2021年四川省简阳市中考第一次诊断性测试数学试卷（word版 含答案）

这是一份2021年四川省简阳市中考第一次诊断性测试数学试卷（word版 含答案），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年四川省简阳市中考第一次诊断性测试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．2035
2．如图所示的几何体，从正面看到的平面图形是（ ）

A． B． C． D．
3．杜甫草堂坐落在成都市西门外的浣花溪畔，是中国唐代大诗人杜甫流寓成都时的故居，是中国规模最大、保存最完好、知名度最高且最具特色的杜甫行踪遗迹地，年游客量达百万余人次，100万用科学记数法表示为（ ）
A．1×105 B．1×106 C．1×107 D．1×108
4．计算的结果是（ ）
A．a2bc B． C．7a2bc D．
5．在2，6，5，3，2这列数中，众数和中位数分别是（ ）
A．5，2 B．3，2 C．2，3 D．3，6
6．二次根式有意义时，x的取值范围是（ ）．
A．x≤ B．x< C．x> D．x≥
7．如图，在Rt△ABC中，，，cosA=，则的长为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
8．如图，已知l1∥l2∥l3，，，，则（ ）

A．10 B．11 C． D．
9．如图，四边形ABCD内接于圆O，，则的度数是（ ）

A．127° B．108° C．126° D．125°
10．已知的图象是抛物线，若将抛物线分别向上、向右平移2个单位，那么平移后抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．

二、填空题
11．分解因式：____．
12．已知反比例函数的图象上一点P，过点P作轴于点M，连接OP且的面积为3，则k的值是____．

13．半径为12cm，则45°的圆心角所对的弧长是____cm．
14．如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图：分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，连接AE．若，则△ABE的周长____．

15．比较大小：____．（填“＞”、“＜”或“＝”）
16．设方程的两根为Rt△ABC的两条直角边的长，则Rt△ABC外接圆的半径是____．
17．从0，1，2，3，4这五个数中，随机抽取一个数，作为函数和关于的不等式组中m的值，恰好使所得函数的图象经过第二、四象限，且不等式组无解的概率为____．
18．如图，已知点都在反比例函数的图象上．将线段AB沿直线进行对折得到线段，且点始终在直线OA上．当线段与x轴有交点时，b的取值的最大值是____．

19．如图，在Rt△ABC中，点P是边AB上一动点，PQ⊥PC交BC于Q，点R是PC的中点，连接AR、QR，设AP为x，四边形ABQR面积为y，则y与x的函数关系式为（含自变量的取值范围）____．


三、解答题
20．（1）计算：
（2）在如图所示的坐标系中，分别作出函数和的图象，并利用图象直接写出方程组的解．

21．先化简，再求值：，其中．
22．如图，为了测量小河对岸一座小山BC的高度，某测绘小组先在斜坡上的D处，测得小山顶端B的仰角为30°，且D离地面的高度．斜坡AD的坡度i1：3（坡面的垂直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比）用字母i表示），然后在A处测得小山顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求小山BC的高．（结果用含有根号的式子表示）

23．“赏中华诗词，寻文化基因”，我市某校举办了首届“中国诗词大会”．赛后调查整理部分参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

请结合图表完成下列各题：
（1）求被调查的总人数；
（2）请把条形统计图补充完整；
（3）若本次决赛的前5名是3名女生A、B、C和2名男生M、N，若从3名女生和2名男生中分别抽取1人参加市里的比赛，试用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到女生B和男生M的概率．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点B的坐标为（1，0），顶点A的坐标为（，2），对角线AC∥x轴，边BC所在直线与反比例函数的图象交于C，E两点．
（1）求和的函数解析式；
（2）点P是x轴上一动点，当△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，请求出点P的坐标．

25．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，连接CE，BD是⊙O的切线与OE的延长线相交于点D．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若⊙O的半径为5，，求FH的长．

26．东营市某学校2015年在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
（2）2016年为响应习总书记“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个，恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了10%，乙种足球售价比第一次购买时降低了10%，如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
27．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：

（1）如图1，已知：在△ABC中，，D、A、E三点都在直线m上，并且有．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请证明你的结论；
（2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC中，．将一把三角尺中30°角顶点P放在BC边上，当P在BC边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A，另一条边交AC边于点Q，P、Q不与三角形顶点重合．设．当在许可范围内变化时，取何值总有△ABP∽△PCQ？当在许可范围内变化时，取何值总有△ABP∽△QCP？
（3）试探索有无可能使△ABP、△QPC、△ABC两两相似？若可能，写出所有、的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．
28．已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，顶点为点D，如图1所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，是否存在以点A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2所示，抛物线的对称轴与x轴交于点N，连接CN，将△OCN绕着点N顺时针旋转得到，在旋转过程中，连接，当首次出现时．求直线的函数表达式．



参考答案
1．D
【分析】
根据“一个负数的绝对值是它的相反数”可得答案．
【详解】
解：∵一个负数的绝对值是它的相反数，
∴-2035的绝对值是2035．
故选：D．
【点睛】
本题考查绝对值的求法，掌握绝对值的性质是解题关键．
2．C
【分析】
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】
从正面看易得此几何体的主视图是一个梯形．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．B
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
解：100万=1000000=1×106．
故选：B．
【点睛】
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．B
【分析】
根据合并同类项的法则计算解答即可．
【详解】
解：
故选B．
【点睛】
本题考查了合并同类项，关键是根据合并同类项的法则计算．
5．C
【分析】
将这组数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
【详解】
解：将这组数据重新排列为2、2、3、5、6，其中出现次数最多的数是2，处于中间位置的数是3，所以这组数据的众数为2，中位数为3，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
6．D
【分析】
先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】
∵二次根式有意义，
∴2x-3≥0，
解得x≥．
故选D．
7．A
【分析】
根据AC及cosA求出AB，根据勾股定理求出BC．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，cosA＝，
∴cosA＝，
∴AB＝5，
∴BC＝．
故选A．
【点睛】
本题考查了三角函数的定义和勾股定理．解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用．
8．D
【分析】
根据平行分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】
解： l1∥l2∥l3，
，
即，
解得：，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
9．C
【分析】
根据圆周角定理求出∠A的度数，根据圆内接四边形的性质得出∠A＋∠BCD＝180°，代入求出即可．
【详解】
解：∵对的圆周角是∠A，圆心角是∠BOD，∠BOD＝108°，
∴∠A＝∠BOD＝54°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠A＋∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°-∠A=126°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，关键是求出∠A的度数和得出∠A＋∠BCD＝180°．
10．A
【分析】
根据抛物线平移变化规律：左加右减自变量，上加下减常数项，直接求解即可．
【详解】
解：向上、向右平移2个单位，那么平移后抛物线的解析式是，
故选：A．
【点睛】
本题考查了抛物线的平移，解题关键是熟练运抛物线平移变化规律求解析式．
11．
【分析】
直接提公因式分解即可．
【详解】
解：
故答案为：
【点睛】
此题主要考查了因式分解，注意分解要彻底．
12．6
【分析】
过双曲线上任意一点与原点所连的线段、与一条坐标轴和向这条坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|．
【详解】
解：因为△PMO的面积是3，
所以|k|＝2×3＝6．
所以k＝±6．
因为反比例函数在二、四象限，
∴k=-6,
故答案为:-6．
【点睛】
主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，双曲线上任意一点与原点所连的线段、与一条坐标轴和向这条坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值|k|．这里体现了数形结合的思想，正确理解k的几何意义是关键．
13．3π
【分析】
利用弧公式计算即可得到答案．
【详解】
解：根据圆周角定理，得弧所对的圆心角是90°，
根据弧长的公式，
故答案为：．
【点睛】
此题考查弧长公式，熟记公式是解题的关键．
14．6
【分析】
根据作图过程可知MN是AC的垂直平分线，得EA=EC，进而可得AB+ BE+AE=AB+BC，由此得解．
【详解】
解：根据作图过程可知：MN是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴BE+AE=BE+EC=BC，
又∵，，
∴△ABE的周长AB+ BE+AE=AB+BC=2+4=6
故答案为6．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
15．＜
【分析】
先算出的值，再与2.236进行比较即可．
【详解】
解：∵≈2.23606……，
∴2.236＜．
故答案为：＜．
【点睛】
本题考查了实数的大小比较，能够识记特殊数的算术平方根是解答此类问题的关键．
16．
【分析】
解方程求出直角三角形的两条直角边的长，根据勾股定理求出斜边长，根据直角三角形的性质解答即可．
【详解】
解：方程，
解得：，，
则Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，
由勾股定理得，Rt△ABC的斜边为，
Rt△ABC外接圆的半径为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形外接圆与外心、一元二次方程的解法，掌握直角三角形的斜边长等于这个直角三角形的外接圆的直径是解题的关键．
17．
【分析】
根据一次函数的图象和性质，不等式组的解集确定m的取值，进而得出答案．
【详解】
解：在0，1，2，3，4这五个数中，使函数y=（5-m2）x的图象经过第二、四象限，即5-m2＜0的m的值为3或4，
不等式组中5-2x≥-1的解集为x≤3，不等式x-m＞0的解集为x＞m，要使不等式组无解，此时m≥3，因此m的值可以为3或4，
所以0，1，2，3，4这五个数中，符合要求的有两个，
因此，相应的概率为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查一次函数的图象和性质，不等式组的解集以及概率的计算，理解概率的意义，掌握一次函数的性质和不等式组的解集是得出正确答案的前提．
18．
【分析】
由题可得m（m+1）=（m+3）（m-1），解这个方程求出m的值，由于点A关于直线y=kx+b的对称点点A1始终在直线OA上，因此直线y=kx+b必与直线OA垂直，只需考虑两个临界位置（A1在x轴上、B1在x轴上）对应的b的值，就可以求出b的取值范围，再确定b的最大值．
【详解】
解：∵点A（m，m+1），B（m+3，m-1）都在反比例函数y=的图象上．
∴m（m+1）=（m+3）（m-1）．
解得：m=3．
①当点B1落到x轴上时，如图1，

设直线OA的解析式为y=ax，
∵点A的坐标为（3，4），
∴3a=4，即a=．
∴直线OA的解析式为y=x．
∵点A1始终在直线OA上，
∴直线y=kx+b与直线OA垂直．
∴k=-1．
∴k=．
∴直线y=x+b，
由于BB1∥OA，可设直线BB1解析式为y=x+c．
∵点B的坐标为（6，2），
∴×6+c=2，即c=-6．
∴直线BB1解析式为y=x-6．
当y=0时，x-6=0．则有x=．
∴点B1的坐标为（，0）．
∵点C是BB1的中点，
∴点C的坐标为（，）即（，1）．
∵点C在直线y=-x+b上，
∴×+b=1．
解得：b=．
②当点A1落到x轴上时，如图2，

此时，点A1与点O重合．
∵点D是AA1的中点，A（3，4），A1（0，0），
∴D（，2）．
∵点D在直线y=x+b上，
∴×+b=2．
解得：b=．
综上所述：当线段A1B1与x轴有交点时，则b的取值范围为≤b≤．
b的取值的最大值是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,中点坐标公式待定系数法求一次函数解析式，等知识，利用线段A1B1与x轴有交点时，分类讨论A1、B1在x轴上的思想方法，是一道好题．
19．
【分析】
过点Q作QD⊥AB可得△DPQ∽△ACP，用含x的式子表示出QD的长，再分别表示出S△PQB和S四边形APQR，进而可得y与x的关系式．
【详解】
解：过点Q作QD⊥AB，

∵
∴∠B=∠ACB=45°，
∴BD=DQ，
∵∠QPR=∠PAC=90°，
∴∠DPQ+∠APC =∠ACP+∠APC，
∴∠DPQ=∠ACP，
∵∠QDP=∠PAC=90°，
∴△DPQ∽△ACP，
∴，
∵PD=4-x-BD=4-x-QD，
∴，
∴，
∴．
∵S△ABC=×4×4=8，
∴S四边形APQC=．
∵R是CP的中点，
∴S四边形APQR=×S四边形APQC=，
∴y=S△PQB+S四边形APQR．
故答案为：．
【点睛】
本题考查列函数关系式，由相似三角形得到DQ的长是解题关键．
20．（1）；（2）作图见解析，方程组的解是．
【分析】
（1）由依次代入解题；
（2）利用描点，连线画出两个一次函数的图象，再观察它们的交点．
【详解】
解：（1）原式

;
（2）列表：
x
…
0
-1
…

…
-4
-3
…

…
2
0
…
如图：

由作图知，方程组的解是．
【点睛】
本题考查实数的混合运算，涉及特殊角的三角函数值、一次函数的图象、二元一次方程组与一次函数图象的交点等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
21．；．
【分析】
先把括号内的分式化为同分母分式，计算加减法，同时把除法运算转化为乘法运算，约分后再计算减法可得化简的结果，把代入化简后的代数式进行计算即可得到答案．
【详解】
解：原式



当时，
原式．
【点睛】
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算顺序及法则是解题的关键．
22．m
【分析】
作DF⊥BC于F，根据坡度可得AE=6 m，再根据锐角三角函数列式计算即可．
【详解】
解：作DF⊥BC于F，
则四边形DECF为矩形，
∴，，
∵AD的坡度，
∴，
在Rt△BDF中，，
则，
在Rt△BAC中，，

则，
∵，
∴，
解得，，
∴，
答：小山BC的高为m．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角和坡度坡角定义．
23．（1）（人）；（2）作图见解析；（3）．
【分析】
（1）利用A等级人数除以A等级所占百分比可求被调查的总人数为（人）；
（2）从总数中减去其它等级的人数求出B等级人数，然后可以将条形统计图补充完整；
（3）根据题意女生用A、B、C，男生用M、N，画出树状图，从上图可知从3名女生和2名男生中分别抽取1人一共有6种等可能情况，其中抽到女生B和男生M的情况有1种，利用概率公式计算即可．
【详解】
解：（1）从条形图可知A等级有3人，从扇形统计图知A等级所占百分比为15%，
所以被调查的总人数为（人）；
（2）B等级人数为（人）．条形统计图补充完整如图，
；
（3）根据题意女生用A、B、C，男生用M、N画树状图如下：
,
从上图可知从3名女生和2名男生中分别抽取1人共有6种等可能情况，其中抽到女生B和男生M的情况有1种，
∴抽到女生B和男生M的概率为．
【点睛】
本题考查从条形图，扇形图获取信息能力，样本的容量，画条形图，树状图，概率，掌握以上知识是解题关键．
24．（1）；；（2）点P的坐标为或．
【分析】
（1）由图形的对称性知，点A、C关于BD对称，则点C的坐标为（4,2），进而求解；
（2）由，即，即可求解．
【详解】
解：（1）如图，连接BD，

∵四边形ABCD为菱形，AC∥x轴，
由图形的对称性知，点A、C关于BD对称，
则点C的坐标为，
将点C、B的坐标代入直线的表达式得，
解得，
；
将点C的坐标代入反比例函数表达式得：，解得，
∴
（2）设点P的坐标为，
由点P、A、C的坐标得：
，，，
由题意知：，
即，
解得，
∴点P的坐标为或．
【点睛】
本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数的性质、菱形的性质、勾股定理的运用等，有一定的综合性，但难度不大．
25．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】
（1）先判断出，再判断出即可；
（2）连接AC，证明△CEH∽△AEC，由相似三角形的性质即可得出结论；
（3）连接BE，过O作OG⊥BE于G，由锐角三角函数的定义求出AE=8，根据勾股定理求出BE，求出EH，BH的长，由三角形面积求出BF的长，则可求出答案．
【详解】
（1）证明：∵BD是⊙O的切线，
∴，
∵BC⊥OD，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：连接AC，如图2所示：

∵OF⊥BC，
∴，
∴，
∵，
∴△CEH∽△AEC，
∴，
∴；
（3）解：连接BE，过O作OG⊥BE于G，如图3所示：
∵AB是⊙O的直径，

∴，
∵⊙O的半径为5，，
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴在Rt△BEH中，．
∵OG⊥BE，
∴，
由勾股定理，可求得，
∴
∴
∴．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理，相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
26．（1）购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元；（2）这所学校最多可购买18个乙种足球．
【分析】
（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20），根据购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍列出方程解答即可；
（2）设这所学校再次购买y个乙种足球，根据题意列出不等式解答即可．
【详解】
解：（1）设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需（x+20），可得：
，
解得：x=50，
经检验x=50是原方程的解．
答：购买一个甲种足球需50元，则购买一个乙种足球需70元．
（2）设这所学校再次购买y个乙种足球，可得：50×（1+10%）×（50﹣y）+70×（1﹣10%）y≤2900，
解得：y≤18.75，
由题意可得，最多可购买18个乙种足球，
答：这所学校最多可购买18个乙种足球．
27．（1）；证明见解析；（2）；；（3）可能；，或，．
【分析】
（1）证明△ADB≌△CEA（AAS），由全等三角形的性质得出AE=BD，AD=CE，则可得出结论；
（2）由β=∠2或∠1=∠CQP，即∠2=30°+β-α=β，解得α=30°，即可求解；由β=∠1或∠2=∠CQP，同理可得：β=75°，即可求解；
（3）①当α=30°，β=30°时，则∠2=∠B=α=30°，即可求解；②当β=75°，α=52.5°时，同理可解．
【详解】
解：（1）如图1，∵，
∴，

∴，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴，，
∴；
（2）在△ABP中，，
∴，
同理可得：；
由或，
即，
解得，则△ABP∽△PCQ；
∴当在许可范围内变化时，时，总有△ABP∽△PCQ；
由或，
同理可得：．
∴当在许可范围内变化时，总有△ABP∽△QCP；
（3）可能．①当，时，
则，
则△ABP∽△PCQ∽△BCA；
②当，时，
同理可得：，，
∴△ABP∽△CQP∽△BCA．
【点睛】
本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．
28．（1）；（2）存在；，，；（3）．
【分析】
（1）利用待定系数法解题；
（2）分AC是边或是对角线两种情况，利用图形的平移和中点公式分别解题即可；
（3）连接与CN交于M，作⊥x轴于E，连接 利用勾股定理与锐角三角函数可得的坐标，再证明三点共线，进而解题．
【详解】
解：（1）∵经过A、B两点的抛物线解析式为，
将，代入解析式中，
则有，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）存在，，，，理由如下：
由（1）知，点A、C的坐标分别为，，
设点
当AC是边时，

点A向右平移1个单位，向上平移3个单位，得到点C，则向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点，则，
当时，
或
当时

解得
故（舍去）或或
，，；
当AC是对角线时，
由中点公式得，

解得（舍去）或，
故点，
综上所述，，，，
（3）连接与CN交于M，作⊥x轴于E，






在，

在中，


（负根舍去）



∴，，
连接

是的中垂线，





共线，
设直线的解析式为：，


直线的解析式为
【点睛】
本题考查二次函数与几何图形的综合题，涉及旋转、平行四边形的判定与性质、勾股定理,锐角三角函数等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．