2021年中考数学三轮冲刺《三角形》解答题冲刺练习(含答案)

2021年中考数学三轮冲刺

《三角形》解答题冲刺练习

1.【探究】

如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P.

（1）若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠A=　 　度，∠P=　 　度

（2）∠A与∠P的数量关系为　    　，并说明理由.

【应用】

如图②，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P.∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q.直接写出∠A与∠Q的数量关系为　      　.

2.如图,AD平分∠BAC，∠EAD=∠EDA.

（1）∠EAC与∠B相等吗？为什么？

（2）若∠B=50°,∠CAD:∠E=1:3，求∠E的度数.

3.（1）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，AD⊥BC于D，且AE平分∠BAC，求∠EAD的度数．

（2）上题中若∠B=40°，∠C=80°改为∠C＞∠B，其他条件不变，请你求出∠EAD与∠B、∠C之间的数列关系？并说明理由．

4.如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF.

(1)求证：BF=2AE；

(2)若CD=1，求AD的长.

5.如图，AC平分∠BCD，AB=AD，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F. 

（1）若∠ABE=60°，求∠CDA的度数.

（2）若AE=2，BE=1，CD=4.求四边形AECD的面积.

6.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M． 
 

（1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是________．   

（2）连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm． 
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．

7.如图1，P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连接PQ交AC于点D.

（1）求证：PD=DQ；

（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB=2，求DE的长.

8.如图,在等腰直角△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D是斜边BC的中点,点E、F分别为AB、AC边上的点,且DE⊥DF．

（1）判断DF与DE的大小关系,并说明理由；

（2）若BE=12，CF=5，求△DEF的面积．

9.阅读下列解题过程：

已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△ABC的形状．

   解：因为a2c2-b2c2=a4-b4， ①

       所以c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2) ②

       所以c2=a2+b2．③

       所以△ABC是直角三角形.④

回答下列问题：

（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误?该步的序号为            .

（2）错误的原因为               .

（3）请你将正确的解答过程写下来.

10.如图，在△ABC中，D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC.

(1)求证：四边形BDEF是平行四边形；

(2)线段BF，AB，AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论.

11.如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，D为垂足，E为AC的中点.

求证：

(1)DE∥BC； (2)DE=(BC－AB).

12.如图，在△ABC中，AB=AC，AM平分∠BAC，交BC于点M，D为AC上一点，延长AB到点E，使CD=BE，连接DE，交BC于点F，过点D作DH∥AB，交BC于点H，G是CH的中点.

(1)求证：DF=EF.

(2)试判断GH，HF，BC之间的数量关系，并说明理由.

0.参考答案

1.解：（1）∵∠ABC=50°，∠ACB=80°，

∴∠A=50°，

∵∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P，

∴∠CBP=∠ABC，∠BCP=∠ACB，

∴∠BCP+∠CBP=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，

∴∠P=180°﹣65°=115°，故答案为：50，115；

（2）.

证明：∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，

∴，，

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°∠P+∠PBC+∠PCB=180°，

∴，

∴，∴；

（3）.

理由：∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线相交于点Q，

∴∠CBQ=（180°﹣∠ABC）=90°﹣∠ABC，

∠BCQ=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB，

∴△BCQ中，

∠Q=180°﹣（∠CBQ+∠BCQ）=180°﹣（90°﹣∠ABC+90°﹣∠ACB）

=（∠ABC+∠ACB），

又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，

∴∠Q=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A.

2.解：（1）相等.理由如下：∵AD平分∠BAC ∴∠BAD＝∠CAD

   又∠EAD＝∠EDA ∴∠EAC＝∠EAD－∠CAD＝∠EDA－∠BAD＝∠B

（2）设∠CAD＝x°，则∠E＝3 x°，由（1）有：∠EAC＝∠B＝50°∴∠EAD＝∠EDA＝（x＋50）°

在△EAD中，∠E＋∠EAD＋∠EDA＝180°∴3 x＋2（x＋50）＝180  解得：x＝16 ∴∠E＝48°

3.解：

（1）∵∠B=40°，∠C=80°，

∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=60°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠CAE=∠BAC=30°，

∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，

∵∠C=80°，

∴∠CAD=90°﹣∠C=10°，

∴∠EAD=∠CAE﹣∠CAD=30°﹣10°=20°；

（2）∵三角形的内角和等于180°，

∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C，

∵AE平分∠BAC，

∴∠CAE=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C），

∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，

∴∠CAD=90°﹣∠C，

∴∠EAD=∠CAE﹣∠CAD=（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）=∠C﹣∠B．

4. (1)证明：∵AD⊥BC，∠BAD=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，

∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠CBE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠CBE，

在△ADC和△BDF中，，∴△ADC≌△BDF(ASA)，∴BF=AC，

∵AB=BC，BE⊥AC，∴AC=2AE，∴BF=2AE；

(2)解：∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD=1，在Rt△CDF中，CF==，

∵BE⊥AC，AE=EC，∴AF=CF=，∴AD=AF+DF=1+.

5.解：（1）∵AC平分∠BCD，AE⊥BC AF⊥CD， 

∴AE=AF，

在Rt△ABE和Rt△ADF中，AE=AF，AB=AD.

∴Rt△ABE≌Rt△ADF，

∴∠ADF=∠ABE=60°，

∴∠CDA=180°﹣∠ADF=120°；

（2）由（1）知：Rt△ABE≌Rt△ADF， 

∴FD=BE=1，AF=AE=2，CE=CF=CD+FD=5，

∴BC=CE+BE=6，

∴四边形AECD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积=10.

6.解：（1）50°
（2）猜想的结论为：∠NMA=2∠B﹣90°． 
理由：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠A=180°﹣2∠B，
又∵MN垂直平分AB，
∴∠NMA=90°﹣∠A=90°﹣（180°﹣2∠B）=2∠B﹣90°．
如图：
 

①∵MN垂直平分AB．∴MB=MA，
又∵△MBC的周长是14cm，
∴AC+BC=14cm，∴BC=6cm．
②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是8cm．

7.（1）解：∵EF垂直平分AC，

∴AE=CE，

∴∠C=∠EAC=40°，

∵AD⊥BC，BD=DE，

∴AB=AE，

∴∠B=∠BEA=2∠C=80°，

∴∠BAD=90°﹣80°=10°；

（2）由（1）知：AE=EC=AB，

∵BD=DE，

∴AB+BD=DE+AE=DE+CE=DC，

∴DE=1.

8.解：（1）DF=DE，理由如下：如图，连接AD，

∵AB=AC，D为BC的中点，

∴AD⊥BC，AD=CD=BD，

∵DE⊥DF，∴∠CDF+∠ADF=∠EDA+∠ADF，即∠CDF=∠ADE，

在△DCF和△DAE中，

，

∴△DCF≌△DAE（ASA），

∴DF=DE；

（2）由（1）知：AE=CF=5，同理AF=BE=12．

∵∠EAF=90°，

∴EF2=AE2+AF2=52+122=169．

∴EF=13，

又∵由（1）知：△AED≌△CFD，

∴DE=DF，

∴△DEF为等腰直角三角形，DE2+DF2=EF2=169，

∴DE=DF=，

∴S△DEF=×（）2=．

9.（1）③ 

（2）忽略了a2-b2=0的可能

（3）解：因为a2c2-b2c2=a4-b4，所以c2(a2-b2)=(a2-b2)(a2+b2), 所以a=b或c2=a2+b2．

     所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.

10.解：(1) 延长CE交AB于点G，

∵AE⊥CE，

∴∠AEG=∠AEC=90°，

在△AEG和△AEC中，

∠GAE=∠CAE，AE=AE，∠AEG=∠AEC，

∴△AEG≌△AEC(ASA)，

∴GE=EC，

又∵BD=CD，

∴DE为△CGB的中位线，

∴DE∥AB，

又∵EF∥BC，

∴四边形BDEF是平行四边形

(2)∵BF=(AB－AC).理由：

∵四边形BDEF是平行四边形，

∴BF=DE，

∵D，E分别是BC，GC的中点，

∴BF=DE=BG，

∵△AGE≌△ACE，

∴AG=AC，

∴BF=(AB－AG)=(AB－AC)

11.证明：(1)延长AD交BC于F.

∵BD平分∠ABC，AD⊥BD，

∴AB=BF，AD=DF.

又∵E为AC的中点，

∴DE是△ACF的中位线，

∴DE∥BC.

(2)∵AB=BF，

∴FC=BC－AB.

∵DE是△ACF的中位线，

∴DE=FC=(BC－AB).

12.