【小升初】18.工程问题教案讲义及练习

这是一份【小升初】18.工程问题教案讲义及练习，共16页。教案主要包含了基本概念，基本数量关系，基本方法等内容，欢迎下载使用。

一、基本概念
1．工程问题：做某件事，制造某种产品，完成某项任务或工程等，都叫做工程问题。
2．工程问题的三个基本量是工作效率、工作时间和工作总量。
（1）工作效率：单位时间内完成的工作量，它是衡量一个人工作快慢的量。
（2）工作时间：完成工作总量所需的时间。
（3）工作总量：完成一项工作的总量。一般都是把工作总量看做单位“1”。
二、基本数量关系
1．一般公式：
工作总量＝工作效率×工作时间
工作效率＝工作总量÷工作时间
工作时间＝工作总量÷工作效率
甲工效＋乙工效＝甲乙合作工效之和
特别注意：工作量和工作效率都可以直接相加求和，但工作时间不能。
2．巧解工程问题：一般不知道工作总量的时候，我们常常用假设法求解。我们把工作总量假设为单位“1”，这个巧解方法的公式有：
（1）一般给出工作时间，工作效率＝1工作时间。
（2）一般给出工作效率1a，就可以知道工作时间为a。
三、基本方法
算术方法、比例方法、方程方法。
考点精讲分析
典例精讲
考点1 简单的工程问题
【例1】 一件工作，甲单独10天完成，乙单独15天完成，甲乙合做（ ）天完成。
【精析】 根据题意，把这件工作总量看作单位“1”，甲的工作效率是110，乙的工作效率是115 ，甲、乙的工作效率和是110+115，再用工作总量除以工作效率和就等于合作的工作时间。
【答案】 把这件工作总量看作单位“1”，
1÷110+115=1÷3+230=1÷16=6（天）
【归纳总结】 此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，要求甲乙合做需要多少天可以完成，应求出甲乙工作效率和。
考点2 合作工程问题
【例2】 一件工作，甲、乙合作需4小时完成，甲、丙合作需5小时完成，乙、丙合作需6小时完成，乙单独做这件工作需多少个小时完成？
【精析】 首先把这件工作看作单位“1”，根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别求出甲乙、甲丙、乙丙的工作效率，再把它们求和，即可求出三人的工作效率之和的2倍，进而求出三人的工作效率之和是多少；然后用三人的工作效率之和减去甲丙的工作效率，求出乙的工作效率；最后根据工作时间＝工作量÷工作效率，用1除以乙的工作效率，求出乙单独做这件工作需多少个小时完成即可。
【答案】 14+15+16÷2-15=3760÷2-15=37120-15=13120
1÷13120=9313（小时）
答：乙单独做这件工作需9313个小时完成。
【归纳总结】 此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率。
【例3】 一项工程，甲单独完成要30天，乙单独完成要45天，丙单独完成要90天。现由甲、乙、丙三人合作完成此工程。在工作过程中甲休息了2天，乙休息了3天，丙没有休息，最后把这项工程完成了。问这项工程前后一共用了多少天？
【精析】 由题意可知，甲、乙、丙三人的工作效率分别为130、145、190，设全部完成共用x天，则甲工作了x－2天，乙工作了x－3天，丙工作了x天，由此可得方程：130x-2+145x-3+190x=1，解此方程即可。
【答案】 设全部完成共用x天，
130x-2+145x-3+190x=1
130x-115+145x-115+190x=1
115x=1715
x＝17
答：这项工程前后一共用了17天。
【归纳总结】 通过设未知数，根据工作效率×工作时间＝工作量列出等量关系式是完成本题的关键。
考点3 工作总量为“2”的工程问题
【例4】 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时，有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运，最后两个仓库货物同时搬完。问丙帮助甲、乙各多少时间？
【精析】 据题意可以看做三个人一共完成了两个仓库的任务，那么因为三人自始至终都在工 作，那么用的时间是2÷110+112+115=8小时，在这个时间甲完成了一个仓库的110×8=45，那么丙运了这个仓库的1-45=15，丙帮助甲用了15÷115=3小时，则帮助乙的工作用了8－3＝5小时。
【答案】 三人搬完仓库用时：2÷110+112+115=8（小时）
甲完成了一个仓库的：110×8=45
则丙运了这个仓库的：1-45=15
丙用时15÷115=3（小时）
丙帮助乙的工作用时：8－3＝5（小时）
答：丙帮助甲工作了3小时，帮助乙工作了5小时。
【归纳总结】 将两个仓库的任务看作是由三个人共同完成，然后求出完成任务的时间是解决本题的关键。
考点4 注水排水问题
【例5】 一水池装有一个进水管和一个排水管。如果单开进水管，5小时可将空池灌满；如果单开排水管，7小时可将整池水排完。现在先打开进水管，2小时后打开排水管，请问：再过多长时间池内将恰好存有半池水？
【精析】 把池水总量看做整体“1”，则注水速度为15，排水速度为17；打开放水管2时后进水量为15×2，那么所求时间为12-15×2÷15-17，解决问题。
【答案】 12-15×2÷15-17=110÷235=110×352=134（小时）
答：再过134小时池内将积有半池水。
【归纳总结】 把池水总量看做整体“1”，表示出注水速度和排水速度是解答的关键。
名题精析
【例】 （西安某交大附中入学）现有甲乙两种净化水的设备，这两种设备净化水的量m（吨）与工作时间t（时）之间的关系如图所示，现有10吨自来水需要在6小时内（包括6小时）全部净化。若先单独使用乙净水设备一段时间，再加入甲净水设备一起进行净化，问甲净水设备最少工作多长时间可以完成净化任务？
【精析】 从图中可以看出，乙前两小时可净化水3吨。后面必须把各自的效率求出来，乙的效率是每小时0.5吨水，甲的效率每小时1吨水。乙在6小时净化5吨，还有5吨需要甲净化，所以需要1小时。
【答案】 乙前2小时可净化水3吨，后面每小时净化（4－3）÷（4－2）＝0.5（吨）
0.5×4＝2（吨）
乙在6小时净化3＋2＝5（吨）
甲净化设备最少需要（10－5）÷1＝5（小时）
答：甲净水设备最少工作5小时可以完成净化任务。
【归纳总结】 本题考查了工程问题结合s-t 图，根据题意理解图中所给的条件很关键。
毕业升学训练
一、选择题
1．两个修路队5天合修2500米长的一段路，乙队每天修300米，甲队每天修多少米？正确列式是（ ）。
A．2500÷5－300 B．（2500－300）÷5 C．2500－300×5
2．修一条路，甲队5天修了这条路的13，乙队13天修了这条路的112，（ ）队修得快。
A．甲队 B．乙队 C．一样快
3．一个水池装有甲、乙两个进水管，单开甲管12小时将空池注满，单开乙管15小时将空池注满，两管同时打开，几小时可以注满空池？ 正确列式是（ ）。
A．1.2×（1＋20％）
B．1.2×（1－20％）
C．1÷（1÷0.5＋1÷0.2）
D．1.2×（1－20％）＋1.2
4．小明家4天用去一瓶油的14，照这样，这瓶油能用（ ）天。
A．16 B．116 C．1
5．一项工作原来10小时才能完成，现在工作效率提高了25％，现在需要（ ）小时。
A．7.5 B.8 C.12.5
二、填空题
1．一项工程，甲独做要10天，乙独做要8天，甲乙两队工作效率比是（ ）。
2．一项工程，甲队单独做需要6天完成，乙队单独做需要8天完成，两队合做1天完成这 项工程的（ ）。
3．一项工程，甲单独完成需要8天，乙单独完成需要12天，两人合做（ ）天完成。
4．生产同一种零件，甲要16小时，乙要17小时，丙要12分钟，甲乙丙三人中工作效率最高的是（ ）。
5．一项工程，甲单独做需14天完成，乙队单独做需7天完成，丙队单独做需要6天完成。现在乙、丙两队合做3天后，剩下的由甲单独做，还要（ ）天才能完成任务。
三、解决问题
1．甲乙两队合修一条公路，甲队单独修需要10天完成，乙队单独修需要12天完成。如果两队合修，几天能修完这条路的12?
2．一项工程，甲、乙两人合做8天可完成。甲单独做需12天完成。现两人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为 1∶3，这个工程实际工期为多少天？
3．把一篇1800字的文章输入电脑，小李需要时间为30分，小王需要45分，现在是16时 10分，如果两人合作，能在16时30分下班完成吗？
4．一批布料，如全做衣服可做20件，如全做裤子可做30条，若做同样的衣服和裤子可做多少套？
5．一项工程甲队单独做要20小时完成，乙队单独做要15小时完成，丙队单独做要12小时完成。现在三个队合做3小时后，剩下部分由乙、丙两队合做，还要几小时才能完成？
6．一项工程，甲队单独做60天完成，乙队单独做48天完成，丙队单独做40天完成。现在由甲、乙两队合做10天，余下的由乙、丙两队合做，还需多少天才能完成？
冲刺提升
一、选择题
1．王师傅加工一批零件，12小时加工了这批零件的38，全部加工完还需要（ ）小时。
A.113 B.310 C.34 D.56
2．（成都某中入学）一个空罐（如图）可盛9碗水或8杯水。如果将3碗水和4杯水倒入空罐中，水面应到达位置（ ）。
A．P B. Q
C. R D. S
3．（南昌某中入学）一项工程，甲单独做要20分钟，乙单独做要15分钟，甲的工作效率比乙低（ ）。
A．33.3％ B．20％ C．25％
4．（临川某中入学）如图是甲、乙、丙三个工人单独完成一项工程所需的天数，工作效率最 高的是（ ）。
A.甲 B.乙 C.丙
5．（南昌某中入学）服装加工厂加工1500套校服，5天加工了这批校服的25，离交货日期只有一周了，照这样的速度（ ）完成任务。
A．能 B．不能 C．无法确定能否
二、填空题
1．打一份稿件，甲打字员单独打要10天，乙打字员单独打要12天。甲打字员打1天，完成这份稿件的（ ）；甲、乙两人合打1天，完成这份稿件的（ ）；甲打字员打3天的任务，乙打字员要打（ ）天。
2．甲、乙合做一项工程要6天完成，甲、乙的效率比为2∶1，甲独做（ ）天完成。
3．（西安某交大附中分班）母亲节前夕，双胞胎一茹、一诺姐妹俩用红纸折叠桃心送给母亲，一茹单独折完需要10个小时，一诺每小时折24个，她们合作6小时完成任务，则她们共折了（ ）个桃心。
4．（西安某铁一中分班）六年级1班准备召开毕业联欢会，小军和小强负责布置教室。若两人一起挂彩条，8分钟可以挂完；小军单独完成，则需12分钟。若两人一起摆桌椅，15分钟可以摆完；小强单独完成，则需20分钟完成。两人共同完成这两项工作，最短需要（ ）分钟。
5．（南昌某中入学）加工一批零件，如果甲乙合作需12天完成，现在先由乙加工3天，接着再由甲加工2天后，还剩总数的45没有完成。已知乙比甲每天少加工4个零件，这批零件有（ ）个。
三、解决问题
1．（西安某交大附中入学）加工一批零件，甲单独做30天完成，乙单独做每天完成这批零件的124，现在两人合作，甲中途休息了2天，乙也休息了若干天，这样用了17天才完成任务，求乙休息了几天？
2．（成都树德中学入学）甲、乙、丙三个工程队单独完成某项工程的天数和工资如下表。
若从中选择两个工程队合作，尽快完成工程，应选择哪两个工程队？多少天可以完工？完工后这两队各得多少工资？
3．（西安某中入学）三人合做一批零件。已知甲做了45个，是乙丙之和的59，乙和丙的工作效率比是1∶2，乙丙各做了多少个？
4．（成都某中入学）一项工程，甲独做10天完成，乙独做12天完成，现两人合做，完成后共得工资2200元，如果按完成工程量分配工资，甲、乙各分得多少元？
5．（成都某七中入学）甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数天做完；若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比原计划多用半天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，则也比原计划多用半天，已知甲单独做完这件工作要10天，且三个人的工作效率各不相同，那么这项工作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少天才能完成？
18. 工程问题
毕业升学训练
一、1. A 2. B 3. C 4. A 5. B
二、1. 4:5 2. 7/24 3. 4.8 4. 乙 5. 1
三、1. 【解析】1/2÷（1/10+1/12）
=1/2÷11/60
=2 8/11（天）
答：如果两队合修，2 8/11天能修完这条路的1/2 。
2.【解析】1/8-1/2=1/24
设两人合作x天，那么乙单独做3x天，由此可得方程：
1/8x+1/24×3x=1
1/8x+1/8x=1
1/4x=1
4+4×3
=4+12
=16（天）
答：这个工程实际工期为16天。
3.【解析】1800÷（1800÷30+1800÷45）
1800÷100
18（分钟）
从16时10分到16时30分共有20分钟；
18分钟＜20分钟；所以能完成。
答：如果两人合作，能在16时30分下班时完成。
4.【解析】1÷（1/20+1/30）
1÷（3/60+2/60）
1÷5/60
=12（套）
答：若做同样的衣服和裤子可做12套。
5.【解析】设还要x小时完成
（1/20+1/15+1/12）×3+（1/15+1/12）x=1
解得x=8/3
答：还需8/3小时才能做完。
6.【解析】[1-（1/60+1/48）×10]÷[1/48+1/40]=13 7/11（天）
答：还需要13 7/11天才能完成。
冲刺提升
一、1. D 2. A 3. C 4. A 5. B
二、1. 1/10 11/60 3 3/5 2. 9 3. 360 4. 18 5. 240
三、1.【解析】1/30×（17-2）
=1/30×15
=1/2
（1-1/2）÷1/24
=1/2×24
=12（天）
17-12=5（天）
答：乙休息了5天。
2.【解析】因为，1/10＞1/15＞1/20，所以选甲乙两队合做。
1÷（1/10+1/15）
=1÷1/6
6（天）
18×6=108（万元）
12×6=72（万元）
答：应选甲乙两队合做，6天可以完工，完工后甲队可得工资108万元，乙队可得工资72万元。
3.【解析】因为乙和丙的工作效率比是1:2，他们的工作时间一定，
所以乙和丙做的零件的个数比是1:2，
乙做的零件的个数是：
45÷5/9×1/1+2
=81×1/3
=27（个）
丙做的零件的个数是：
45÷5/9-27
=81-27
=54（个）
答：乙做了27个，丙做了54个。
4.【解析】甲、乙效率比为1/10:1/12=6:5
甲：2200×6/6+5=1200（元）
乙：2200×5/6+5=1000（元）
答：甲、乙各分得1200元、1000元。
5.【解析】①甲乙丙整体完成 ②乙丙甲多1/2天。③丙甲乙多1/2
（1）若①中是丙最后完成，最后一次完整循环，三种情况结果一样，矛盾（舍）。
（2）若①中是甲最后完成，则②中丙最后完成，花1/2天，③中甲最后完成1/3天。
设丙一天能完成工作的x，则由①=③（最后一次循环工作量相等）
1/13=x+1/13×1/3x=2/39
设乙一天能完成工作的y，则由①=②：y+x/2=113y=2/39
所以一次循环能完成工作的7/39，由此可知能进行5次循环，剩余4/39与甲最后完成1/3矛盾（舍）
（3）若（1）中乙是最后完成，设丙一天能完成工作的x。乙一天能完成工作的y，则
由①=②=③：1/13+y=y+x+1/13×1/2=x+1/13+1/3y x=1/26，y=3/52
所以一次循环能完成9/52，由此可知能进行5次循环，剩余7/52=1/13+3/52,符合
所以甲、乙、丙三人一起做这项工作，需要52/9天。
工程队
单独完成工程用的天数
每日总工资/万元
甲
10
18
乙
15
12
丙
20
8