【小升初】16、比和比例问题教案讲义及练习

16、比和比例问题

知识要点梳理

一、比例尺应用题

在比例尺应用题中，图上距离、实际距离和比例尺三者之间的关系式是：图上距离∶实际距离＝比例尺，三个相关的量中，知道任意两个量，就可以根据关系式，求出另一个量。在计算中，要注意各种量的单位要统一。

二、按比例分配的应用题

把一个数量按照一定的比分配成几部分。按比例分配应用题是在比的意义、比与分数的关系的基础上解决的。关键是要根据各部分之比，确定各部分量与总量之间的关系，即各部分占总量的几分之几，然后按照“求一个数的几分之几是多少”的问题。

三、正、反比例应用题

正比例应用题中的各种相关联的数量有正比例关系，关系式是：＝ｋ（一定）；反比例应用题中的各种相关联的数量有反比例关系，关系式是：ｘ·ｙ＝ｋ（一定）。

四、解答正、反比例应用题的一般方法与步骤

１．找出题目中两种相关联的量，并分析判断是成正比例，还是成反比例。

２．设未知数为ｘ，并注明单位名称。

３．根据比值（一定）或积（一定）建立比例式，并解比例。

４．检验，写答语。

考点精讲分析

典例精讲

考点1  按比例分配的应用题

【例１】　希望小学要种一批树共390棵，按照三个班的人数来分配。一班有42人，二班有45人，三班有43人，三个班各应植树多少棵？

【精析】　这是一道把390棵植树任务按三个班人数之比42：45：43进行分配的问题。要分的总数是390，总份数是42+45+43=130。其中一班占总数的，二班占总数的，三班占总数的，要求各班应植树的棵数，实际上是分别求390的，，各是多少。

【答案】　解法一：按比例分配法

42+45+43=130

390×＝126（棵）

390×＝135（棵）

390×＝129（棵）

解法二：份数解法

390÷（42+45+43）＝3（棵）

3×42＝126（棵）

3×45＝135（棵）

3×43＝129（棵）

答：一班应植树126棵，二班应植树135棵，三班应植树129棵。

考点2  比例尺应用题

【例２】　下面是学校操场的示意图。

求这个操场的实际周长和面积。

【精析】　要求出长方形操场的实际周长和面积，必须先根据图上距离和比例尺求该操场的实际长和宽。

【答案】　解法一：用比例做方程解。

设操场的实际长为ｘ厘米，宽为ｙ厘米。根据题意列比例方程：

4.4∶ｘ＝1∶5000　     3.2∶ｙ＝1∶5000

ｘ＝4.4×5000　　     ｙ＝3.2×5000

ｘ＝22000ｙ＝16000

22000厘米＝220米　   16000厘米＝160米

操场的周长：（220+160）×2＝760（米）

操场的面积：220×160＝35200（平方米）

解法二：根据图上距离、实际距离和比例尺三者的关系解。

实际长为：4.4÷15000＝22000（厘米）＝220（米）

实际宽为：3.2÷15000＝16000（厘米）＝160（米）

操场的周长：（220+160）×2＝760（米）

操场的面积：220×160＝35200（平方米）

解法三：根据图距，实距之间的倍数关系来解。

（１）图上１厘米相当于实际距离多少米？

5000厘米＝50米

（２）实际长为几米？

50×4.4＝220（米）

（３）实际宽为几米？

50×3.2＝160（米）

（４）操场的周长：（220+160）×２＝760（米）

（５）操场的面积：220×160＝35200（平方米）

答：操场的周长760米，面积为35200平方米。

【归纳总结】　这道题要注意单位的换算和比例尺的应用。

考点3  正、反比例应用题

【例３】　同学们３小时制作了165件工艺品，照这样计算，制作220件工艺品需要多少小时？

【精析】　数量关系是“工艺品件数÷所需时间＝每小时制作的工艺品件数（一定）”。商一定，所以工艺品的件数和所需要时间是成正比例的量。可直接列方程求解。

【答案】　设需要ｘ小时。

165∶3＝220∶ｘ　       165ｘ＝220×３　ｘ＝４

答：需要４小时。

【归纳总结】　本题中“同学们每小时制作多少工艺品”是定量，“需要制作的工艺品件数”和“需要的时间”是两个相关联的量。

【例４】　收获机械厂生产一批脱粒机，计划每天生产32台，30天完成，实际每天生产40台，实际需要多少天就可以完成生产任务？

【精析】　数量关系是“每天生产的台数×天数＝生产的总数（一定）。”积一定，所以每天生产的台数与所需的天数是成反比例的量。可直接列方程求解。

【答案】　设实际需要ｘ天就可以完成生产任务。

40ｘ＝32×30　ｘ＝24

答：实际需要24天就可以完成生产任务。

【归纳总结】　本题所要生产的“一批脱粒机”的台数是定量，每天生产与所需要的天数是两个相关联的量。

考点4  比例应用题

【例５】　有大小两筐苹果，大筐苹果与小筐苹果单价比５∶４，其重量比是２∶３，把两筐苹果混合在一起成100千克的混合苹果，按单价为每千克4.4元出售，若总销售价不变，大小两筐苹果原价各是多少？

【精析】　知大、小苹果总价比，又知总价100×4.4按比例分配两次。一次是大、小数量，一次是大、小总价。此时易求出原单价。

【答案】　（５×２）∶（４×３）＝５∶６

100×＝40（千克）

100－40＝60（千克）

100×4.4＝440（元）

440×＝200（元）

200÷40＝5（元）

（440-200）÷60＝４（元）

答：大筐苹果单价是５元，小筐苹果单价是４元。

【归纳总结】　已知单价比和重量比可求出复比。

名题精析

【例１】　（西安交大附中入学）一个圆柱和一个圆锥的体积比是３∶４，底面半径比是２∶３，圆柱与圆锥的高之比是（　　）∶（　　）。

【精析】　本题要求圆柱与圆锥高之比，反用公式体积除以底面积。本题中没有相关的具体数据，可以将题目中的比当做具体数量来算。这样圆柱的体积是３，底面半径是２，圆锥的体积是４，底面半径是３，再根据圆柱和圆锥的体积公式进行计算就可以。

【答案】　［３÷（π×２×２）］∶［３×４÷（π×３×３）］＝９∶16

【归纳总结】　本题在列式计算时，圆周率取π先不要算，最后在约分，这样可以使计算简便，其实，这实质是活用转化。圆周率不变，半径的平方比就是面积比。

【例２】　（西安高新某中入学）甲、乙、丙三批货物总价值2580万元，甲、乙、丙三批货物的质量比为３∶４∶６，单位质量的价格比为５∶４∶２，问这三批货物各值多少万元？

【精析】　甲货价∶乙货价∶丙货价（甲单价×甲物重）∶（乙单价×乙物重）∶（丙单价×丙物重），可求出三批货物的价值比为（５×３）∶（４×４）∶（２×６）＝15∶16∶12，按比例分配。

【答案】　三批货物的价值比为（５×３）∶（４×４）∶（２×６）＝15∶16∶12

2580×＝900（万元）

2580×＝960（万元）

2580×＝720（万元）

答：甲、乙、丙三批货物分别值900万元、960万元、720万元。

【归纳总结】　已知总数为货物总价值，应按货物价值的比例进行分酬。货物价值＝单价×质量。

毕业升学训练

一、填空题

１．在一张精密的零件图纸上，量的零件长是40毫米，这个零件的实际长度是８毫米，这幅图纸的比例尺是（　    ）。

２．在比例尺是１∶600000的地图上，量得两地的距离是５厘米，这两地的实际距离是（       ）。

３．一个长方形操场，长120米，宽80米，如果把它画在比例尺是１∶2000的图纸上，则长是（ 　）厘米，宽是（　  ）厘米。

４．甲乙两数的和是72，甲数的相当于乙数的，甲数是（　    ），乙数是（     　）。

５．一个三角形三个内角度数的比是７∶３∶２，这个三角形是（      ）三角形。

二、选择题

１．在地图上量得甲、乙两地长４．５厘米，甲、乙两地实际距离是７２０千米，地图上的比例尺是（     　）。

Ａ．１∶160000　　         　　　Ｂ．１∶1600000

Ｃ．１∶16000000               Ｄ．１∶160000000

２．在比例尺是１∶1000000的地图上，50千米的距离在地图上应画（    ）厘米。

Ａ．0.5　    　Ｂ．５　    　Ｃ．10　　    　Ｄ．50

３．某小学男生人数与女生人数的比是６∶５，男生比女生多的人数占全校人数的（　 ）。

Ａ．          　Ｂ．　　　           　Ｃ．

４．有一种药水重20.2千克，药和水的重量比是１∶100，其中水重（   　）千克。

Ａ．0.2         Ｂ．３          Ｃ．20         Ｄ．20.2

５．把一批图书按照３∶２∶５分配给甲、乙、丙三个班，已知甲班分得15本，这批图书一共有（     　）本。

Ａ．50          Ｂ．60        Ｃ．40        Ｄ．70

６．某班学生为失学儿童捐款640元，女生捐的钱与男生捐的钱之比是５∶３，王明根据上面的条件，得到下面四个结论，其中错误的是（　   ）。

Ａ．女生比男生多捐款          Ｂ．男生比女生少捐款

Ｃ．男生共捐款240元　         Ｄ．男生比女生少捐款

三、解决问题

１．在比例尺是１∶12000000的铁路运行图上，量得甲、乙两城间的铁路线长是3.6ｃｍ，将它画在比例尺１∶4000000地图上，甲、乙两城之间的图上距离是多少？

２．两块一样重的合金，一块合金中铜与锌的质量比是２∶５，另一块合金中铜与锌的质量比是１∶３。现将两块合金合成一块，求新合金中铜与锌的质量比。

３．甲、乙两个仓库共存粮1680吨，已知甲仓库存量的等于乙仓库存粮的，求甲、乙两个仓库各存粮多少吨？

４．甲种糖每千克３元，乙种糖每千克5.4元。现在要求混合后的糖价为每千克4.8元，求甲、乙两种糖的质量比。

５．一架飞机所带的燃料最多可以用６小时。飞机去时顺风，每小时飞行750千米；返回是逆风，每小时飞行600千米。这架飞机最多飞出去多少千米就必须往回飞？

６．红队和蓝队的同学都积攒了一些零用钱，两队所积攒的钱数比是９∶５，在献爱心活动中，红队捐了48元，蓝队捐了20元，这时两队的钱数相等，红队原来积攒了多少钱？

７．一个等腰三角形底和底边上的高之比是８∶３，把它沿底边上的高剪开，拼成一个长方形后，长方形的面积是48平方厘米，那么长方形的周长是多少厘米？

冲刺提升

一、填空题

１．（成都某一中入学）一个三角形的三个内角的度数比是１∶２∶６，这个三角形是个（       ）三角形。

２．（西安某交大附中入学）如图，线段ＡＢ上有一点Ｃ，且ＡＣ＝６ｃｍ，ＡＣ∶ＣＢ＝４∶３，则ＡＢ长为（       ）ｃｍ。

３．（西安某工大附中分班）一张精密零件图纸的比例尺是５∶１。在图纸上量得某个零件的长度是25毫米，已知这个零件的长与高之比５∶３，则该零件的实际高度是（      ）。

４．（宝鸡高新某中入学）Ａ地和Ｂ地之间相距1200千米，画在一副比例尺为１∶4000000的地图上，这两个城市之间的图上距离应该画（　   ）厘米。

５．（西安某西工大附中分班）有一个机器零件长５毫米，画在设计图纸上长20厘米，这幅图的比例尺是（         ）。

６．（西安某交大附中入学）在比例尺是１∶5000000的地图上，量得甲、乙两地之间的距离为24厘米，若一架飞机以每小时600千米的速度从甲地运往乙地，需要（　  ）小时。

７．（西安某工大附中分班）两个圆的周长之比是３∶２，面积相差是10ｃｍ2，两个圆的面积之和是（      ）ｃｍ2。

８．（西安某铁一中分班）一个圆锥与一个圆柱的底面积相等。已知这个圆柱与这个圆锥的体积之比是１∶６，这个圆锥的高是54厘米，这个圆柱的高是（　    ）厘米。

９．（南昌某中入学）一幅地图的比例尺是１∶6000000，图上Ａ地到Ｂ地的距离为20厘米，一列火车从Ａ地出发到Ｂ地需要10小时，则该火车的速度为（　    ）千米／时。

10．（成都某中学入学）三个分数的和是3，它们的分母相同，分子的比为２∶２∶４，则最大的分数为（　   　）。

11．（西安高新某中入学）如图，把一个长与宽的比为３∶２的大长方形分成如图所示的６个面积相等的小长方形，则长方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∶ＢＣ的比值等于（　      ）。

二、选择题

１．（西安某铁一中分班）乙数比甲数少40％，甲数和乙数的比是（　     ）。

Ａ．２∶３　　　Ｂ．３∶２　　　Ｃ．３∶５　　　Ｄ．５∶３

２．（西安某铁一中分班）如果一个圆的半径是ａ厘米，则２∶ａ＝ａ∶３，那么这个圆的面积是（     　）平方厘米。

Ａ．π                    Ｂ．６π

Ｃ．６                    Ｄ、无法求出

３．（西安某交大附中入学）在比例尺是１∶4000000的地图上，量得Ａ、Ｂ两港的距离是９ｃｍ，一艘货轮上午７时以每小时24千米的速度从Ａ港开往Ｂ港，到达Ｂ港的时间是（　）。

Ａ．晚上10时             Ｂ．早上10时

Ｃ．晚上９时              Ｄ．早上９时

４．（陕西某师大附中入学）甲数的是乙数的 ，则甲数与乙数的最简整数比为（　   ）。

Ａ．６∶５    Ｂ．８∶15     Ｃ．５∶６    Ｄ．15∶８

５．（西安某交大附中入学）圆柱与圆锥的底面积之比是４∶３，高的比是２∶５，它们的体积之比是（　   ）。

Ａ．５∶８     Ｂ．８∶15      Ｃ．15∶８     Ｄ．８∶５

６．（西安某交大附中入学）已知５ｘ＝３ｙ，那么ｘ和ｙ成（  　）比例；已知５∶ｘ＝ｙ∶３，那么ｘ和ｙ成（　   ）比例。

Ａ．正，正       Ｂ．正、反       Ｃ．反、正       Ｄ．反、反

７．（西安某铁一中分班）在比例尺是１∶5000的图纸上，画一个边长为４厘米的正方形草坪图，正方形草坪图的实际面积是（    　）平方米。

Ａ．5000                   Ｂ．40000

Ｃ．100                    Ｄ．400000000

三、解决问题

１．（西安某交大附中入学）有三堆煤共重27吨，如果从第一、第二堆中各运出1.5吨到第三堆，这时第一、第二、第三堆煤的重量比是１∶３∶２，这三堆煤原来各多少吨？

２．（西安某工大附中分班）某高速公路收费站对过往车辆的收费标准如图所示。一天，通过该收费站的大型车和中型车的辆数之比是５∶６，中型车与小型车的辆数之比是４∶１１，小型车的通行费总数比大型车多270元。

（１）这天通过收费站的大型车、中型车及小型车各有多少辆？

（２）这天收费总数是多少元？ 

３．（西安某铁一中入学）运一批货物，运走的与剩下的比为３∶７，如果再运走３０吨，那么剩下的货物只占原有货物的，这批货物原有多少吨？

４．（江西某师大附中入学）桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15厘米，各装有10厘米高的水，且下表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积。小明将甲、乙两杯内一些水倒入丙杯，过程中水没有溢出，使得甲、乙、丙三杯水的高度比变为３∶４∶５。若不计杯子厚度，则甲杯内水的高度变为多少厘米？

５．（西安曲江某中入学）甲、乙、丙三个仓库面粉袋数的比是６∶９∶５，如果从乙仓库拿出400袋平均分给甲、丙两仓库，则甲、乙两个仓库的数量相等。这三个仓库共存面粉多少袋？

６．（西安曲江某中入学）两个城市相距380千米，一列客车和一列货车同时从两个城市相对开出，经过４小时后相遇。已知客车和火车的速度比是11∶８，求客车的速度。

16. 比和比例问题

毕业升学训练

一、1. 5        2.30km       3.6  4        4.40  32         5.钝角

二、1.C         2.B        3.C      4.C       5.A           6.B

三、1.【解析】3.6×12000000=43200000（厘米）

       43200000×=10.8（厘米）

答：甲、乙两城之间的图上距离是10.8厘米。

2. 【解析】铜与锌的质量比=（2×1）：（5×3）=2:15

答：新合金中铜与锌的质量比2:15

3. 【解析】甲仓库存粮：乙仓库存粮=4:3

乙仓库的存粮：1680×=720（吨）

甲仓库存粮：1680-720=960（吨）

答：甲、乙两个仓库存粮960吨、720吨。

4. 【解析】（5.4-4.8）：（4.8-3）=0.6：1.8=1:3

答：甲、乙两种糖的质量比是1:3

5. 【解析】设去时用了x小时，返时用了（6-x）小时。

750×x=600×（6-x）

     x≈2.67

2.67×750=2002.5（千米）

答：最多飞出去2002.5千米就必须往回飞。

6. 【解析】设两队所攒钱数每份x元。

9x-48=5x-20

    x=7

9x=9×7=63（元）

答：红队原来积攒了63元。

7.【解析】设长方形的长为4x，宽为3x

4x×3x=48

             x=2

4×2=8     3×2=6     （8+6）×2=28（厘米）

答：长方形的周长是28厘米。

冲刺提升

一、1.钝角      2.      3.3毫米        4.30           5.40:1         6. 2

7.26cm2         8.3        9.120           10.         11.9:4

二、1.D      2.B       3.A      4.A       5.D        6.B       7.B         8.B

三、【解析】27×=4.5（吨）

          27×=13.5（吨）

          27×=9（吨）

第一堆：4.5+1.5=6（吨）

第二堆：13.5+1.5=15（吨）

第三堆：9-3=6（吨）

答：第一堆煤原来有6吨，第二堆煤原来有15吨，第三堆原来有6吨。

2. 【解析】（1）车辆数：大：中：小=10：12：33

大型车和小型车通行费用的比：（30×10）：（10×33）=10:11

一份为：270÷（11-10）=270（元）

270×10=2700（元）

270×11=2970（元）

2700÷30=90（辆）

2970÷10=297（辆）

（90÷10）×12=108（辆）

答：大型车有90辆，中型车有108辆，小型车有297辆。

（2）15×108=1620（元）

2700+1620+2970=7290（元）

答：这天收费总数是7290元。

3. 【解析】30÷（）=100（吨）

答：这批货物原有10吨。

4. 【解析】10×（60+80+100）=2400（立方厘米）

底面积之比：60:80:100=3:4:5

甲乙丙水的体积比是=（3×3）：（4×4）：（5×5）=9:16:25

甲杯内水的高度：2400×÷60=7.2（厘米）

答：甲杯内水的高度变为7.2厘米。

5. 【解析】400+400÷2=600（袋）

600÷（-1）×（1+）=1200×=4000（袋）

答：三个仓库共存面粉4000袋。

6. 【解析】设客车的速度是11x千米/小时，则货车的速度是8x千米/小时。

4×11x+4×8x=380

         76x=380

           x=5

11×5=55（千米/小时）

答：客车的速度是55千米/小时。