2021年暑假八年级数学科讲义 第13讲 等腰三角形

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[问题]
①三角形是轴对称图形吗？
②什么样的三角形是轴对称图形？
定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角
[思考]：
1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
2．等腰三角形的两底角有什么关系？
3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？
等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（ “三线合一”）．
[探究]你能通过几何证明等腰三角形的性质吗？
1、如图，△ABC中，AB=AC，求证∠B=∠C
2、如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证BD=CD,AD⊥BC
以上结论用符号语言描述为
（1）∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠＿=∠＿，＿=＿；
（2）∵AB=AC，AD是中线， ∴∠＿=∠＿，＿⊥＿；
（3）∵AB=AC，AD是角平分线， ∴＿⊥＿，＿=＿
【例1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求：△ABC各角的度数．
【例2】如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。求证：BE=CE。
A
C
B
D
E
【例3】已知：如图，B、D、E、C在同一直线上，AB=AC，AD=AE。求证：BD=CE。
[思考]：若△ABC为等腰直角三角形，除了以上结论外，你还可以得到哪些角或线段的关系呢？
【例4】Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC的中点，AE=BF．
求证：（1DF=DE （2）DF⊥DE
【例5】如图，D为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点，E为BC边上一点，连接ED并延长交CA的延长线于点F，过D作DH⊥EF交AC于G，交BC的延长线于H，
求证：①DE=DG，②BE=CG，③DF=DH，④BH=CF．
【A】基础满分训练
等腰三角形的对称轴是（ ）
A． 顶角的平分线 B． 底边上的中线 C． 底边上的高 D． 底边上的高所在的直线
2、等腰三角形的顶角为80°，则一腰上的高与底边的夹角为（ ）
A． 40° B． 50° C． 60° D． 30°
一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A． 7 B． 9 C． 12 D． 9或 12
4、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于（ ）
A． 30° B． 40° C． 45° D． 36°
已知等腰△ABC的周长是40 cm，AD为底边上的高，△ABD的周长为30 cm，则AD=________．
6、如图，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，∠A＝36°，则∠BDC的度数为________
第8题
第7题
第6题
第5题
第4题

7、如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积是12 cm2，则图中阴影部分的面积是________
8、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°．分别以AB、AC为边作两个等腰三角形ABD和△ACE，使∠BAD＝∠CAE＝90°，则∠DBC=________度
9、如图，△ABC中，AB＝AC，点P是BC的中点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
第9题
求证：PD＝PE
第10题
10、已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD交BC于E，AD＝AB，∠CAD＝30°，求∠BCD、∠DBC的度数
【B】能力提升训练
1、△ABC中，AB＝AC，AD⊥CB于D，则下列两角关系中正确的是（ ）
A． ∠BAC＝∠B B． ∠BAC＝2∠CAD C． ∠BAC＝∠ACD D． ∠BAC＝∠CAD
2、若等腰三角形的一个内角等于88°，则另两个内角的度数分别为（ ）
A． 88°，4° B． 46°，46°或88°，4° C． 46°，46° D． 88°，24°
3、如图，等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为________．
4、如图所示，C、E、B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，若∠A＝18°，则∠GEF的度数是________．
5、如图，CD是△ABC的中线，且，则∠ACB的度数为________．
6、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°，则∠DAE的度数为______
第4题
第3题
第6题
第5题

7、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．20° B．120° C．20°或120° D．36°
8、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出下列四个结论：①AE＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；
③S四边形AEPF = S△ABC；④EF＝AP．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第8题


【C】创新思维训练
第1题
1、如图，在△ABC中，AB＝AC，D点在BA的延长线上，点E在AC上，且AD＝AE，DE的延长线交BC于点F．求证：DF⊥BC。
2、在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠B=90°，将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别与边AB、BC或其延长线上交于D、E两点，在旋转过程中，如图1、求证：（1）PD=PE （2）AD+EC=AB
如图2，请写出AD,EC与AB之间的数量关系并证明。