2021年北京市大兴区中考数学一模试卷

这是一份2021年北京市大兴区中考数学一模试卷，共31页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。

2021年北京市大兴区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）如图，是某几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．圆柱 B．正方体 C．三棱柱 D．长方体
2．（2分）2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京人民大会堂隆重举行经过全党全国各族人民共同努力，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下98990000农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹！98990000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.9899×108 B．9.899×107 C．98.99×109 D．9899×104
3．（2分）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，现发现约有400种证明方法．下面四个图形是证明勾股定理的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列不等关系正确的是（　　）

A．a＞b B．ab＞0 C．|a|＞|b| D．﹣a＜b
5．（2分）若正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠D＝55°，则∠BOC的度数是（　　）

A．35° B．55° C．60° D．70°
7．（2分）某校进行垃圾分类的环保知识竞赛，进入决赛的共有15名学生，他们的决赛成绩如表所示：
决赛成绩/分
100
95
90
85
人数/名
2
8
2
3
则这15名学生决赛成绩的中位数和平均数分别是（　　）
A．95，97 B．95，93 C．95，86 D．90，95
8．（2分）已知二次函数y＝x2+mx+n，当x＝0和x＝2时对应的函数值相等，则下列说法中不正确的是（　　）
A．抛物线y＝x2+mx+n的开口向上
B．抛物线y＝x2+mx+n与y轴有交点
C．当n＞1时，抛物线y＝x2+mx+n与x轴有交点
D．若P（﹣1，y1），Q（3，y2）是抛物线y＝x2+mx+n上两点，则y1＝y2
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是　 　．
10．（2分）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线的交点，则∠ABC与∠ACB的大小关系为：∠ABC　 　∠ACB（填“＞”，“＝”或“＜”）．

11．（2分）化简：＝　 　．
12．（2分）分解因式ma2﹣2mab+mb2＝　 　．
13．（2分）某区域进行“环境改造，植树绿化”活动．若该区域种植树苗2000株，树苗的成活率为95%，则成活的树苗大约有　 　株．
14．（2分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝2，则AC的长是　 　．

15．（2分）小华到商店为班级购买跳绳和毽子两种体育用品，跳绳每个4元，毽子每个5元，两种体育用品共需购买22个，是否存在用90元钱完成这项购买任务的方案？　 　（填“是”或“否”）．
16．（2分）如图，在▱ABCD中，AD＞AB，E，F分别为边AD，BC上的点（E，F不与端点重合），对于任意▱ABCD，下面四个结论中：
①存在无数个四边形ABFE，使得四边形ABFE是平行四边形；
②至少存在一个四边形ABFE，使得四边形ABFE菱形；
③至少存在一个四边形ABFE，使得四边形ABFE矩形；
④存在无数个四边形ABFE，使得四边形ABFE的面积是▱ABCD面积的一半．
所有正确结论的序号是　 　．

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）计算：2sin45°+||﹣+（π﹣3）0．
18．（5分）解不等式组：．
19．（5分）已知抛物线y＝x2﹣4x+c经过点（﹣1，8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线与x轴交点的坐标．
20．（5分）已知x2﹣3x﹣1＝0，求代数式（x+2）（x﹣2）﹣x（3x﹣6）的值．
21．（5分）已知：如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
求作：点P，使得点P在AC上，且点P到AB的距离等于PC．
作法：
①以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC内部交于点F；
③作射线BF交AC于点P．
则点P即为所求．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明
证明：连接DF，FE
在△BDF和△BEF中，
，
∴△BDF≌△BEF．
∴∠ABF＝∠CBF（　 　）（填推理的依据）．
∵∠ACB＝90°，点P在AC上，
∴PC⊥BC．
作PQ⊥AB于点Q．
∵点P在BF上，
∴PC＝　 　（　 　）（填推理的依据）．

22．（5分）如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求证：∠ADB＝∠E；
（2）若AD＝4，cos∠ADB＝，求AO的长．

23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与双曲线y＝交于点A（1，n）和点B（﹣2，﹣1）．
（1）求m，n的值及直线l的解析式；
（2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）是线段AB上两点且x1＜x2，PQ＝2，若线段PQ与双曲线y＝无交点，求x1的取值范围．

24．（6分）随着绿色出行意识增强，更多市民选择公共交通出行从市交通委获悉，目前，轨道交通多条线路缩短发车间隔，保障市民出行安全、便捷．
如图是地铁10号线由西钓鱼台站开往公主坟方向，工作日和双休日的列车时刻表（列车时刻表仅供参考，实际以现场列车运行情况为准）．小明从西钓鱼台站乘10号线地铁（开往公主坟方向）出行，结合图中信息回答以下问题：

（1）工作日早晨7点01分﹣7点59分这段时间内，列车发车间隔为　 　分钟；
（2）下列说法中：
①双休日早晨6点04﹣6点59期间列车发车最小间隔为7分钟；
②设两个相邻整点之间为一个时间段，则工作日发车次数最少的时间段是22点﹣23点；
③设两个相邻整点之间为一个时间段，则双休日时，每个时间段的发车次数的众数为11；
④工作日10点01分﹣10点59分发车次数为12．
所有正确说法的序号是　 　；
（3）小明周一上午乘车时间为7点﹣7点10分之间，周二上午乘车时间为7点﹣7点06分之间．若这两天发车到站的时间与图中时间表一致，用画树状图或列表的方法，求小明这两天乘坐相同车次列车的概率（每天在同一时刻发车的列车视为相同车次）？
25．（6分）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，且点C是的中点，DE是⊙O的切线且DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接OC．
（1）求证：△AOC是等边三角形；
（2）若DE＝2，求AC的长．

26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0）经过点A（m，n）．
（1）用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；
（2）若抛物线经过点B（0，2），且满足0＜m＜3，求n的取值范围；
（3）若3≤m≤5时，n≤2，结合函数图象，直接写出b的取值范围．
27．（7分）如图1，等边△ABC中，点P是BC边上一点，作点C关于直线AP的对称点D，连接CD，BD，作AE⊥BD于点E；
（1）若∠PAC＝10°，依题意补全图1，并直接写出∠BCD的度数；
（2）如图2，若∠PAC＝α（0°＜α＜30°），
①求证：∠BCD＝∠BAE；
②用等式表示线段BD，CD，AE之间的数量关系并加以证明．

28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），若|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝k（k为常数且k≠0），则称点M为点N的k倍直角点．
根据以上定义，解决下列问题：
（1）已知点A（1，1），
①若点B（﹣2，3）是点A的k倍直角点，则k的值是　 　；
②在点C（2，3），D（﹣1，1），E（0，﹣2），O（0，0）中是点A的2倍直角点的是　 　；
③若直线y＝﹣2x+b上存在点A的2倍直角点，求b的取值范围；
（2）⊙T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r，若⊙T上存在点O的2倍直角点，直接写出r的取值范围．

2021年北京市大兴区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）如图，是某几何体的三视图，该几何体是（　　）

A．圆柱 B．正方体 C．三棱柱 D．长方体
【分析】该几何体的主视图与左视图、俯视图均为矩形，易得出该几何体的形状．
【解答】解：该几何体的主视图为矩形，左视图为矩形，俯视图是一个矩形，且三个矩形大小不一，
可得出该几何体是长方体，
故选：D．
2．（2分）2021年2月25日，全国脱贫攻坚总结表彰大会在北京人民大会堂隆重举行经过全党全国各族人民共同努力，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下98990000农村贫困人口全部脱贫，832个贫困县全部摘帽，12.8万个贫困村全部出列，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹！98990000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.9899×108 B．9.899×107 C．98.99×109 D．9899×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：98990000用科学记数法可以表示：9.899×107．
故选：B．
3．（2分）勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，现发现约有400种证明方法．下面四个图形是证明勾股定理的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项不合题意．
故选：B．
4．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列不等关系正确的是（　　）

A．a＞b B．ab＞0 C．|a|＞|b| D．﹣a＜b
【分析】A选项，根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大去判断；B选项，根据两数相乘，同号得正，异号得负去判断；C选项，根据绝对值的定义去判断；D选项根据相反数的几何意义去判断．
【解答】A．∵在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大，
∴a＜b，
∴A选项不符合题意；
B．∵a＜0，b＞0，
∴ab＜0，
∴B选项不符合题意；
C．∵数轴上某个数表示的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，
∴|a|＞|b|，
∴C选项符合题意；
D．∵a是负数，
∴﹣a是正数，且﹣a＞2，
而b＜2，
∴﹣a＞b，
∴D选项不符合题意．
故选：C．
5．（2分）若正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成120°n，列方程可求解．此题还可以由已知条件，求出这个多边形的外角，再利用多边形的外角和定理求解．
【解答】解：设所求正n边形边数为n，
则120°n＝（n﹣2）•180°，
解得n＝6，
故选：A．
6．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠D＝55°，则∠BOC的度数是（　　）

A．35° B．55° C．60° D．70°
【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠B＝∠D＝55°，利用互余计算出∠BAC，然后根据圆周角定理得到∠BOC的度数．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠D＝55°，
∴∠BAC＝90°﹣55°＝25°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×25°＝50°．
故选：D．
7．（2分）某校进行垃圾分类的环保知识竞赛，进入决赛的共有15名学生，他们的决赛成绩如表所示：
决赛成绩/分
100
95
90
85
人数/名
2
8
2
3
则这15名学生决赛成绩的中位数和平均数分别是（　　）
A．95，97 B．95，93 C．95，86 D．90，95
【分析】根据平均数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：这15名学生决赛成绩的中位数是95分，平均数为＝93（分），
故选：B．
8．（2分）已知二次函数y＝x2+mx+n，当x＝0和x＝2时对应的函数值相等，则下列说法中不正确的是（　　）
A．抛物线y＝x2+mx+n的开口向上
B．抛物线y＝x2+mx+n与y轴有交点
C．当n＞1时，抛物线y＝x2+mx+n与x轴有交点
D．若P（﹣1，y1），Q（3，y2）是抛物线y＝x2+mx+n上两点，则y1＝y2
【分析】根据函数图象的性质和特点，逐次求解即可．
【解答】解：A．∵1＞0，故抛物线开口向上，故A正确，不符合题意；

B．抛物线y＝x2+mx+n为开口向上的平行线，一定和y轴有交点，故B正确，不符合题意；

C．当x＝0和x＝2时对应的函数值相等，则抛物线的对称轴为直线x＝（0+2）＝1＝﹣，解得m＝﹣2，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣2x+n，当n＞1时，
则△＝4﹣4n＜0，故抛物线y＝x2+mx+n与x轴无交点，故C错误，符合题意；

D．由点P、Q的坐标知，这两个点关于抛物线对称轴对称，故y1＝y2正确，不符合题意；
故选：C．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是　x≥2　．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2．
10．（2分）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线的交点，则∠ABC与∠ACB的大小关系为：∠ABC　＜　∠ACB（填“＞”，“＝”或“＜”）．

【分析】在线段CB上找出点N，使CN＝BM，可得AM＝DN，则△ABM≌△DCN，由全等三角形的性质得∠ABC＝∠DCN，根据∠ACB＝∠DCN+∠ACD，即可得出结论．
【解答】解：在线段CB上找出点N，使CN＝BM，

∵网格是正方形网格，
∴CN＝BM，AM＝DN，∠CND＝∠BMA＝90°，
在△ABM和△DCN中，
，
∴△ABM≌△DCN（SAS），
∴∠ABC＝∠DCN，
∵∠ACB＝∠DCN+∠ACD，
∴∠ABC＜∠ACB．
故答案为：＜．
11．（2分）化简：＝　1　．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝1，
故答案为：1．
12．（2分）分解因式ma2﹣2mab+mb2＝　m（a﹣b）2　．
【分析】原式提取m，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：ma2﹣2mab+mb2＝m（a2﹣2ab+b2）＝m（a﹣b）2，
故答案为m（a﹣b）2．
13．（2分）某区域进行“环境改造，植树绿化”活动．若该区域种植树苗2000株，树苗的成活率为95%，则成活的树苗大约有　1900　株．
【分析】直接利用总数乘以成活率，进而得出答案．
【解答】解：∵该区域种植树苗2000株，树苗的成活率为95%，
∴成活的树苗大约有：2000×95%＝1900（株）．
故答案为：1900．
14．（2分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝2，则AC的长是　4　．

【分析】连接BD利用三角形中位线得出BD＝2EF，再根据正方形性质求出AC即可．
【解答】解：连接BD，如图所示：

∵E、F分别是AB，AD的中点，且EF＝2，
∴EF是△ABD的中位线，
∴BD＝2EF＝2×2＝4，
∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，
∴AC＝BD＝4．
故答案为：4
15．（2分）小华到商店为班级购买跳绳和毽子两种体育用品，跳绳每个4元，毽子每个5元，两种体育用品共需购买22个，是否存在用90元钱完成这项购买任务的方案？　是　（填“是”或“否”）．
【分析】设跳绳购买了x个，毽子买了y个，根据题意列出方程与不等式，根据x与y为正整数确定出满足题意的购买方案即可．
【解答】解：设跳绳购买了x个，毽子买了y个，
根据题意得：x+y＝22，4x+5y≤90，
当x＝13，y＝9时，4x+5y＝42+45＝87＜90，
则存在用90元钱完成这项购买任务的方案．
故答案为：是．
16．（2分）如图，在▱ABCD中，AD＞AB，E，F分别为边AD，BC上的点（E，F不与端点重合），对于任意▱ABCD，下面四个结论中：
①存在无数个四边形ABFE，使得四边形ABFE是平行四边形；
②至少存在一个四边形ABFE，使得四边形ABFE菱形；
③至少存在一个四边形ABFE，使得四边形ABFE矩形；
④存在无数个四边形ABFE，使得四边形ABFE的面积是▱ABCD面积的一半．
所有正确结论的序号是　①②④　．

【分析】利用平行四边形的判定和性质，矩形的性质，菱形的性质依次进行判断可求解．
【解答】解：当AE＝BF时，且AE∥BF，则四边形ABFE是平行四边形，
∴存在无数个四边形ABFE，使得四边形ABFE是平行四边形，故①正确；
当AE＝BF＝AB时，则四边形ABFE是菱形，
∴至少存在一个四边形ABFE，使得四边形ABFE菱形，故②正确；
∵∠ABC≠90°，
∴不存在四边形ABFE是矩形，故③错误；
当EF过对角线的交点时，四边形ABFE的面积是▱ABCD面积的一半，
∴存在无数个四边形ABFE，使得四边形ABFE的面积是▱ABCD面积的一半，故④正确，
故答案为：①②④．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）计算：2sin45°+||﹣+（π﹣3）0．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2×+﹣2+1
＝+﹣2+1
＝1．
18．（5分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤1，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤1．
19．（5分）已知抛物线y＝x2﹣4x+c经过点（﹣1，8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线与x轴交点的坐标．
【分析】（1）将（﹣1，8）代入抛物线表达式得：8＝（﹣1）2+4+c，即可求解；
（2）令y＝x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3，即可求解．
【解答】解：（1）将（﹣1，8）代入抛物线表达式得：8＝（﹣1）2+4+c，解得c＝3，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；

（2）令y＝x2﹣4x+3＝0，解得x＝1或3，
故抛物线和x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）．
20．（5分）已知x2﹣3x﹣1＝0，求代数式（x+2）（x﹣2）﹣x（3x﹣6）的值．
【分析】直接利用乘法公式以及整式的混合运算法则化简，再把已知整体代入得出答案．
【解答】解：原式＝x2﹣4﹣3x2+6x
＝﹣2x2+6x﹣4，
∵x2﹣3x﹣1＝0，
∴x2﹣3x＝1，
∴原式＝﹣2（x2﹣3x）﹣4
＝﹣2×1﹣4
＝﹣6．
21．（5分）已知：如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°．
求作：点P，使得点P在AC上，且点P到AB的距离等于PC．
作法：
①以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线BA，BC于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠ABC内部交于点F；
③作射线BF交AC于点P．
则点P即为所求．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面证明
证明：连接DF，FE
在△BDF和△BEF中，
，
∴△BDF≌△BEF．
∴∠ABF＝∠CBF（　全等三角形的对应角相等　）（填推理的依据）．
∵∠ACB＝90°，点P在AC上，
∴PC⊥BC．
作PQ⊥AB于点Q．
∵点P在BF上，
∴PC＝　PQ　（　角平分线上的点到角的两边的距离相等　）（填推理的依据）．

【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先证明△BDF≌△BEF得到∠ABF＝∠CBF，根据角平分线的性质得到点P到AB的距离等于PC．
【解答】解：（1）如图，点P为所作；

（2）完成下面证明
证明：连接DF，FE
在△BDF和△BEF中，
，
∴△BDF≌△BEF．
∴∠ABF＝∠CBF（全等三角形的对应角相等），
∵∠ACB＝90°，点P在AC上，
∴PC⊥BC．
作PQ⊥AB于点Q．
∵点P在BF上，
∴PC＝PQ（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．
故答案为全等三角形的对应角相等；角平分线上的点到角的两边的距离相等．
22．（5分）如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求证：∠ADB＝∠E；
（2）若AD＝4，cos∠ADB＝，求AO的长．

【分析】（1）利用矩形的性质和已知条件先证明四边形ACED是平行四边形，得出∠E＝∠DAC，再根据OA＝OD，得出∠DAC＝∠ADB即可．
（2）在直角三角形ABD中，利用余弦的定义即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
又∵DE∥AC，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴∠E＝∠DAC，
∵对角线AC与BD相交于点O，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝AD，
∴∠DAC＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠E；
（2）解：在直角三角形ABD中，AD＝4，cos∠ADB＝，
∵cos∠ADB＝，
∴BD＝＝5，
∴OA＝AD＝．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，直线l与双曲线y＝交于点A（1，n）和点B（﹣2，﹣1）．
（1）求m，n的值及直线l的解析式；
（2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）是线段AB上两点且x1＜x2，PQ＝2，若线段PQ与双曲线y＝无交点，求x1的取值范围．

【分析】（1）将B代入反比例函数解析式求出m，再求点A坐标，再通过A，B坐标求一次函数解析式．
（2）当点Q与A重合时求x1最大值，点P与B重合时求x1最小值．
【解答】解：（1）将B（﹣2，﹣1）代入y＝得m＝2，
将A（1，n）代入y＝得n＝2．
∴点A坐标为（1，2）．
设直线l解析式为：y＝kx+b，
将A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴y＝x+1．
（2）作AC∥y轴，BC平行于x轴交于点C，
∴AC＝BC＝3，△ABC为等腰直角三角形，
作PE∥x轴交AC于点E，
当点Q与点A重合时，
△PQE为等腰直角三角形，PQ＝2，
∴AE＝PE＝2，
∴点E坐标为（1，0），
1﹣2＝﹣1，
∴点P坐标为（﹣1，0），
∴x1＝﹣1．

当点P与B重合时，x1＝﹣2，
∴﹣2＜x1＜﹣1．
24．（6分）随着绿色出行意识增强，更多市民选择公共交通出行从市交通委获悉，目前，轨道交通多条线路缩短发车间隔，保障市民出行安全、便捷．
如图是地铁10号线由西钓鱼台站开往公主坟方向，工作日和双休日的列车时刻表（列车时刻表仅供参考，实际以现场列车运行情况为准）．小明从西钓鱼台站乘10号线地铁（开往公主坟方向）出行，结合图中信息回答以下问题：

（1）工作日早晨7点01分﹣7点59分这段时间内，列车发车间隔为　2　分钟；
（2）下列说法中：
①双休日早晨6点04﹣6点59期间列车发车最小间隔为7分钟；
②设两个相邻整点之间为一个时间段，则工作日发车次数最少的时间段是22点﹣23点；
③设两个相邻整点之间为一个时间段，则双休日时，每个时间段的发车次数的众数为11；
④工作日10点01分﹣10点59分发车次数为12．
所有正确说法的序号是　②③　；
（3）小明周一上午乘车时间为7点﹣7点10分之间，周二上午乘车时间为7点﹣7点06分之间．若这两天发车到站的时间与图中时间表一致，用画树状图或列表的方法，求小明这两天乘坐相同车次列车的概率（每天在同一时刻发车的列车视为相同车次）？
【分析】（1）根据图中的信息，可以得到作日早晨7点01分﹣7点59分这段时间内，列车发车间隔；
（2）根据图中的信息，可以判断各个小题中的结论是否正确；
（3）根据图中的信息，可以画出相应的树状图，求出相应的概率．
【解答】解：（1）由图中的信息可知，
工作日早晨7点01分﹣7点59分这段时间内，列车发车间隔为2分钟，
故答案为：2；
（2）由图中的信息可知，
双休日早晨6点04﹣6点59期间列车发车最小间隔为3分钟，故①错误；
设两个相邻整点之间为一个时间段，则工作日发车次数最少的时间段是22点﹣23点，故②正确；
设两个相邻整点之间为一个时间段，则双休日时，每个时间段的发车次数的众数为11，故③正确；
工作日10点01分﹣10点59分发车次数为14，故④错误；
故答案为：②③；
（3）树状图如下图所示，
、
由上可得，一共有15种可能性，其中符合要求的有3种，
则小明这两天乘坐相同车次列车的概率是：＝，
即小明这两天乘坐相同车次列车的概率是．
25．（6分）如图，AB为⊙O的直径，点C，点D在⊙O上，且点C是的中点，DE是⊙O的切线且DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接OC．
（1）求证：△AOC是等边三角形；
（2）若DE＝2，求AC的长．

【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到∠ODE＝90°，根据平行线的性质、圆心角定理得到∠ACO＝∠AOC＝∠A，根据等边三角形的判定定理证明即可；
（2）过点O作OF⊥AC于F，根据矩形的性质求出OF，根据等边三角形的性质计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∵DE⊥AC，
∴AE∥OD，
∴∠ACO＝∠COD，
∵点C是的中点，
∴∠AOC＝∠COD，
∴∠AOC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠OCA，
∴∠ACO＝∠AOC＝∠A，
∴△AOC是等边三角形；
（2）解：过点O作OF⊥AC于F，
则四边形OFED为矩形，
∴OF＝DE＝2，
∵△AOC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴OA＝＝4，
∴AC＝4．

26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0）经过点A（m，n）．
（1）用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；
（2）若抛物线经过点B（0，2），且满足0＜m＜3，求n的取值范围；
（3）若3≤m≤5时，n≤2，结合函数图象，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可；
（2）把点B坐标代入抛物线的解析式，求出抛物线的解析式，结合图形，再求当0＜m＜3时，n的取值范围；
（3）分别讨论m和b的大小关系，根据n≤2，求出b的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2bx+b2﹣2＝（x﹣b）2﹣2，
∴顶点坐标为（b，﹣2）；
（2）把（0，2）代入y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0），
得b＝2，或b＝﹣2（舍去），
∴b＝2，
∴解析式为：y＝x2﹣4x+2，对称轴为x＝2；
顶点坐标为（2，﹣2），

结合函数图象可得，在顶点处n取得最小值﹣2；
当x＝0时，y＝2，
∴当0＜m＜3时，﹣2≤n＜2．
（3）如图，①若3≤m≤5≤b时，
ymax＝（3﹣b）2﹣2≤2，
∴1≤b≤5，矛盾，不成立；
②若3≤b≤5时，
则当x＝3时，y＝（3﹣b）2﹣2≤2，得1≤b≤5，
且当x＝5时，y＝（5﹣b）2﹣2≤2，得3≤b≤7，
∴3≤b≤5；
③当b≤3≤m≤5时，
ymax＝（5﹣b）2﹣2≤2，得3≤b≤7，矛盾；
综上，b的取值范围为3≤b≤5．

27．（7分）如图1，等边△ABC中，点P是BC边上一点，作点C关于直线AP的对称点D，连接CD，BD，作AE⊥BD于点E；
（1）若∠PAC＝10°，依题意补全图1，并直接写出∠BCD的度数；
（2）如图2，若∠PAC＝α（0°＜α＜30°），
①求证：∠BCD＝∠BAE；
②用等式表示线段BD，CD，AE之间的数量关系并加以证明．

【分析】（1）由题意画出图形；根据三角形内角和定理求出∠ABD，由∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB即可得到结论；
（2）①由轴对称的性质可得AP垂直平分BD，可得AB＝AD＝AC，∠BAP＝∠PAD＝α，由等腰三角形的性质可求解；
②由“SAS”可证△BAE≌△DAE，可得S△BAE＝S△DAE，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得S△DEC＝2S△ABE．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵C关于直线AP的对称是D，
∴AP⊥CD，AC＝AD，
∴∠ACD＝90﹣∠PAC＝90°﹣10°＝80°，
∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝20°；
（2）①证明：如图，连接AD，
根据题意得，AO⊥CD
∵∠PAC＝α，

∴∠ACD＝90°﹣α，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α，
∵C关于直线AP的对称是D，
∴AP⊥CD，AC＝AD，
∴∠PAD＝∠PAC＝α，
∵AB＝AC＝AD，AE⊥BD，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝（∠BAC﹣∠CAD）＝（60°﹣2α）＝30°﹣α，
∴∠BCD＝∠BAE；
②解：用等式表示线段BD，CD，AE之间的数量关系是AE＝CD+BD．
证明：在AE上截取AF＝CD，连接BF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∵∠BCD＝∠BAE，
∴△BAF≌△BCD（SAS），
∴∠ABF＝∠CBD，BF＝BD，
∴∠FBE＝∠ABC＝60°，
∴EF＝BF•sin60°＝BF＝BD，
∴AE＝AE+EF＝CD+BD．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），若|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝k（k为常数且k≠0），则称点M为点N的k倍直角点．
根据以上定义，解决下列问题：
（1）已知点A（1，1），
①若点B（﹣2，3）是点A的k倍直角点，则k的值是　5　；
②在点C（2，3），D（﹣1，1），E（0，﹣2），O（0，0）中是点A的2倍直角点的是　点D和O　；
③若直线y＝﹣2x+b上存在点A的2倍直角点，求b的取值范围；
（2）⊙T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r，若⊙T上存在点O的2倍直角点，直接写出r的取值范围．
【分析】（1）①②根据新定义即可得出结论；
③先确定出满足条件的点M的图形，进而找出分界点，即可得出结论；
（2）同（1）③的方法确定出满足条件的点N的图形，进而找出分界点，即可得出结论．
【解答】解：（1）①∵A（1，1），B（﹣2，3），
∴k＝|1﹣（﹣2）|+|1﹣3|＝5，
故答案为5；
②∵A（1，1），C（2，3），
∴k＝|1﹣2|+|1﹣3|＝3，
∵A（1，1），D（﹣1，1），∴k＝|1﹣（﹣1）|+|1﹣1|＝2，
∵A（1，1），E（0，﹣2），
∴k＝|1﹣0|+|1﹣（﹣2）|＝4，
∵A（1，1），O（0，0），
∴k＝|1﹣0|+|1﹣0|＝2，
∴是点A的2倍直角点的是点D和O，
故答案为：点D和O；

③设平面内的点M（x，y）是点A的2倍直角点，
∴|x﹣1|+|y﹣1|＝2①，
当x≥1，y≥1时，①化为y＝4﹣x；
当x≥1，y≤1时，①化为y＝x﹣2，
当x＜1，y＞1时，①化为y＝x+2，
当x＜1，y＜1时，①化为y＝x，
∴满足是点A的2倍直角点的点M，如图1所示的正方形EFGH的边上的点，点G（﹣1，1），F（3，1），
∵直线y＝﹣2x+b上存在点A的2倍直角点，
∴当直线y＝﹣2x+b过点G时，﹣2×（﹣1）+b＝1，
∴b＝﹣1，
∴当直线y＝﹣2x+b过点F时，﹣2×3+b＝1，
∴b＝7，
∴b的取值范围为﹣1≤b≤7；

（2）设⊙T上存在点O的2倍直角点的点N（x，y），
则|x|+|y|＝2，
同（1）③的方法得，满足条件的点N为如图2所示的正方形PQIJ的边上的点，点J（﹣2，0），Q（2，0），
过点T作TL⊥PQ于L，此时⊙T过点L，则TL＝TQ＝（2﹣1）＝，
当⊙T过点J时，满足条件，TJ＝1﹣（﹣2）＝3，
即满足条件的r的范围为≤r≤3．