A．  B．  C．  D．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题4】        一元二次方程的根的情况为（　　）．

A．有两个相等的实数根     B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根      D．没有实数根

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题5】        若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（　　）．

A．  B．  C． D．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题6】             若方程中，满足和，则方程的根是（）．

A．  B． C．D．无法确定

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题7】             已知关于的方程有两个相等的正实数根，则的值是（）．

A．   B．   C．2或  D．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题8】        某商品原价元，连续两次降价后售价为元，下列所列方程正确的是（）．

A．    B．

C．    D．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题9】             某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（）．

A．      B．

C．      D．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题10】    如果一元二次方程的两个根为，那么与的值分别为（）．

A．    B． C．    D．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题11】    若关于的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足．则的值为（）．

A．或 　B．　   C．　   D．不存在

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题12】         如果是方程的两个根，那么的值等于（）．

A．  B．   C．   D．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【习题13】         对于任意实数，关于的方程一定（）．

A．有两个正的实数根B．有两个负的实数根

C．有一个正实数根、一个负实数根D．没有实数根

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【习题14】    关于的方程的两根同为负数，则（）．

A．且B．且

C．且D．且

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【习题15】    关于x的方程，当_______时为一元一次方程；当_______时为一元二次方程．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题16】         已知方程和,有共同的根， 则_______，_______．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题17】         已知是关于的方程的一个根，则_______．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题18】         已知方程有两个相等的实数根，则_______．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题19】         若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是_______．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题20】         若方程的两个根是和，则的值分别为_______．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题21】         已知关于的一元二次方程的一个根是，那么的值为_______．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题22】         当_______时，关于的方程可用公式法求解．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题23】         若一元二次方程有实数根,则的取值范围是_______．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题24】         若，则=_______．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题25】         已知的值是，则代数式的值是_______．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题26】         如果是一个完全平方式，则_______．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题27】         在实数范围内因式分解：_______．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题28】         某食品连续两次涨价后价格是元,那么原价是_______．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题29】         长方形铁片四角各截去一个边长为的正方形, 而后折起来做一个没盖的盒子,铁片的长是宽的倍,作成的盒子容积为立方分米, 则铁片的长等于_______，宽等于_______．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题30】         已知一元二次方程的两根分别为，那么的值为_______．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【习题31】         已知，则的值为_______．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【习题32】         用适当的方法解下列方程：

 （1）；（2）；

 （3）；   （4）．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题33】         用适当的方法解下列方程：

（1）；     （2）．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题34】         在实数范围内将下列二次三项式分解因式：

 （1）；   （2）；

 （3）；  （4）．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题35】    解方程：．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题36】    求证：不论为何值，关于x的方程总有两个不相等的实数根．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题37】    关于的一元二次方程

（1）当取何值时，此方程有两个不相等的实数根；

（2）当取何值时，此方程有两个相等的实数根；

（3）当取何值时，此方程没有实数根．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题38】    已知关于x的一元二次方程没有实数根，试判断关于的一元二次方程根的情况，并说明理由．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题39】         已知为实数，且，，求及的值．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题40】         说明：不论取何值，代数式的值总大于，再求出当取何值时，

 代数式的值最小？最小是多少？

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题41】    据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，年的利用率只有，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到，求每年的增长率．(取)

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题42】         品牌的香烟每条的市场价格为元,不加收附加税时, 每年产销万条,若国家征收附加税,每销售元征税元(叫做税率), 则每年的产销量将减少万条．要使每年对此项经营所收取附加税金为万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过万条,问税率应确定为多少?

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【习题43】    某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个．调查表明：这种台灯的售价每上涨元，其销售量就将减少个．为了实现平均每月元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【习题44】    机械加工需要用油进行润滑以减少摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为千克，用油的重复利用率为，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为千克．为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关．

   （1）甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑油用油量下降到千克，用  油的重复利用率仍然为．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？

   （2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新的基础上，润滑用油量每减少千克，用油量的重复利用率将增加．这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到千克．问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【作业1】   如果一元二次方程有一个根为0，则m=_________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业2】             若关于的一元二次方程中，满足，则 该方程有一根是_________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业3】   如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的取值是_____．

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业4】   方程中，=_________，根的情况是_______________________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业5】        已知方程没有实数根，那么代数式

_________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业6】   用适当方法解下列一元二次方程：

 （1）； （2）；

 （3）； （4）；

 （5）；（6）．

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业7】        用适当的方法解下列方程：

 （1）； （2）；

 （3）；      （4）．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业8】   在实数范围内分解因式：

 （1）；（2）；

 （3）；（4）．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业9】        已知关于的方程，求当为何值时，此方程有实数根．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业10】    试证明关于的方程，无论取何值，该方程都是一元二次方程？

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业11】              一个长方形的养鸡场，长靠墙14m,其它三边用篱笆围成，现有35m长的篱笆，小王打算用它围成一个养鸡场，其中长比宽多5m，小赵也打算围成一个鸡场，其中长比宽多2m，你认为谁的设计合理，鸡场面积是多少？

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业12】         某科技公司研制成功一种新产口，决定要银行贷款万元资金，用于生产这种产品．签定的合同上约定两年到期时一次性还本付息，利息为本金的．该产口投放市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外，还盈余万元．若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的面分数相同，试求这个百分数．

 【难度】★★★

【答案】

【解析】

【作业13】         某商场在“五一节”的假日里实行让利销售，全部商品一律按九销售，这样每天所获得的利润恰是销售收入的，如果第一天的销售收入万元，且每天的销售收入都有增长，第三天的利润是万元，

   （1）求第三天的销售收入是多少万元？

（2）求第二天和第三天销售收入平均每天的增长率是多少？  

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【作业14】         某商场将每件进价为元的某种商品原来按每件元出售，一天可售出件，后来经过市场调查，发现这种商品的单价每降低元，其销量可增加件．

   （1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？

   （2）要使商场经营该商品一天获利润元，则每件商品应降价多少元？

【难度】★★★

【答案】

【解析】