2021年广东省东莞中学中考数学一模试卷

这是一份2021年广东省东莞中学中考数学一模试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）||的值是（ ）
A．B．C．﹣2D．2
2．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x≥0C．x＞0D．x≥0且x≠1
3．（3分）2020年6月23日9时43分，我国成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过0.0000000099秒．数据“0.0000000099”用科学记数法表示为（ ）
A．99×10﹣10B．9.9×10﹣10C．9.9×10﹣9D．0.99×10﹣8
4．（3分）下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）
6．（3分）在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（ ）
A．95B．90C．85D．80
7．（3分）点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是反比例函数图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2
8．（3分）正八边形的每个内角的度数是（ ）
A．144°B．140°C．135°D．120°
9．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．x＞﹣2B．x＞2C．﹣2＜x＜2D．x＞2或x＜﹣2
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②a﹣b+c＞0；③当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞5；④5a+c＝0；⑤当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
二、填空题
11．（3分）因式分解：ax2﹣4a＝ ．
12．（3分）若2m+n＝4，则代数式6﹣2m﹣n的值为 ．
13．（3分）在直角坐标系中，将抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，所得新抛物线的解析式为 ．
14．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为 ．
15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若AE：ED＝1：2，则S△AOE：S△COB＝ ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则CE＝ ．
17．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是 ．
三、解答题（一）
18．计算：（2021﹣π）0+|1﹣|+（）﹣1﹣2cs45°．
19．先化简再求值，其中．
20．如图，在△ABC中，
（1）尺规作图：画△ABC的外接圆⊙O（保留作图痕迹，不写画法）．
（2）连接OB，OC，若∠BAC＝42°，求∠BOC．
四、解答题（二）
21．为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为4个等级：A（0≤x＜2），B（2≤x＜4），C （4≤x＜6），D（x≥6），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为 °；
（3）请补全条形统计图；
（4）在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．
22．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
23．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝，CD＝BD，求AD的长．
五、解答题（三）
24．如图，AB为⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，AD平分∠BAC，过点D作AC的垂
线，垂足为点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，求的长；
（3）延长AB交ED的延长线于点F，若⊙O半径的长为3，tan∠AFE＝，求CE的长．
25．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c的图象经过B、C两点，且与x轴的负半轴交于点A．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D在直线BC下方的抛物线上，如图1，连接DC、DB，设四边形OCDB的面积为S，求S的最大值；
（3）若点D在抛物线上，如图2，过点D作DM⊥BC于点M，试问是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC？若存在，请求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
2021年广东省东莞中学中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）||的值是（ ）
A．B．C．﹣2D．2
【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
【解答】解：根据负数的绝对值是它的相反数，得||＝．
故选：B．
2．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≠1B．x≥0C．x＞0D．x≥0且x≠1
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：，
解得：x≥0且x≠1．
故选：D．
3．（3分）2020年6月23日9时43分，我国成功发射了北斗系统第55颗导航卫星，其授时精度为世界之最，不超过0.0000000099秒．数据“0.0000000099”用科学记数法表示为（ ）
A．99×10﹣10B．9.9×10﹣10C．9.9×10﹣9D．0.99×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000000099＝9.9×10﹣9，
故选：C．
4．（3分）下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据图形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．
【解答】解：A、既是轴对称图形又是对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
5．（3分）点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（ ）
A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接写出答案．
【解答】解：点P（2，﹣1）关于原点对称的点P′的坐标是（﹣2，1），
故选：A．
6．（3分）在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，则这组数据的众数是（ ）
A．95B．90C．85D．80
【分析】众数指一组数据中出现次数最多的数据，根据众数的定义就可以求解．
【解答】解：数据90出现了两次，次数最多，所以这组数据的众数是90．
故选：B．
7．（3分）点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是反比例函数图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y1＜y2
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点进行解答即可
【解答】解：∵中，k＝2＞0，
∴反比例函数图象在一、三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵﹣1＜0，
∴A点在第三象限，
∴y1＜0，
∵2＞1＞0，
∴B、C两点在第一象限，
∴y2＞y3＞0，
∴y1＜y3＜y2．
故选：B．
8．（3分）正八边形的每个内角的度数是（ ）
A．144°B．140°C．135°D．120°
【分析】根据n边形的外角和为360°得到正八边形的每个外角的度数＝＝45°，然后利用补角的定义即可得到正八边形的每个内角＝180°﹣45°＝135°．
【解答】解：∵正八边形的外角和为360°，
∴正八边形的每个外角的度数＝＝45°，
∴正八边形的每个内角＝180°﹣45°＝135°．
故选：C．
9．（3分）不等式组的解集是（ ）
A．x＞﹣2B．x＞2C．﹣2＜x＜2D．x＞2或x＜﹣2
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+1＜2x+3，得：x＞﹣2，
解不等式1﹣2x＞﹣3，得：x＜2，
则不等式组的解集为﹣2＜x＜2，
故选：C．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②a﹣b+c＞0；③当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞5；④5a+c＝0；⑤当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大．其中正确的结论有（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
【分析】根据抛物线的对称轴即可判断①；图象经过（﹣1，0）即可判断②；由抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（﹣1，0），得出抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），再根据抛物线开口向下得出当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5即可判断③；根据对称轴得到b＝﹣2a，且a﹣b+c＝0即可判断④；由于对称轴为直线x＝2，根据二次函数的性质得到当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x＞2时，y随x的增大而减小，即可判断⑤．
【解答】解：①∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，故本结论正确；
②∵图象过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，故本结论错误；
③∵抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（5，0），
∵抛物线开口向下，
∴当y＜0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞5，故本结论正确；
④∵对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a，
∵a﹣b+c＝0，
∴5a+c＝0，故本结论正确；
⑤∵对称轴为直线x＝2，
∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大，
当x＞2时，y随x的增大而减小，故本结论错误．
故选：D．
二、填空题
11．（3分）因式分解：ax2﹣4a＝ a（x+2）（x﹣2） ．
【分析】先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解即可得到答案．
【解答】解：ax2﹣4a
＝a（x2﹣4）
＝a（x﹣2）（x+2）．
故答案为：a（x﹣2）（x+2）．
12．（3分）若2m+n＝4，则代数式6﹣2m﹣n的值为 2 ．
【分析】将6﹣2m﹣n化成6﹣（2m+n）代值即可得出结论．
【解答】解：∵2m+n＝4，
∴6﹣2m﹣n＝6﹣（2m+n）＝6﹣4＝2，
故答案为2．
13．（3分）在直角坐标系中，将抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，所得新抛物线的解析式为 y＝x2+4x+4 ．
【分析】根据平移的规律：左加右减，求出得到的抛物线的解析式即可．
【解答】解：将抛物线y＝x2向左平移2个单位长度，所得新抛物线的解析式为：y＝（x+2）2，即y＝x2+4x+4，
故答案是：y＝x2+4x+4．
14．（3分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为 3 ．
【分析】根据垂径定理由CD⊥AB得到CH＝CD＝4，再根据勾股定理计算出OH＝3．
【解答】解：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴CH＝DH＝CD＝×8＝4，
∵直径AB＝10，
∴OC＝5，
在Rt△OCH中，OH＝＝3，
故答案为：3．
15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，AC，BE交于点O，若AE：ED＝1：2，则S△AOE：S△COB＝ 1：9 ．
【分析】本题通过平行四边形的性质可以得到AB＝CD且AB∥CD，进而得到△AOE∽△CBO，在通过AE：ED＝1：2，得到AE：BC＝1：3，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD且AB∥CD，
∴△AOE∽△CBO，
∵AE：ED＝1：2，
∴AE：AD＝1：3，
∴AE：BC＝1：3，
因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，
所以S△AOE：S△COB＝1：9，
故答案为：1：9，
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，则CE＝ ．
【分析】由折叠求出BF和CF，再设CF＝x，在△CEF中用勾股定理列方程即可得答案．
【解答】解：∵矩形ABCD沿AE折叠，AB＝3，AD＝5，
∴AF＝AD＝5，∠B＝∠C＝90°，DE＝EF，
∴BF＝＝4，
∴CF＝BC﹣BF＝1，
设CE＝x，则EF＝DE＝3﹣x，
在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，
∴CE＝．
故答案为：．
17．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是 48 ．
【分析】由图2知，AB＝BC＝10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，AC边上的高为8（此时BP＝8），即可求解．
【解答】解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，
由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为10，
即BC＝10，
由于M是曲线部分的最低点，
∴此时BP最小，
即BP⊥AC，BP＝8，
∴由勾股定理可知：PC＝6，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∵图象右端点函数值为10，
∴AB＝BC＝10，
∴PA＝PC＝6（三线合一），
∴AC＝12，
∴△ABC的面积为：×12×8＝48，
故答案为：48．
三、解答题（一）
18．计算：（2021﹣π）0+|1﹣|+（）﹣1﹣2cs45°．
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1+﹣1+3﹣2×
＝1+﹣1+3﹣
＝3．
19．先化简再求值，其中．
【分析】本题的关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．
【解答】解：原式＝＝x+1+x+1＝2x+2，
把中代入
原式＝．
20．如图，在△ABC中，
（1）尺规作图：画△ABC的外接圆⊙O（保留作图痕迹，不写画法）．
（2）连接OB，OC，若∠BAC＝42°，求∠BOC．
【分析】（1）作AB和AC的垂直平分线，它们相交于点O，然后以O点为圆心，OB为半径作圆；
（2）根据圆周角定理求解．
【解答】解：（1）如图，⊙O为所作；
（2）根据题意得∠BOC＝2∠BAC＝2×42°＝84°．
四、解答题（二）
21．为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为4个等级：A（0≤x＜2），B（2≤x＜4），C （4≤x＜6），D（x≥6），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
（1）本次共调查了 50 名学生；
（2）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为 108 °；
（3）请补全条形统计图；
（4）在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．
【分析】（1）由B等级人数及其所占百分比可得被调查的总人数；
（2）用360°乘以D等级人数所占比例即可得；
（3）根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好同时选中甲、乙两名同学的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）本次共调查学生＝50（名），
故答案为：50；
（2）扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为360°×＝108°，
故答案为：108；
（3）C等级人数为50﹣（4+13+15）＝18（名），
补全图形如下：
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好同时选中甲、乙两名同学的结果数为2，
所以恰好同时选中甲、乙两名同学的概率＝．
22．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？
【分析】本题可设每轮感染中平均一台会感染x台电脑，则第一轮后共有（1+x）台被感染，第二轮后共有（1+x）+x（1+x）即（1+x）2台被感染，利用方程即可求出x的值，并且3轮后共有（1+x）3台被感染，比较该数同700的大小，即可作出判断．
【解答】解：设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意得：1+x+（1+x）x＝81，
整理得（1+x）2＝81，
则x+1＝9或x+1＝﹣9，
解得x1＝8，x2＝﹣10（舍去），
∴（1+x）2+x（1+x）2＝（1+x）3＝（1+8）3＝729＞700．
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染8台电脑，3轮感染后，被感染的电脑会超过700台．
23．如图，△ABC中，D是AB边上任意一点，F是AC中点，过点C作CE∥AB交DF的延长线于点E，连接AE，CD．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）若∠B＝30°，∠CAB＝45°，AC＝，CD＝BD，求AD的长．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．根据等腰三角形的性质得到AD＝CE，于是得到四边形ADCE是平行四边形；
（2）过点C作CG⊥AB于点G．根据等腰三角形的性质得到∠DCB＝∠B＝30°，求得∠CDA＝60°．解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CE，
∴∠CAD＝∠ACE，∠ADE＝∠CED．
∵F是AC中点，
∴AF＝CF．
在△AFD与△CFE中，
．
∴△AFD≌△CFE（AAS），
∴AD＝CE，
∴四边形ADCE是平行四边形；
（2）解：过点C作CG⊥AB于点G．
∵CD＝BD，∠B＝30°，
∴∠DCB＝∠B＝30°，
∴∠CDA＝60°．
在△ACG中，∠AGC＝90°，，∠CAG＝45°，
∴．
在△CGD中，∠DGC＝90°，∠CDG＝60°，，
∴GD＝1，
∴．
五、解答题（三）
24．如图，AB为⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，AD平分∠BAC，过点D作AC的垂
线，垂足为点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，求的长；
（3）延长AB交ED的延长线于点F，若⊙O半径的长为3，tan∠AFE＝，求CE的长．
【分析】（1）连接OD，证明OD⊥DE即可；
（2）连接BD，求出∠BOD和⊙O的半径即可；
（3）连接BC交OD于M，△ABC中求出AC，再求出OM，进而得到MD即可得答案．
【解答】解：（1）连接OD，如答图1：
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠DAE＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAO，
∴∠ADE+∠DAO＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠DAO＝∠ODA，
∴∠ADE+∠ODA＝90°，即∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接BD，如答图2：
∵∠DAE＝30°，DE＝2，AE⊥DE，
∴AD＝4，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAE＝30°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDA＝90°，
Rt△ABD中，AB＝＝8，
∴OA＝OB＝4，
∴的长为＝π；
（3）连接BC交OD于M，如答图3：
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
而∠ODE＝∠AED＝90°，
∴BC∥EF，四边形DECM是矩形，
∴∠ABC＝∠AFE，MD＝CE，OD⊥BC，
∵tan∠AFE＝，
∴tan∠ABC＝，
∴sin∠ABC＝，即＝，
∵⊙O半径的长为3，
∴AB＝6，
∴AC＝，
∴OM＝AC＝，
∴MD＝OD﹣OM＝，
∴CE＝．
25．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c的图象经过B、C两点，且与x轴的负半轴交于点A．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D在直线BC下方的抛物线上，如图1，连接DC、DB，设四边形OCDB的面积为S，求S的最大值；
（3）若点D在抛物线上，如图2，过点D作DM⊥BC于点M，试问是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC？若存在，请求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由S＝S△ODC+S△ODB＝×OC×xD+×BO×（﹣yD），即可求解；
（3）分∠DCM＝∠ABC、∠MDC＝∠ABC两种情况，利用解直角三角形的方法，分别求解即可．
【解答】解：（1）对于y＝x﹣2，令y＝x﹣2＝0，解得x＝4，令x＝0，则y＝﹣2，
故点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣2）；
将点B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣2①；
（2）连接OD，点D的坐标为（x，x2﹣x﹣2），
则S＝S△ODC+S△ODB＝×OC×xD+×BO×（﹣yD）＝×2×x+×4×（x2﹣x﹣2）＝﹣x2+4x+4，
∵﹣1＜0，故S有最大值，
当x＝2时，S有最大值8；
（3）存在，理由：
①当∠DCM＝∠ABC时，
当点M在线段BC时，如题干图2，
则CD∥OB，
∵抛物线的对称轴为直线x＝，
则根据函数的对称性点D、C关于抛物线对称轴对称，故点D的坐标为（3，﹣2）；
当点M在CB的延长线时，如图2，
∵∠DCM＝∠ABC，
故TB＝TC，
设TB＝x＝CT，则OT＝4﹣t，
在Rt△OTC中，CT2＝OT2+OC2，即t2＝（4﹣t）2+22，解得t＝2.5，
故点T的坐标为（，0），
由点C、T的坐标得，直线CT的表达式为y＝x﹣2②，
联立①②并解得x＝0（舍去）或；
故点D的横坐标为3或；
②当∠MDC＝ABC时，如图3，
过点D作x轴的平行线交BC于点Q，交y轴于点P，
则∠Q＝∠ABC，
∵∠MDC＝ABC，
∴△DMC∽△BOC，
则，
故设MD＝2k，则CM＝k，CD＝k，
在Rt△MAD中，tan∠Q＝tan∠ABC＝，则QM＝4k，
则CQ＝3k，DQ＝＝2k，
在Rt△PQC中，tanQ＝，则sinQ＝，csQ＝，
则CP＝CQsinQ＝k，同理可得PQ＝k，
则PD＝DQ﹣PQ＝2k﹣k＝k，
设点D的坐标为（x，x2﹣x﹣2），则DP＝x，CP＝﹣x2+x，
∴＝，解得x＝0（舍去）或1.5，
故点D的横坐标为1.5；
综上，点D的横坐标为1.5或3或．