2021年北京市东城区九年级下学期中考一模数学试卷（word版 含答案）

这是一份2021年北京市东城区九年级下学期中考一模数学试卷（word版 含答案），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年北京市东城区九年级下学期中考一模数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．某几何体的三种视图如图所示，则该几何体是（ ）

A．三棱柱 B．长方体 C．圆柱 D．圆锥
2．在平面直角坐标系中，下列函数的图象不过点的是（ ）
A． B． C． D．
3．2020年7月23日，中国首颗火星探测器“天问一号”成功发射．2021年2月10日，在经过长达七个月，475 000 000公里的漫长飞行之后，“天问一号”成功进入火星轨道．将475000000科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
4．一副三角板如图放置，斜边互相平行，且每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，在图中所标记的角中，与相等的角是（ ）

A． B． C． D．
5．如图，经过旋转或轴对称得到，其中绕点A逆时针旋转的是（ ）
A． B．
C． D．
6．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）

A．b+c＞0 B．a-b＞a-c C．ac＞bc D．ab＞ac
7．如图，PA，PB是的切线，切点分别为A，B， PO的延长线交于点C，连接OA，OB，BC．若，则等于（ ）

A． B． C． D．
8．一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是，．现要做一个与其相似的三角形木架，如果以长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到（ ）
A． B． C． D．

二、填空题
9．若分式的值为0，则x的值等于___________．
10．分解因式：___________．
11．用一组，的值说明命题“若，则”是错误的，这组值可以是____， ____
12．4月23日是世界读书日，甲、乙两位同学在读书日到来之际共购买图书22本，其中甲同学购买的图书数量比乙同学购买的图书数量的2倍多1，求甲、乙两位同学分别购买的图书数量．设甲同学购买图书x本、乙同学购买图书y本，则可列方程组为___________．
13．有人做了掷骰子的大量重复试验，统计结果如下表所示：
投掷次数（n）
“出现点数为1”的次数（频数m）
频率
300
52
0.173
400
65
0.163
500
80
0.160
600
99
0.165
700
114
0.163
800
136
0.170
900
151
0.168
1000
166
0.166
根据上表信息，掷一枚骰子，估计“出现点数为1”的概率为__________（精确到0.001）
14．若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是_____．
15．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的最小值是___________．
16．小青要从家去某博物馆参加活动，经过查询得到多种出行方式，可选择的交通工具有地铁、公交车、出租车、共享单车等，小青的家到地铁站（或公交车站）有一段距离，地铁站（或公交车站）到该博物馆也有一段距离，需要步行或骑共享单车，共享单车的计价规则为：每30分钟1.5元，不足30分钟的按30分钟计算，出行方式的相应信息如下表（√表示某种出行方式选择的交通工具）；

乘出租车
乘坐
公交车
乘坐地铁
骑共享
单车
共需步行
（公里）
总用时
（分钟）
费用
（元）
方式1


√

2.0
47
4
方式2



√

56
3
方式3

√


1.6
78
3
方式4

√


1.8
80
3
方式5

√
√

1.5
60
6
方式6

√
√

1.6
56
6
方式7

√
√

1.7
55
6
方式8

√
√

1.5
57
6
方式9
√



0.2
32
41
根据表格中提供的信息，小青得出以下四个推断：
①要使费用尽可能少，可以选择方式2，3，4；
②要使用时较短，且费用较少，可以选择方式1；
③如果选择公交车和地铁混合的出行方式，平均用时约57分钟；
④如果将上述出行方式中的“步行”改为“骑共享单车”，那么除方式2外，其它出行方式的费用均会超过8元．
其中推断合理的是_______________（填序号）．

三、解答题
17．计算：．
18．已知，求代数式的值．
19．尺规作图：如图，已知线段a，线段b及其中点．

求作：菱形ABCD，使其两条对角线的长分别等于线段a，b的长．
作法：①作直线m，在m上任意截取线段；
②作线段AC的垂直平分线EF交线段AC于点O；
③以点O为圆心，线段b的长的一半为半径画圆，交直线EF于点B，D；
④分别连接AB，BC，CD，DA；
则四边形ABCD就是所求作的葵形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．
证明：，
四边形ABCD是_______________．
，
四边形ABCD是菱形（____________________________）（填推理的依据）．
20．解不等式组：，并写出其中的正整数解．
21．解分式方程：．
22．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作于点E，DE的延长线交AB于点F，过点B作交DC于点G，交AC于点M．过点G作于点N．

（1）求证：四边形NEMG为矩形；
（2）若，求线段AC的长．
23．在平面直角坐标系中，直线与直线平行，且过点．
（1）求直线的表达式；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点．直线与直线关于y轴对称，直线与直线围成的区域W内（不包含边界）恰有6个整点，求m的取值范围．
24．如图，是的内接三角形，过点C作的切线交AB的延长线于点D，于点E，交CD于点F．

（1）求证：；
（2）若，求线段CF的长．
25．第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，将于2022年2月4日至2月20日，在北京市和张家口市同时举行，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取10人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下而给出了相关信息：
a．30名同学冬奥知识测试成绩的统计图如下：

b．30名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，
）：

c．测试成绩在这一组的是：
70 73 74 74 75 75 77 78
d．小明的冬奥知识测试成绩为85分
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小明的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第_________；
（2）抽取的30名同学的成绩的中位数为_________；
（3）序号为1-10的学生是七年级的，他们的成绩的方差记为；序号为11-20的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为；序号为21-30的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为．直接写出的大小关系；
（4）成绩80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级420名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为_________人．
26．在平面直角坐标系中，点在抛物线上，其中．
（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）①当时，求y的值；
②若，求x1的值（用含a的式子表示）；
（3）若对于，都有，求a的取值范围．
27．已知，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不与点A，B重合），点P关于直线AN的对称点为点Q，连接．点A关于直线BQ的对称点为点C，连接．
（1）如下图，若P为线段AB的中点．

①直接写出的度数；
②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；
（2）如下图，若线段CP与BQ交于点D．

①设，求的大小（用含a的式子表示）；
②用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
28．在平面直角坐标系中，已知正方形，其中，M，N为该正方形外两点，．给出如下定义：记线段MN的中点为P，平移线段MN得到线段，使点分别落在正方形的相邻两边上，或线段与正方形的边重合（分别为点M，N，P的对应点），线段长度的最小值称为线段MN到正方形的“平移距离”．
（1）如下图，平移线段MN，得到正方形内两条长度为1的线段，则这两条线段的位置关系是_______；若分别为的中点，在点中，连接点P与点_______的线段的长度等于线段MN到正方形的“平移距离”；

（2）如图，已知点，若M，N都在直线BE上，记线段MN到正方形的“平移距离”为，求的最小值；

（3）若线段MN的中点P的坐标为，记线段MN到正方形的“平移距离”为，直接写出的取值范围．


参考答案
1．C
【详解】
解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，
根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．
故选．
2．C
【分析】
利用x=1时，求函数值进行一一检验是否为1即可
【详解】
解：当x=1时，，图象过点，选项A不合题意；
当x=1时，，图象过点，选项B不合题意；
当x=1时，，图象不过点，选项C合题意；
当x=1时，，图象过点，选项D不合题意；
故选择：C．
【点睛】
本题考查求函数值，识别函数经过点，掌握求函数值的方法，点在函数图像上点的坐标满足函数解析式是解题关键．
3．B
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】
解：475000000＝4.75×108．
故选择：B．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．A
【分析】
根据平行线的性质和三角形外角的性质，三角板的特点即可求出各角的度数，即可求解．
【详解】
解：由三角板的特点得∠2=45°，∠4=30°，∠5=60°，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2=45°，
∴∠3=∠1+∠4=75°，
∴与相等的角是∠2．

故选：A
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的外角定理，三角板的特点等知识，熟知一副三角板的六个角的度数是解题关键．
5．D
【分析】
根据旋转的性质及轴对称的性质逐一判断即可得答案．
【详解】
A.从△ABC到△A′B′C′是绕点A逆时针旋转90°，故该选项不符合题意，
B.从△ABC到△A′B′C′是轴对称所得，故该选项不符合题意，
C.从△ABC到△A′B′C′是轴对称所得，故该选项不符合题意，
D.从△ABC到△A′B′C′是绕点A逆时针旋转60°，故该选项符合题意，
故选：D．
【点睛】
本题考查旋转的性质及轴对称的性质，正确找出对应边和对应角是解题关键．
6．A
【分析】
先根据数轴的定义可得，再根据不等式的基本性质逐项判断即可得．
【详解】
由数轴的定义得：，
A、，此项正确，符合题意；
B、，
，
，此项错误，不符题意；
C、，
，此项错误，不符题意；
D、，
，此项错误，不符题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了数轴、不等式的基本性质，熟练掌握数轴的定义是解题关键．
7．B
【分析】
结合已知条件推知直角的直角边与斜边的关系可求，进而根据圆周角定理求出∠C．
【详解】
解：与相切于点，
．
，，
∴，
，
∴
故选：B．
【点睛】
本题考查了切线的性质、圆周角定理．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
8．C
【分析】
根据勾股定理求出斜边的长，以长的木条为直角边，设相似的三角形中斜边长为，利用相似三角形的对应边的比相等列分式方程，解方程即可得到答案．
【详解】
∵直角三角形两条直角边分别是，，
∴斜边，
∵要做一个与其相似的三角形木架，
∴两个三角形对应边成比例，
∵直角三角形中斜边最大，
∴以长的木条为直角边，设相似的三角形中斜边长为，
则有2种情况，
①，解得：，
②，解得：，
∴另两边中长度最大的一边最多可达到，
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质及勾股定理，利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等进行计算是解题的关键．
9．0
【分析】
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
【详解】
解∵分式的值为0，
∴，
解得x＝0且x≠，
∴x的值为0，
故答案为：0．
【点睛】
此题主要考查了分式的值为零的条件，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
10．．
【分析】
先提取公因式m，然后再运用完全平方公式因式分解即可．
【详解】
解：，
＝，
＝．
故答案为．
【点睛】
本题考查了因式分解，掌握并灵活运用提取公因式、完全平方公式因式分解是解答本题的关键．
11．1（答案不唯一） -2（答案不唯一）
【分析】
举出一个反例：a=1，b=-2，说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是错误的即可．
【详解】
解：当a=1，b=-2时，满足a＞b，
但是a2=1，b2=4，a2＜b2，
∴命题“若a＞b，则a2＞b2”是错误的．
故答案为：1、-2．（答案不唯一）
【点睛】
此题主要考查了命题与定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
12．
【分析】
根据题意分别列出二元一次方程，组成方程组即可．
【详解】
由题意得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查列二元一次方程组，理解题意，找准数量关系是解题关键．
13．0.166
【分析】
利用概率=出现的结果数÷数据总数，代入数据进行求解即可得到答案．
【详解】
解：由题目表格知
数据总数=300+400+500+600+700+800+900+1000=5200
出现点数为“1”次数=52+65+80+99+114+136+151+166=863
∴“出现点数为1”的概率=出现点数为“1”次数÷数据总数=863÷5200≈0.166
故答案为：0.166．
【点睛】
本题主要考查了频数与频率之间的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
14．6
【分析】
任何多边形的外角和是360°，内角和等于外角和的2倍则内角和是720°．n边形的内角和是（n-2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【详解】
设该多边形的边数为n，
根据题意，得，（n﹣2）•180°＝720°，
解得：n＝6．
故这个多边形的边数为6．
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
15．0．
【分析】
利用根的判别式列出方程，再确定c的最小值即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
则c的最小值是0，
故答案为：0．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练运用一元二次方程根的判别式列出方程，根据非负数的性质确定最值．
16．①②③
【分析】
根据题目表格所给的9种出行方式的相应数据对选项进行逐一判断即可得到答案．
【详解】
解：①要使出行费用尽可能少，由表格数据可知，出行方式2、3、4的费用均为3元比其他6种出行方式费用都少，故此说法正确；
②出行方式1，出行时间47分钟，花费4元，对比较其他出行方式，出行时间最少，花费也较少，故此说法正确；
③由题意可知方式5、6、7、8为公交车和地铁混合出行方式，故平均出行时间=出行总时间÷4，即平均出行时间=（60+56+55+57）÷4=57，故此说法正确；
④题目未给出骑共享单车的时间和收费模式，无法计算，故此说法错误．
故答案为：①②③．
【点睛】
本题主要考查了出行方式费用和时间的相关知识点，解题的关键在于能够读懂题意进行解答．
17．．
【分析】
分别计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，再合并即可得到答案．
【详解】
解：



【点睛】
本题考查的是负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，以及合并同类二次根式，掌握以上的知识是解题的关键．
18．
【分析】
化简代数式，再整体代入即可．
【详解】
解：，
=，
=，
∵，
∴，
故代数式的值为．
【点睛】
本题考查了代数式求值，解题关键是熟练化简整式，再整体代入求值．
19．（1）作图见解析；（2）平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形为菱形
【分析】
（1）根据题干中提示的步骤，逐步作图即可；
（2）根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”进行证明即可．
【详解】
（1）按照步骤，作图如图所示：

（2）证明：，
四边形ABCD是平行四边形．
，
四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
故答案为：平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
【点睛】
本题考查尺规作图-作菱形，以及理论证明，掌握基本作图的方法，以及菱形的判定定理是解题关键．
20．；正整数解为1．
【分析】
分别求出两个不等式得解集，找出两个解集的公共部分即可得不等式组得解集，再找出解集中得正整数解即可得答案．
【详解】

解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组得解集为，
∴不等式组的正整数解为：1．
【点睛】
本题考查解一元一次不等式组及求不等式组得正整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．．
【分析】
先去分母转化成整式方程，解整式方程求出解，再检验即可求得答案．
【详解】

去分母得：，
移项、整理得：，
解得：，
检验：时，≠0，
∴原分式方程的解为．
【点睛】
本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤、正确运算是解题的关键，注意，解分式方程要检验，避免出现增根．
22．（1）证明见解析；（2）AC=40．
【分析】
（1）根据垂直的定义可得∠GNE=∠MEN=90°，根据平行线的性质可得∠MGN=90°，即可证明四边形NEMG是矩形；
（2）根据sin∠CAB=可求出MB得长，利用勾股定理可求出AM的长，根据平行四边形的性质可得∠CAB=∠ACD，利用AAS可证明△ABM≌△CDE，可得CE=AM，根据矩形的性质可得ME=NG，根据线段的和差关系即可得答案．
【详解】
（1）∵，，
∴∠GNE=∠MEN=90°，
∵，
∴∠MGN+∠GNE=180°，
∴∠MGN=90°，
∴四边形NEMG是矩形．
（2）∵四边形NEMG是矩形，GN=8，
∴∠AMB=∠AMG=90°，ME=GN=8，
∵sin∠CAB=，AB=26，
∴MB=10，
∴=24，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，
∴∠CAB=∠ACD，
在△ABM和△CDE中，，
∴△ABM≌△CDE，
∴CE=AM=24，
∴AC=AM+CE-ME=24+24-8=40．
【点睛】
本题考查矩形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质及解直角三角形，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
23．（1）；（2）或．
【分析】
（1）根据直线与直线平行，且过点A（2，7）从而可以求出对应的函数解析式即可；
（2）根据直线与直线关于y轴对称，在根据（1）中求得的，求出对应的，再根据整点的定义求解即可．
【详解】
解：（1）∵直线与直线平行
∴直线
又∵直线过点A（2，7）
∴，即
∴直线的解析式为
（2）∵直线
∴直线与x轴的交点为（，0），与y轴的交点为（0，1）
设直线的解析式为
∵直线与直线关于y轴对称
∴直线与x轴的交点为（，0），与y轴的交点为（0，1）
∴解得
故可画出如下图所示的函数图像
当，由图像可知m值越小所围的区域越大
当时，整点有（0，0）、（0，-1）、（0，-2）、（0，-3）、（1，-3）、（-1，-3）恰好6个整点
当时，只有（0，0）、（0，-1）、（0，-2）三个整点，（0，-3）、（1，-3）、（-1，-3）这三个点正好在边界上
故时恰好有6个整点
故由对称性可知当，所围成的区域也恰好有6个整点
综上所述：或．

【点睛】
本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点．
24．（1）证明过程见解析；（2）
【分析】
（1）连接OB，OC，证明OE垂直平分BC，OE是的角平分线，得到，再根据圆周角定理求解即可；
（2）根据已知条件证明，再利用勾股定理求解即可；
【详解】
（1）连接OB，OC，

是的切线，，
，
∴，，
∴，，
∵弦BC，
∴OE垂直平分BC，OE是的角平分线，
∴，
∵为弧BC所对的圆周角，为弧BC所对的圆心角，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，OE垂直平分BC，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，

在中，，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了圆的综合运用，锐角三角函数的应用，结合相似三角形的判定与性质、勾股定理求解是解题的关键．
25．（1）5；（2）74；（3）；（4）140．

【分析】
（1）根据成绩统计图判断出85分以上的人数为4人，即可得出小明排第5；
（2）先判断出中位数位于哪一组，再结合b中的频数和c中的数据，根据中位数的定义判断即可；
（3）根据方差的定义，再结合统计图判断即可；
（4）先求出样本中80分以上的比例，再乘以该校初中总人数420即可．

【详解】
解：（1）如图所示，可知小明的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第5；

（2）由中位数的定义可知，将这组数据按从小到大排列后，最中间的两个数据的平均数即为中位数，
由频数分布直方图可知六个组的人数分别为3、4、5、8、7、3，因此第15和16个数据位于第四组；
由c中信息可知，第15和16个数据分别是74和74，
因此中位数还是74；
（3）由图可知，八年级点的波动最大，九年级的波动最小，
∴;


（4）由b图可知，成绩80分以上的人数为7+3=10（人），
∴若该校初中三个年级420名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为（人）．
【点睛】
本题涉及到的知识点有频数分布直方图、中位数、方差、用样本数据估计总体等知识，要求学生能从题干和图形中挖掘有效信息，在理解相关概念的前提下正确判断或求解，能通过样本数据估计总体的数据，考察了学生的审题能力、读图能力、处理数据的能力以及综合分析的能力等．
26．（1）；（2）①；②；（3）
【分析】
（1）根据对称轴公式计算即可；
（2）①把代入即可得解；②令，求出方程的解，再根据已知条件判断即可；
（3）分三种情况根据二次函数的性质讨论即可；
【详解】
（1）∵，
∴对称轴；
（2）①当时，；
②令，则，。
∴，
∴，，
又∵且，
∴；
（3）当时，恒成立；
当时，恒不成立；
当，时，
设关于对称轴的对称点为，
由抛物线的对称性可知在抛物线上，且，，，
又∵时，，
∴时，，
∵，，
∴时，，
而，
即时，成立，
∴，
∴，
当时，，由于，故当时，不存在；
综上所述：．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质应用，准确分析计算是解题的关键．
27．(1)①，②补图见解析，，(2) ①,②CD =PD+DQ；
【分析】
(1)①根据对称可求△APQ为等边三角形，根据中点可得BP=PQ，可求的度数；②依题意补全图形即可，利用解直角三角形可判断出线段CP与AP的数量关系；
(2)①连接CQ，根据对称得到CQ= PQ，求出顶角∠CQP=即可；②在DC上截取DE=DQ，证△QCE≌△QPD，可得线段之间的数量关系．
【详解】
解：(1)①∵，点P关于直线AN的对称点为点Q，
∴∠PAQ=2∠MAN=60°，AP=AQ，
∴△APQ是等边三角形，
∴PQ=AP=BP，∠QPA=∠AQP =60°，
∴；
②补图如图所示：连接BC，由对称得，BC=BA，∠CBP=2∠ABQ=60°，
∴∠CBP=∠PAQ，
∵BP=AQ，
∴△CBP≌△BAQ，
∴CP=BQ，
，
∵AP=AQ，
∴；

(2) ①连接CQ，
∵，由对称可知，∠CQB=∠AQB=60°+，CQ=AQ=PQ，
∴∠CQP=，
∠CPQ=；
②在DC上截取DE=DQ，由①得，∠CPQ＋＝60°，
∴∠CDQ=∠CPQ＋＝60°，
∴△DEQ是等边三角形，
∴QE=QD，∠EQD=60°，
∵∠CQB=60°+，
∴∠CQE=∠PQD=，
∵QC=QP，QE=QD，
∴△QCE≌△QPD，
∴CE=PD，
∴CD=CE+ED=PD+DQ；

【点睛】
本题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和解直角三角形，解题关键是恰当作辅助线，关键全等三角形进行推理证明．
28．（1）平行，P1；（2）的最小值为；（3）．
【分析】
（1）根据图形，比较PP1，PP2的长度即可求解；
（2）根据已知条件求得∠P1BE=45，过P1作P1Q⊥BE于Q，则△P1QB为等腰直角三角形，利用特殊角三角函数值即可求解；
（3）先找到最值点，再利用两点之间的距离公式即可求解．
【详解】
（1）解：由图可得MN∥M1N1，MN∥M2N2，
∴M1N1∥M2N2，
而PP1 故线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为PP1；
故答案为：平行，P1；
（2）∵B(0，)，C(，0)，四边形ABCD为正方形，
∴BC=，∠BCA=45，
∵E(，0)，
∴CE=BC，
∴∠1=∠2，则∠1+∠2=∠BCA=45，
∴∠1=∠2=22.5，
在Rt△BMN中，BP1为斜边上的中线，
则BP1=MN==NP1，
∴∠P1BN=∠P1NB，
又MN∥BE，
∴∠2=∠P1NB，
∴∠2=∠P1NB=45，∠P1BE=∠2+∠P1BN=45，
过P1作P1Q⊥BE于Q，则△P1QB为等腰直角三角形，

在Rt△P1QB中，P1Q=P1B=，
∴的最小值为；
（3）解：根据题意，P1、P2分别是AB、BC的中点，
则线段MN到正方形ABCD的“平移距离”最大为PP1，最小为PP2，

此时，P1 (，)，P2 (，)，
∴PP1=，
PP2=，
∴的取值范围是．
【点睛】
本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、坐标与图形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．