2021年北京市房山区中考数学一模试卷

这是一份2021年北京市房山区中考数学一模试卷，共29页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。

2021年北京市房山区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）下列几何体中，主视图是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2分）在迎来了中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．现行标准下，12800个贫困村全部出列．将12800用科学记数法表示应为（　　）
A．12.8×103 B．1.28×103 C．1.28×104 D．0.128×105
3．（2分）下列冬奥会会徽的部分图案中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（2分）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝50°，∠EFC＝110°，则∠A的度数为（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°
5．（2分）如果从1，2，3，4，5，6这六个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是3的整数倍的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（2分）若一个多边形的每个外角都是72°，则该多边形的边数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结正确的是（　　）

A．a＞﹣1 B．ab＞0 C．b＜﹣a D．|a|＜|b|
8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数图象上任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）均满足（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．下列四个函数图象中．

所有正确的函数图象的序号是（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若分式有意义，则实数x的取值范围是　 　．
10．（2分）写出一个比1大比4小的无理数　 　．
11．（2分）分解因式3a2﹣3b2＝　 　．
12．（2分）方程组的解是　 　．
13．（2分）已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　．
14．（2分）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点，则∠ABC+∠BAC＝　 　°．

15．（2分）如图，点O是矩形ABCD的对角线BD的中点，点E是BC的中点，连接OA，OE．若OA＝2，OE＝1，则矩形ABCD的面积为　 　．

16．（2分）甲，乙，丙，丁，戊，六人，将在“学党史，讲党史”活动中进行演讲，要求每位演讲者只讲一次，并且在同一时间只有一位演讲者，三位演讲者在午餐前演讲，另三位演讲者在午餐后演讲，丙一定在午餐前演讲，仅有一位演讲者处在甲和乙之间，丁在第一位或在第三位发言．如果戊是第四位演讲者，那么第三位演讲者是　 　．
三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17．（5分）计算：（）﹣1++|﹣1|﹣4cos45°．
18．（5分）已知：如图，AB与CD交于点E，点E是线段AB的中点，∠A＝∠B．求证：AC＝BD．

19．（5分）解不等式组：．
20．（5分）已知3x2﹣x﹣1＝0．求代数式（x﹣2）2+5x（x+1）﹣3x的值．
21．（5分）已知：△ABC为锐角三角形，AB＝AC．
求作：菱形ABDC．
作法：如图，
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AC于点M，交AB于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠CAB的内部相交于点E，作射线AE与BC交于点O；
③以点O为圆心，以AO长为半径作弧，与射线AE交于点D，连接CD，BD；四边形ABDC就是所求作的菱形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB＝AC，AE平分∠CAB，
∴CO＝　 　．
∵AO＝DO，
∴四边形ABDC是平行四边形．
∵AB＝AC，
∴四边形ABDC是菱形（　 　）（填推理的依据）．

22．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，点F在BC上，且CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接BD，若∠ABD＝90°，AE＝4，CF＝2，求BD的长．

23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点A（2，m），将点A向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长得到点B．
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）若一次函数的图象过点B，且与反比例函数y＝（k≠0）的图象没有公共点，写出一个满足条件的一次函数的表达式．
24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CE，过点B作BD⊥CE于点D．
（1）求证：∠ABC＝∠DBC；
（2）若CD＝6，sin∠ABC＝，求AB的长．

25．（5分）为了解某校男，女生对配餐公司菜品满意度的情况，从全校学生随机抽取男，女生各50名进行调查，获得了他们的打分成绩（百分制），并对数据（打分成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．男生打分成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100）；
b．男生打分成绩在80≤x＜90这一组的是：
80 81 81 82 84 86 87 88 88 88 89 89 89 89
c．男女生打分成绩的平均数，中位数，众数如表：
成绩
平均数
中位数
众数
男生
82
m
89
女生
84
82
86
（1）写出表中m的值；
（2）在此次调查中，对配餐公司满意度较高的是　 　（填“男生”或“女生”），理由　 　；
（3）如果该校700名男生都参加此次测试，请估计该校男生打分成绩超过85分的人数．

26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）被x轴截得的线段长度为4．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求c的值（用含a的式子表示）；
（3）若点M（x1，3），N（x2，3）为抛物线上不重合两点（其中x1＜x2），且满足x1（x2﹣5）≤0，求a的取值范围．
27．（7分）已知：在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝α，以BC为斜边作等腰Rt△BDC，使得A，D两点在直线BC的同侧，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）如图1，当α＝20°时，
①求∠CDE的度数；
②判断线段AE与BE的数量关系；
（2）若45°＜α＜90°，线段AE与BE的数量关系是否保持不变？依题意补全图2，并证明．

28．（7分）对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，r为半径作圆．若⊙P与图形M有交点，且半径r存在最大值与最小值，则将半径r的最大值与最小值的差称为点P视角下图形M的“宽度dM”
（1）如图1．点A（4，3），B（0，3）．
①在点O视角下，则线段AB的“宽度dAB”为　 　；
②若⊙B半径为1.5，在点A视角下，⊙B的“宽度d⊙B”为　 　．

（2）如图2，⊙O半径为2．点P为直线y＝﹣x+1上一点．求点P视角下⊙O“宽度d⊙O”的取值范围；
（3）已知点C（m，0），CK＝1，直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于点D，E．若随着点C位置的变化，使得在所有点K的视角下，线段DE的“宽度”均满足0＜dDE＜6，直接写出m的取值范围．

2021年北京市房山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）下列几何体中，主视图是三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】主视图是从找到从正面看所得到的图形，注意要把所看到的棱都表示到图中．
【解答】解：A、圆锥的主视图是三角形，故此选项符合题意；
B、圆柱的主视图是长方形，故此选项不合题意；
C、立方体的主视图是正方形，故此选项不合题意；
D、三棱柱的主视图是长方形，中间还有一条实线，故此选项不合题意；
故选：A．
2．（2分）在迎来了中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利．现行标准下，12800个贫困村全部出列．将12800用科学记数法表示应为（　　）
A．12.8×103 B．1.28×103 C．1.28×104 D．0.128×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：12800＝1.28×104．
故选：C．
3．（2分）下列冬奥会会徽的部分图案中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点选择180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
4．（2分）如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝50°，∠EFC＝110°，则∠A的度数为（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】直接利用平行线的性质得出∠ABF＝70°，进而利用三角形外角的性质得出答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABF+∠EFC＝180°，
∵∠EFC＝110°，
∴∠ABF＝70°，
∵∠A+∠E＝∠ABF＝70°，∠E＝50°，
∴∠A＝20°．
故选：A．
5．（2分）如果从1，2，3，4，5，6这六个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是3的整数倍的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：1，2，3，4，5，6这六个数中是3的倍数的数是3和6，
∴六个数中任取一个，则取到的数是3的倍数的概率是＝，
故选：B．
6．（2分）若一个多边形的每个外角都是72°，则该多边形的边数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】任何多边形的外角和是360°．用外角和除以每个外角的度数即可得到边数．
【解答】解：360°÷72°＝5．
故这个多边形是五边形．
故选：C．
7．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结正确的是（　　）

A．a＞﹣1 B．ab＞0 C．b＜﹣a D．|a|＜|b|
【分析】据点的坐标，可得a、b的值，根据相反数的意义，可得答案．
【解答】解：由点的坐标，得
﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1．
A、a＞﹣1，故本选项错误；
B、ab＜0，故本选项错误；
C、b＜﹣a，故本选项正确；
D、|a|＞|b|，故本选项错误；
故选：C．
8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数图象上任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）均满足（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．下列四个函数图象中．

所有正确的函数图象的序号是（　　）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【分析】根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
【解答】解：∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，
∴（x1﹣x2）与（y1﹣y2）同号，
当x1﹣x2＞0时，y1﹣y2＞0；
当x1﹣x2＜0时，y1﹣y2＜0．
∴y随x的增大而增大，
故正确的函数图象的序号是②④．
故选：D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若分式有意义，则实数x的取值范围是　x≠5　．
【分析】由于分式的分母不能为0，x﹣5为分母，因此x﹣5≠0，解得x．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣5≠0，即x≠5．
故答案为：x≠5．
10．（2分）写出一个比1大比4小的无理数　π　．
【分析】常见的无理数类型有：开方开不尽的数，π，无限不循环小数等．
【解答】解：要求写出一个比1大比4小的无理数，可以使被开方数大于1小于16，且开方开不尽，如：，；
π是一个无限不循环小数，属于无理数，符合题意；
1.01001000100001……像这样的无限不循环小数，也是无理数．
只需要写出一个就可以．
故答案为：π．
11．（2分）分解因式3a2﹣3b2＝　3（a+b）（a﹣b）　．
【分析】提公因式3，再运用平方差公式对括号里的因式分解．
【解答】解：3a2﹣3b2
＝3（a2﹣b2）
＝3（a+b）（a﹣b）．
故答案是：3（a+b）（a﹣b）．
12．（2分）方程组的解是　　．
【分析】①+②得出3x＝6，求出x＝2，把x＝2代入①得出2+y＝5，求出y即可．
【解答】解：
①+②得：3x＝6，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：2+y＝5，
解得：y＝3，
即原方程组的解为：，
故答案为：．
13．（2分）已知关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　m＜1　．
【分析】关于x的方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，即判别式△＝b2﹣4ac＞0．即可得到关于m的不等式，从而求得m的范围．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝m，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＞0，
解得：m＜1．
故答案为m＜1．
14．（2分）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点，则∠ABC+∠BAC＝　45　°．

【分析】根据等腰三角形的性质求出∠ACO＝∠OAC＝45°，根据三角形的外角性质得出∠ABC+∠BAC＝∠ACO，再求出答案即可．
【解答】解：设小正方形的边长是1，则AO＝CO＝3，

所以△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝∠OAC＝45°，
∵∠ABC+∠BAC＝∠ACO，
∴∠ABC+∠BAC＝45°，
故答案为：45．
15．（2分）如图，点O是矩形ABCD的对角线BD的中点，点E是BC的中点，连接OA，OE．若OA＝2，OE＝1，则矩形ABCD的面积为　4　．

【分析】由三角形中位线定理求出OA＝2，由勾股定理求出AD的长，则可得出答案．
【解答】解：∵O为BD的中点，E是BC的中点，
∴OE＝DC，
∵OE＝1，
∴DC＝2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，∠BAD＝90°，
∵OA＝2，
∴BD＝2OA＝4，
∴AD＝＝＝2，
∴矩形ABCD的面积＝AD•DC＝2．
故答案为：4．
16．（2分）甲，乙，丙，丁，戊，六人，将在“学党史，讲党史”活动中进行演讲，要求每位演讲者只讲一次，并且在同一时间只有一位演讲者，三位演讲者在午餐前演讲，另三位演讲者在午餐后演讲，丙一定在午餐前演讲，仅有一位演讲者处在甲和乙之间，丁在第一位或在第三位发言．如果戊是第四位演讲者，那么第三位演讲者是　甲或乙　．
【分析】由题意易得丙演讲者可能是第二位或第三位，假设丙演讲者在第三位，由于第四位演讲者是戊，所以不满足仅有一位演讲者处在甲和乙之间，故丙在第二位演讲，进而确定丁在第一位，由此解答即可．
【解答】解：由题意得，假设丙演讲者在第三位，由于第四位演讲者是戊，所以不满足仅有一位演讲者处在甲和乙之间，故丙在第二位演讲，
当丁在第三位演讲时，也不满足仅有一位演讲者处在甲和乙之间，
故丁在第一位，
根据三位演讲者在午餐前演讲，另三位演讲者在午餐后演讲，且仅有一位演讲者处在甲和乙之间，
所以排在第三位演讲者是甲或乙．
故答案为：甲或乙．
三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程
17．（5分）计算：（）﹣1++|﹣1|﹣4cos45°．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2+2+1﹣4×
＝2+2+1﹣2
＝3．
18．（5分）已知：如图，AB与CD交于点E，点E是线段AB的中点，∠A＝∠B．求证：AC＝BD．

【分析】证明△AEC≌△BED（ASA），可得AC＝BD．
【解答】证明：∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA），
∴AC＝BD．
19．（5分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3x﹣2＞2x，得：x＞2，
解不等式＜，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为x＞2．
20．（5分）已知3x2﹣x﹣1＝0．求代数式（x﹣2）2+5x（x+1）﹣3x的值．
【分析】先根据完全平方公式和单项式乘多项式展开，再合并同类项即可化简原式，继而根据已知等式得出3x2﹣x＝1，代入原式＝2（3x2﹣x）+4计算即可．
【解答】解：原式＝x2﹣4x+4+5x2+5x﹣3x
＝6x2﹣2x+4，
∵3x2﹣x﹣1＝0，
∴3x2﹣x＝1，
则原式＝2（3x2﹣x）+4
＝2×1+4
＝2+4
＝6．
21．（5分）已知：△ABC为锐角三角形，AB＝AC．
求作：菱形ABDC．
作法：如图，
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交AC于点M，交AB于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠CAB的内部相交于点E，作射线AE与BC交于点O；
③以点O为圆心，以AO长为半径作弧，与射线AE交于点D，连接CD，BD；四边形ABDC就是所求作的菱形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵AB＝AC，AE平分∠CAB，
∴CO＝　BO　．
∵AO＝DO，
∴四边形ABDC是平行四边形．
∵AB＝AC，
∴四边形ABDC是菱形（　邻边相等的平行四边形为菱形　）（填推理的依据）．

【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先根据等腰三角形的性质得到BO＝CO，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形可判断四边形ABDC是平行四边形，然后加上AB＝AC可判断四边形ABDC是菱形．
【解答】解：（1）如图，四边形ABDC为所求作；

（2）完成下面的证明．
证明：∵AB＝AC，AE平分∠CAB，
∴CO＝BO．
∵AO＝DO，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴四边形ABDC是菱形（邻边相等的平行四边形为菱形）．
故答案为BO；邻边相等的平行四边形为菱形．
22．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，点F在BC上，且CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接BD，若∠ABD＝90°，AE＝4，CF＝2，求BD的长．

【分析】（1）由平行四边形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，证出BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，再矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由勾股定理得AB＝2，再证△ABD∽△BEA，得＝，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵CF＝BE，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵CF＝BE，CF＝2，
∴BE＝2，
∵∠AEB＝90°，
∴AB＝＝＝2，
∵AD∥BC，
∴∠BAD＝∠EBA，
∵∠AEB＝∠ABD＝90°，
∴△ABD∽△BEA，
∴＝，
即＝，
解得：BD＝4．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象相交于点A（2，m），将点A向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长得到点B．
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）若一次函数的图象过点B，且与反比例函数y＝（k≠0）的图象没有公共点，写出一个满足条件的一次函数的表达式．
【分析】（1）将点A（2，m）代入一次函数解析式求解．
（2）联立一次函数与反比例函数方程，求出△＜0时k的取值范围．
【解答】解：（1）将（2，m）代入y＝x+1得m＝3，
∴点A坐标为（2，3），k＝2×3＝6，
∴y＝．
点B坐标为（0，4）．
（2）y＝﹣10x+4，理由如下：
∵一次函数图象经过点B（0，4），
∴设一次函数解析式为y＝kx+4，
联立方程可得kx2+4x﹣6＝0，
∵一次函数图象与反比例函数y＝无交点，
∴△＝16+24k＜0，
∴k＜﹣即可．
∴y＝﹣10x+4满足题意．
24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CE，过点B作BD⊥CE于点D．
（1）求证：∠ABC＝∠DBC；
（2）若CD＝6，sin∠ABC＝，求AB的长．

【分析】（1）根据切线的性质得到OC⊥DE，进而证明OC∥BD，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明即可；
（2）根据正弦的定义求出BC，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】（1）证明：∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵BD⊥CE，
∴OC∥BD，
∴∠DBC＝∠OCB，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠ABC＝∠DBC；
（2）解：∵∠ABC＝∠DBC，sin∠ABC＝，
∴sin∠DBC＝，
在Rt△CDB中，sin∠DBC＝，CD＝6，
∴BC＝10，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
设AC＝3x，
∵sin∠ABC＝，
∴AB＝5x，
由勾股定理得，（5x）2﹣（3x）2＝102，
解得，x＝，
∴AB＝5x＝．
25．（5分）为了解某校男，女生对配餐公司菜品满意度的情况，从全校学生随机抽取男，女生各50名进行调查，获得了他们的打分成绩（百分制），并对数据（打分成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．男生打分成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100）；
b．男生打分成绩在80≤x＜90这一组的是：
80 81 81 82 84 86 87 88 88 88 89 89 89 89
c．男女生打分成绩的平均数，中位数，众数如表：
成绩
平均数
中位数
众数
男生
82
m
89
女生
84
82
86
（1）写出表中m的值；
（2）在此次调查中，对配餐公司满意度较高的是　女生　（填“男生”或“女生”），理由　女生的打分的平均数高于男生打分的平均数　；
（3）如果该校700名男生都参加此次测试，请估计该校男生打分成绩超过85分的人数．

【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出m的；
（2）根据c中表格中的数据，可以解答本题；
（3）根据频数分布直方图中的数据和b中的信息，可以计算出该校男生打分成绩超过85分的人数．
【解答】解：（1）由频数分布直方图和b中的信息可知，
m＝（84+86）÷2＝85，
即m的值是85；
（2）由表格中的数据可得，
在此次调查中，对配餐公司满意度较高的是女生，理由：女生的打分的平均数高于男生打分的平均数，
故答案为：女生；女生的打分的平均数高于男生打分的平均数；
（3）700×＝350（人），
即估计该校男生打分成绩超过85分的有350人．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）被x轴截得的线段长度为4．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求c的值（用含a的式子表示）；
（3）若点M（x1，3），N（x2，3）为抛物线上不重合两点（其中x1＜x2），且满足x1（x2﹣5）≤0，求a的取值范围．
【分析】（1）由二次函数的对称轴公式，求出对称轴x＝1；
（2）根据对称轴求出抛物线于x轴的交点坐标，即可得出结论；
（3）先判断出点，M，N关于抛物线的对称轴对称，再用x1（x2﹣5）≤0，判断出x1≤﹣3或0≤x1≤1，再用判别式判断出a＞0或a＜﹣，用a表示出x1，再分两种情况解不等式（组），即可得出结论．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+c（a≠0），
∴函数的对称轴为直线x＝﹣＝1；

（2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）被x轴截得的线段长度为4，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），
∴y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴c＝﹣3a；

（3）∵点M（x1，3），N（x2，3）为抛物线上不重合两点（其中x1＜x2），
∴点M，N关于对称轴x＝1对称，
∴＝1，
∴x2＝2﹣x1，
∵x1（x2﹣5）≤0，
∴x1（2﹣x1﹣5）≤0，
∴﹣x1（x1+3）≤0，
∴x1（x1+3）≥0，
∴x1≤﹣3或x1≥0，
∵x1＜x2，
∴x1＜1，
∴x1≤﹣3或0≤x1≤1，
∴x1、x2是方程ax2﹣2ax+c＝3的根，即ax2﹣2ax﹣3a﹣3＝0的两个根，
∴△＝16a2+12a＝4a（4a+3）＞0，
∴a＞0或a＜﹣，
∴x＝＝，
∴x1＝，
∴≤﹣3①或0≤≤1②，
当a＞0时，解不等式①得，0≤a≤；
不等式组②无解，
即0≤a≤；
当a＜﹣时，不等式①无解，
不等式组②无解；
即0≤a≤．
27．（7分）已知：在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝α，以BC为斜边作等腰Rt△BDC，使得A，D两点在直线BC的同侧，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）如图1，当α＝20°时，
①求∠CDE的度数；
②判断线段AE与BE的数量关系；
（2）若45°＜α＜90°，线段AE与BE的数量关系是否保持不变？依题意补全图2，并证明．

【分析】（1）①由余角的性质可求∠CDE＝∠DBE＝25°；
②通过证明点A，点C，点B，点H四点共圆，由垂径定理可得AE＝BE；
（2）通过证明点A，点B，点C，点H四点共圆，由垂径定理可得AE＝BE．
【解答】解：（1）①∵∠CDB＝90°，CD＝DB，
∴∠DBC＝∠DCB＝45°，
∴∠DBE＝∠DBC﹣∠ABC＝25°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°＝∠CDB，
∴∠CDE+∠EDB＝∠EDB+∠ABD＝90°，
∴∠CDE＝∠DBE＝25°；
②AE＝BE，理由如下：
如图1，延长BD至H，使BD＝DH，连接CH，

∵BD＝DH，CD⊥BD，
∴CH＝BC，
∴∠CHB＝∠CBH＝45°，
∴∠A＝∠CHB＝45°，∠HCB＝90°，
∴点A，点C，点B，点H四点共圆，
∵∠HCB＝90°，
∴BH是直径，D是圆心，
∵DE⊥AB，
∴AE＝BE；
（2）不变，理由如下：
如图2，延长BD至H，使BD＝DH，连接CH，

∵BD＝DH，CD⊥BD，
∴CH＝BC，
∴∠CHB＝∠CBH＝45°，
∴∠A＝∠CHB＝45°，∠HCB＝90°，
∴点A，点B，点C，点H四点共圆，
∵∠HCB＝90°，
∴BH是直径，D是圆心，
∵DE⊥AB，
∴AE＝BE．
28．（7分）对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，r为半径作圆．若⊙P与图形M有交点，且半径r存在最大值与最小值，则将半径r的最大值与最小值的差称为点P视角下图形M的“宽度dM”
（1）如图1．点A（4，3），B（0，3）．
①在点O视角下，则线段AB的“宽度dAB”为　2　；
②若⊙B半径为1.5，在点A视角下，⊙B的“宽度d⊙B”为　3　．

（2）如图2，⊙O半径为2．点P为直线y＝﹣x+1上一点．求点P视角下⊙O“宽度d⊙O”的取值范围；
（3）已知点C（m，0），CK＝1，直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于点D，E．若随着点C位置的变化，使得在所有点K的视角下，线段DE的“宽度”均满足0＜dDE＜6，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）①②点P视角下图形M的“宽度dM”的定义解决问题即可．
（2）当点P在⊙O外时，点P视角下⊙O“宽度d⊙O”＝4，可得d⊙O的最大值为4，当OP⊥直线y＝﹣x+1时，d⊙O的最小值＝2OP＝，由此即可解决问题．
（3）如图3中，作线段DE的垂直平分线MN，观察图象可知当⊙C与直线的交点在线段DE（不包括点D，E）上或与直线DE没有交点，且⊙C与直线MN没有交点时，满足条件．求出几种特殊位置点C的坐标，即可得出结论．
【解答】解：（1）①如图1中，

∵A（4，3），B（0，3），
∴OB＝3，AB＝4，∠ABO＝90°，
∴OA＝＝＝5，
∴点O视角下，则线段AB的“宽度dAB”为5﹣3＝2，
故答案为：2．

②设直线AB交⊙B于E，H．
则在点A视角下，⊙B的“宽度d⊙B”＝AH﹣AE＝5.5﹣2.5＝3，
故答案为：3．

（2）如图2中，

当点P在⊙O外时，点P视角下⊙O“宽度d⊙O”＝4，
∴d⊙O的最大值为4，
当OP⊥直线y＝﹣x+1时，d⊙O的最小值＝2OP＝，
∴≤d⊙O≤4．

（3）如图3中，作线段DE的垂直平分线MN，观察图象可知当⊙C与直线的交点在线段DE（不包括点D，E）上或与直线DE没有交点，且⊙C与直线MN没有交点时，满足条件．

∵y＝x+3与x轴，y轴分别交于点D，E，
∴E（0，3），D（﹣3，0），
当⊙C在直线的左侧与直线相切时，C（﹣2﹣3，0），
当⊙C经过点D时，C（﹣3+1，0），
当⊙C与直线MN在右侧相切时，C（﹣，0），
当⊙C与直线MN在左侧相切时，C（﹣，0），
观察图象可知满足条件的m的值为：m＜﹣2﹣3或﹣3+1＜m＜﹣或m＞﹣．