2021年江苏省苏州市中考数学调研试卷（3月份）

这是一份2021年江苏省苏州市中考数学调研试卷（3月份），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列四个数中，是负数的是（ ）
A．|3|B．﹣（﹣3）C．（﹣3）2D．﹣
2．（3分）下列四个图案中，不是中心对称图案的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）计算a2•a4的结果是（ ）
A．a8B．a6C．2a6D．2a8
4．（3分）某学习小组的五名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、74分，则下列结论正确的是（ ）
A．平均分是91B．中位数是90C．众数是94D．极差是20
5．（3分）2018年某公司一月份的销售额是50万元，第一季度的销售总额为182万元，设第一季度的销售额平均每月的增长率为x，可列方程为（ ）
A．50（1+x）2＝182
B．50（1+2x）＝182
C．182（1﹣x）2＝50
D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
6．（3分）若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（ ）
A．矩形
B．菱形
C．对角线相等的四边形
D．对角线互相垂直的四边形
7．（3分）如图所示的飞镖游戏板是顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点后得到的，若某人向该游戏板投掷镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A．1B．C．D．
8．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB∥CD，∠A＝25°，则∠BOD等于（ ）
A．100°B．120°C．130°D．150°
9．（3分）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（ ）
A．1B．﹣1C．D．2﹣
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.请把答案直接填在相应答题卡相应位置上.
11．（3分）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（3分）分解因式：4a2﹣4a+1＝ ．
13．（3分）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长是4cm，则圆锥的侧面积是 cm2（结果保留π）．
14．（3分）“五一”期间，某服装商店举行促销活动，全部商品八折销售，小华购买一件原价为140元的运动服，打折后他比按原价购买节省了 元．
15．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣3＝0有两个实数根，则m的取值范围是 ．
16．（3分）如图，一海轮位于灯塔P的西南方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处，航程AB的值为 （结果保留根号）．
17．（3分）已知关于x的二次函数y＝ax2+2ax+a﹣3在﹣2≤x≤2时的函数值始终是负的，则常数a的取值范围是 ．
18．（3分）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地，甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．给出下列说法：①乙车的速度是120km/h；②m＝160；③点H的坐标是（7，80）；④n＝7.5．其中说法正确的有 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
三、解答题：本大题共10小题，共76分.解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.
19．（5分）计算：（）﹣2﹣（π﹣）0+|﹣2|+4sin60°．
20．（6分）解不等式组并在数轴上表示解集．
21．（6分）今年6月1日起苏州市全面实行垃圾分类，为了解同学们对垃圾分类知识的知晓情况，我区某校环保社团的同学们进行了抽样调查，对收集的信息进行整理，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图所提供的数据，解答下列问题：
图中A表示“很了解”，B表示“了解”，C表示“一般”，D表示“不了解”．
（1）被调查的总人数是 人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为 ；
（2）若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中B类有多少人．
22．（6分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，BF＝CE．
求证：CG＝FG．
23．（7分）某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元．
（1）求每个篮球和每个足球的售价；
（2）如果学校计划购买这两种球共50个，总费用不超过5500元，那么最多可购买多少个足球？
24．（8分）如图是某教室里日光灯的四个控制开关（分别记为A、B、C、D），每个开关分别控制一排日光灯（开关序号与日光灯的排数序号不一定一致）．某天上课时，王老师在完全不知道哪个开关对应控制哪排日光灯的情况下先后随机按下两个开关．
（1）王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率是 ；
（2）王老师按下两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率是多少？请用列表法或画树状图法加以分析．
25．（8分）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC＝2，⊙O的半径是3，求∠BEC的正切值．
26．（10分）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为 ．
（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为 cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
27．（10分）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC＝4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF＝，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ＝3x．
（1）用关于x的代数式表示BQ＝ ，DF＝ ．
（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．
（3）当点P在点A右侧时，作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣4k+4与抛物线y＝x2﹣x交于A、B两点．
（1）直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标；
（2）点P在抛物线上，当k＝﹣时，解决下列问题：
①在直线AB下方的抛物线上求点P，使得△PAB的面积等于20；
②连接OA，OB，OP，作PC⊥x轴于点C，若△POC和△ABO相似，请直接写出点P的坐标．
2021年江苏省苏州市中考数学调研试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选择题的答案填写在答题卡相应位置上.
1．（3分）下列四个数中，是负数的是（ ）
A．|3|B．﹣（﹣3）C．（﹣3）2D．﹣
【分析】本题考查负数的基本概念，正确理解绝对值，相反数，平方根的含义加以辨析即可选出正确选项．
【解答】解：A．|3|＝3，3为正数．故A错误．
B．﹣（﹣3）表示的是﹣3的相反数为3，为正数．故B错误．
C．（﹣3）2＝9，9为正数．故C错误．
D．﹣为负数．故D正确．
故选：D．
2．（3分）下列四个图案中，不是中心对称图案的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】直接利用中心对称图形的定义分析得出答案．
【解答】解：A、不是中心对称图形，符合题意；
B、是中心对称图形，不合题意；
C、是中心对称图形，不合题意；
D、是中心对称图形，不合题意；
故选：A．
3．（3分）计算a2•a4的结果是（ ）
A．a8B．a6C．2a6D．2a8
【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am•an＝am+n计算即可．
【解答】解：a2•a4＝a2+4＝a6．
故选：B．
4．（3分）某学习小组的五名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、74分，则下列结论正确的是（ ）
A．平均分是91B．中位数是90C．众数是94D．极差是20
【分析】直接利用平均数、中位数、众数以及极差的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A、平均分为：（94+98+90+94+74）＝90（分），故此选项错误；
B、五名同学成绩按大小顺序排序为：74，90，94，94，98，
故中位数是94分，故此选项错误；
C、94分、98分、90分、94分、74分中，众数是94分．故此选项正确；
D、极差是98﹣74＝24，故此选项错误．
故选：C．
5．（3分）2018年某公司一月份的销售额是50万元，第一季度的销售总额为182万元，设第一季度的销售额平均每月的增长率为x，可列方程为（ ）
A．50（1+x）2＝182
B．50（1+2x）＝182
C．182（1﹣x）2＝50
D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的销售额，再根据题意表示出三月份的销售额，然后将三个月的销售额相加，即可列出方程．
【解答】解：二月份的销售额为：50（1+x），
三月份的销售额为：50（1+x）（1+x）＝50（1+x）2，
故第一季度总销售额为：50+50（1+x）+50（1+x）2＝182．
故选：D．
6．（3分）若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（ ）
A．矩形
B．菱形
C．对角线相等的四边形
D．对角线互相垂直的四边形
【分析】首先根据题意画出图形，由四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，利用三角形中位线的性质与菱形的性质，即可判定原四边形一定是对角线相等的四边形．
【解答】解：如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，
∴EF＝FG＝GH＝EH，BD＝2EF，AC＝2FG，
∴BD＝AC．
∴原四边形一定是对角线相等的四边形．
故选：C．
7．（3分）如图所示的飞镖游戏板是顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点后得到的，若某人向该游戏板投掷镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）
A．1B．C．D．
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【解答】解：设正六边形的边长为a，
则总面积为a2×6＝a2，其中阴影部分面积为×（a）2＝a2，
∴飞镖落在阴影部分的概率是＝，
故选：B．
8．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB∥CD，∠A＝25°，则∠BOD等于（ ）
A．100°B．120°C．130°D．150°
【分析】连接OC，由平行线性质、等腰三角形的性质与圆周角定理证出∠D＝2∠A＝50°，由平行线的性质得出∠BOD+∠D＝180°，即可得出∠BOD的度数．
【解答】解：连接OC，如图所示：
∵OD＝OC，
∴∠D＝∠OCD，
∵OB∥CD，
∴∠BOC＝∠OCD
∴∠BOC＝∠D，
∵∠BOC＝2∠A，∠A＝25°，
∴∠D＝2∠A＝50°，
∵OB∥CD，
∴∠BOD+∠D＝180°，
∴∠BOD＝180°﹣50°＝130°；
故选：C．
9．（3分）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】作PH⊥MN于H，根据等腰三角形的性质求出MH，根据直角三角形的性质求出OH，计算即可．
【解答】解：作PH⊥MN于H，
∵PM＝PN，
∴MH＝NH＝MN＝1，
∵∠AOB＝60°，
∴∠OPH＝30°，
∴OH＝OP＝5，
∴OM＝OH﹣MH＝4，
故选：B．
10．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝120°，AD＝4，AB＝2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF．则EF的最大值与最小值的差为（ ）
A．1B．﹣1C．D．2﹣
【分析】如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．首先证明∠ACD＝90°，求出AC，AN，利用三角形中位线定理，可知EF＝AG，求出AG的最大值以及最小值即可解决问题．
【解答】解：如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠BCD＝60°，AB＝CD＝2，
∵AM＝DM＝DC＝2，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC＝∠MCD＝60°，CM＝DM＝AM，
∴∠MAC＝∠MCA＝30°，
∴∠ACD＝90°，
∴AC＝2，
在Rt△ACN中，∵AC＝2，∠ACN＝∠DAC＝30°，
∴AN＝AC＝，
∵AE＝EH，GF＝FH，
∴EF＝AG，
易知AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为2，最小值为，
∴EF的最大值为，最小值为，
∴EF的最大值与最小值的差为．
故选：C．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.请把答案直接填在相应答题卡相应位置上.
11．（3分）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
12．（3分）分解因式：4a2﹣4a+1＝ （2a﹣1）2 ．
【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，本题可用完全平方公式分解因式．
【解答】解：4a2﹣4a+1＝（2a﹣1）2．
故答案为：（2a﹣1）2．
13．（3分）已知圆锥的底面半径为2cm，母线长是4cm，则圆锥的侧面积是 8π cm2（结果保留π）．
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面圆的半径为2，则底面周长＝4π，侧面面积＝×4π×4＝8πcm2．
14．（3分）“五一”期间，某服装商店举行促销活动，全部商品八折销售，小华购买一件原价为140元的运动服，打折后他比按原价购买节省了 28 元．
【分析】八折销售，比按原价购买节省了二折．
【解答】解：根据题意，节省了140×（1﹣80%）＝28元．
15．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣3＝0有两个实数根，则m的取值范围是 m≤4 ．
【分析】由方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣3＝0有两个实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）＝16﹣4m≥0，
解得：m≤4．
故答案为：m≤4．
16．（3分）如图，一海轮位于灯塔P的西南方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处，航程AB的值为 40+40 （结果保留根号）．
【分析】过点P作PC⊥AB于C，根据等腰直角三角形的性质求出AC、PC，根据正切的定义求出BC，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：过点P作PC⊥AB于C，
在Rt△APC中，∠APC＝45°，AP＝42海里，
∴AC＝PC＝AP＝×40＝40（海里），
在Rt△BPC中，∠BPC＝60°，tan∠BPC＝，
∴BC＝PC•tan∠BPC＝40，
∴AB＝AC+BC＝（40+40）海里，
∴航程AB的值为40+40，
故答案为：40+40．
17．（3分）已知关于x的二次函数y＝ax2+2ax+a﹣3在﹣2≤x≤2时的函数值始终是负的，则常数a的取值范围是 a＜且a≠0 ．
【分析】利用配方法求出抛物线的顶点坐标，根据二次函数的性质判断即可．
【解答】解：y＝ax2+2ax+a﹣3＝a（x+1）2﹣3，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），
当a＜0时，y＜0，
当a＞0时，由题意得，当x＝2时，y＜0，
即9a﹣3＜0，
解得，a＜，
由二次函数的定义可知，a≠0，
故答案为：a＜且a≠0．
18．（3分）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地，甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．给出下列说法：①乙车的速度是120km/h；②m＝160；③点H的坐标是（7，80）；④n＝7.5．其中说法正确的有 ①②③ ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【分析】根据题意，两车距离为函数，由图象可知两车起始距离为80，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量．
【解答】解：由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km，则乙的速度为120km/h．①正确；
由图象第2﹣6小时，乙由相遇点到达B，用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离4×40＝160km，则m＝160，②正确；
当乙在B休息1h时，甲前进80km，则H点坐标为（7，80），③正确；
乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）＝0.4小时，则n＝6+1+0.4＝7.4，④错误．
故答案为：①②③．
三、解答题：本大题共10小题，共76分.解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.
19．（5分）计算：（）﹣2﹣（π﹣）0+|﹣2|+4sin60°．
【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝4﹣1+2﹣+4×＝5+．
20．（6分）解不等式组并在数轴上表示解集．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x+1＞0，得：x＞﹣，
解不等式≥，得：x≤0，
则不等式组的解集为﹣＜x≤0，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
21．（6分）今年6月1日起苏州市全面实行垃圾分类，为了解同学们对垃圾分类知识的知晓情况，我区某校环保社团的同学们进行了抽样调查，对收集的信息进行整理，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图所提供的数据，解答下列问题：
图中A表示“很了解”，B表示“了解”，C表示“一般”，D表示“不了解”．
（1）被调查的总人数是 50 人，扇形统计图中C部分所对应的扇形圆心角的度数为 216° ；
（2）若该校共有学生1800人，请根据上述调查结果，估计该校学生中B类有多少人．
【分析】（1）“A很了解”的人数为5人，占调查人数的10%，可求出调查人数，进而求出“C一般”所占的百分比，求出相应的圆心角的度数；
（2）样本中，“B了解”的频数为50﹣30﹣5﹣5＝10，占比为，即为，因此估计总体1800人的五分之一是“B类”的人数．
【解答】解：（1）5÷10%＝50（人），360°×＝216°，
故答案案为：50，216°；
（2）1800×＝360（人），
答：该校1800名学生中B类有360人．
22．（6分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，BF＝CE．
求证：CG＝FG．
【分析】由“SAS”可证△ABC≌△DEF，可得∠ACB＝∠DFE，可得结论．
【解答】证明：∵BF＝CE
∴BF+CF＝CE+CF
∴BC＝EF
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SAS）
∴∠ACB＝∠DFE
∴CG＝FG
23．（7分）某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元．
（1）求每个篮球和每个足球的售价；
（2）如果学校计划购买这两种球共50个，总费用不超过5500元，那么最多可购买多少个足球？
【分析】（1）设每个篮球和每个足球的售价分别为x元，y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可；
（2）设篮球购买a个，则足球购买（50﹣a）个，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可确定出最多购买的足球．
【解答】解：（1）设每个篮球和每个足球的售价分别为x元，y元，
根据题意得：，
解得：，
则每个篮球和每个足球的售价分别为100元，120元；
（2）设足球购买a个，则篮球购买（50﹣a）个，
根据题意得：120a+100（50﹣a）≤5500，
整理得：20a≤500，
解得：a≤25，
则最多可购买25个足球．
24．（8分）如图是某教室里日光灯的四个控制开关（分别记为A、B、C、D），每个开关分别控制一排日光灯（开关序号与日光灯的排数序号不一定一致）．某天上课时，王老师在完全不知道哪个开关对应控制哪排日光灯的情况下先后随机按下两个开关．
（1）王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率是 ；
（2）王老师按下两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯的概率是多少？请用列表法或画树状图法加以分析．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）用列表法或树状图法列举出所以可能，再利用概率公式解答即可．
【解答】解：（1）由题意可知王老师按下第一个开关恰好能打开第一排日光灯的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
所有出现的等可能性结果共有12种，其中满足条件的结果有2种．
∴P（两个开关恰好能打开第一排与第三排日光灯）＝＝．
25．（8分）如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC＝2，⊙O的半径是3，求∠BEC的正切值．
【分析】（1）连接OD，证明OD⊥CE，所以需证明∠CDA+∠ODA＝90°；
（2）根据已知条件在Rt△CDO中，由勾股定理求得：CD＝4，又CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，由切线长定理得DE＝EB，设DE＝EB＝x，在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE2＝BE2+BC2，则 （a+x）2＝x2+（5+3）2，解得：x＝6，即 BE＝6，然后由正切函数的定义解得∠BEC的正切值．
【解答】解：（1）直线CD与⊙O的位置关系是相切．
理由：
连接OD，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠CDA＝∠CBD，
∴∠DAB+∠CDA＝90°，
∵OD＝OA，
∴∠DAB＝∠ADO，
∴∠CDA+∠ADO＝90°，
即：OD⊥CE，
∴直线CD 是⊙O的切线．
即：直线CD 与⊙O的位置关系是相切．
（2）∵AC＝2，⊙O的半径是3，
∴OC＝2+3＝5，OD＝3，
在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD＝4．
∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，
∴DE＝EB，∠CBE＝90°，
设DE＝EB＝x，
在Rt△CBE中，有勾股定理得：CE2＝BE2+BC2，
则 （4+x）2＝x2+（5+3）2，
解得：x＝6，
即 BE＝6，
∴tan∠BEC＝，
即：tan∠BEC＝．
26．（10分）我们知道：如图①，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称点B为线段AC的黄金分割点．它们的比值为 ．
（1）在图①中，若AC＝20cm，则AB的长为 （10﹣10） cm；
（2）如图②，用边长为20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD得折痕EF，连接CE，将CB折叠到CE上，点B对应点H，得折痕CG．试说明：G是AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E（AE＞DE），连接BE，作CF⊥BE，交AB于点F，延长EF、CB交于点P．他发现当PB与BC满足某种关系时，E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
【分析】（1）由黄金分割点的概定义可得出答案；
（2）延长EA，CG交于点M，由折叠的性质可知，∠ECM＝∠BCG，得出∠EMC＝∠ECM，则EM＝EC，根据勾股定理求出CE的长，由锐角三角函数的定义可出tan∠BCG，则可得出答案；
（3）证明△ABE≌△BCF（ASA），由全等三角形的性质得出BF＝AE，证明△AEF∽△BPF，则可得出答案．
【解答】解：∵点B把线段AC分成两部分，，
∴点B是线段AC的黄金分割点，且AB＞BC，
∴它们的比值为，
故答案为为；
（1）∵点B为线段AC的黄金分割点，AC＝20cm，
∴AB＝×20＝（10﹣10）cm．
故答案为：（10﹣10）．
（2）延长EA，CG交于点M，
∵四边形ABCD为正方形，
∴DM∥BC，
∴∠EMC＝∠BCG，
由折叠的性质可知，∠ECM＝∠BCG，
∴∠EMC＝∠ECM，
∴EM＝EC，
∵DE＝10，DC＝20，
∴EC＝，
∴EM＝10，
∴DM＝10+10，
∴tan∠DMC＝＝＝，
∴tan∠BCG＝，
即，
∵AB＝BC，
∴，
∴G是AB的黄金分割点；
（3）当BP＝BC时，满足题意．
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠BAE＝∠CBF＝90°，
∵BE⊥CF，
∴∠ABE+∠CFB＝90°，
又∵∠BCF+∠BFC＝90°，
∴∠BCF＝∠ABE，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BF＝AE，
∵AD∥CP，
∴△AEF∽△BPF，
∴，
当E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点时，
∵AE＞DE，
∴，
∵BF＝AE，AB＝BC，
∴，
∴，
∴BP＝BC．
27．（10分）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ＝90°，AQ：AB＝3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC＝4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF＝，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ＝3x．
（1）用关于x的代数式表示BQ＝ 5x ，DF＝ 3x ．
（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．
（3）当点P在点A右侧时，作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长．
【分析】（1）由AQ：AB＝3：4，AQ＝3x，易得AB＝4x，由勾股定理得BQ，再由中位线的性质得AH＝BH＝AB，求得CD，FD；
（2）利用（1）的结论，易得CQ的长，作OM⊥AQ于点M，则OM∥AB，由垂径定理得QM＝AM＝x，由矩形性质得OD＝MC，利用矩形面积，求得x，得出结论；
（3）连接NQ，由点O到BN的弦心距为l，得NQ＝2，过点B作BM⊥EG于点M，GM＝x，BM＝x，易得∠GBM＝45°，BM∥AQ，易得AI＝AB，求得IQ，由NQ得AP．
【解答】解：（1）在Rt△ABQ中，
∵AQ：AB＝3：4，AQ＝3x，
∴AB＝4x，
∴BQ＝5x，
∵OD⊥m，m⊥l，
∴OD∥l，
∵OB＝OQ，
∴AH＝BH＝AB＝2x，
∴CD＝2x，
∴FD＝CD＝3x，
故答案为：5x，3x；
（2）∵AP＝AQ＝3x，PC＝4，
∴CQ＝6x+4，
作OM⊥AQ于点M，如图1，
∴OM∥AB，
∵⊙O是△ABQ的外接圆，∠BAQ＝90°，
∴点O是BQ的中点，
∴QM＝AM＝x
∴OD＝MC＝x+4，
∴OE＝BQ＝x，
∴ED＝2x+4，
S矩形DEGF＝DF•DE＝3x（2x+4）＝90，
解得：x1＝﹣5（舍去），x2＝3，
∴AP＝3x＝9；
（3）连接NQ，由点O到BN的弦心距为l，得NQ＝2，如图2，
过点B作BM⊥EG于点M，
∵GM＝x，BM＝x
∴∠GBM＝45°，
∴BM∥AQ，
∴AI＝AB＝4x，
∴IQ＝x，
∴NQ＝＝2，
∴x＝2，
∴AP＝6．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣4k+4与抛物线y＝x2﹣x交于A、B两点．
（1）直线总经过定点，请直接写出该定点的坐标；
（2）点P在抛物线上，当k＝﹣时，解决下列问题：
①在直线AB下方的抛物线上求点P，使得△PAB的面积等于20；
②连接OA，OB，OP，作PC⊥x轴于点C，若△POC和△ABO相似，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）变形为不定方程k（x﹣4）＝y﹣4，然后根据k为任意实数得到x﹣4＝0，y﹣4＝0，然后求出x、y即可得到定点的坐标；
（2）通过解方程组得A（6，3）、B（﹣4，8）；
①如图1，作PQ∥y轴，交AB于点Q，设P（x，x2﹣x），则Q（x，﹣x+6），则PQ＝（﹣x+6）﹣（x2﹣x），利用三角形面积公式得到S△PAB＝﹣（x﹣1）2+＝20，然后解方程求出x即可得到点P的坐标；
②设P（x，x2﹣x），如图2，利用勾股定理的逆定理证明∠AOB＝90°，根据三角形相似的判定，由于∠AOB＝∠PCO，则当＝时，△CPO∽△OAB，即＝；当＝时，△CPO∽△OBA，即＝，然后分别解关于x的绝对值方程即可得到对应的点P的坐标．
【解答】解：（1）∵y＝kx﹣4k+4＝k（x﹣4）+4，
即k（x﹣4）＝y﹣4，
而k为任意实数，
∴x﹣4＝0，y﹣4＝0，解得x＝4，y＝4，
∴直线过定点（4，4）；
（2）当k＝﹣时，直线解析式为y＝﹣x+6，
解方程组得或，则A（6，3）、B（﹣4，8）；
①如图1，作PQ∥y轴，交AB于点Q，
设P（x，x2﹣x），则Q（x，﹣x+6），
∴PQ＝（﹣x+6）﹣（x2﹣x）＝﹣（x﹣1）2+，
∴S△PAB＝（6+4）×PQ＝﹣（x﹣1）2+＝20，
解得x1＝﹣2，x2＝4，
∴点P的坐标为（4，0）或（﹣2，3）；
②设P（x，x2﹣x），如图2，
由题意得：AO＝3，BO＝4，AB＝5，
∵AB2＝AO2+BO2，
∴∠AOB＝90°，
∵∠AOB＝∠PCO，
∴当＝时，△CPO∽△OAB，
即＝，
整理得4|x2﹣x|＝3|x|，
解方程4（x2﹣x）＝3x得x1＝0（舍去），x2＝7，此时P点坐标为（7，）；
解方程4（x2﹣x）＝﹣3x得x1＝0（舍去），x2＝1，此时P点坐标为（1，﹣）；
当＝时，△CPO∽△OBA，
即＝，
整理得3|x2﹣x|＝4|x|，
解方程3（x2﹣x）＝4x得x1＝0（舍去），x2＝，此时P点坐标为（，）；
解方程3（x2﹣x）＝﹣4x得x1＝0（舍去），x2＝﹣，此时P点坐标为（﹣，）
综上所述，点P的坐标为：（7，）或（1，﹣）或（﹣，）或（，）．