【小升初】31.分析与推理教案讲义及练习

这是一份【小升初】31.分析与推理教案讲义及练习，共14页。教案主要包含了优化问题，逻辑推理，填空题等内容，欢迎下载使用。

一搭配问题
是指在生活中，利用排列或组合的知识解决生活中的问题，如:组数、选择出行路线，比赛场次等。
意义
排列是从n个给定的元素中选出m个元素按照一定的顺序排成一列;组合是从n个不同元素中取出m个元素组成一组，不计较组内各元素的次序。
排列和组合的最主要区别
排列与顺序有关，组合与顺序无关。
3.简单的排列方法
(1)按顺序选定一个事物放在首位，再把剩下的事物排好顺序。
(2)先分组，再在组内按顺序排列。
4.简单的组合方法
(1)按顺序依次搭配，不重复、不遗漏。
(2)按顺序选定一个事物放在首位进行分组，再把剩下的事物进行分组组合，不重复、不遗漏。
5.口诀:分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
二、优化问题
在日常生活中，我们经常会遇到这样的问题，完成某件事情，怎样规划安排，才能用最短的时间，最小的投人，最少的人力，最快的速度，取得最好的效果，我们称之为统筹或优化问题。如:沏茶问题、烙饼问题和田忌赛马问题等。
我们还会遇到“费用最省”、“用时最少”、“面积最大”和“损耗最小”等问题，这些问题往往可以以极端情况去探讨它的最大(小)值，这类问题在数学中称为极值问题，实际上都是“最优化问题”。
三、逻辑推理
1.基本概念
逻辑推理，是指依据逻辑规律，从一定的前提出发，通过一系列的推理来获取某种结论。
2.基本方法和解题技巧
解决推理问题的常用方法有:直接法、假设法、排除法、反证法、图解法和列表法。逻辑推理问题的解决，需要深人地理解条件和结论，分析关键所在，找到突破口，进行合情合理的推理，在推理过程中往往需要交替运用“排除法”和“反证法”，要善于借助表格，把已知条件和推出的中间结论及时填人表格内。在填表时，对正确的(或不正确的)结果要及时注上“V”(或“X")，以免引起遗忘或混乱。
找次品问题
找次品是我们生活中经常遇到的问题，在一些外观看似相同的物品中，有一个质量不同(轻一点或重一点)的物品，需要我们想办法把它找出来。像这类问题就是找次品问题。
用天平找次品的解题策略:
一是把待测物品分成三份。
二是要分得尽量平均，能平均分成三份的，就平均分，不能平均分成三份的，也应使多的与少的一份只差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数会更少。
考点精讲分析
典例精讲
考点1 搭配问题
【例1】 用3，5，0三个数字可以组成（ ）个不同的三位数（每个数字不能重复）
【精析】简单的排列组合问题，按照一定的顺序来写，做到不重不漏。可分为:百位数字是3的有:305 ,350共2个;百位数字是5的有:503,530共2个，所以总共有4个不同的三位数。
【答案】4
【归纳总结】注意0不能写在最高位上。
【例2】六年级5个班进行拔河比赛，采用单循环制进行比赛，全年级一共要比赛( )场。
【精析】简单的排列组合问题，从左往右依次组合，不重不漏。
【答案】六年级5个班记为A,B,C,D,E，与A班进行的比赛有:A→B , A→C , A→D , A→E共4场;与B班进行的比赛有:B→C,B→D,B→E共3场;与C班进行的比赛有:C→D,C→E共2场;与D班进行的比赛有:D→E一场。所以总共有4+3+2+1 =10场比赛。
【归纳总结】本题考查循环赛场次问题:有n个班(或组)进行单循环比赛，则比赛场次共有(n-1)+(n一2)+…+2+1场。
考点2 优化问题
【例3】妈妈下班回家做饭，淘米要2分钟，煮饭要20分钟，洗菜要3分钟，切菜要2分钟，炒菜要10分钟，如果煮饭和炒菜要用不同的锅和炉子，妈妈要将饭菜都做好，最少要用( )时间。
【精析】简单的优化问题。可以这样安排:先淘米2分钟，煮饭20分钟，煮饭的同时可以洗菜、切菜和炒菜。所以最少要用:2 + 20 = 22(分钟)。
【答案】22
【归纳总结】本题考查合理安排时间，既要抓住节省时间又不使工序矛盾进行分析设计。解决这类问题要注意哪些事情可以同时做，哪些不能同时做，能同时做的事情，尽量同时做，这样可以节省时间。
【例4】如果将齐王的三种马的能力值设定为9,7,5，而田忌的三种马的能力都分别少一些为8,6 ,4，怎样才能使田忌赢呢?
【精析】田忌赛马问题。根据三局两胜的规则，让田忌能力值最高的马与齐王的能力值第二的马比赛;让田忌能力值第二的马与齐王能力第三的马比赛;让田忌能力值最低的马与齐王能力值最高的马比赛。这样能保证田忌胜出2局。
【答案】列表格如下:
【归纳总结】田忌赛马问题考查的是对策论，必须齐王先出阵，田忌才可以选择对策。
考点3 推理问题
【例5】 A,B,C三人进行跑步比赛，甲、乙、丙三人对比赛结果进行预测。甲说:“A肯定是第一名。”乙说:”A不是最后一名。”丙说:“ A肯定不是第一名。”其中只有一人对比赛结果的预测是对的，预测对的是( )。
A.甲 B.乙 C.丙 D.不能确定
【精析】推理问题，根据“两个互相否定的思想不能同真”，甲和丙的预测互相矛盾，则必然有一人的预测是对的，再经过推论得出结果。根据题意，甲和丙的预测相互矛盾，必一对一错，因为只有一个人的预测是对的，不论甲对还是丙对，乙必错，所以A是最后一名。甲说“A肯定是第一名”与“A是最后一名”相矛盾，所以甲预测错误，则丙预测就是对的。
【答案】C
【归纳总结】推理的关键是抓住一对截然相反、互相矛盾的说法展开推理，利用题目限定的条件，找出一个必错或必对的说法，作为突破口。
考点4 找次品问题
【例6】有8个相同的零件和1个稍轻的零件混在一起，用天平秤至少称()次能保证找到那个稍轻的零件。
【精析】找次品问题，使用天平比较物体质量的大小，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。将物体尽量平均分成3份，称的次数最少。第一步:把9个零件平均分为三份(3,3,3)，用天平称前两组(3，3)。
(1)如果天平平衡，则稍轻的零件就在第3组里，再把第三组的3个零件平均分为三份(1,1,1),再用天平称前两组，如果平衡，则最后一个就是那个稍轻的零件;如果不平衡，那么天平上升的那边就是那个稍轻的零件。
(2)如果天平不平衡，则把上升的那个托盘中的3零件平均分成三份再称一次就能找到那个稍轻的零件。所以，用天平至少称2次就能找到那个稍轻的零件。
【答案】 2
【归纳总结】把待测物体尽量平均分成三份，不能平均分的，也使多的和少的一份只差1用天平找次品时，要测物品的个数(只含一个次品)和至少需要的次数与数字3有关。它的规律(在知道物体是较重或较轻的情况下)如下表所示:
如果不知道次品是较轻还是较重的情况下，需要在多测一次。
名题精析
【例】（西安高新某中入学）甲地有57吨货物运到乙城，大卡车载重量是5吨，小卡车载重量是3吨，耗油量分别是10升和5. 7升，则用多少辆大卡车和小卡车来运输，耗油量最省?
【精析】最佳策略问题，先求出大卡车和小卡车每吨货物的耗油量，即大、小卡车的运愉成本，然后比较哪种卡车的运愉成本低，在设计方案时尽量选择运愉成本低的卡车，而且尽量满载。
【答案】大卡车每吨耗油量:10 ÷ 5 =2(升)。小卡车每吨耗油量:5.7 ÷3 =1.9(升)
所以尽可能选择小卡车，而且尽量满载;57吨货物选择小卡车来运，需要(辆)耗油量为:1.9 x57=108.3(升)
答:用19辆小卡车来运输，耗油量最省，为108.3升。
【归纳总结】做题时，既要考虑运输成本，尽量选择运输成本低的卡车，又要尽量满载。
毕业升学训练
一、填空题
1.由1,2,3这三个数字能组成的三位数一共有( )个，它们的和是( )。
2.奥运会上，八个国家，每两个国家赛一场，共要赛( )场。
3.笑笑安排时间最合理:起床整理被褥3分钟，刷牙3分钟，洗脸2分钟，听英语录音8分钟。如果六点起床，最快( )时( )分做完这些事情。
4.亮亮从学校到少年宫有2条线路，从少年宫到公园有3条线路，那么亮亮从学校到公园共有( )条线路可走。
5.小明用平底锅烙饼，每次只能放2张饼，烙一张饼需要2分钟(正、反面各需1分钟)。为了节约时间，小明要烙7张饼最少需要( )分钟。
6.两人玩扑克牌比大小的游戏，每人每次出一次牌，各出三次赢两次者胜，小红的牌是“9”, “7” ,“5”;，小芳的牌是“8”;“6”;“3”;。当小红出“9”时，小芳出( )才可能赢。
二、选择题
1.小明、小刚、小强分别担任语文、数学、外语某一门学科的课代表，并分别有篮球、排球、乒乓球三种爱好中的一种，若已知:
(1)爱好排球、篮球的和小明一起去游泳;
(2)爱好乒乓球的常和数学课代表一起写作;
(3)小刚一点也不爱好篮球;
(4)语文课代表对乒乓球、排球一窍不通。
由此可以推断，小明、小刚、小强分别担任的学科课代表是( )。
A.外、数、语 B.数、语、外
C.语、外、数 D.不能确定
2. A,B,C,D,E五人进行乒乓球比赛，每两人都要赛一场，现在A已经赛了4场，B已经赛了3场，C已经赛了2场，D已经赛了1场，那么E赛了( )场。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.在10个零件里有1个是次品(次品重些)，用天平称，至少称( )次才能保证找出次品。
A. 3 B. 2 C.4 D. 5
4.刚接到学校通知，有一个紧急演出，让学校的合唱队去参加，离演出时间很近了，合唱队共有31人，通知一个学生需要1分钟。老师最快( )分钟能通知到这31名同学。
A. 32 B.8 C.16 D. 5
5.师生共32人去公园划船，大船租金30元，限乘6人，小船租金24元，限乘4人，下列( )方案最省钱。
A. 6条大船 B. 5条大船，1条小船
C. 4条大船，2条小船
6.六年级有三个班，每班有两个班长。开班长会时，每次每班只需要一个班长参加。第一次参加会议的有A,B,C;第二次参加会议的有B,D,E;第三次参加会议的有A,E,F。下列说法正确的是( )。
A. B和E同班 B. C和E同班
C. A和F同班 D. C和F同班
三、解决问题
1.赵、钱、孙三个工人，在甲、乙、丙三个工厂里分别当车工、钳工和电工。
①赵不在甲厂，②钱不在乙厂，③在甲厂的不是钳工，④在乙厂的是车工，⑤钱不是电工。
这三个人分别在哪个工厂?干什么工作?
兵兵用红、黄、蓝三面旗子从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以挂一面、两面、三面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种信号?
小华妈妈每天7：30要上班，起床后每项家务所需时间如下：
小花妈妈至少要用几分钟完成这些事
小花妈妈必须在几时几分之前起床？
4.市第一小学举行科技知识竞赛，同学们对一贯刻苦学习、爱好读书的四名学生的成绩作了如下估计:
(1)丙得第一、乙得第二。(2)丙得第二、丁得第三。(3)甲得第二、丁得第四。
比赛结果一公布，果然是这四名学生获得前4名。
但以上三种估计，每一种只对了一半错了一半。请问他们各得第几名?
有16人去公园划船游玩，有两种租船方式，5人座每只船3元，3人座每只船2元(不许超载)，请你至少写出3种租船方案，并说明花钱最少的租船方案?
在17个银元中，有一个是假的，除比真银元稍轻之外，其外表与真银元无任何差别;用一台去砝码天平至少称多少次就可保证找出假银元?
冲刺提升
一、填空题
1.(抚州某一中入学)用1 g,2 g,4 g,8 g的祛码各一个，最多能称出( )种不同质量的物体。
2.(西安高新某中入学)一场体育比赛中，一共有10名运动员，如果每两人握一次手，一共握了( )次。
3.(西安某工大附中入学)用一只平底锅煎饼，每次只能放两张饼，煎熟一张饼至少需要2分钟(正反两面各需要1分钟)，那么煎熟3张饼至少要( )分钟
4.(西安某交大附中入学)数学竞赛后，小明、小华和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌。王老师猜测:小明得金牌，小华不得金牌，小强不得铜牌。结果老师只猜对了一个，那么小明得( )、小华得( )、小强得( )。
5.(成都某九中入学)三个同学到少年宫参加课外活动，但活动时间不相同，甲每隔3天去一次，乙每隔5天去一次，丙每隔9天去一次，上次他们三人在少年宫同时见面时间是星期五。那么下次三人同时在少年宫见面是星期( )。
二、选择题
1.(陕西某师大附中入学)妈妈让小明给客人沏茶。洗水壶用1分钟，烧开水用8分钟，洗茶壶用1分钟，洗茶杯用1分钟，泡茶用4分钟，那么客人最
决( )分钟能喝到茶。
A. 15 B. 12 C. 13 D. 9
2.(西安某工大附中入学)小赵、小钱和小孙一位是工人，一位是医生，一位是教师。现在只知道:
(1)小孙比教师年龄大;(2)小赵和医生不同岁;
(3)医生比小钱年龄小。
请分析( )是教师。
小赵 B.小钱
C.小孙 D.无法确定
3.(西安某一中学入学)一个三位数，有相邻两个数字的和为16，那么这样的三位数共有( )个。
A. 54 B. 38 C. 76 D. 19
4.(成都某四中入学)四个小朋友各准备了一份礼物，先集中起来，然后每人从中取出一件别人的礼物，则四件礼物不同的分配方式有( )种。
A. 12 B. 11 C. 9 D. 6
二、解决问题
1.(西安某工大附中分班)从8人的兴趣小组中选2人。(1)分别担任正副组长，有多少种不同的选法?(2)一起去参加一次数学竞赛，有多少种不同的选法?
2.(南昌某中入学)甲城有157吨货物运到乙城，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车运一趟货物耗油10升，小卡车运一趟货物耗油5升，用多少辆大卡车和小卡车来运这批货物，才能使所有耗油量最少，最少耗油多少升?
3.(临川某中分班)有100瓶水，其中99瓶质量相同，另有一瓶是糖水，比其他的水略重一些，至少称多少次才能保证找出这瓶糖水?
4.(西安高新某中入学)一位警察，抓获四个盗窃嫌疑人甲、乙、丙、丁，他们的供词如下:甲说:“不是我偷的。”乙说:“是甲偷的。”丙说:“不是我。”丁说:“是乙偷的。”他们四人中只有一人说的是真话，你知道谁是小偷吗?
第九章 综合与实践（数学广角）
31. 分析与推理
毕业升学训练
一、
1. 6 1332 2. 28 3. 6 8 4. 6 5. 7
6. 3
二、
1. A 2. A 3. A 4. D 5. C 6. B
三、
1.【解析】通过②和④可知，钱不在乙厂，不是车工；通过⑤知道钱不是电工，那么，钱必定是钳工；又通过③可知在甲厂的不是钳工，则钱必定是丙厂的钳工；通过①赵不在甲厂，是乙厂的车工；那么孙必定是在甲厂工作，是电工。
答：赵在乙厂干车工工作，钱在丙厂干钳工工作，孙在甲厂干电工工作。
2.【解析】简单的排列组合问题。按照一定的顺序分类讨论，做到不重不漏。
（1）挂一面旗子，共有3种情况；
（2）挂两面旗子，共有3×2-6种不同的情况；
（3）挂三面旗子，共有3×2-6种不同的情况；
总共有：3+6+6=15（种）不同的信号。
答：一共可以表示15种信号。
3.【解析】优化问题。
（1）在煮饭菜的同时可以洗刷与搞卫生，最后吃饭。
共需：2+20+6-28（分钟）。
（2）7:30往前推28分钟就是7时2分。
答：小华妈妈至少要28分钟完成这些事。她必须要7时2分之前起床。
4.【解析】推理问题。
假设（1）中“丙得第一”说错了，“乙得第二”说对了；则（2）中“丙得第二”说错了，“丁得第三”说对了；那么（3）中的两句话都是错的，与题目中“每一种只对了一半错了一半”相矛盾。这种假设不成立。
从相反的方向推理。得：丙得第一、甲得第二、丁得第三、乙得第四。
5.【解析】租船问题。
5人座每人：3÷5-0.6（元）。
3人座每人：2÷3≈0.67（元）
若租4条5人座船，则还有4个空座每人坐，费用为：4×3-12（元）
若租3条5人座船，还有1人不能上船，剩余1人租3人座船，费用为：
3×3+2-11（元）
若租2条5人座船，2条3人座船，16人刚好坐满，费用为：2×3+2×2-10（元）
12元＞11元＞10yua答：租2条5人座船，2条3人座船花钱最少。
6.【解析】找次品问题。
把17个银元分成（6,6，5），先称前两组（6,6），①若平衡，则把第三组5个银元分成（2，2,1），先称（2,2），若平衡，则最后一个银元就是次品；若不平衡，则把稍轻的2个银元再分成（1,1）再称一次就能找出次品。至少称3次才能保证找出假银元。②若不平衡，把稍轻的6个银元分成（2,2,2），先称前两组（2,2），若平衡，则把最后2个分成（1,1）在称一次就能找出次品；若不平衡，把稍轻2个银元再分成（1,1）在称一次就能找出次品。至少称3次才能保证找出假银元。
冲刺提升
一、
1. 15 2. 45 3. 3 4. 铜牌 金牌 银牌 5. 二
二、
1. C 2. A 3. A 4. C
三、
1.【解析】排列组合问题。
（1）8×7-56（种）
答：有56种不同的选法。
-（2）7+6+5+4+3+2+1-28（种）
答：有28种不同的选法。
2.【解析】大卡车每吨耗油：10÷5-2（升）。
小卡车每吨耗油：5÷2-2.5（升）。所以尽量用大卡车运货物，且尽量不空载。
如果用31辆大卡车和1辆小卡车，刚好运完157吨货物，最少耗油是：
31×10+1×5-215（升）
打：运完这些货物最少耗油315升。
3.【解析】找次品问题。
按照规律，100在81—243之间，243-3×3×3×3×3，则至少称5次才能保证找出这瓶糖水。
答：至少称5次才能保证找出这瓶糖水。
4.【解析】根据题意，甲和乙的说法相互矛盾，必一真一假，因为还有一人说的是真的。不论甲真还是乙真，丙和丁说的必然是假的。丙说“不是我”，他说的是假的，那么丙就是小偷。丁说“是乙偷得”，说明乙不是小偷，与丙是小偷不矛盾。
答：丙是小偷。
第一次
第二次
第三次
齐王
9
7
5
田忌
4
8
6
要测物品的个数
其中最大数与3的关系
需要的次数
2—3
一个3
1
4—9
9=3×3
2
10—27
27=3×3×3
3
28—80
81=3×3×3×3
4
项目
穿衣
洗刷
煮饭菜
搞卫生
吃饭
时间（分）
2
4
20
5
6