2021年辽宁省鞍山市海城市西部集团中考数学质检试卷（4月份）

这是一份2021年辽宁省鞍山市海城市西部集团中考数学质检试卷（4月份），共34页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列实数是无理数的是（ ）
A．B．0.1010010001
C．πD．
2．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（ab3）2＝a2b6B．a6÷a3＝a2
C．a2•a3＝a6D．a+a＝a2
5．（3分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的鞋销售量如下表：
店主决定在下次进货时增加一些23.5cm尺码的女鞋，影响店主决策的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
6．（3分）春节将至，某超市准备用价格分别是36元/kg和20元/kg的两种糖果混合成100kg的什锦糖出售，混合后什锦糖的价格是28元/kg．若设需要36元/kg的糖果xkg，20元/kg的糖果ykg，则下列方程组中能刻画这一问题中数量关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交于点M、N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，若AD＝6，则BE的长为（ ）
A．3B．3C．4D．2
8．（3分）如图，⊙O的半径为1，弦AB＝，BC＝，AB，BC在圆心O的两侧，求上有一动点D，AE⊥BD于点E，当点D从点C运动到点A时，则点E所经过的路径长为（ ）
A．3πB．πC．πD．π
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）2020年11月24日，我国自主研发的“嫦娥五号”探测器成功发射，“嫦娥五号”探测器绕地球飞行一周约42230千米，这个数用科学记数法表示是 米．
10．（3分）若关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是 ．
11．（3分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，交AC于点E．若∠AED＝50°，则∠D的度数为 ．
12．（3分）不等式组的最小整数解是 ．
13．（3分）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中约有红球 个．
14．（3分）将半径为12，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥侧面，则此圆锥的高为 ．
15．（3分）如图，△ABC中AC＝BC＝，∠C＝90°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得到△AB'C'，连接C'B，则C'B的长为 ．
16．（3分）如图，已知A1，A2，A3，…，An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝AnAn+1＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An+1作x轴的垂线交一次函数的图象于点B1，B2，B3，…，Bn+1，连接A1B2，B1A2，A2B3，B2A3，…，AnBn+1，BnAn+1依次产生交点P1，P2，P3，…，Pn，则Pn的坐标是 ．
三、（每小题8分，共16分）
17．（8分）先化简，再求值：（），其中a＝，b＝．
18．（8分）如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE＝AF，CE、BF交于点P．
（1）求证：CE＝BF；
（2）求∠BPC的度数．
四、（每小题10分，共20分）.
19．（10分）今年4月23日是第26个“世界读书日”．某校围绕学生日人均阅读时间这一问题，对八年级学生进行随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 ．
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）在扇形统计图中，计算出日人均阅读时间在1～1.5小时对应的圆心角度数．
（4）根据本次抽样调查，试估计我市12000名八年级学生中日人均阅读时间在0.5～1.5小时有多少人？
20．（10分）甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），指针的位置固定．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，甲胜；若指针所指两个区域的数字之和为4的倍数时，乙胜．如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘．
（1）试用列表或画树形图的方法，求甲获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由．
五、（每小题10分，共20分）
21．（10分）某山区为改善办学条件，依山新建一座教学楼，校门A处，有一坡度i＝5：12的斜坡AB，在坡顶B处（铅直高度为10米）看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝53°，在E处仰角C的仰角∠CEF＝63.4°，按规划要在离B点6米远的E处建一悬挂国旗的旗杆．
（1）求斜坡AB的长度；
（2）求旗杆处离教学楼的距离．
（参考数据：tan63.4°≈2，tan53°≈）
22．（10分）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．
（1）求n的值；
（2）结合图象，直接写出不等式＜kx+b的解集；
（3）点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝5，求点E的坐标．
六、（每小题10分，共20分）
23．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，CD平分∠ACB交AB于点D，BF平分∠ABC交CD于点F，AB＝6，过B、F两点的⊙O交BA于点G，交BC于点E，EB恰为⊙O的直径．
（1）判断CD和⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若cs∠A＝，求⊙O的半径．
24．（10分）某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线AB﹣BC﹣CD所示（不包括端点A）．
（1）当100＜x＜200时，直接写y与x之间的函数关系式．
（2）蔬菜的种植成本为2元千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克，当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润？
七、（12分）
25．（12分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，过点A作射线AP⊥AB，点D是线段AC上一动点（不与点A、C重合），连接BD，过点D作DE⊥BD，交射线AP于点E．
（1）如图①，当∠BAC＝45°时，猜想线段AE与线段CD的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，当∠BAC＝30°时，猜想线段AE与线段CD的数量关系，并说明理由；
（3）当∠BAC＝α时，直接写出线段AE与线段CD的数量关系．（用含α的式子表示）
八、（14分）
26．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；
②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．
2021年辽宁省鞍山市海城市西部集团中考数学质检试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下列实数是无理数的是（ ）
A．B．0.1010010001
C．πD．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B、0.1010010001是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C、π是无理数，故本选项符合题意；
D、化简结果为3，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（3分）如图所示的几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找出从几何体的上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从几何体的上面看，是一行两个矩形，
故选：B．
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
4．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．（ab3）2＝a2b6B．a6÷a3＝a2
C．a2•a3＝a6D．a+a＝a2
【分析】分别根据幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则以及合并同类项法则逐一判断即可．
【解答】解：A、（ab3）2＝a2b6，故本选项符合题意；
B、a6÷a3＝a3，故本选项不符合题意；
C、a2•a3＝a5，故本选项不符合题意；
D、a+a＝2a，故本选项不符合题意；
故选：A．
5．（3分）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码的鞋销售量如下表：
店主决定在下次进货时增加一些23.5cm尺码的女鞋，影响店主决策的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
【解答】解：由表中数据知，这组数据的众数为23.5cm，
所以影响店主决策的统计量是众数，
故选：C．
6．（3分）春节将至，某超市准备用价格分别是36元/kg和20元/kg的两种糖果混合成100kg的什锦糖出售，混合后什锦糖的价格是28元/kg．若设需要36元/kg的糖果xkg，20元/kg的糖果ykg，则下列方程组中能刻画这一问题中数量关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】设需要36元/kg的糖果xkg，20元/kg的糖果ykg，由题意得等量关系：两种糖果混合成100kg的什锦糖；36元/kg的糖果xkg的费用+20元/kg的糖果ykg的费用＝100kg×28，然后再列出方程组即可．
【解答】解：设需要36元/kg的糖果xkg，20元/kg的糖果ykg，由题意得：
，
故选：B．
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交于点M、N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，若AD＝6，则BE的长为（ ）
A．3B．3C．4D．2
【分析】根据题干的步骤作图即可；由题干的作图步骤可知，此作法为作线段的垂直平分线，可知AE⊥DC，DE＝CE＝DC，即∠AED＝∠BAE＝90°，则可利用勾股定理求得AE，从而求得BE．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∵依题意．题中作图为作DC边垂直平分线，
∴DE＝CE＝3，AE⊥DC，
∴在Rt△AED中，由勾股定理得：AE＝＝＝3，
∵AB∥DC，
∴AE⊥AB，
∴∠BAE＝90°
∴由勾股定理得：
BE＝＝＝3，
故选：A．
8．（3分）如图，⊙O的半径为1，弦AB＝，BC＝，AB，BC在圆心O的两侧，求上有一动点D，AE⊥BD于点E，当点D从点C运动到点A时，则点E所经过的路径长为（ ）
A．3πB．πC．πD．π
【分析】根据AE⊥BD于点E可知，点E在AB为直径的圆上运动，然后由D的位置确定E的起点和终点，根据弧长公式进行计算即可．
【解答】解：取AB的中点K，作AQ⊥BC于Q，作OG⊥BC于G，
在Rt△BOG中，∠OGB＝90°，
∵OB＝1，BG＝，
∴cs∠OBG＝，
∴∠OBG＝30°，
同理∠ABO＝45°，
∴∠ABQ＝75°，
∵AE⊥BD，
∴点E在以K为圆心，AK为半径的圆上，
当D与C重合时，
E与Q重合，
当D与A重合时，
E与A重合，
∴点E的运动路径是弧AQ，
在Rt△ABQ中，∠ABQ＝75°，
∴∠BAQ＝15°，
∴∠AKQ＝150°，
∴弧AQ的长度为：＝，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）2020年11月24日，我国自主研发的“嫦娥五号”探测器成功发射，“嫦娥五号”探测器绕地球飞行一周约42230千米，这个数用科学记数法表示是 4.223×107 米．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：42230千米＝42230000米＝4.223×107米．
故答案为：4.223×107．
10．（3分）若关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个实数根，则m的取值范围是 m≥﹣ ．
【分析】根据一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个实数根得到△≥0，即△＝1﹣4（﹣m）≥0，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0有两个实数根，
∴△≥0，
∴△＝1﹣4（﹣m）≥0，即m≥﹣，
故答案为：m≥﹣．
11．（3分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，交AC于点E．若∠AED＝50°，则∠D的度数为 25° ．
【分析】根据平行线的性质求得∠ACB度数，然后根据角平分线的定义求得∠DCB的度数，然后利用两直线平行，内错角相等即可求解．
【解答】解：∵DE∥BC，∠AED＝50°，
∴∠ACB＝∠AED＝50°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB＝25°，
∵DE∥BC，
∴∠D＝∠BCD＝25°，
故答案为：25°．
12．（3分）不等式组的最小整数解是 ﹣2 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞﹣3，
解不等式②得：x≤1，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤1，
∴不等式组的最小整数解是﹣2，
故答案为：﹣2．
13．（3分）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中约有红球 3 个．
【分析】先根据摸到红球的频率稳定于可估计摸到红球的概率约为，再设袋中红球的个数为x，根据概率公式列出关于x的方程，解之得出答案．
【解答】解：∵通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，
∴可估计摸到红球的概率约为，
设袋中红球的个数为x，
根据题意，得：＝，
解得x＝3，
经检验：x＝3是分式方程的解，
所以可估计袋中约有红球3个，
故答案为：3．
14．（3分）将半径为12，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥侧面，则此圆锥的高为 ．
【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π•r＝，然后解关于r的方程即可．
【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2π•r＝，
解得r＝4，
即这个圆锥的底面圆的半径为4，
∴圆锥的高为＝8．
故答案为．
15．（3分）如图，△ABC中AC＝BC＝，∠C＝90°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得到△AB'C'，连接C'B，则C'B的长为 ﹣1 ．
【分析】连接BB'，延长BC′交AB'于点M，易证△ABB'为等边三角形，由SSS证明△ABC'≌△B'BC'，得到∠MBB'＝∠MBA＝30°，由等边三角形的性质得出BM⊥AB'，且AM＝B'M，由勾股定理与直角三角形斜边上的中线即求出BM，C'M的长，即可解决问题．
【解答】解：连接BB'，延长BC′交AB'于点M，如图所示：
由旋转的性质得：∠BAB'＝60°，BA＝B'A，AC＝BC＝AC′＝B′C′，∠AC′B′＝∠ACB＝90°，
∴△ABB'为等边三角形，
∴∠ABB'＝60°，AB＝BB'，
在△ABC'与△B'BC'中，，
∴△ABC'≌△B'BC'（SSS）
∴∠MBB'＝∠MBA＝30°，
∴BM⊥AB'，且AM＝B'M，
∵AC＝BC＝，∠C＝90°，
∴AB＝AC＝2，
∴AB＝AB'＝2，
∴AM＝1，
BM＝＝＝，
C′M＝AB′＝×2＝1，
∴C′B＝BM﹣C′M＝﹣1，
故答案为：﹣1．
16．（3分）如图，已知A1，A2，A3，…，An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝AnAn+1＝1，分别过点A1，A2，A3，…，An+1作x轴的垂线交一次函数的图象于点B1，B2，B3，…，Bn+1，连接A1B2，B1A2，A2B3，B2A3，…，AnBn+1，BnAn+1依次产生交点P1，P2，P3，…，Pn，则Pn的坐标是 （n+，） ．
【分析】由已知可以得到A1，A2，A3，…点的坐标分别为：（1，0），（2，0），（3，0），…，又得作x轴的垂线交一次函数y＝x的图象于点B1，B2，B3，…的坐标分别为（1，），（2，1），（3，），…，由此可推出点An，Bn，An+1，Bn+1的坐标为，（n，0），（n，），（n+1，0），（n+1，）．由函数图象和已知可知要求的Pn的坐标是
直线AnBn+1和直线An+1Bn的交点．在这里可以根据推出的四点求出两直线的方程，从而求出点Pn．
【解答】解：由已知得A1，A2，A3，…的坐标为：（1，0），（2，0），（3，0），…，
又得作x轴的垂线交一次函数y＝x的图象于点B1，B2，B3，…的坐标分别为（1，），（2，1），（3，），…．
由此可推出An，Bn，An+1，Bn+1四点的坐标为，（n，0），（n，），（n+1，0），（n+1，）．
所以得直线AnBn+1和An+1Bn的直线方程分别为：
y﹣0＝（x﹣n）+0，
y﹣0＝（x﹣n﹣1）+0，
即，
解得：
，
故答案为：（n+，）．
三、（每小题8分，共16分）
17．（8分）先化简，再求值：（），其中a＝，b＝．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a、b的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝．
当a＝+，b＝﹣时，原式＝＝＝．
18．（8分）如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE＝AF，CE、BF交于点P．
（1）求证：CE＝BF；
（2）求∠BPC的度数．
【分析】（1）欲证明CE＝BF，只需证得△BCE≌△ABF；
（2）利用（1）中的全等三角形的性质得到∠BCE＝∠ABF，则由图示知∠PBC+∠PCB＝∠PBC+∠ABF＝∠ABC＝60°，即∠PBC+∠PCB＝60°，所以根据三角形内角和定理求得∠BPC＝120°．
【解答】（1）证明：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB，∠A＝∠EBC＝60°，
∴在△BCE与△ABF中，
，
∴△BCE≌△ABF（SAS），
∴CE＝BF；
（2）解：∵由（1）知△BCE≌△ABF，
∴∠BCE＝∠ABF，
∴∠PBC+∠PCB＝∠PBC+∠ABF＝∠ABC＝60°，即∠PBC+∠PCB＝60°，
∴∠BPC＝180°﹣60°＝120°．
即：∠BPC＝120°．
四、（每小题10分，共20分）.
19．（10分）今年4月23日是第26个“世界读书日”．某校围绕学生日人均阅读时间这一问题，对八年级学生进行随机抽样调查．如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是 150 ．
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）在扇形统计图中，计算出日人均阅读时间在1～1.5小时对应的圆心角度数．
（4）根据本次抽样调查，试估计我市12000名八年级学生中日人均阅读时间在0.5～1.5小时有多少人？
【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得样本容量；
（2）根据（1）中的结果可以求得阅读时间在0.5～1小时的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图中的数据可以求得日人均阅读时间在1～1.5小时对应的圆心角度数；
（4）根据统计图中的数据可以估计我市12000名初二学生中日均阅读时间在0.5～1.5小时的有多少人．
【解答】解：（1）30÷20%＝150，
即样本容量是150．
故答案为：150；
（2）日人均阅读时间在0.5～1小时的人数是：150﹣30﹣45＝75（人），
补全的条形统计图如图所示：
（3）人均阅读时间在1～1.5小时对应的圆心角度数是：360°×＝108°；
（4）12000×＝9600（人），
答：我市12000名八年级学生中日人均阅读时间在0.5～1.5小时有9600人．
20．（10分）甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），指针的位置固定．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，甲胜；若指针所指两个区域的数字之和为4的倍数时，乙胜．如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘．
（1）试用列表或画树形图的方法，求甲获胜的概率；
（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由．
【分析】（1）根据题意列出图表，得出数字之和共有12种结果，其中“和是3的倍数”的结果有4种，再根据概率公式求出甲获胜的概率；
（2）根据图表（1）得出）“和是4的倍数”的结果有3种，根据概率公式求出乙的概率，再与甲的概率进行比较，得出游戏是否公平．
【解答】解：（1）列表如下：
∵数字之和共有12种结果，其中“和是3的倍数”的结果有4种，
∴P（甲）＝＝；
（2）∵“和是4的倍数”的结果有3种，
∴P（乙）＝＝；
∵，即P（甲）≠P（乙），
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平．
五、（每小题10分，共20分）
21．（10分）某山区为改善办学条件，依山新建一座教学楼，校门A处，有一坡度i＝5：12的斜坡AB，在坡顶B处（铅直高度为10米）看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF＝53°，在E处仰角C的仰角∠CEF＝63.4°，按规划要在离B点6米远的E处建一悬挂国旗的旗杆．
（1）求斜坡AB的长度；
（2）求旗杆处离教学楼的距离．
（参考数据：tan63.4°≈2，tan53°≈）
【分析】（1）作BG⊥AD，由BG＝10、i＝得AG＝24，根据勾股定理求解可得；
（2）设EF＝x米，则BF＝6+x（米），由CF＝BFtan∠CBF＝EFtan∠CEF得出关于x的方程，解之可得．
【解答】解：（1）如图，过点B作BG⊥AD于点G，
则BG＝10，
∵i＝，
∴AG＝24，
则AB＝＝＝26，
答：斜坡AB的长度为26米；
（2）设EF＝x米，则BF＝6+x（米），
∵在Rt△BCF中，CF＝BFtan∠CBF＝（6+x）tan53°，
在Rt△ECF中，CF＝EFtan∠CEF＝tan63.4°x，
∴（6+x）tan53°＝tan63.4°x，
解得：x＝≈12，
答：旗杆处离教学楼的距离约为12米．
22．（10分）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．
（1）求n的值；
（2）结合图象，直接写出不等式＜kx+b的解集；
（3）点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝5，求点E的坐标．
【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数的解析式，把点B的坐标代入已求出的反比例函数解析式，得出n的值；
（2）根据一次函数图象在反比例函数图象的上方时自变量的取值范围，可求不等式＜kx+b的解集；
（3）设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，先求出直线AB的解析式，再求出点P的坐标（0，7），得出PE＝|m﹣7|，根据S△AEB＝S△BEP﹣S△AEP＝5，求出m的值，从而得出点E的坐标．
【解答】解：（1）把点A（2，6）代入y＝，得m＝12，
则y＝
把点B（n，1）代入y＝，得n＝12，
则n＝12
（2）2＜x＜12或x＜0
（3）设过点A（2，6），点B（12，1）的直线为：y＝kx+b
根据题意，得：
∴k＝﹣，b＝7
则直线AB解析式为y＝﹣x+7
如图，设直线AB与y轴的交点为P，设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，
则点P的坐标为（0，7）
∴PE＝|m﹣7|
∵S△AEB＝S△PEB﹣S△PEA＝5
∴×|m﹣7|×12﹣×|m﹣7|×2＝5．
∴×|m﹣7|×（12﹣2）＝5
∴|m﹣7|＝1．
∴m1＝6，m2＝8
∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）
六、（每小题10分，共20分）
23．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC，CD平分∠ACB交AB于点D，BF平分∠ABC交CD于点F，AB＝6，过B、F两点的⊙O交BA于点G，交BC于点E，EB恰为⊙O的直径．
（1）判断CD和⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若cs∠A＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OF，求出OF∥BD，根据等腰三角形性质求出CD⊥AB，推出OF⊥CD，即可得出答案；
（2）解直角三角形求出BC，设半径为r，证△△CFO∽△CDB，得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：（1）CD与⊙O相切，
理由如下：连接OF，
∵AC＝BC，CD平分∠ACB，
∴AD＝BD＝3，CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∵OF＝OB，
∴∠OFB＝∠OBF，
∵BF平分∠ABC，
∴∠CBF＝∠FBD，
∴∠OFB＝∠FBD，
∴OF∥DB，
∴∠CFO＝∠BDC＝90°，
∴CD与⊙O相切；
（2）∵AC＝BC，
∴∠A＝∠ABC，
∴cs∠ABC＝cs∠A＝
在Rt△BDC中，cs∠ABC＝＝，
∴BC＝9，
∵OF∥DB，
∴△CFO∽△CDB，
设⊙O的半径是r，则＝，
∴r＝，
即⊙O的半径是．
24．（10分）某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y（元/千克）与采购量x（千克）之间的函数关系图象如图中折线AB﹣BC﹣CD所示（不包括端点A）．
（1）当100＜x＜200时，直接写y与x之间的函数关系式．
（2）蔬菜的种植成本为2元千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过200千克，当采购量是多少时，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？
（3）在（2）的条件下，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润？
【分析】（1）利用待定系数法求出当100＜x＜200时，y与x之间的函数关系式即可；
（2）根据当0＜x≤100时，当100＜x≤200时，分别求出获利W与x的函数关系式，进而求出最值即可；
（3）根据（2）中所求得出，﹣0.02（x﹣150）2+450＝418求出即可．
【解答】解：（1）设当100＜x＜200时，y与x之间的函数关系式为：y＝ax+b，
把B（100，6），C（200，4）代入函数关系式得：
，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣0.02x+8；
（2）当采购量是x千克时，蔬菜种植基地获利W元，
当0＜x≤100时，W＝（6﹣2）x＝4x，
当x＝100时，W有最大值400元，
当100＜x≤200时，
W＝（y﹣2）x
＝（﹣0.02x+6）x
＝﹣0.02（x﹣150）2+450，
∴当x＝150时，W有最大值为450元，
综上所述，一次性采购量为150千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为450元；
（3）由400＜418＜450，
根据（2）可得，﹣0.02（x﹣150）2+450＝418，
解得：x1＝110，x2＝190，
答：经销商一次性采购的蔬菜是110千克或190千克时，蔬菜种植基地能获得418元的利润．
七、（12分）
25．（12分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，过点A作射线AP⊥AB，点D是线段AC上一动点（不与点A、C重合），连接BD，过点D作DE⊥BD，交射线AP于点E．
（1）如图①，当∠BAC＝45°时，猜想线段AE与线段CD的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，当∠BAC＝30°时，猜想线段AE与线段CD的数量关系，并说明理由；
（3）当∠BAC＝α时，直接写出线段AE与线段CD的数量关系．（用含α的式子表示）
【分析】（1）如图1，作辅助线，构建三角形全等，证明△CDG是等腰直角三角形，得DG＝CD，∠DGC＝45°，再证明△EAD≌△DGB，可得结论；
（2）如图2，作辅助线，过D作DF∥AB，交BC于F，先证得∠FDC＝30°得：CF＝DF，证明△DAE∽△BFD，得，则，可得结论；
（3）如图3，同（2）可得结论．
【解答】解：（1）AE＝CD，
如图1，在BC上取一点G，使AD＝BG，连接DG，
∵∠BAC＝45°，∠ACB＝90°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，
∴AC﹣CD＝BC﹣BG，
即CD＝CG，
∴△CDG是等腰直角三角形，
∴DG＝CD，∠DGC＝45°，
∴∠DGB＝135°，
∵AP⊥AB，
∴∠BAP＝90°，
∵∠DAE＝90°+45°＝135°，
∴∠DAE＝∠DGB，
∵DE⊥DB，
∴∠EDB＝90°，
∴∠EDA+∠BDC＝90°，
∵∠BDC+∠DBC＝90°，
∴∠EDA＝∠DBC，
∴△EAD≌△DGB（ASA），
∴AE＝DG，
∴AE＝CD；
（2）AE＝2CD，理由是
如图2，
过D作DF∥AB，交BC于F，
则∠FDC＝∠BAC＝30°，，
∴，
∵AP⊥AB，DE⊥BD，
∴∠BAP＝∠BDE＝90°，
∵∠ADE+∠BDE+∠BDC＝180°，
∴∠ADE+∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠FDC＝30°
∴∠DBC+∠BDC＝90°，CF＝DF，
∴∠ADE＝∠DBC，
∵∠DAE＝∠BAC+∠BAP，∠BFD＝∠FDC+∠ACB，
∴∠DAE＝∠DBC，
∴△DAE∽△BFD，
∴，
∴，
∴，
∴＝2，即AE＝2CD；
（3）CD＝AE•sinα，理由是
如图3，
过D作DF∥AB，交BC于F，
则∠FDC＝∠BAC＝α，，
∴，
∵AP⊥AB，DE⊥BD，
∴∠BAP＝∠BDE＝90°，
∵∠ADE+∠BDE+∠BDC＝180°，
∴∠ADE+∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠FDC＝α
∴∠DBC+∠BDC＝90°，sin∠FDC＝sinα＝，
∴∠ADE＝∠DBC，
∵∠DAE＝∠BAC+∠BAP，∠BFD＝∠FDC+∠ACB，
∴∠DAE＝∠BFD，
∴△DAE∽△BFD，
∴，
∴，
∴＝sinα，
∴CD＝AE•sinα．
八、（14分）
26．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；
②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，进而利用平行四边形的对边相等建立方程求解即可；
（3）①先判断出要以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，只有EF为对角线，利用中点坐标公式建立方程即可；
②先取EG的中点P进而判断出△PEM∽△MEA即可得出PM＝AM，连接CP交圆E于M，再求出点P的坐标即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n过点A，B，
∴，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝2x+4，
设E（m，2m+4），
∴G（m，﹣m2﹣2m+4），
∵四边形GEOB是平行四边形，
∴EG＝OB＝4，
∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4＝4，
∴m＝﹣2
∴G（﹣2，4）．
（3）①如图1，
由（2）知，直线AB的解析式为y＝2x+4，
∴设E（a，2a+4），
∵直线AC：y＝﹣x﹣6，
∴F（a，﹣a﹣6），
设H（0，p），
∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，
∵直线AB的解析式为y＝2x+4，直线AC：y＝﹣x﹣6，
∴AB⊥AC，
∴EF为对角线，
∴EF与AH互相平分，
∴（﹣4+0）＝（a+a），（﹣4+p）＝（2a+4﹣a﹣6），
∴a＝﹣2，P＝﹣1，
∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；
②如图2，
由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），
∴EH＝，AE＝2，
设AE交⊙E于G，取EG的中点P，
∴PE＝，
连接PC交⊙E于M，连接EM，
∴EM＝EH＝，
∴＝，
∵＝，
∴＝，∵∠PEM＝∠MEA，
∴△PEM∽△MEA，
∴，
∴PM＝AM，
∴AM+CM的最小值＝PC，
设点P（p，2p+4），
∵E（﹣2，0），
∴PE2＝（p+2）2+（2p+4）2＝5（p+2）2，
∵PE＝，
∴5（p+2）2＝，
∴p＝﹣或p＝﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），
∴P（﹣，﹣1），
∵C（0，﹣6），
∴PC＝＝，
即：AM+CM＝．
尺码/cm
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
2
5
10
4
6
2
尺码/cm
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
2
5
10
4
6
2