八年级数学培优资料(全套)

这是一份八年级数学培优资料(全套)，共187页。教案主要包含了解法指导，变式题组，变式题目，思路点拨，变式題组等内容，欢迎下载使用。

八年级数学培优资料（全套）
目 录
第01讲 全等三角形的性质与判定 1
经典·考题·赏析 1
演练巩固·反馈提高 5
培优升级·奥赛检测 7
第02讲 角平分线的性质与判定 10
经典·考题·赏析 10
培优升级·奥赛检测 13
第3讲 轴对称及轴对称变换 15
经典·考题·赏析 15
演练巩固·反馈提高 18
培优升级·奥赛检测 20
第4讲 等腰三角形 23
经典·考题·赏析 23
培优升级·奥赛检测 30
第五讲 等边三角形 33
经典 考题 赏析 33
巩固练习 反馈提高 36
第06讲 实 数 38
经典·考题·赏析 38
演练巩固 反馈提高 39
培优升级 奥赛检测 41
第7讲 变量与函数 43
经典·考题·赏析 43
演练巩固·反馈提高 46
第8讲 一次函数的图象与性质 48
经典·考题·赏析 48
演练巩固·反馈提高 52
培优升级·奥赛检测 55
第9讲 一次函数与方程、不等式 56
经典·考题·赏析 56
演练巩固·反馈提高 59
第10讲 一次函数的应用 61
经典·考题·赏析 61
演练巩固 反馈提高 68
第11讲 幂的运算 71
经典·考题·赏析 71
演练巩固 反馈提高 72
培优升级 奥赛检测 73
第12讲 整式的乘除 75
经典·考题·赏析 75
演练巩固·反馈提高 77
第13讲 因式分解及其应用 80
经典·考题·赏析 80
演练巩固 反馈提高 83
培优升级 奥赛检测 83
第14讲 分式的概念•性质与运算 85
经典•考题•赏析 85
演练巩固 反馈提高 89
培优升级 奥赛检测 90
第15讲 分式的化简 求值 与证明 92
经典•考题•赏析 92
演练巩固 反馈提高 96
培优升级 奥赛检测 98
第16讲 分式方程及其应用 99
经典·考题·赏析 100
演练巩固·反馈提高 103
培优升级·奥赛检测 105
第17讲 反比例函数的图象与性质 106
经典·考题·赏析 107
演练巩固·反馈提高 112
培优升级·奥赛检测 115
第18讲 反比例函数的应用 118
经典·考题·赏析 118
演练巩固 反馈提高 121
培优升级 奥赛检测 123
第19讲 勾股定理 125
经典·考题·赏析 125
演练巩固·反馈提高 130
培优升级•奥赛检测 132
第20讲 平行四边形 135
经典•考题•赏析 135
演练巩固 反馈提高 139
培优升级 奥赛检测 141
第21讲 菱形与矩形 143
经典·考题·赏析 143
演练巩固 反馈提高 147
培优升级 奥赛检测 150
第22讲 正方形 154
经典•考题•赏析 154
演练巩固·反馈提高 159
培优升级·奥赛检测 161
第23讲　　梯　形 163
经典•考题•赏析 163
演练巩固 反馈提高. 165
培优升级 奥赛检测 167
第24讲 数据的分析 171
经典·考题·赏析 171
演练巩固·反馈提高 175
培优升级·奥赛检测 177
模拟测试卷（一） 180
模拟测试卷(二) 183
模拟测试卷（三） 186

第01讲 全等三角形的性质与判定
考点·方法·破译
1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；
2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；
3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法；
4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；
5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.
经典·考题·赏析
【例１】如图，AB∥EF∥DC,∠ABC＝90°,AB＝CD，那么图中有全等三角形（ ）
B
A
C
D
E
F
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.
解：⑴∵AB∥EF∥DC,∠ABC＝90. ∴∠DCB＝90.
在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌∴△DCB（SAS ） ∴∠A＝∠D
⑵在△ABE和△DCE中
∴△ABE≌∴△DCE ∴BE＝CE
⑶在Rt△EFB和Rt△EFC中
A
F
C
E
D
B

∴Rt△EFB≌Rt△EFC（HL）故选C.
【变式题组】
01．（天津）下列判断中错误的是（ ）
A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
02．（丽水）已知命题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.






03．(上海)已知线段AC与BD相交于点O, 连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF（如图所示）.
⑴添加条件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，求证：AB＝DC；
A
B
C
D
O
F
E
⑵分别将“∠A＝∠D”记为①，“∠OEF＝∠OFE”记为②，“AB＝DC”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.







【例２】已知AB＝DC，AE＝DF，CF＝FB. 求证：AF＝DE.
A
C
E
F
B
D
【解法指导】想证AF＝DE，首先要找出AF和DE所在的三角形.AF在△AFB和△AEF中，而DE在△CDE和△DEF中，因而只需证明△ABF≌△DCE或△AEF≌△DFE即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.
证明：∵FB＝CE ∴FB＋EF＝CE＋EF，即BE＝CF
在△ABE和△DCF中,
∴△ABE≌△DCF（SSS） ∴∠B＝∠C
在△ABF和△DCE中, ∴△ABF≌△DCE ∴AF＝DE
【变式题组】
01．如图，AD、BE是锐角△ABC的高，相交于点O，若BO＝AC，BC＝7，CD＝2，则AO的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
A
E
第1题图
A
B
C
D
E
B
C
D
O
第2题图

02.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，则BD＝__________.
\
03．（北京）已知：如图，在△ABC中，∠ ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F. 求证：AB＝FC.
A
F
E
C
B
D

【例３】如图①，△ABC≌△DEF，将△ABC和△DEF的顶点B和顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O.
⑴当△DEF旋转至如图②位置，点B（E）、C、D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是________________;
⑵当△DEF继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.
B（E）
O
C
F
图③
F
A
B
C
D
E
F
A
B(E)
C
D
D
A
图②
图①

【解法指导】⑴∠AFD＝∠DCA
⑵∠AFD＝∠DCA理由如下：由△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，BC＝EF, ∠ABC＝∠DEF, ∠BAC＝∠EDF ∴∠ABC－∠FBC＝∠DEF－∠CBF, ∴∠ABF＝∠DEC
在△ABF和△DEC中,
∴△ABF≌△DEC ∠BAF＝∠DEC ∴∠BAC－∠BAF＝∠EDF－∠EDC, ∴∠FAC＝∠CDF ∵∠AOD＝∠FAC＋∠AFD＝∠CDF＋∠DCA
∴∠AFD＝∠DCA
【变式题组】
01．（绍兴）如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处.若∠CDE＝48°，则∠APD等于（ ）
A．42° B．48° C．52° D．58°
02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（ ）
A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90°
C． AC＝DF D．EC＝CF
E
F
B
A
B
P
D
E
C
第1题图
A
C
D
G
第2题图

03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.
⑴求证：AB⊥ED；
⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.
B
F
A
C
E
N
M
P
D
D
A
C
B
F
E

【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边A C和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB. 求证：⑴ AP＝AQ；⑵AP⊥AQ
【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP＝AQ,也就是证△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已知条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB≌△QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP⊥AQ，即证∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC＝90°就可以.
2
1
A
B
C
P
Q
E
F
D

证明：⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°,
∴∠1＋∠BAD＝90°，∠2＋∠BAD＝90°，∴∠1＝∠2.
在△APB和△QAC中, ∴△APB≌△QAC，
∴AP＝AQ
⑵∵△APB≌△QAC，∴∠P＝∠CAQ, ∴∠P＋∠PAD＝90°
∵∠CAQ＋∠PAD＝90°，∴AP⊥AQ
【变式题组】
A
B
C
D
F
E
01．如图，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BA＝ED，点F是CD的中点，求证：AF⊥CD.






02．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为am，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为bm，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）
A． B． C．bm D．am
A
E
C
B
A
75°
C
45°
B
N
M
第2题图
第3题图
D

03．如图，已知五边形ABCDE中，∠ ABC＝∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，则五边形ABCDE的面积为__________
演练巩固·反馈提高
01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
第3题图
第1题图
C
A
O
D
B
P
第2题图
A
C
A/
B
B/
a
α
c
c
a
50°
b
72°
58°

02．如图，△ACB≌△A/C/B/，∠ BCB/＝30°，则∠ACA/的度数是（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
04．（江西）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A. CB＝CD B.∠BAC＝∠DAC
C. ∠BCA＝∠DCA D.∠B＝∠D＝90°
E
2
1
N
A
B
D
C
第5题图
A
B
C
D
E
A
B
C
D
第4题图
第6题图
M

05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A、B、D不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）
A. △ABE≌△CBD B. ∠ABE＝∠CBD
C. ∠ABC＝∠EBD＝45° D. AC∥BE
06．如图，△ABC和共顶点A，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E. BC交AD于M，DE交AC于N，小华说：“一定有△ABC≌△AED.”小明说：“△ABM≌△AEN.”那么（ ）
A. 小华、小明都对 B. 小华、小明都不对
C. 小华对、小明不对 D.小华不对、小明对
07．如图，已知AC＝EC, BC＝CD, AB＝ED,如果∠BCA＝119°，∠ACD＝98°,那么∠ECA的度数是___________.
08．如图，△ABC≌△ADE，BC延长线交DE于F，∠B＝25°,∠ACB＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB的度数为_______.
09．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°, DE⊥AB于D, BC＝BD. AC＝3，那么AE＋DE＝______
第10题图
A
B
C
D
E
第9题图
E
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
O
C
A
E
B
D
第7题图
第8题图

10．如图，BA⊥AC, CD∥AB. BC＝DE，且BC⊥DE，若AB＝2, CD＝6，则AE＝_____.
11．如图, AB＝CD, AB∥CD. BC＝12cm，同时有P、Q两只蚂蚁从点C出发，沿CB方向爬行，P的速度是0.1cm/s, Q的速度是0.2cm/s. 求爬行时间t为多少时，△APB≌△QDC.
D
A
C
.
Q
P
.
B


D
B
A
C
E
F
12．如图, △ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.
⑴求证：AE＝CD；
⑵若AC＝12cm, 求BD的长.



A
E
B
F
D
C
13．（吉林）如图，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AD等于AE，AB平分∠DAE交DE于点F, 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.





14．如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点A、B分别作l的垂线，垂足分别为D、E.
B
D
E
C
l
A
⑴找出图中的全等三角形，并加以证明；
⑵若DE＝a，求梯形DABE的面积.（温馨提示：补形法）



A
E
F
B
D
C
15．如图，AC⊥BC, AD⊥BD, AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F.求证：CE＝DF.





16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？
⑴阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）；
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；
已知△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠C1.求证：△ABC≌△A1B1C1.（请你将下列证明过程补充完整）
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1

⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.

培优升级·奥赛检测
01．如图，在△ABC中，AB＝AC，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF，BF、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
F
第6题图
2
1
A
B
C
E
N
M
3
2
1
A
D
E
B
C
F
A
D
E
C
O
A
E
O
B
F
C
D
第1题图
B
第2题图
第3题图

02．如图，在△ABC中，AB＝AC，OC＝OD，下列结论中：①∠A＝∠B ②DE＝CE，③连接DE, 则OE平分∠AOB，正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
03．如图，A在DE上，F在AB上，且AC＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE的长等于（）
A．DC B. BC C. AB D.AE＋AC
04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）
A．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等
B．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等
C. 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
D. 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等
05．在△ABC中，高AD和BE所在直线相交于H点,且BH＝AC，则∠ABC＝_______.
06．如图，EB交AC于点M, 交FC于点D, AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C, AE＝AF. 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF; ③△ACN≌△ABM; ④CD＝DB，其中正确的结论有___________.（填序号）
07．如图，AD为在△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F,且有BF＝AC，FD＝CD.
⑴求证：BE⊥AC；
⑵若把条件“BF＝AC”和结论“BE⊥AC”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.
A
E
F
C
D
B






08．如图，D为在△ABC的边BC上一点，且CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线.求证：AC＝2AE.
A
B
E
D
C


09．如图，在凸四边形ABCD中，E为△ACD内一点，满足AC＝AD，AB＝AE, ∠BAE＋∠BCE＝90°, ∠BAC＝∠EAD.求证：∠CED＝90°.
A
E
B
D
C







10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F.
⑴求证：AF＋EF＝DE;
⑵若将图①中△DBE绕点B顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；
⑶若将图①中△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并说明A
F
D
F
C
B
E
D
A
C
B
E
A
C
B
图①
图②
图③
理由。







A
B
C
D
E
11．（嵊州市高中提前招生考试）⑴阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB＝5，AC＝13, 求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE＝AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4.
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑中线加倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
A
B
E
F
C
D
⑵问题解决：受到⑴的启发，请你证明下面命题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.
求证：BE＋CF＞EF；


A
E
B
F
C
D
⑶问题拓展：如图，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明.





12．（北京）如图，已知△ABC.
⑴请你在BC边上分别取两点D、E（BC的中点除外），连接AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；
C
B
A
⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明：AB＋AC＞AD＋AE.






A
D
E
G
C
H
B
13．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝180°. AH⊥AH于H，HA的延长线交DE于G. 求证：GD＝GE.










14．已知，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°, ∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC（或它们的延长线）于E、F.
当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时，如图1，易证：AE＋CF＝EF；（不需证明）
当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，如图2和图3中这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.
D
A
B
C
F
N
E
M
D
图1
A
B
C
F
N
E
M
D
A
B
C
F
N
E
M
图2
图3



第02讲 角平分线的性质与判定
考点·方法·破译
1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.

经典·考题·赏析
【例１】如图，已知OD平分∠AOB，在OA、OB边上截取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD.求证：PM＝PN
【解法指导】由于PM⊥BD，PN⊥AD.欲证PM＝PN只需∠3＝∠4，证∠3＝∠4，只需∠3和∠4所在的△OBD与△OAD全等即可.
证明：∵OD平分∠AOB ∴∠1＝∠2
在△OBD与△OAD中， ∴△OBD≌△OAD
∴∠3＝∠4 ∵PM⊥BD，PN⊥AD 所以PM＝PN
【变式题组】
01．如图，CP、BP分别平分△ABC的外角∠BCM、∠CBN.求证：点P在∠BAC的平分线上.








02．如图，BD平分∠ABC，AB＝BC，点P是BD延长线上的一点，PM⊥AD，PN⊥CD.求证：PM＝PN







【例２】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE＝(AB＋AD)，如果∠D＝120°，求∠B的度数
【解法指导】由已知∠1＝∠2，CE⊥AB，联想到可作CF⊥AD于F，得CE＝CF，AF＝AE，又由AE＝(AB＋AD)得DF＝EB，于是可证△CFD≌△CEB，则∠B＝∠CDF＝60°.或者在AE上截取AM＝AD从而构造全等三角形.
解：过点C作CF⊥AD于点F.∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，点C是AC上一点，
∴CE＝CF
在Rt△CFA和Rt△CEA中， ∴Rt△ACF≌Rt△ACE ∴AF＝AE
又∵AE＝(AE＋BE＋AF－DF)，2AE＝AE＋AF＋BE－DF，∴BE＝DF
∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴∠F＝∠CEB＝90°
在△CEB和△CFD中，，∴△CEB≌△CFD
∴∠B＝∠CDF 又∵∠ADC＝120°，∴∠CDF＝60°，即∠B＝60°.
【变式题组】
01．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AC＝5，BC＝3.求


02．(河北竞赛)在四边形ABCD中，已知AB＝a，AD＝b.且BC＝DC，对角线AC平分∠BAD，问a与b的大小符合什么条件时，有∠B＋∠D＝180°，请画图并证明你的结论.


【例３】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE.求证：CE＝BD
【解法指导】由于BE平分∠ABC，因而可以考虑过点D作BC的垂线或延长CE从而构造全等三角形.
证明：延长CE交BA的延长线于F，∵∠1＝∠2，BE＝BE，∠BEF＝∠BEC
∴△BEF≌△BEC(ASA) ∴CE＝EF，∴CE＝CF ∵∠1＋∠F＝∠3＋∠F＝90°，
∴∠1＝∠3
在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF
∴BD＝CF ∴CE＝BD
【变式题组】
01．如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E，求证：AB＝AC＋BD.




02．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.
⑴请你判断FE和FD之间的数量关系，并说明理由；
⑵求证：AE＋CD＝AC.





演练巩固·反馈提高
01．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，若CD＝n，AB＝m，则△ABD的面积是（ ）
A．mn B．mn C． mn D．2 mn
02．如图，已知AB＝AC，BE＝CE，下面四个结论：①BP＝CP；②AD⊥BC；③AE平分∠BAC；④∠PBC＝∠PCB.其中正确的结论个数有（ ）个
A． 1 B．2 C．3 D．4
03．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S.若AQ＝PQ，PR＝PS，下列结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是（ ）
A． ①③ B．②③ C．①② D．①②③







04．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③AD⊥BC且BD＝CD；④∠BDE＝∠CDF.其中正确的是（ ）
A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②③④
05．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，则∠AEB的度数为（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
06．如图，P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，给出下列结论：①AD＝AF；②AB＋EC＝AC＋BE；③BC＋CF＝AB＋AF；④点P是△ABC三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
07．如图，点P是△ABC两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．点P到△ABC三边的距离相等 B．点P在∠ABC的平分线上
C．∠P与∠B的关系是：∠P＋∠B＝90° D．∠P与∠B的关系是：∠B＝∠P







08．如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，BD与CD相交于D.给出下列结论：①点D到AB、AC的距离相等；②∠BAC＝2∠BDC；③DA＝DC；④DB平分∠ADC.其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
09．如图，△ABC中，∠C＝90°AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，下列结论中：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③ DE平分∠ADB；④AB＝AC＋BE.其中正确的个数有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个

10．如图，已知BQ是∠ABC的内角平分线，CQ是∠ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、QN和QK，垂足分别为M、N、K，则QM、QN、QK的关系是_________

11．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC.求证：BE＝CF







12．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：AD⊥EF.









培优升级·奥赛检测
01．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
02．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝32，且BD:CD＝9:7，则D到AB边的距离为（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
03．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的平分线，有一个动点P从A向B运动.已知：DC＝3cm，DB＝4cm，AD＝8cm.DP的长为x(cm)，那么x的范围是__________






04．如图，已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别为E、F、G，且PF＝PG＝PE，则∠BPD＝__________

05．如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC，且OE＝2，则两平行线AB、CD间的距离等于__________

06．如图，AD平分∠BAC，EF⊥AD，垂足为P，EF的延长线于BC的延长线相交于点G.求证：∠G＝(∠ACB－∠B)









07．如图,在△ABC中,AB＞AC,AD是∠BAC的平分线,P为AC上任意一点.求证:AB－AC＞DB－DC










08．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线上.求证：BQ＋AQ＝AB＋BP














第3讲 轴对称及轴对称变换
考点·方法·破译
1．轴对称及其性质
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.
轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
2．线段垂直平分线
线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：①位置关系——垂直；②数量关系——平分.
性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
3．当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件.
经典·考题·赏析
【例１】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（ ）


【解法指导】对折问题即是轴对称问题，折痕就是对称轴.故选D.
【变式题组】
01．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（ ）

02．（荆州）如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（ ）

【例2】（襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，则与点B’关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（0，－1） B．（1，1） C．（2，－1） D．（1，－1）
【解法指导】在△ABC中，点B的坐标为（－1，1），将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，由点的坐标平移规律可得B’（－1＋2，1），即B’（1，1）.由关于x轴对称的点的坐标的规律可得点B’关于x轴对称的点的坐标是（1，－1），故应选D.
【变式题组】
01．若点P（－2，3）与点Q（a，b）关于x轴对称，则a、b的值分别是（ ）
A．－2，3 B．2，3 C．－2，－3 D．2，－3
02．在直角坐标系中，已知点P（－3，2），点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个单位得到点R，则点R的坐标是___________.
03．（荆州）已知点P（a＋1，2a－1）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围为___________.
【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B1处，若∠ACB1＝70°，则∠ACD＝（ ）
A．30° B．20° C．15° D．10°
【解法指导】由折叠知∠BCD＝∠B1CD.设∠ACD＝x，则∠BCD＝∠B1CD＝∠ACB1＋∠ACD＝70°＋x.又∠ACD＋∠BCD＝∠ACB，即x＋（70°＋x）＝90°，故x＝10°.故选D.
【变式题组】
01．（东营）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D’、C’的位置.若∠EFB＝65°，则∠AED’等于（ ）
A．70° B．65° C．50° D．25°
02．如图，△ABC中，∠A＝30°，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形中∠B＝___________.

03．（江苏）⑴观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）.小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.
⑵实践与运用：
将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）.求图⑤中∠α的大小.

【例4】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，E为垂足，EF交BC的延长线于点F，求证：∠B＝∠CAF．
【解法指导】∵EF是AD的中垂线，则可得△AEF≌△DEF，∴∠EAF＝∠EDF．从而利用角平分线的定义与三角形的外角转化即可．
证明：∵EF是AD的中垂线，∴AE＝DE，∠AEF＝∠DEF，EF＝EF，∴△AEF≌△DEF，∴∠2＋∠4＝∠3，∴∠3＝∠B＋∠1，∴∠2＋∠4＝∠B＋∠1，∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠4
【变式题组】
01．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在__________的垂直平分线上．

02．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝15°，DE⊥AC于E，且AE＝EC，若AB＝3cm，则DC＝___________cm．
03．如图，△ABC中，∠BAC＝126°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG＝___________．
04.△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线交AC于F，若AB＝12cm，△BCF的周长为20cm，则△ABC的周长是___________cm．
【例5】（眉山）如图，在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的△DEF．

【解法指导】在正方形格点图中，如果已知条件中没有给对称轴，在找对称轴时，通常找图案居中的水平直线、居中的竖直直线或者斜线作为对称轴．若以图案居中的水平直线为对称轴，所作的△DEF如图①②③所示；若以图案居中的竖直直线为对称轴，所作的△DEF如图④所示；若以图案居中的斜线为对称轴，所作的△DEF如图⑤⑥所示．

【变式题组】
01．（泰州）如图，在2×2的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格点图中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有___________个．
02．（绍兴）如图甲，正方形被划分成16个 全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：
⑴涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；
⑵涂黑部分成轴对称图形．
如图乙是一种涂法，请在图1－3中分别设计另外三种涂法．（在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种不同涂法，如图乙与图丙）

【例6】如图，牧童在A处放牛，其家在B处，若牧童从A处出发牵牛到河岸CD处饮水后回家，试问在何处饮水，所求路程最短？
【解法指导】⑴所求问题可转化为CD上取一点M，使其AM＋BM为最小；⑵本题利用轴对称知识进行解答．
解:先作点A关于直线CD的对称点A’，连接A’B交CD于点M，则点M为所求，下面证明此时的AM＋BM最小．
证明：在CD上任取与M不重合的点M’，
∵AA’关于CD对称，∴CD为线段AA’的中垂线，
∴AM＝A’M，M’＝A’M’,在△A’M’B中，有A’B＜A’M’＋BM’，
∴A’M＋BM＜A’M’＋BM’，∴AM＋BM＜AM’＋BM’，
即AM＋BM最小．
【变式题组】
01．（山西）设直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l地距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站向P、Q两地供水．现在如下四种铺设管道方案，图中的实线表示辅设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）

02．若点A、B是锐角∠MON内两点，请在OM、ON上确定点C、点D，使四边形ABCD周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你确定的点．

演练巩固·反馈提高
01．（黄冈）如图，△ABC与△A’B’C’关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C’＝48°，则∠B的度数是（ ）．
A．48° B．54° C．74° D．78°

02．（泰州）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
03．图1是四边形纸片ABCD，其中∠B＝120°，∠D＝50°，若将其右下角向内折出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图2所示，则∠C＝（ ）
A．80° B．85° C．95° D．110°

04．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于y轴成轴对称的图形，若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（ ）
A．M（1，－3），N（－1，－3） B．M（－1，－3），N（－1，3）
C．M（－1，－3），N（1，－3） D．M（－1，3），N（1，－3）
05．点P关于x轴对称的对称点P’的坐标是（－3，5），则点P关于y轴对称的对称点的坐标是（ ）
A．（3，－5） B．（－5，3） C．（3，5） D．（5，3）
06．已知M（1－a，2a＋2）关于y轴对称的点在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．－1＜a＜1 B．－1≤a≤1 C．a＞1 D．a＞－1
07．（杭州）如图，镜子中号码的实际号码是___________．
08．（贵阳）如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为___________cm2.
09．已知点A（2a＋3b，－2）和B（8，3a＋2b）关于x轴对称，则a＋b＝___________.
10．如图，在△ABC中，OE、OF分别是AB、AC中垂线，且∠ABO＝20°，∠ABC＝45°，求∠BAC和∠ACB的度数．





11．如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B是桌面上的两个球，怎样击打A球，才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球？请画出A球经过的路线，并写出作法．

12．如图，P为∠ABC的平分线与AC的垂直平分线的交点，PM⊥BC于M，PN⊥BA的延长线于N．求证：AN＝MC．

13．（荆州）有如图“”的8张纸条，用每4张拼成一个正方形图案，拼成的正方形的每一行和每一列中，同色的小正方形仅为2个 ，且使每个正方形图案都是轴对称图形，在网格中画出你拼成的图．（画出的两个图案不能全等）

培优升级·奥赛检测
01．（浙江竞赛试题）如图，直线l1与直线l2相交，∠α＝60°，点P在∠α内（不在l1l2上）．小明用下面的方法作P的对称点：先以l1为对称轴作点P关于l1的对称点P1,再以l2为对称轴作P1关于l2的对称点P2，然后再以l1为对称轴作P2关于l1的对称点P3，以l2为对称轴作P3关于l2的对称点P4，……如此继续，得到一系列P1、P2、P3……Pn与P重合，则n的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
02．在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
⑴如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（－2，0），B（－1，0），C（－1，2），△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
⑵如果点P的坐标是（－a，0），其中a＞0，点P关于y轴的对称点是点P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．








03．（荆州）某住宅小区拟栽种12棵风景树，若想栽成6行，每行4棵，且6行树所处位置连成线后能组成精美的对称图案，请你仿照举例在下面方框中再设计两种不同的栽树方案．



04．（宜昌）已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF、AF相交于P、M．
⑴求证：AB＝CD；
⑵若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．















05．在△ABC中，∠BAC＝90°，点A关于BC边的对称点为A’，点B关于AC边的对称点为B’，点C关于AB边的对称点为C’，若S△ABC＝1，求S△A’B’C’．











06．（湖州市竞赛试题）小王同学在小组数学活动中，给本小组出了这样一道“对称跳棋”题：如图，在作业本上画一条直线l，在直线l两边各放一粒围棋子A、B，使线段AB长a厘米，并关于直线l对称，在图中P1处有一粒跳棋子，P1距A点b厘米、与直线l的距离C厘米，按以下程序起跳：第1次，从P1点以A为对称中心跳至P2点；第2次，从P2点以l为对称轴跳至P3点；第3次，从P3点以B为对称中心跳至P4点；第4次，从P4以l为对称轴跳至P1点；
⑴画出跳棋子这4次跳过的路径并标注出各点字母；（画图工具不限）
⑵棋子按上述程序跳跃2011次后停下，假设a＝8，b＝6，c＝3，计算这时它与A的距离是多少？

















07．（湖州）如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）．
⑴若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p＝___________时，△PAB的周长最短；
⑵若C（a，0），D（a＋3，0）是x轴上的两个动点，则当a＝___________时 ，四边形ABCD的周长最短；
⑶设M、N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m＝___________，n＝___________（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．






第4讲 等腰三角形
考点·方法·破译
1．等腰三角形及其性质
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，因此它的性质有：⑴等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）；⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即等腰三角形三线合一）
2．等腰三角形的判定
证明一个三角形是等腰三角形的基本方法是：⑴从定义入手，证明一个三角形有两条边相等；⑵从角入手，证明一个三角形有两个角相等，依据是等腰三角形判定定理；等角对等边．
3．构造等腰三角形的常用方法
⑴角平分线＋平行线＝等腰三角形 ⑵角平分线＋垂线（或高）＝等腰三角形
⑶线段中垂线构造等腰三角形 ⑷将2倍角转化为相等角构造等腰三角形

经典·考题·赏析
【例１】 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为400，则这个等腰三角形的底角为________________.
【解法指导】 若问题中涉及到三角形的高，则要分别考虑三角形的高是在三角形的外，三角形内的情况．
解：如图1，当一腰上的高在三角形内时，∠ACD＝400，∴∠A＝500
∴∠B＝∠ACB＝
如图2，当一腰上的高在三角形外时，∠ACD＝400，∠DAC＝500
∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝2∠B
∴∠B＝∠ACB＝250，故填650或250.

【变式题组】
01．（呼和浩特）在等腰⊿ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A.7 B.11 C.7或11 D．7或10
02.（黄冈）在⊿ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为500，则∠B＝___________度．
03.（襄樊）在⊿ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝6cm,D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向运动．设运动时间为t，那么当t＝_________秒时，过D、P两点的直线将⊿ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．


【例２】 如图，在⊿ABC中，AB＝AC，点D在AC上，AD＝BD＝BC，求∠A的度数．
【解法指导】 图中的等腰三角形多，可利用等腰三角形的性质，用方程的思想求角的度数．
解：设∠A＝x,
∵BD＝AD，∴∠A＝∠ABD＝x，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，
∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2x，
∵AB＝AC，∴∠ C＝∠ABC＝2x，
∵在△ABC中, ∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°
∴x＋2x＋2x＝180°，
x＝36°，∴∠A＝36°．
【变式题组】
01．如图，在⊿ABC中，AB＝AC，BD＝BC,AD＝DE＝EB，求∠A的度数．






02．如图，在⊿ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ ED＝EA，求∠A的大小．






【例３】 已知坐标原点O和点A（2，－2），B是坐标轴上的一点．若⊿AOB是等腰三角形，则这样的点B一共有（ ）个
A．4 B．5 C．6 D．8
【解法指导】 ⊿AOB是等腰三角形，但不能确定哪条边是等腰三角形的底，因而要分三种情况进行说明①AO＝OB,②OA＝AB,③BA＝BO,又∵B是坐标轴上的点．要考虑x轴与y轴两种情况．
解：①如图1，当OA是底边时，B在OA的中垂线上，又B在坐标轴上，因而B是OA中垂线与坐标轴的交点；
②如图2，当OA为腰时，若O为顶点，则B在以O为圆心，OA为半径的圆上，又B在坐标轴上，因而B是圆与坐标轴的交点；
③如图3，当OA为腰时，若A为顶点，则B在以A为圆心，OA为半径的圆上，又B在坐标轴上，因而B是圆与坐标轴的交点.故选D.










【变式题组】
01．(海南竞赛试题)在平面直角坐标系xOy内，已知A（3，－3），点P是y轴上一点，则使⊿AOP为等腰三角形的点P共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
02．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1，0),点B的坐标是（0，），点C在坐标平面内．若以A、B、C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30度，则满足条件的点C有_________个．


A
B
C
D
P
E


第2题图
第4题图
第3题图


03.（南昌）如图，已知长方形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上一点，∠BEG＞600，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片中的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
A
C
B
M
D
E
(例4题图)
04．（济南）如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，点E是折线段A－D－C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【例４】 （枣庄）两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．
【解法指导】 判断⊿MEC为等腰直角三角形，M为直角顶点，即想证∠EMC＝900，而⊿ABD为等腰三角形，M是BD的中点，若连接AM则有∠AMD＝900,因而只需证∠DME＝∠AMC,利用全等三角形即可．
解：的形状是等腰直角三角形，理由如下：
　　连接，由题意得：
　　．
　　．
　　又，
　　．
　　．
　　．
．
　　又，
　　．
　　．
　　所以的形状是等腰直角三角形．
【变式题组】
01．如图，在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC的中点,以P为直角顶点的两边分别与边AB、AC交于点E、F，当∠EPF绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，⊿PEF也始终是等腰三角形，请你说明理由．

02．如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝900，D是BC的中点，DE⊥AB垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于G．
⑴求证：AD⊥CF;
⑵连接AF，试判断⊿ACF的形状，并说明理由．

03．如图，⊿ABC中，∠ACB＝900，AC＝BC,CO为中线．现将一直角三角板顶点放在点O上并绕点O旋转，若三角板的两直角边分别交AC、CB的延长线于点G、H．
⑴试写出图中除AC＝BC,OA＝OB＝OC外其他所有相等的线段；
⑵请选一组你写出的相等线段给予证明．



【例５】 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
⑴请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
⑵如图，在中，点分别在上，设相交于点，若，．请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；






⑶在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．






【解法指导】 证明两条线段相等时，若两条线段在同一三角形中，可证明它们所对的角相等．若两条线段在不同的三角形中，则证它们所在的两个三角形全等，若三角形不全等，即可通过构造全等三角形或等腰三角形解决问题．
解：⑴如：平行四边形、等腰梯形等
⑵答：与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四边形DBCE是等对边四边形；
⑶答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE．
证法一：如图1，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．









图1
∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，BC为公共边，
∴△BCF≌△CBG，
∴BF＝CG，
∵∠BDF＝∠ABE＋∠EBC＋∠DCB，∠BEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠BDF＝∠BEC，
可证△BDF≌△CEG，
∴BD＝CE
∴四边形DBCE是等边四边形．








图2
证法二：如图2，以C为顶点作∠FCB＝∠DBC，CF交BE于F点．
∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，BC为公共边，
∴△BDC≌△CFB，
∴BD＝CF，∠BDC＝∠CFB，
∴∠ADC＝∠CFE，
∵∠ADC＝∠DCB＋∠EBC＋∠ABE，∠FEC＝∠A＋∠ABE，
∴∠ADC＝∠FEC，
∴∠FEC＝∠CFE，
∴CF＝CE，∴BD＝CE，
∴四边形DBCE是等边四边形．
【变式题组】
01．如图，在ABC中，∠B＝2∠C，AD为∠BAC的平分线．求证：AC＝AB＋BD.


02．(天津初赛试题)如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠BAD＝1050，∠ABC＝∠ADC＝450，若AB＝2，求CD的长．


03．如图，在ABC中，AB＝AC，D在AB上，F在AC延长线上，BD＝CF．求证DE＝EF.

【变式题组】
01．(重庆)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．200 B．1200 C．200或1200 D．3600

02．（云南）已知等腰三角形的两边分别为6和3，则此等腰三角形周长为（ ）
A．9 B．15 C．15 D．12或15
03.（云南）如图，等腰ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则BEC的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16





04．如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，若∠A＝180，则∠GEF的度数是（ ）
A．800 B．900 C．1000 D．1080

05．如图，RtABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠ACD＝∠B B.CH＝CE＝EF C.CH＝HD D.AC＝AF
06．如图，ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论：①BDF和CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE;③ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF.其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①

07.（武汉）如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC, ∠ABC＝∠ADC＝700,则∠DAO＋∠DCO的大小是（ ）
A．700 B．1100 C．1400 D．1500
08．（滨州）已知等腰ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是____________.
09．如图所示，在ABC中，已知AB＝AC，∠A＝360，BC＝2，BD是ABC的角平分线，则AD＝___________.

10．(威海)如图，AB＝AC，BD＝BC,若∠A＝400，则∠ABD的度数是_________.
11．(乌鲁木齐) 在一次数学课上，王老师在黑板上画出图6，并写下了四个等式：
①，②，③，④．
要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）
已知：
B
E
D
A
C

求证：是等腰三角形．
证明：



12．（泰安） 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结．

⑴请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
⑵证明：．
图1
图2
D
C
E
A
B












13.（包头）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．
⑴如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
⑵若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？
A
Q
C
D
B
P
















14.（临沂）如图1，已知中，，，把一块含角的直角三角板的直角顶点放在的中点上（直角三角板的短直角边为，长直角边为），将直角三角板绕点按逆时针方向旋转．
⑴在图1中，交于，交于．
①证明；
②在这一旋转过程中，直角三角板与的重叠部分为四边形，请说明四边形的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；
⑵继续旋转至如图2的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；








图1








图2








图3

⑶继续旋转至如图3的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？请写出结论，不用证明．













培优升级·奥赛检测
01．如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC,PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA＝GP;②③BP垂直平分CE；④FP＝FC;其中正确的判断有（ ）
A．只有①② B．只有③④ C．只有①③④ D．只有①②③④

02．如图，点A是网格图形中的一个网格图形中的一个格点（小正方形的顶点），图中每个小正方形的边长为1，以A为其中的一个顶点，面积等于2.5的格点等腰直角三角形（三角形的三个顶点都是格点）的个数是（ ）
A.10个 B.12个 C.14个 D.16个
03．如图，在ABC中，AB＝BC,MN＝NA, ∠BAM＝∠NAC,则∠MAC＝_________.

04．如图，AA’、BB’分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA’＝BB’＝AB.则∠BAC的度数为______________.
05．(全国联赛)在等腰RtABC中，AC＝BC＝1，M是BC的中点，CE⊥AM于E,交AB于F．则 ＝_____________
06．如图，在ABC中，AB＝AC,EF为过点A的任意一条直线，CF⊥BC, BE⊥BC.求证：AE＝AF.


07．（湖州市竞赛试题）如图，在RtABC中，∠ACB＝900，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC,交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF＝CE，求证：FK∥AB








08.(四川省初二数学联赛试题)有一等腰钝角三角形纸片，若能从一个顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，求等腰三角形纸片的顶角的度数．







09.如图，在ABC中，∠ABC＝460，D是边BC上一点，DC＝AB, ∠DAB＝210，求∠CAD的度数．







10.（浙江省杭州市中考试题）如图，在等腰△中，是底边上的高线，点是线段上不与端点重合的任意一点，连接交于点，连接交于点.
(1) 证明：；
(2) 证明：；
(3) 以线段和为边构成一个新的三角形（点与点重合于点），记△和△的面积分别为和，如果存在点，能使得 , 求∠的取值范围.













11．如图，已知在△中，AB＝AC，∠BAC＝900，AD＝AE, AF⊥BE交BC于F，过F作FG⊥CD交BE的延长线于G．求证：BG＝AF＋FG















第五讲 等边三角形
考点 方法 破译
1．等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60．等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；
2．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；
3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立．
经典 考题 赏析
【例1】如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点在一条直线上．AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．
(1)求证：△ACE≌△DCB;
(2)求∠AFD的度数；
(3)判断△CMN的形状
【解法指导】根据等边三角形的性质，利用全等三角形中边角的关系可解决问题．
解：(1)∵等边三角形DAC与等边三角形EBC ∴AC＝DC，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°
∴ ∠ACE＝∠DCB
∴在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB
(2) ∵∠ACE≌∠DCB, ∴∠1＝∠2
又∵∠1＋∠DFA＝＝∠2＋∠ACD ∴∠AFD＝∠ACD＝60°
(3) 在△ACM和△DCN中,
∴△ACM≌△DCN ∴CM＝CN
又∵∠DCN ＝60°∴△CMN是等边三角形．
【变式题组】
01．(天津)如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，
则∠BAC的大小等于__________ 度
02．(荆州)如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．



03．如图，在正△ABC中，D,E分别是BC、AC上的一点，且AE＝CD ．AD与BE相交于点P，且BQ⊥AD于Q．求证BP＝2PQ


04．(黄冈)如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q是BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC于D，求DE的长．









【例2】P是△ABC内一点，∠PBC＝30°，∠PBA＝8°，且∠PAB＝∠PAC＝22°，求∠APC的度数
【解法指导】 由于∠PAB ＝∠PAC,因而PA平分∠BAC,根据角平分线的特点可构造全等三角形，其方法一：在AB边上截取；方法二：延长AC边，又由于∠BPA＝150°是特殊角，考虑∠BPA的完整性，因而取方法二的可能性更大．
解：延长AC到D，使AD＝AB，连接PD、BD,∵∠PBA＝8°∠PAB ＝22°
∴∠BPA＝150°，在△ABP和△ADP中，∴△ABP≌△ADP ∴∠APB＝∠APD ＝ 150°，BP＝DP ,∠PBA＝∠APD ＝8°

∴∠BPD＝60°, ∴△BPD是正三角形
∵∠PBC＝30° ∴∠PBC＝∠DBC
在△PBC和△DBC中，
∴△PBC≌△DBC , ∴PC＝CD ∴∠CPD＝∠CDP＝8°
∴∠APC＝∠APD一∠CPD＝150°一8°＝142°
【变式题组】
01．如图，D是等边三角形ABC内一点，E为ABC外部一点，满足DA＝DB，BE＝BA，∠DBE＝∠DBC．求∠BED的度数．







02．如图．D是△ABC外一点．AB＝AC＝BD＋CD，∠ABD＝60°求∠ACD的度数．









【例3】如图(1)，△ABC等边三角形，△BDC是顶角120°的等腰三角形，以D为顶点作60°的角，它的两边分别与AB、AC交于点M和N，连接MN．
(1)探究：MN、NC之间的关系，并加以证明;
(2)若点M、N分别在射线AB、CA上，其他条件不变，再探究线段BM、MN、NC之间的关系，在图(2)中画出相应的图形．并就结论说明理由

【解法指导】对于(1)，这时在△DMB中，有∠DBM＝∠DBC＋∠CBA＝30°＋60°＝90°
为了把BM，MN，NC集中到一个三角形中去，将△DMB 绕D点顺时针旋转120°得到△DGC．如图(3)．从而有MB＝GC．而此时恰又有△MND≌△GND·得MN＝NG＝NC＋CG＝NC＋BM．对于(2)，此时的图形(4)，仍作(1)中的旋转，类似地可以推得MN＝CN一BM
解(1)关系为MN＝BM＋NC
证明：延长AC到G，使CG＝BM，连接DG，如图(3)
∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝60°十30°＝90°同理也有∠ACD＝90°
在△DMB和△DGC中； DB＝DC．BM＝CG
∴△DMB≌△DGC ∴DM＝DG．∠MDB＝∠GDC．
在△MND和△GND中，ND公用，DM＝DG，∠MDN＝60°
∠GDN＝∠GDC＋∠DCN＝∠MDB＋∠CDN＝60°
∴△MND≌△GND ∴ MN＝GN＝GC十NC＝BM＋NC
(2)此时．图形如图(4)，有关系式MN＝CN—BM理由如下：
在CN上截取GG＝BM．连接DG，如图(4)与(1)中情况类似．可推得
∠ABD＝∠ACD＝90°．且Rt△DMB≌△DGC ，得DM＝DG．∠MDB＝∠GDC
仍与(1)中情况娄似，可推得△MND≌△GND．就有MN＝GN＝NC—CG＝NC—BM．
【变式题组】
01．用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成四边形ABCD，把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合．两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.
(1)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD相交于点E，F时，(如图1)，通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；



(2)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD的延长线相交于点F时(如图2)，你在(1)中得到的结论还成立吗，简要说明理由．








02．如图．四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°
求证：AC＝BC＋DC．








巩固练习 反馈提高
01．如图．△ABC是等边三角形，AD⊥BC，点E在AC上，且AE＝AD，则∠DEC＝( )
A 105° B 85° C 95° D 75°








第1题图 第2题图
02．如图，等边△ABC，D在AC上，延长BC到E．使CE＝CD，若BD＝DE，给出下列结论：① BD平分∠ABC ② AD ＝ AB ③ CE＝ BC ④∠A＝2∠E，其中正确结论的个数是( )
A．4个 B 3个 C 2个 D 1个
03．(河北)如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC 上的点，将△ABC沿直线DE折叠，点A落在A’处，且A’在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为_______ cm
第3题图 第4题图 第5题图











04．在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°，得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP＝__________．
05．如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，试判断△DEF是否为等边三角形，并说明理由．




06．请你用三种不同的分割方法，将图中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形(在图中画出分割线，并标出必要的角的度数) ．









07．如图，点D是等边△ABC边AB上的一点．AB＝3AD，DE⊥BC于点E，AE、CD相交于点F。 (1)求证：△ACD≌△BAE：
(2)过点C作CG⊥AE，垂足为点G，探究CF与FG之间的数量关系，并证明．





08．如图：△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将线段DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F，连接DC，AE．
求证：△ADE≌△DFC





09．如图：△ABC是等边三角形，点D、E分别在CA、AB的延长线上， AD＝BE．DB的延长线交EC于F．
求证：(1)DB＝EC；(2) ∠BFC＝60°






10．(常德)如图1，若△ABC与△ADE为等边三角形，M、N分别是EB、CD的中点，易证：CD＝BE，△AMN是等边三角形．
(1)当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD＝BE是否仍然成立? 若成立请证明，若不成立请说明理由；
(2) 当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形? 若成立请证明，若不成立请说明理由．

第06讲 实 数
考点·方法·破译
1．平方根与立方根：
若＝a(a≥0)则x叫做a的平方根，记为：a的平方根为x＝±，其中a的平方根为x＝叫做a的算术平方根．
若x3＝a，则x叫做a的立方根．记为：a的立方根为x＝．
2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数（p、q是两个互质的整数，且q≠0）的形式．
3非负数：
实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即>0，≥0（n为正整数），≥0(a≥0) ．
经典·考题·赏析
【例1】若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，求m的值．
【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m −4与3m−l是同一个数的平方根，∴2m−4 ＋3m−l＝0，5m＝5，m＝l．
【变式题组】
01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____．
02．已知m是小于的最大整数，则m的平方根是____．
03．的立方根是____．
04．如图，有一个数值转化器，当输入的x为64时，输出的y是____．
输入x
取算术平方根
输出y
是无理数
是有理数

【例2】（全国竞赛）已知非零实数a、b满足，则a＋b等于( )
A．－1 B． 0 C．1 D．2
【解法指导】若有意义，∵a、b为非零实数，∴b2>0∴a－3≥0 a≥3
∵
∴，∴．
∴，∴，故选C．

【变式题组】
0l．在实数范围内，等式＝0成立，则ab＝____．
02．若，则的平方根是____．
03．（天津）若x、y为实数，且，则的值为（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
04．已知x是实数，则的值是( )
A． B． C． D．无法确定
【例3】若a、b都为有理效，且满足．求a＋b的平方根．
【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵，
∴ 即，∴，
a ＋b＝12 ＋13＝25．
∴a＋b的平方根为：．
【变式题组】
01．（西安市竞赛题）已知m、n是有理数，且（＋2）m＋(3－2)n＋7＝0求m、n．




02．（希望杯试题）设x、y都是有理数，且满足方程（）x＋（）y−4−＝0，则x−y＝____．


【例4】若a为−2的整数部分，b−1是9的平方根，且，求a＋b的值．
【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成，−2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分＝−2 −2＝−4．∵a＝2，b−1＝±3 ，∴b＝－2或4
∵．∴a 【变式题组】
01．若3＋的小数部分是a，3−的小数部分是b，则a＋b的值为____．
02．的整数部分为a，小数部分为b，则（＋a）·b＝____．
演练巩固 反馈提高
0l．下列说法正确的是( )
A．－2是(－2)2的算术平方根 B．3是－9的算术平方根
C． 16的平方根是±4 D．27的立方根是±3
02．设，b＝ －2，，则a、b、c的大小关系是( )
A．a 03．下列各组数中，互为相反数的是( )
A．－9与81的平方根 B．4与 C．4与 D．3与
04．在实数1.414，，0.1(•)5(•)，5−，，3.1(•)4(•)，中无理数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D． 5个
05．实数a、b在数轴上表示的位置如图所示，则( )
A．b>a B．
C． －a＜b D．－b>a



06．现有四个无理数，，，，其中在＋1与＋1之间的有( )
A． 1个 B．2个 C． 3个 D ．4个
07．设m是的平方根，n＝．则m，n的关系是( )
A. m＝±n B.m＝n C .m＝－n D.
08．（烟台）如图，数轴上 A、B两点表示的数分别为－1和，点B关于点A的对称点C，则点C所表示的数为( )


A．－2 B．－1 C．－2 ＋ D．l ＋
09．点A在数轴上和原点相距个单位，点B在数轴上和原点相距3个单位，且点B在点A左边，则A、B之间的距离为____．
10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，，…，，．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数．
11．对于任意不相等的两个数a、b，定义一种运算※如下：a※b＝，如3※2＝＝．那么12.※4＝____．
12．（长沙中考题）已知a、b为两个连续整数，且a< 13．对实数a、b，定义运算“*”，如下a*b＝，已知3*m ＝36，则实数m＝____．
14．设a是大于1的实数．若a，，在数轴上对应的点分别是A、B、C，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．
15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．




16．已知整数x、y满足＋2＝，求x、y．


17．已知2a−1的平方根是±3，3a＋b−1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．
18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，(1)求此时B点所对的数；(2)求圆心O移动的路程．




19．若b＝ ＋ ＋3l，且a＋11的算术平方根为m，4b＋1的立方根为n，求（mn−2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．



20．若x、y为实数，且（x−y＋1）2与互为相反数，求的值．





培优升级 奥赛检测
01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a−3，则a值为( )
A． 2 B．－1 C． 1 D． 0
02．（黄冈竞赛）代数式＋＋的最小值是( )
A．0 B． 1＋ C．1 D． 2
03．代数式−2的最小值为____．
04．设a、b为有理数，且a、b满足等式a2＋3b＋b＝21−5，则a＋b＝____．
05．若＝1，且3＝4，则在数轴上表示a、b两数对应点的距离为____．
06．已知实数a满足，则a− 20092＝_______．
07．若m满足关系式 ，试确定m的值．






08．（全国联赛）若a、b满足＝7，S＝，求S的取值范围．







09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0










10．（北京竞赛试题）已知实数a、b、x、y满足y＋，，求的值．









11．（全国竞赛试题）巳知x＝，a、b为互质的正整数．且a≤8，−1 (1)试写出一个满足条件的x；(2)求所有满足条件的x．








第7讲 变量与函数
考点·方法·破译
1．函数的概念及其表示方法
⑴函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于给定的每一个x值，y都有唯一确定的值与其对应，那么,x是自变量，y是x的函数．
⑵函数的表示方法
①解析法：用含有自变量的代数式表示函数的方法；
②列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成表格来表示函数的方法；
③图象法：用图象表示函数关系的方法．
2．自变量取值范围的确定
自变量的取值必须使含自变量的代数式都有意义，且必须符合实际问题的要求．

经典·考题·赏析
【例１】（兰州）函数中自变量x的取值范围是（ ）
A． x≤2 B． x＝3 C． x＜2且x≠3 D．x≤2且x≠3
【解法指导】 求x的取值范围，可根据题目要求列出下列式子： 解得x≤2且x≠3, 故选A
【变式题组】
01．（大兴安岭）函数中，自变量x 的取值范围是________
02．(芜湖)函数中自变量x的取值范围是_________
03．函数中自变量x的取值范围是_________
04．已知函数y＝－2x＋1中的自变量x的取值范围是0＜x＜10，则y的取值范围是______
【例２】汽车由北京驶往相距850km的沈阳，它的平均速度为80km/h，求汽车距沈阳的路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系式，写出自变量的取值范围
【解法指导】⑴此题属于行程问题，其基本数量关系是：速度时间＝路程．因此汽车行驶t(h)的路程是80t(km)与汽车距沈阳的路程s(km)及北京与沈阳的距离850km之间的等量关系是80t＋s＝850;(2)由于s与t都应是非负数可确定自变量的取值范围．
解：由题意得，s＝850－80t
又由于 即 解得 0≤t≤
因此汽车距沈阳的路程s与时间t的函数关系式为s＝850－80t,自变量的取值范围是0≤t≤
【变式题组】
01．已知三角形的面积为20cm2,设它的底边长为x(cm)，则底边上的高y(cm)关于x的函数关系式为______,自变量的取值范围是__________.
02．等腰三角形的周长是40cm，腰长y(cm)与底边长x(cm)关系的函数解析式正确的是（ ）
A． y＝－0.5x＋20(0＜x＜20) B．y＝－0.5x＋20(10＜x＜20)
C． y＝－2x＋40(10＜x＜20) D．y＝－2x＋40(0＜x＜20)
03． 某市为了鼓劲居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过12米3，按每立方米 a 元收费；若超过12米3，则超过部分每立方米按2a元收费．某户居民五月份交水费y(元)与用水量x(米3)（x＞12）之间的关系式为______,若该月交水费20a元，则这个月实际用水______米3．

【例３】下列曲线中，表示y不是x的函数的是（ ）


【解法指导】 要根据曲线判断所给变化中，y是否是x的函数，则需要根据曲线观察对于x的每一个确定的值，是否y都有惟一的一个确定的值与之对应，如果是，则y就是x的函数，观察所给的四个选项，可知B中所示的曲线，当x取一个值时，y有两个值与之对应，根据函数的定义可知y不是x的函数，应选B．
【变式题组】
01．图中分给给出了x与y的对应关系，其中y是x的函数是（ ）


02．下列函数中，与y＝x表示同一个函数的是（ ）
A． B． C． D．
【例４】 如右图，圆柱形开口杯的底部固定在长方体池底，向水池匀速注入水（倒在杯外），水池中水面高度是h ，注水时间是t,则h与t之间的关系大致为下面图中的（ ）

【解法指导】由题意知，此注水过程中分为三段：⑴由于圆柱形开口杯底部固定在长方体水池，也就是说水池被开口杯占据了一部分空间，因此注水时水池中水面上升的速度较快，其图象是一段自原点出发较陡的上升线段；⑵当水的与开口杯口等高时，水开始注入开口杯，也就是说水池中水面高度不变，则其图象是一段平行于t轴的水平线段；⑶当开口杯注满时，水位开始上升，由于水池的此部分空间比⑴段大，因此水池中水面上升的速度要比⑴段速度慢，则其图象是一段比⑴段中上升线段较缓的上升线段，由此可知答案应选B．
【变式题组】
01．如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t的函数关系式，大致是下列图象中的（ ）


02．某蓄水池的横截面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出，下面的图象能大致表示水的深度h和放水时间t之间的关系的是（ ）

03．用均匀的速度向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图表示（图中OAB为一折线），这个容器的形状是图中的（ ）

【例５】 已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动，运动路径为：G→C→D→E→F→H相应的△ABP的面积y(cm2)关于运动时间t(s)的函数图象，如图2，若AB＝6cm，则下列四个结论中正确的个数有（ ）
a.图1中的BC边长是8cm
b.图2中的M点表示第4秒时y的值为24cm2
图中的CD长是4cm
c.图2中的N点表示第12秒时y的值为18cm2
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
【解法指导】 若把点P由G→C→D→E→F→H对应的图象分别记为第I段、第II段、第III段、第IV段、第V段，则从图1和图2的对应情况可知：
（1） 由I的两端点横坐标，知由G到C运动2秒，可得GC＝4cm，即BC＝8cm；
∴a正确
（2） M点的纵坐标等于S△ABD＝；∴b正确
（3） ∵P在CD上的时间从图2知为2秒，∴CD＝＝24cm
ABCDEFGH的周长为（AB＋BC＋DE）2＝40cm
∴ AH＝
∴ y＝ ∴d正确 故选D.
【变式题组】
01．（莆田）如图1，在长方形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x＝9时，点R应运动到的位置是（ ）
A． N处 B． P处 C． Q处 D．M处
02．（重庆綦江）如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD运动至点D停止，设点P运动的路径为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△BCD的面积是（ ）
A． 3 B． 4 C． 5

演练巩固·反馈提高
01．（益阳）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，图中描述了他上学的情景，下列说法错误的是（ ）
A． 修车时间为15分钟 B． 学校离家的距离为2000米
C． 到达学校时共用时间20分钟 D．自行车发生故障时离家距离为1000米


02．（宜昌）由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降，若该水库的蓄水量V（万米3）与干旱的时间t（天）的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． 干旱开始时，蓄水量每天减少20万米3
B．干旱开始后，蓄水量每天增加20万米3
C．干旱开始时，蓄水量为200万米3
D．干旱第50天时，蓄水量为1200万米3

03．（黑龙江大兴安岭）一个水池接有甲、乙、丙三个水管，先打开甲，一段时间后再打开乙，水池注满水后关闭甲，现时打开丙，直到水池中的水排空，水池中的水量V（m3）与时间t(h)之间的函数关系如图，则关于三个水管每小时的水流量，下列判断正确的是
A． 乙＞甲 B． 丙＞甲 C．甲＞乙 D．丙＞乙

04．(杭州)已知点P（x,y）在函数的图象上，那么点P应在平面直角坐标系中的（ ）
A． 第一象限 B．第二象限 C． 第三象限 D．第四象限

05．（大连）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥－2 B． x＞－2且x≠2 C．x≥0且x≠2 D．x≥－2且x≠2


06．已知某一函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题．
⑴确定自变量的取值范围；
⑵求当x＝－4，－2时y的值是多少？
⑶求当y＝0,4时，x的值是多少？
⑷当x取何值时y的值最大？当x何值时y的值最小？
（5）当x在什么范围内取值时y随x的增大而增大？当x在什么范围内取值时y随x的增大而减小？

















07．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系式如图所示，那么你可知道：
⑴这是一次_________米的赛跑；
⑵甲、乙两人中先跑到终点的是_______
(3) 乙在这次赛跑中的速度为______米/秒

















第8讲 一次函数的图象与性质
考点·方法·破译
1．一次函数及图象：
⑴形如y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0），则y叫做x的一次函数，当b＝0，k≠0时，y叫做x的正比例函数．
⑵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是经过（0,0），（1，k）两点的直线，一次函数y＝kx＋b（k≠0）是经过（0，b）、（－，0）两点的直线．
2．一次函数的性质：
当k＞0时，y随自变量x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
3．函数y＝kx＋b中的系数符号，决定图象的大致位置的增减性．

经典·考题·赏析
【例１】（山东）函数y＝ax＋b①和y＝bx＋a②（ab≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）

【解法指导】A中①a＞0，b＞0，②b＜0，a＜0矛盾．B中①a＜0，b＜0，矛盾．C中①a＞0，b＞0②b＞0，a＝0矛盾．D中①a＞0，b＜0②b＜0，a＞0，故选D．
【变式题组】
01．（河北）如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为（ ）

02．（安徽）已知函数y＝kx＋b的图象如左图，则y＝2kx＋b的图象可能是（ ）


03．下列图象中，表示一次函数y＝mx＋n与正比例函数y＝mnx（m、n为常数，则mn≠0）的图象是（ ）

【例２】（绍兴）如图，一次函数y＝x＋5的图象经过点P(a，b)和Q（c，d）则a（c－d）－b（c－d）的值为_______．
【解法指导】因为点P(a，b),Q（c，d）在一次函数图象上，∴b＝a＋5，d＝c＋5∴a－b＝－5，c－d＝－5，a（c－d）－b（c－d）＝（c－d）（a－b）＝（－5）×（－5）＝25
【变式题组】
01．如图一条直线l经过不同三点A（a，b）,B（b，a）C（a－b，b－a）则直线l经过（ ）
A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
02．（南京市八年级竞赛试题）已知三点A(2,3),B（5,4）C(－4,1)依次连接这三点，则（ ）
A．构成等边三角形B．构成直角三角形C．构成锐角三角形D．三点在同一条直线上
03．（四川省初二数学联赛试题）已知一次函数y＝ax＋b的图象经过点（0,1），它与坐标轴围成的图是等腰直角三角形，则a的值为_______．

【例３】如图，已知正方形ABCD的顶点坐标为A(1,1)、B(3,1)、C(3,3)、D(1,3),直线y＝2x＋b交AB于点E，交CD于点F．直线与y轴的交点为（0，b），则b的变化范围是_____.
【解法指导】直线y＝2x＋b是平行于直线y＝2x的直线，当直线经过B点时，b最小，当x＝3时，y＝1
∴1＝2×3＋b， b＝－5
当直线经过D点时，b最大，
所以当x＝1时，y＝3
∴3＝2×1＋b， b＝1
∴－5≤b≤1
【变式题组】
01．线段y＝－x＋a（1≤b≤3），当a的值由－1增加到2时，该线段运动所经过的平面区域的面积为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
02．（新知杯上海）在平面直角坐标系中有两点P（－1,1），Q(2,2)，函数y＝kx－1的图象与线段PQ延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是_________.
03．（济南）阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y＝k1x＋b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y＝k2x＋b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1＝ k2，且b1＝b2，我们就称直线l1与直线l2平行．解答下面的问题：
⑴求过点P（1,4）且与已知直线y＝－2x－1平行的直线l的函数表达式，并画出直线l的图象；
⑵设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，如果直线m：y＝kx＋t（t＞0）与直线平行且交于x轴于点C，求出△ABC的面积S关于t的函数关系式．

【例４】已知一次函数y＝kx＋b，当自变量取值范围是2≤x≤6时，函数值的取值范围5≤y≤9.求此函数的解析式．
【解法指导】⑴当k＞0，y随x的增大而增大，∴y＝kx＋b经过（2,5），（6,9）两点
∴∴，∴y＝x＋3
⑵当k＜0，y随x的增大而减小，∴y＝kx＋b经过（2,9），（6,5）两点
∴∴，∴y＝－x＋11
∴所求解析式为y＝x＋3或y＝－x＋11
【变式题组】
01．已知一次函数y＝kx＋b，当－3≤x≤1时，对应y的值为1≤y≤9，则kb的值为（ ）
A．4 B． －6 C．－4或21 D．－6或14
02．（遂宁）已知整数x满足－5≤x≤5，y1＝x＋1，y2＝2x＋4，对任意一个x，m都取y1,、y2中的最小值，则m的最大值是（ ）
A．1 B． 2 C．24 D．－9
【例５】如图，直线y＝－5x－5与x轴交于A，与y轴交于B，直线y＝kx＋b与x轴交于 C，与y轴交于B点，CD⊥AB交y轴于E．若CE＝AB,求直线BC 的解析式．
【解法指导】由CE＝AB，CD⊥AB可得△AOB≌△EOC,因而OB＝OC而y＝－5x－5与y轴交于B
∴B(0，－5)
∴C(5,0),而直线BC经过（0，－5），（5,0）可求得解析式y＝x－5
【变式题组】
01．如图，在平面直角坐标系中，点P（x，y）是直线y＝－x＋6第一象限上的点，点A(5,0),O是坐标原点，△PAO的面积S．
⑴求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
⑵探究：当P点运动到什么位置时△PAO的面积为10.

02．如图，直线l：y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0,4），动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．
⑴求A、B两点的坐标；
⑵求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；
⑶当t为何值时，△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标．


03．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx＋b经过A（0,2）、B(4,2)两点．
⑴求直线AB的解析式；
⑵点C的坐标为（0,1），过点C作CD⊥AO交AB于D. x轴上的点P和A、B、C、D、O中的两个点所构成的三角形与△ACD全等，这样的三角形有_____个，请子啊图中画出其中两个三角形的示意图．


【例６】如图，已知直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A和点B.另一条直线y＝kx＋b（k≠0）经过（1，0），且把△AOB分成两部分．⑴若△AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值；⑵若△AOB被分成的两部分的面积比为1:5,求k和b的值．


【解法指导】欲求k和b的值，需知道直线y＝kx＋b（k≠0）经过两已知点，而点C（1，0）在直线上，因而只需求出另一点的坐标即可．
解：⑴由题意得（2，0）、B(0，2)，∴C为OA的中点，因而直线y＝kx＋b过OA中点且平分△AOB的面积时只可能韦中线BC．
∴y＝kx＋b经过C（1，0），（0，2）
∴∴k＝2 b＝2
⑵①设y＝kx＋b与OB交于M（0，t）则有S△OMC＝S△CAN,∴MN∥x轴，∴N(,)
∴直线y＝kx＋b经过,)，（1，0）∴ ∴
【变式题组】
01．如图，在平面直角坐标系xOy，已知直线AC的解析式为y＝－x＋2，直线AC交x轴于点C，交于y轴于点A．
⑴若一个等腰直角三角形OBD的顶点D与点C重合，直角顶点B在第一象限内，请直接写出点B的坐标；
⑵过点B作x轴的垂线l，在l上是否存一点P，使得△AOP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
⑶试在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标．

02．（浙江杭州）已知，直线y＝－与x轴、y轴分别交于点A、B,以线段AB为直角边的第一象限内作等腰Rt△ABC,°，且点P（1,a）为坐标系中的一个动点．
⑴求三角形ABC的面积S△ABC;
⑵证明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；
⑶要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．

演练巩固·反馈提高
01．（芜湖）关于x的一次函数y＝kx＋k2＋1的图象可能正确的是（ ）


02．一次函数y＝kx－b和正比例函数y＝kbx在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（）


03．一次函数y＝（m－1）x＋m2＋2的图象与y轴的交点的纵坐标是3，则m的值是（）
A． B． C．－1 D．－2
04．直线y1＝kx＋b过第一、二、四象限，则直线y2＝bx－k不经过（）
A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
05．已知一次函数y＝（1－2m）x＋m－2，函数y随着x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞ B.m≤2 C．＜m＜2 D. ＜m≤2
06．如图，点A、B、C、D在一次函数y＝－2x＋m的图象上，它们的横坐标依次为－1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A． 1 B．3 C．3(m－1) D． （m－2）

07．（绍兴）如图，在x轴上有五个点，它们横坐标依次为1，2，3，4，5.分别过这些点作x轴的垂线与三条直线y＝ax，y＝（a＋1）x，y＝（a＋2）x相交，其中a＞0，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． 12.5 B．25 C．12.5a D． 25a
08．（重庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，动点P从点B出发，沿路线B→C→D作匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是（ ）

09．（日照）如图，点A的坐标为（－1,0）,点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（，－） C．（－，－） D．（－，－）
10．（义务）李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出这个函数的一个特征.甲：它的图象经过第一象限；乙：它的图象经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y随x增大而增大.在你学习的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式_________.
11．观察下列各直角坐标系中的直线AB，点P（x，y）是线段AB上的点，且x、y都是整数，请根据图中所包含的规律，回答下列问题：

⑴第5个图中满足条件的点P个数是_______;
⑵第n个图中满足条件的点P个数m与n之间的关系是________.
12．（十堰）直线y＝kx＋b经过点A(－2,0)和y轴上的一点B，如果△ABO（O为坐标原点）的面积为2，则b的值为________.
13．如图，长方形OABC的顶点B的坐标为（6，4），直线y＝－x＋b恰好平分长方形的面积，则b＝_______.
14．如图，点B、C分别在两条直线y＝2x和y＝kx上，点A、D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k＝______.

15．（东营）正方形A1B1C1O1,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图所示的方式放置．点A1,A2,A3,…和C1,C2，C3,…分别在直线y＝kx＋b(k＞0)和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2）则Bn的坐标是________.
16．点P为直线y＝－3x＋6上的一点，且点P到两坐标轴距离相等，则P点坐标为_____.
17．已知直线y1＝x，y2＝x＋1，y3＝－x＋5的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1、y2、y3中最小的值，则y的最大值为_______.
18．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点P(0,－3),且与函数y＝x＋1的图象相交于点A（）.
⑴求a的值；
⑵若函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点是B,函数y＝x＋1的图象与y轴的交点是C,求四边形ABOC的面积(其中O为坐标原点).
19．定义为一次函数y＝px＋q的特征数．
⑴求一次函数y＝－2（x－1）的特征数；
⑵若特征数是的一次函数为正比例函数，求k的值．


20．已知：三点A(a，1)、B(3,1)、C(6,0)，点A在正比例函数y＝x的图象上．
⑴求a的值；
⑵点P为x轴上一动点，当△OAP与△CBP周长的和取得最小值时，求点P的坐标；



21.已知直线ln：y＝－x＋（n是正整数）.当n＝1时，直线l1:y＝－2x＋1与x轴和y轴分别交于点A1和B1.设△A1OB1(O是平面直角坐标系的原点)的面积为s1.当n＝2时，直线l2：y＝－与x轴和y轴分别交于点A2和B2，设△A2OB2的面积为s2，…，依次类推，直线ln与x轴和y轴分别交于点An和Bn，设△AnOBn的面积为Sn.
⑴求△A1OB1的面积s1；
⑵求s1＋s2＋s3＋…＋s2010的值.



22.（长沙）在平面直角坐标系中，一动点P（x，y）从M（1，0）出发，沿由A（－1，1），B（－1，－1），C（1，－1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动．图②是P点运动的路程s（个单位）与运动时间t（秒）之间的函数图象，图③是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分．

⑴s与t之间的函数关系式是：_________；
(2）与图③相对应的P点的运动路径是：________；P点出发 _______秒首次到达点B；
⑶写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象．
培优升级·奥赛检测
01．已知abc≠0，且＝t，则直线y＝tx＋t一定通过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
02．一个一次函数的图象与直线y＝＋平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点(－1,－25),则在线段AB上（包括端点A、B）横坐标、纵坐标都是整数的点有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
03．在一次函数y＝－x＋3的图象上取点P，作PA⊥x轴，PB⊥y轴，垂足分别为A、B，长方形OAPB的面积为2，则这样的点P共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

04．在直角坐标系中，x轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5），Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，若MP＋MQ取最小值，则点M的坐标为________.

05．已知点A（0，2）、B(4,0)，点C、D分别在直线x＝1与x＝2上运动，且CD∥x轴，当AC＋CD＋DB的值最小值，点C的坐标为_____________.

06．在直角坐标系中，有两个点A(－8,3)、B（－4，5）以及动点C（0，n）、D（m，0）.当四边形ABCD的周长最短时，的值为_________.
07．已知函数y＝（a－2）x－3a－1，当自变量x的值范围为3≤x≤5时，y既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，求实数a的取值范围．




08．（荆州市八年级数学联赛试题）已知一次函数y＝ax＋b（a为整数）的图象过（98，19），它与x轴的交点为（p，0），与y轴的交点为（0，q），若P为质数，q是正整数，问符合条件的一次函数是否存在？若存在，求出解析式；若存在，说明理由．



09．若直线y＝mx－3，y＝－1，y＝3和x＝1所围成的四边形面积为12，求m.



10．设f（x）＝kx＋1是x的函数，若m（k）表示函数f（x）＝kx＋1在1≤x≤3条件下的最大值，求函数m（k）的解析式，并作出图象．







第9讲 一次函数与方程、不等式
考点·方法·破译
1． 一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化成kx＋b＝0(k、b为常数，k≠0)的形式，可见一元一次方程是一次函数的一个特例．即在y＝kx＋b中，当y＝0时则为一元一次方程．
2． 一次函数与二元一次方程(组)的关系：
⑴任何二元一次方程ax＋by＝c(a、b、c为常数，且a≠0，b≠0)都可以化为y＝的形式，因而每个二元一次方程都对应一个一次函数；
⑵从“数”的角度看，解方程组相当于求两个函数的函数值相等时自变量的取值，以及这个函数值是什么；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两个函数图像交点的坐标．
3． 一次函数与一元一次不等式的关系：由于任何一元一次不等式都可以转化成ax＋b＞0或ax＋b＜0(a、b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看成是当一次函数的函数值大于或小于0时，求相应自变量的取值范围．

经典·考题·赏析
【例1】直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＋b＞k2x的解为( )
A．x＞－1 B．x＜－1 C．x＜－2 D．无法确定
【解法指导】由图象可知l1与l2的交点坐标为(－1，－2)，即当x＝－1时，两函数的函数值相等；当x＞－1时，l2的位置比l1高，因而k2x＞k1x＋b；当当x＜－1时，l1的位置比l2高，因而k2x＜k1x＋b．因此选A．

【变式题组】
01．(咸宁)直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x＋b的解集为________．

第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
02．(浙江金华)一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
03． 如图，已知一次函数y＝2x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式2x＋b＞ax－3的解集是________．
04． (武汉)如图，直线y＝kx＋b经过A(2，1)，B(－1，－2)两点，则不等式x＞kx＋b＞－2的解集为_________．
【例2】若直线l1：y＝x－2与直线l2：y＝3－mx在同一平面直角坐标系的交点在第一象限，求m的取值范围．
【解法指导】直线交点坐标在第一象限，即对应方程组的解满足，从而求出m的取值范围．
解：，∴，∵，∴，即，∴－1＜m＜．
【变式题组】
01． 如果直线y＝kx＋3与y＝3x－2b的交点在x轴上，当k＝2时，b等于( )
A．9 B．－3 C． D．
02． 若直线与直线相较于x轴上一点，则直线不经过( )
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
03． 两条直线y1＝ax＋b，y2＝cx＋5，学生甲解出它们的交点坐标为(3，－2)，学生乙因抄错了c而解出它们的交点坐标为(，)，则这两条直线的解析式为____________．
04． 已知直线y＝3x和y＝2x＋k的交点在第三象限，则k的取值范围是________．
【例3】(四川省初二数学联赛试题)在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点，设k为整数，当直线y＝x－2与y＝kx＋k的交点为整点时，k的取值可以取( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【解法指导】两直线的交点为整点即对应方程组的解均为整数．
解：由得，
∵两直线交点为整数，
∴x、y均为整数，
又当x为整数时，y为整数，
∴为整数即可，，
∵k－1是整数，
∴k－1＝±1，±3时，x、y为整数，
∴k＝－2，0，2，4．
所以选A．
【变式题组】
01． (广西南宁)从2，3，4，5这四个数中，任取两个数p和q(p≠q)，构成函数y＝px－2和y＝x＋q，并使这两个函数图象的交点在直线x＝2的右侧，则这样的有序数对(p，q)共有( )
A．12对 B．6对 C．5对 D．3对
02． (浙江竞赛试题)直线l：y＝px(p是不等于0的整数)与直线y＝x＋10的交点恰好是整点(横坐标和纵坐标都是整数)，那么满足条件的直线l有( )
A．6条 B．7条 C．8条 D．无数条
03． (荆州竞赛试题)点A、B分别在一次函数y＝x，y＝8x的图像上，其横坐标分别是a、b(a＞0，b＞0)．若直线AB为一次函数y＝kx＋m的图象，则当是整数时，求满足条件的整数k的值．
【例4】已知x、y、z都为非负数，满足x＋y－z＝1，x＋2y＋3z＝4，记ω＝3x＋2y＋z．求ω的最大值与最小值．
【解法指导】将x、y、z中的三个未知量选定一个看成已知，则关于x、y、z的三元方程可变成关于x、y的二元方程，从而求出x与y，然后代入ω＝3x＋2y＋z中，可得ω与z的一次函数关系式，然后再求出z的取值范围，即可求出ω的最大值与最小值．
解：由已知得：，∴，∴ω＝3x＋2y＋z＝3(5z－2)＋2(3－4z)＋z＝8z．
∵x、y、z都为非负数，
∴，∴，
∴ω的最大值为8×＝6，ω的最小值为8×＝．
【变式题组】
01． (荆州竞赛试题)已知x满足不等式：，|x－3|－|x＋2|的最大值为p，最小值为q，则pq的值是( )
A．6 B．5 C．－5 D．－1
02． 已知非负数a、b、c满足条件：3a＋2b＋c＝4，2a＋b＋3c＝5．设S＝5a＋4b＋7c的最大值为m，最小值为n，则n－m＝________．
03． (黄冈竞赛试题)若x＋y＋z＝30，3x＋y－z＝50，x、y、z均为非负数，则M＝5x＋4y＋2z的取值范围是( )
A．100≤M≤110 B．110≤M≤120 C．120≤M≤130 D．130≤M≤140
【例5】已知直线l1经过点(2，5)和(－1，－1)两点，与x轴的交点是点A，将直线y＝－6x＋5的图象向上平移4个单位后得到l2，l2与l1的交点是点C，l2与x轴的交点是点B，求△ABC的面积．

【解法指导】设直线l1的解析式为y＝kx＋b，∵l1经过(2，5)，(－1，－1)两点，
∴，解得，
∴y＝2x＋1，∴当y＝0时，2x＋1＝0，x＝，∴A(，0)．
又∵y＝－6x＋5的图象向上平移4个单位后得l2，∴l2的解析式为y＝－6x＋9，
∴当y＝0时，－6x＋9＝0，x＝，∴B(，0)．
∴，∴，∴C(1，3)，∴AB＝－()＝2，∴S△ABC＝×2×3＝3．
【变式题组】
01． 已知一次函数y＝ax＋b与y＝bx＋a的图象相交于A(m，4)，且这两个函数的图象分别与y轴交于B、C两点(B上C下)，△ABC的面积为1，求这两个一次函数的解析式．
02． 如图，直线OC、BC的函数关系式为y＝x与y＝－2x＋6．点P(t，0)是线段OB上一动点，过P作直线l与x轴垂直．
⑴求点C坐标；
⑵设△BOC中位于直线l左侧部分面积为S，求S与t之间的函数关系式；
⑶当t为何值时，直线l平分△COB面积．







第2题图
演练巩固·反馈提高
01． 已知一次函数y＝x＋m，和y＝x＋n的图象交点A(－2，0)，且与y轴分别交于B、C两点，那么△ABC的面积是( )
A．2 B．3 C．4 D．6
02． 已知关于x的不等式ax＋1＞0(a≠0)的解集是x＜1，则直线y＝ax＋1与x轴的交点是( )
A．(0，1) B．(－1，0) C．(0，－1) D．(1，0)

第3题图 第6题图
03． 如图，直线y＝kx＋b与x轴交于点A(－4，0)，则y＞0时，x的取值范围是( )
A．x＞－4 B．x＞0 C．x＜－4 D．x＜0
04． 直线kx－3y＝8，2x＋5y＝－4交点的纵坐标为0，则k的值为( )
A．4 B．－4 C．2 D．－2
05． 直线y＝kx＋b与坐标轴的两个交点分别为A(2，0)和B(0，－3)．则不等式kx＋b＋3≥0的解集为( )
A．x≥0 B．x≤0 C．x≥2 D．x≤2
06． 如图是在同一坐标系内作出的一次函数y1、y2的图象l1、l2，设y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2，则方程组的解是( )
A． B． C． D．
07． 若直线y＝ax＋7经过一次函数y＝4－3x和y＝2x－1的交点，则a＝_________．
08． 已知一次函数y＝2x＋a与y＝－x＋b的图象都经过A(－2，0)，且与y轴分别交于B、C两点，则S△ABC＝_________．
09． 已知直线y＝2x＋b和y＝3bx－4相交于点(5，a)，则a＝___________．
10．已知函数y＝－x＋m与y＝mx－4的图象交点在x轴的负半轴上，则m的值为__________．
11．直线y＝－2x－1与直线y＝3x＋m相交于第三象限内一点，则m的取值范围是___________．
12．若直线与直线的交点在第一象限，且a为整数，则a＝_________．
13．直线l1经过点(2，3)和(－1，－3)，直线l2与l1交于点(－2，a)，且与y轴的交点的纵坐标为7．
⑴求直线l2、l1的解析式；
⑵求l2、l1与x轴围成的三角形的面积；
⑶x取何值时l1的函数值大于l2的函数值？
14．(河北)如图，直线l1的解析式为y＝－3x＋3，l1与x轴交于点D，直线l2经过点A(4，0)，B(3，)．
⑴求直线l2的解析式；
⑵求S△ADC；
⑶在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得S△ADP＝S△ADC，求P点坐标．

第14题图
15．已知一次函数图象过点(4，1)和点(－2，4)．求函数的关系式并画出图象．
⑴当x为何值时，y＜0，y＝0，y＞0？
⑵当－1＜x≤4时，求y的取值范围；
⑶当－1≤y＜4时，求x的取值范围．
16．某医药研究所开发了一种新药，在实验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药后2h时血液中含药量最高，达每毫升6μg(1μg＝10－3mg)，接着就逐步衰减，10h后血液中含药量为每毫升3μg，每毫升血液中含药量y(μg)随时间x(h)的变化如图所示，当成人按规定剂量服药后，
⑴分别求x≤2和x≥2时，y与x之间的函数关系式；
⑵如果每毫升血液中含药量在4μg或4μg以上时，治疗疾病才是有效的，那么这个有效时间是多长？

第16题图


第10讲 一次函数的应用
考点·方法·破译
1．在现实社会的生产生活中，营销策略、方案设计、工程与行程等实际间题中，往往需要运用一次函数的知识解决问题，这里关键是根据图象与表格等建立一次函数模型，结合方程与方程组，不等式与不等式组等知识使问题得到解决．
经典·考题·赏析
【例1】（温州）为调动销售人员的积极性，A、B两公司采取如下工资支付方式：A公司每月2000元基本工资，另加销含额的2%作为奖金；B公司每月1600元的基本工资，另加销售额的4%作为奖金．已知A、B公司两位销售员小李、小张l～6月份的销售额如下表：
月份
销售额
销售额（单位：元）
1月
2月
3月
4月
5月
6月
小李（A公司）
11600
12800
14000
15200
16400
17600
小张（B公司）
7400
9200
11000
12800
14600
16400
⑴小李与小张3 月份的工资各是多少？
⑵小李l～6月份的销售额y1与月份x的函数关系式是y1＝1200x ＋ l0400，小张1～6月份的销售额y2也是月份x的一次函数，请求出y2与x的函数关系式；
⑶如果7～12月份两人的销售额也分别满足⑵中两个一次函数的关系，问几月份起小张的工资高于小李的工资．
解：⑴小李3月份工资＝2000＋2%×14000＝2280（元）
小张3月份工资＝1600＋4%×11000＝2040（元）
⑵设y2＝kx＋b，取表中的2对数（1，7400），（2，9200）代入解析式，得，解得，即y2＝1800x＋5600，
⑶小李的工资w1＝2000＋2%（1200x＋10400）＝24x＋2208
小张的工资w2＝1600＋4%（1800x＋5600）＝72x＋1824
当小张的工资w1＞w2时，即72x＋1824＞24x＋2208，解得x＞8
答：从9月份起，小张的工资高于小李的工资．
【变式题组】
01．（潍坊）某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：
方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱的价格为4元；
方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需要成本费2.4元．
⑴若需要这种规格纸箱x（个别），请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y1（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y2（元）与x（个）的函数关系；
⑵假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由．


型号
A
B
成本（万元/台）
200
240
售价（万元/台）
250
300
【例2】（山东）某工程机械厂根据市场需求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元．且所筹资金全部用于生产此两型挖掘机，所生产的此两型挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价如下表：
⑴该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案？
⑵该厂如何生产能获得最大利润？
⑶根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高m万元（m＞0 ) ，该厂应该如何生产可获得最大利润？（注：利润＝售价一成本）
【解法指导】
解：⑴设生产A型挖掘机x台，则B 型挖掘机可生产（100－x）台，由题意得22400≤200x＋240（100－x）≤22500，解得37.5≤x≤40，∵x取非负整数，∴x为38，39，40．∴有三种生产方案：
A型38台，B型62台；A型39台，B 型61台；A型40台，B型60台．
⑵设获得利润W（万元），由翅意知W＝50x＋60（100－x）＝6000－10x
∴当x＝38时，W最大＝5620（万元），
即生产A型38台，B型62台时，获得利润最大．
⑶由题意得知W＝（50＋m）x＋60(100－x)＝6000＋(m－10)x．
∴当0＜m＜10，则x＝38时，W最大，
即A型挖掘机生产38台，B型挖掘机生产62台；
当m＝10时，m－10＝0，三种生产方案获得利润相等；
当m＞10时，则x＝40时，W最大，
即A型挖掘机生产40台，B型挖掘机生产60台．
【变式题组】
01．（天门）某地为促进特种水产养殖业的发展，决定对甲鱼和黄鳝的养殖提供政府补贴．该地某农户在改建的10个l亩大小的水池里分别养殖甲鱼和黄鳝，因资金有限，投人不能超过14万元，并希望获得不低于10.8万元的收益，相关信息如下表所示：
养殖种类
成本（万元/亩）
毛利润（万元/亩）
政府补贴（万元/亩）
甲鱼
1.5
2.5
0.2
黄鳝
1
1.8
0.1
⑴根据以上信息，该农户可以怎样安排养殖？
⑵应怎样安排养殖，可获得最大收益？
⑶根据市场调查，在养殖成本不变的情况下，黄鳝的毛利润相对稳定，而每亩甲鱼的毛利润将减少m万元．问该农户又该如何安排养殖，才能获得最大的收益？
02．（成宁）某市A、B两个蔬菜基地得知四川C、D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区．已知A蔬菜基地有蔬菜200吨，B蔬菜基地有蔬菜300吨，现在将这些蔬菜全部调往C、D两个灾民安置点．从A地运往C、D两处的费用分别为每吨20元和每吨25元，从B地运往C、D两处的费用分别为每吨15元和每吨18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．
⑴请填写下表，并求两个蔬菜基地调运的运费相等时x的值；

C
D
总计
A


200吨
B
x吨

300吨
总计
240吨
260吨
500吨
⑵设A、B两个蔬菜基地的总运费为w元，写出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
⑶经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0)，其余线路的运费不变，讨论总运费最小的调运方案．



【例3】（荆州）某健身器材销售公司通过当地“红十字会”向灾区献爱心，捐出了五月份的全部销售利润，已知该公司五月份只售出甲、乙、丙三种型号器材若干台，每种型号器材不少于8 台，五月份支出包括这批器材进货款64万元和其他各项支出（即人员工资和杂项开支）3.8万元．这三种器材的进价和售价如下右表，人员工资y1（万元）和杂项支出y2（万元）分别与总销售量x成一次函数关系（如图）．

⑴求y1与x的函数解析式；
⑵求五月份该公司的总销售量；
⑶设五月份售出甲种型号器材t台，五月份总销售利润为W（万元），求W与t的函数关系式；（销售利润＝销售额－进价－其他各项支出）
⑷请推测该公司这次向灾区捐款金额的最大值．
【解法指导】
解：⑴设y1＝kx＋b（x＞0），则，解得，
∴y1与x的函数关系式为y1＝0.05x＋0.2
⑵依题意得y1＋y2＝0.05x＋0.2＋0.005x＋0.3＝3.8
∴x＝60
∴五月份该公司的总销售量为60台．
⑶设五月份售出乙型号器材p台，则售出丙型号器材（60－t－p）台．0.9t＋1.2p＋1.1（60－t－p）＝64，
p＝2t－20
∴W＝1.2t＋1.6（2t－20）＋1.3（60－t－2t＋20）－64－3.8
W＝0.5t＋4.2
⑷依题意有，∴14≤t≤24，
∵t为正整数，∴t最大为24，∴W是关于t的一次函数，∴W随t的增大而增大．
∴t＝24时，W最大＝0.5×24＋4.2＝16.2（万元）
∴该公司这项向灾区捐款金额的最大值为16.2万元．
【变式题组】
01．（眉山）某玩具经销商用去2350元购进A、B、C三种新型的电动玩具共50套，并且购进的三种玩具都不少于10套，设购进A种玩具x套，B种玩具y套，三种电动玩具的进价和售价如下表所示：
型号
A
B
C
进价（元/套）
40
55
50
售价（元/套）
50
80
65
⑴求含x、y的代数式表示购进C 种玩具的套数；
⑵求y与x之间的函数关系式；
⑶假设所购进的这三种玩具能全部卖出，且在购销这种玩具的过程中需要另外支出各种费用200元．
①求利润P（元）与x（套）之间的函数关系式；②求利润的最大值，并写出此时三种玩具各多少套．



02．（双柏县）今年我县水果又喜获丰收，某乡组织30辆汽车装运A、B、C三种水果共64吨到外地销售，规定每辆汽车只装运一种水果，且必须装满；装运每种水果的汽车不少于4辆；同时，装运的B种水果的重量不超过装运的A、C两种水果重量之和．
⑴假设用x辆汽车装运A种水果，用y辆汽车装运B种水果，根据下表提供的信息，求y与x之间的函数关系式并写出自变量的取值范围．
水果品种
A
B
C
每辆汽车装运量（吨）
2.2
2.1
2
每吨水果获利（百元）
6
8
5
⑵设此次外销活动的利润为Q，求Q与x 之间的函数关系式，请你提出一个获得最大利润时的车辆分配方案．





03．（河北）某公司装修需用A型板材240块、B型板材150块，A型板材规格是60cm×30cm，B型板材规格是40cm×30cm．现只能购得l50cm×30cm的标准板材．一张标准板材尽可能多的裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（图中是裁法一的裁剪示意图）

裁法一
裁法二
裁法三
A型板材块数
1
2
0
B型板材块数
2
m
n

⑴上表中，m＝_________，n＝___________；
⑵分别求出y与x和z与x的函数关系式；
⑶若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式，并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张？






【例4】（宜昌）2007年5月，第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开比赛序幕，20日上午9时，参赛龙舟从黄陵庙同时出发，其中甲、乙两队在比赛时，路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系式如图所示．甲队在上午11时30分到达终点黄泊河港．
⑴哪个队先到达终点？乙队何时追上甲队？
⑵在比赛过程中，甲、乙何时相距最远？
【解法指导】
解：⑴乙队先到达终点，
对于乙队，x＝1时，y＝16，所以y＝16x，
对于甲队出发1小时后，设y与x关系为y＝kx＋b，将x＝1，y＝20和x＝2.5，y＝35分别代入上式得：，解得：y＝10x＋10，解方程组，得x＝，即出发1小时40分钟（或者上午10点40分）乙队追上甲队．
⑵1小时之内，两队相距最远距离是4千米，
乙队追上甲队后，两队的距离是16x－（10x＋10），当x为最大，即x＝时，6x－10最大，此时最大距离为6×－10＝3.125＜4，所以比赛过程中，甲、乙两队在出后1小时（或者上午10时）相距最远．
【变式题组】
01．（佳木斯）甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480千米的目的地，乙车比甲车晚出发2小时（从甲车出发时开始计时）．图中折线OABC、线段DE分别表示甲、乙两车所行路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象（线段AB表示甲出发不足2小时因故停车检修）．请根据图象所提供的信息，解决如下问题：

⑴求乙车所行路程y与时问x的函数关系式；
⑵求两车在途中第二次相遇时，他们距出发地的路程；
⑶乙车出发多长时间，两车在途中第一次相遇？

02．（牡丹江）甲、乙两车同时从A地出发，以各自的速度匀速向B地行驶．甲车先到达B地，停留l小时后按原路以另一速度匀速返回，直到两车相遇．乙车的速度为每小时60千米，下图是两车之间的距离y与乙车行驶的时间x（小时）之间的函数图象．
⑴请将图中的（ ）内填上正确的值，并直接写出甲车从A到B的行驶速度；
⑵求从甲车返回到乙车相遇过程中y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
⑶求出甲车返回时行驶速度及A、B两地的距离．


【例5】（自贡）抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食全部转移到具有较强抗震能力的A、B两个仓库．已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为70吨，B库的容量为110吨，从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表（表中“元/吨·千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）

路程（千米）
运费（元/吨·千米）
甲库
乙库
甲库
乙库
A库
20
15
12
12
B库
25
20
10
8
⑴若甲库运往A库粮食x吨，请写出将粮食运往A、B两库的总运费y（元）与x（吨）的函数关系式；
⑵当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？
【解法指导】

解：⑴依题意有：
y＝12×20x＋10×25（100－x）＋12×15（70－x）＋8×20×[80－（70－x）]＝－30x＋39200 ∵，∴0≤x≤70
⑵上述一次函数中k＝－30＜0，∴y随x的增大而减小，
∴当x＝70吨时，总运费最省，最省的总运费为－30×70＋39200＝37100（元）
【变式题组】
01．（河北）光华农机租凭公司共有50台联合收割机，其中甲型有20台，乙型有30台，现在将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机租赁公司商定每天的租赁价格见下表：

每台甲型收割机的租金
每台乙型收割机的租金
A地区
1800元
1600元
B地区
1600元
1200元
⑴设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；
⑵若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得租金总金额不低于79600元，说明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；
⑶如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提出一条合理的建议．

02．（安庆）为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县，根据灾区的情况，这批贩灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨．
⑴求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？
⑵若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍，其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨．则A、B两地的赈灾物资运往D、E 两县的方案有几种？
⑶已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：

A地
B地
C地
运往D县的费用（元/吨）
220
200
200
运往E县的费用（元/吨）
250
220
210
为及时将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在⑵问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？
【例6】（荆州竞赛题）在底面积为100cm2、高为20m的长方体水槽内放入一个圆柱形烧杯（烧杯本身的质量、体积忽略不计），如图所示，向烧杯中注入流量一定的水，注满烧杯后，继续注水，直到注满水槽为止（烧杯在水槽中的位置始终不变）．水槽中水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系式如图所示．
⑴求烧杯的底面积；
⑵若烧杯的高为9cm，求注水的速度及注满水槽所用的时间．

【解法指导】设烧杯底面积为Scm2，高为h1cm，注水速度为Vcm3/s，注满水槽用时t0s．
⑴由图可知，当注水18s时，烧杯刚好注满；当注水90s时水槽内水面高恰好为h1cm（烧杯高）．于是为Sh1＝18V，100h1＝90V，则100h1＝Sh1×＝90，∴S＝20（cm2），∴烧杯的底面积为20cm2．
⑵若h1＝90cm，则V＝10cm3/s，从而＝200s．∴注水速度为10cm3/s，注满水槽所用时间为200s．
【变式题组】
01．某空军加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输机进行空中加油，在加油过程中，设运输飞机的油箱余油量为Q1吨，加油飞机的加油油箱余油量为Q2吨，加油时间为t分钟，Q1、Q2与t之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：
⑴加油飞机的加油油箱中装了多少吨油？将这些油全部加给运输机需要多少分钟？
⑵求加油过程中，运输飞机的余油量Q1（吨）与时间t（分钟）的函数关系式；
⑶运输飞机加完油后以原速度继续飞行，需要10小时到达目的地，油料是否够用呢？请你算一算，并说明理由．

02．（黑龙江）某企业有甲、乙两个长方形的蓄水池，将甲池中的水以每小时6立方米的速度注人乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y（米）与注水时间x（小时）之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题：
⑴分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度y与注水时间x之间的函数关系式；
⑵求注水多长时间甲、乙两个蓄水池中水的深度相同；
⑶求注多长时间甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同．

03．（绥化）因南方早情严重，乙水库的蓄水量以每天相同的速度持续减少．为缓解旱情，北方甲水库即以管道运输的方式给予支援，下图是两水库的蓄水量y（万米3）与时间x（天）之间的函数图象．在单位时间内，甲水库的放水量与乙水库的进水量相同（水在排放、接收以及输送过程中的损耗不计）．通过分析图象回答下列问题：
⑴甲水库每天的放水量是多少万立方米？
⑵在第几天时甲水库输出的水开始注入乙水库？此时乙水库的蓄水量为多少万立方米？
⑶求直线AD的解析式．

演练巩固 反馈提高
01．如图，把一次性纸杯整齐的叠放在一起，根据图中的信息，当一筒纸杯的高度为35cm时，则该筒纸杯有（ ）

A．40个 B．45个 C．50个 D．55个
02．王老师组织学生举行了一次手抄报活动，最后把十名优秀者的手抄报粘合在一起，在教室里展出．如图，知每张报纸长为38cm，宽为28cm，粘合部分的纸为2cm宽，则这10张报纸粘合后的长度为（ ）
A．360cm B．362cm C．364cm D．380cm
03．（朝阳）如图是小明从学校到家里行进的路程S（米）与时间t（分）的函数图象．观察图象，从中得到如下信息：①学校离小明家1000米；②小明用了20分钟到家；③小明前10分钟走了路程的一半；④小明后10分钟比前10分钟走的快，其中正确的有_________（填序号）
04．（嘉兴）沪杭高速铁路已开工建设，某校研究性学习以此为课题，在研究列车的行驶速度时，得到一个数学问题，如图，若v是关于t的函数，图象为折线O—A—B—C，其中A（t1，350），B（t2，350），C（，0），四边形OABC的面积为70，则t2－t1＝（ ）
A． B． C． D．
05．（黄冈）小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达A，再走上坡路到达B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程关系如图所示，下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ）


A．12分钟 B．15分钟 C．25分钟 D．27分钟
06．（宁波）如图，某电信公司提供了A、B两种方案的移动通信费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系，则以下说法错误的是（ ）
A．若通话时间少于120分钟，则A方案比B方案便宜20元
B．若通话时间少于200分钟，则B方案比A方案便宜12元
C．若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多
D．若两种方案通讯费用差10元，则通话时间是145分或185分
07．（贵州黔东南州）如图，在中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程S（米）与时间t（秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC和线段OD，下列说法正确的是（ ）
A．乙比甲先到终点
B．乙测试的速度随时间增大而增大
C．比赛进行到29.4秒时，两人出发后第一次相遇
D．比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快
08．（长春）某部队甲、乙两班参加植树活动．乙班先植树30棵，然后甲班才开始与乙班一起植树，设甲班植树的总量为y甲（裸），乙班植树的总蚤为y乙（棵），两班一起植树所用的时间（从甲班开始植树时计时）为x（时）．y甲、y乙分别与x之间的部分函数图象如图所示．
⑴当0≤x≤6时，分别求y甲、y乙与x之间的函数关系式；
⑵如果甲、乙两班均保持前6个小时的工作效率，通过计算说明，当x＝8时，甲、乙两班植树的总量之和能否超过260棵；
⑶如果6个小时以后，甲班保持前6个小时的工作效率，乙班通过增加人数，提高了工作效率，这样继续植树2小时，活动结束，当x＝8时，两班之间植树的总量相差20裸，求乙班增加人数后平均每小时植树多少裸．




09．某服装厂现有A种布料35m，B种布料26m，现计划用这两种布料生产男、女两款式的时装共40套．已知做一套男时装需要A种布料0.6m、B种布料0.9m，可获利90元；做一套女时装需要A种布料1.lm，B种布料0.4m，可获利100元，若设生产男时装套数为x套，用这批布料生产这两种时装所获得总利润为y元．
⑴求y与x的函数关系式，并求出x的取值范围；
⑵该服装厂生产这批服装中，当生产男时装多少套时，所获得利润最大？最大利润是多少元？







10．（江苏无锡）某企业在生产甲、乙两种节能产品时需用A、B两种原料，生产每吨节能产品所需原料的数量如下表所示：

销售甲、乙两种产品的利润m（万元）与销售量n（吨）之间的函数关系如图所示．已知该企业生产了甲种产品x吨和乙种产品y吨，共用去A原料200吨．
⑴写出x与y满足的关系式；
⑵为保证生产的这批甲种、乙种产品售后的总利润不少于220万元，那么至少要用B原料多少吨？



11．（深圳）某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装，生产开始后，调研部门发现：l名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
⑴每名熟练工和新工人每月分别可安装多少辆电动汽车？
⑵如果工厂招聘n（0＜n＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
⑶在⑵的条件下：工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资．给每名新工人每月发1200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能的少？















12．（河北）一手机经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机软61000元，设购进A型手机x部，B款手机y部．三款手机的进价和预售价如下表：
手机型号
A型
B型
C型
进价（单位：元/部）
900
1200
1100
预售价（单位：元/部）
1200
1600
1300
⑴用含x，y 的式子表示购进C型手机的部数；
⑵求出y与x之间的函数关系式；
⑶假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元．
①求预估利润P（元）与x（部）的函数关系式；（注：预估利润P＝预售总额一购机款一各种费用）
②求预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部．








第11讲 幂的运算
考点·方法·破译
幂的运算性质（其中m、n、p都为正整数）：
1．
2．
3．
4．
5．
经典·考题·赏析
【例1】下列算式，正确的个数是（ ）
① ② ③ ④
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解法指导】①同底数幂相乘，底数不变，指数相加，结果应为；②合并同类项，结果为；③幂的乘方，底数不变，指数相乘，即过位；④积的乘方，等于积的每一个因式分别乘方，结果为，故选A.
【变式题组】
01.计算的结果是( )
A． B． C． D．
02．计算＝_______________
03．如果，则m＝_________，n＝____________
04．计算＝_______________
【例２】若，求n的值.
【解法指导】将等式的左右两边变形为同底数幂的形式.
解：∵，∴，，，
∴
【变式题组】
01．若，，求的值


02．若，求代数式的值


03．若，，则＝________.


04．已知，，求的值


05．已知，求的值


【例３】（希望杯），，，，那么a、b、c、d的大小关系为（ ）
A．a>b>c>d B．a>b>d>c C．b>a>c>d D．a>d>b>c
【解法指导】逆用幂的乘方公式，将a、b、c、d变为指数相同的幂的形式.
解：∵，，，
，∴a>d>b>c.故选D.
【变式题组】
01．已知，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a>b>c B．a>c>b C．ac>a
02．已知，，，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．a 【例4】求满足的x的最小正整数
【解法指导】将左右两边变成指数相同的幂的形式
解：∵ ∴
∴ ∵x为正整数
∴
∴x的最小正整数为7
【变式题组】
01．求满足的最大整数值n.


02．如果x、y是正整数，且，求满足条件的整数x、y


03．求满足的整数n.


演练巩固 反馈提高
01．（无锡）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
02．（泰州）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
03．当n为正整数时，等于（ ）
A． B． C． D．
04．计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
05．下列命题中，正确的个数是（ ）
（１）m为正奇数时，一定有等式
（２）等式，无论m为何值时都不成立
（３）三个等式：都不成立；
（４）两个等式：，都不一定成立.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
06．下列各题中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
07．已知＝_______________
08．，则关于y的方程ay＝a＋14的解是________________
09．在中，最大的数是_________________
10．一块长方形草坪的长是米，宽是米（m、n均为大于1的正整数），则该长方形草坪的面积是______________.
11．计算
⑴＝_______________
⑵＝____________________
12．计算
⑴ ⑵



⑶ ⑷



13．若，化简：


14．已知n是正整数，，求的值


15．已知a、b、c为自然数，且，求的值


培优升级 奥赛检测
01．（江苏竞赛）若，其中n为整数，则x与y的数量关系为（ ）
A．x＝4y B．y＝4x C．x＝12y D．y＝12x
02．化简得（ ）
A． B． C． D．
03．化简＝_____________。
04．的位数为__________________。
05．所得积的末位数字是____________________
06．若，求的值
07．是否存在整数a、b、c满足？若存在，求出a、b、c的值；若不存在，说明理由.






08．如果整数x、y、z满足，求的值






09．已知能被10整除，求证：也能被10整除






10．设a、b、c、d都是非零自然数，且，求的值








11．（江苏竞赛）已知k、x、y、z是整数，且k>x>y>z，若k、x、y、z满足方程，求k的值
第12讲 整式的乘除
考点·方法·破译(缺奥赛部分)
1．整式的乘法包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式等.
2．整式的除法包括单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式等.
3．乘法公式：⑴.
⑵
⑶
⑷
⑸
经典·考题·赏析
【例１】 计算：
⑴ ⑵
⑶
【解法指导】⑴两个项数相同的多项式相乘，若两个多项式中只存在相同的项与相反的项，则将相同的项结合，相反数的项结合，然后利用平方差公式计算；⑵多项式的积作为减数时一定要将积添上括号，作为一个整体；⑶观察式子的特点，将能够利用公式的项先整合.
解：⑴
＝
⑵＝
＝
⑶＝＝
＝
【变式题组】
01．计算：⑴ ⑵
⑶ ⑷
02．规定一种运算“＊”：对于任意实数对（x,y）恒有（x,y）＊(x,y)＝(x＋y＋1),x2－y－1).若实数a,b满足（a,b）＊(a,b)＝(b,a),则a＝__________,b＝_________
【例２】在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的正方形（ a＞b）（如图甲），把余下部分拼成一个矩形（（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）

a
a
a
b
b
b
b
甲
乙
A.
B.
C.
D.
【解法指导】图甲中阴影部分面积为，图乙中阴影部分面积为.故选C.
【变式题组】
01．如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b）.把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，验证求法公式 .
a
a
a
b
b
b
第1题图








b
a
a
a
a
b
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
b
第2题图弦
图1
图2
02．完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数式也可以用这种形式表示，例如就可以用图1的形式表示.
⑴请写出图2所表示的代数恒等式 ；
⑵请画出一个几何图形，使它的面积能表示成：



a
a
a
a
b
b
b
b
03．利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性，也可以解释不等式的正确性.
⑴根据下列图形写出一个代数恒等式；
⑵已知正数a、b、c和m、n、l满足，试构造边长为k的正方形，利用图形面积证明.
【例３】已知.
【解法指导】形如的式子均为完全平方公式这一家族的成员，应由它们变形得来.
解：∵ ，∴即，，
【变式题组】
01. .
02．若x＋y＝3,xy＝2,求的值.

03.若，

04.若x＋y＝1,x2＋y2＝3.求的值.
【例４】已知a＝2009x＋2006,b＝2009x＋2007,c＝2009x＋2008,
求多项式的值.
【解法指导】多项式具有完全平方式的一些特征，经过变后
可转化为，，的代数和的形式，然后再结合已知即可求值.
解：＝
＝
＝
∵a＝2009x＋2006,b＝2009x＋2007,c＝2009x＋2008
∴a－b＝－1,a－c＝－2,b－c＝－1
∴原式＝
【变式题组】
01．如果，且.则（ ）
13
9
3
A.12 B.14 C.16 D.18
02．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上两数之和相等，如果13，9，3的对面的数分别是a、b、c，求的值.
03．已知a、b、c满足，求a＋b＋c的值.
【例５】若被除后余2,求k的值.
【解法指导】被除后余2则能被整除，即有一个因式为，因而关于x方程有一个根为，将代入可求k.
若利用竖式除法也可解决.
解：∵被除后余2，∴能被整除
令＝0得代入＝0成立，
∴，∴k＝3
【变式题组】
01．若 被除的余数为了3，则a＝ .
02．若能被整除，则m＝ .n＝ .
03.若多项式能被整除，则a＋b＋c＝ .
【例６】设，则＝ .
【解法指导】应用整体代入求值即可.
解：∵，，，
∴
＝
【变式题组】
01．若 ，那么代数式的值为（ ）
A.6 B.8 C.－6 D.－8
02．已知，则的值等于 .
03.若，求的值.
演练巩固·反馈提高
01.下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
02．在①；②；
③中运算错误的个数是（ ）
A．0 B．1 C．1或5 D．±1或±5
03．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（ ）
A． 1 B．1 C．2 D．3
04．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
05．下列关系式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
06．已知长方形的面积为，且一边长为2a,则其周长为（ ）
A. B. C. D.
07．下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．＋
A
B
L
M
R
S
D
Q
P
C
T
K
D．
08．如图，矩形花园ABCD中，AB＝a,AD＝b,如图中建有
一条矩形道路LMPQ及一条平行四边形道路RSTK.若
LM＝RS＝c,则花园中可绿化部分的面积为（ ）
A．bc－ab＋ac＋b2 B．a2＋ab＋bc－ac
C．ab－bc－ac＋c2 D．b2－bc＋a2－ab

09．已知，那么的值为__________
10．若 .
11．已知的值.

12．计算：⑴






⑵





13．若A＝－2xy,B＝,求B÷A2的值.





14．已知多项式m除以得商式2x＋6,余式为3x＋1,求多项式m.






15．如图，有两种长方形卡片若干，卡片A的长为，宽为，卡片B的长为，宽为，其中x＞4y,且x、y均为正数.




⑴你能用A、B两种卡片若干张，拼成一个无缝隙的正方形吗？试试看，画出示意图；
⑵试用两种不同的方法计算出所拼成的正方形的面积，并比较结果是否相等.








16.已知实数a 、b、x、y满足ax＋by＝3,ay－bx＝5.求的值.










17.若规定一种运算“*”：a*b＝(a＋2)(b＋5)－(a＋3)(b＋4).试化简（m－1）*(n＋1).

第13讲 因式分解及其应用
考点·方法·破译
1．因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式；
2．因式分解的基本方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法等；
3．因式分解的基本原则：有公因式先提出公因式、分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止；
4．竞赛中常出现的因式分解问题，常用到换元法、主元法、拆项添项阿、配方法和待定系数法等方法、另外形如的多项式，当p＝a＋b，q＝ab时可分解为（x＋a）（x＋b）的形式；
5．利用因式分解求代数式的值与求某些特殊方程的解.
经典·考题·赏析
【例１】
⑴若是完全平方式，则k＝______________
⑵若是完全平方式，则k＝______________
【解法指导】形如的形式的式子，叫做完全平方式.其特点如下：⑴有三项；⑵有两项是平方和的形式；⑶还有一项是乘积的2倍，符号自由.
解：⑴是完全平方式，∴ ∴；
⑵是完全平方式，∴ ∴
【变式题组】
01．若是一个完全平方式，则k＝________
02．若，求x、y的值.



03．若，求a、b的值.


04．（四川省初二联赛试题）已知a、b、c满足，求的值.


【例2】⑴（北京）把分解因式，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
⑵（杭州）在实数范围内分解因式＝____________
⑶（安徽）因式分解＝_______________
【解法指导】分解因式的一般步骤为：一提，二套，三分组，四变形
解：⑴
⑵
⑶
【变式题组】
⑴ ⑵
⑶ ⑷



⑸



【例3】要使二次三项式在实数范围内能进行因式分解，那么整数P的取值可能有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．无数多个
【解法指导】由可知，在整数范围内分解因式，p为的积为整数，∴p有无数多个，因而选D
【变式题组】
⑴已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
⑵在1~100间，若存在整数n，使能分解为两个整系数的一次因式的乘积，则这样的n有__个
【例4】分解因式：⑴
⑵
⑶
⑷2
1
－3
－4

【解法指导】
解：⑴ ∴
⑵



⑶设，则原式可变为
∴原式＝

3
－2

⑷



【变式题组】
01．分解因式：
⑴ ⑵



⑶ ⑷ ⑸



【例5】⑴（上海竞赛试题）求方程的整数解；
⑵（希望杯）设x、y为正整数，且，求xy的值
【解法指导】⑴结合方程的特点对其因式分解，将不定方程转化为方程组求解；
⑵将等式左边适当变形后进行配方，利用x、y为正整数的特点，结合不等式求解.
解：⑴，，，
∴，∵x、y都是整数 ∴
∴，∴方程的整数解为，
⑵，，，∵∴
∵x为正整数，∴x＝1，2，…，10 ，又∵是平方数，∴x＝6或8
当x＝6时＝64，y＝6，当x＝8时＝36，y ＝4，∴xy＝36或32
【变式题组】
01.设x、y是正整数，并且，则代数式的值是___________
02.（第二届宗沪杯）已知a、b为整数，则满足a＋b＋ab＝2008的有序数组（a，b）共有__________
03．（北京初二年级竞赛试题）将2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示方法有（ ）
A．16种 B．14种 C．12种 D．10种
04．方程的正整数解的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不少于3个
05．一个正整数，如果加上100是一个完全平方数：如果加上168则是另外一个完全平方数，求这个正整数.
【例6】已知k、a都是正整数，2004k＋a、2004（k＋1）＋a都是完全平方数
⑴请问这样的有序正整数（k、a）共有多少组？
⑵试指出a的最小值，并说明理由.
解：⑴① ②，这里m、n都是正整数，则
故
注意到，、奇偶性相同，则，解得，
当n＝502，m＝500时，由①得2004k＋a＝250000，所以③
由于k、a都是正整数，故k可以取值1，2，3，…，124，相应得满足要求的正整数数组（k、a）共124组
当n＝170，m＝164时，由①得2004k＋a＝26896
所以④
由于k、a都是正整数，故k可以取值1，2，3，…，13，相应得满足要求的正整数数组（k、a）共13组
从而，满足要求的正整数组（k、a）共有124＋13＝137（组）
⑵满足式③的最小正整数a的值为1504，满足式④的最小正整数a的值为844，所以，所求的a的最小值为844
【变式题组】
01．（北京竞赛）已知a是正整数，且是一个正整数的平方，求a的最大值.



02．设x、y都是整数，，求y的最大值



演练巩固 反馈提高
01．如果分解因式，那么n的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
02．若多项式，则p、q的值依次为（ ）
A．， B．6， C．， D．，
03．下列各式分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
04．多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．不存在
05．分解因式的结果是（ ）
A． B． C． D．
06．若能分解成两个因式的积，则整数a的取值可能有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．无数个
07．已知，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
08．分解因式：＝__________________
09．分解因式：＝__________________
10．分解因式：＝___________________
11．已知，，那么的值等于____________
12．分解因式：＝_______________
13．分解因式：＝_________________
14．分解因式：＝___________________
15．已知，则的值为_____________
16．求证：能被45整除



17．已知可被在60到70之间的两个整数整除，求这两个整数






培优升级 奥赛检测
01．（四川省初二数学联赛试题）使得为完全平方数的正整数n的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
02．（四川省初二数学联赛试题）设m、n是自然数，并且，则m＋n的最小值是（ ）
A．100 B．102 C．200 D．不能确定
03．（四川省初二数学联赛试题）满足方程的正整数对（x，y）有（ ）
A．0对 B．1对 C．3对 D．无数对
04．（全国初中数学竞赛试题）方程的整数解（x，y）的个数是（ ）
A．0 B．1 C．3 D．无穷多
05．（四川省初二数学试题）已知，其中p、q为质数，且满足，则M＝（）
A．2009 B．2005 C．2003 D．2000
06．（仙桃竞赛试题）不定方程的所有整数解为_________________
07．已知多项式可以分解为的形式，那么的值是______
08．对于一个正整数n，如果能找到a、b，使得n＝a＋b＋ab，则称n为一个“好数”，例如：3＝1＋1＋1×1，3就是一个好数，在1~20这20个正整数中，好数有_______个
09．一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数，如，64就是一个完全平方数；若，求证a是一个完全平方数






10．已知实数a、b、x、y满足，，求的值







11．若a为自然数，则是质数还是合数？请你说明理由






12．正数a、b、c满足，求的值







13．某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班有m个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男生和n个女生的捐款总数相等，都是（mn＋9m＋11n＋145）元，已知每人的捐款数相同，且都是整数，求每人的捐款数.


















第14讲 分式的概念•性质与运算
考点•方法•破译
1．分式的概念和性质
若A、B表示两个整式，且B中含有字母，则形如的式子叫分式，当B≠0，分式有意义．分式基本性质：，
2．分式的运算法则
⑴同分母相加减：；
⑵异分母相加减：；
⑶分式的乘法：；
(4)分式的除法：；
(5)分式的乘方：．（n为正整数）．
经典•考题•赏析
【例1】(南宁)要使式子有意义，x的取值范围是( )
A．x≠1 B．x≠0 C．x＞—1且x≠0 D． x≥—1且x≠0
【解法指导】式子有意义，则 ∴x≥－1且x≠0 故选D
【变式题组】
01．使分式有意义，则x应满足( )
A．x≠1 B．x≠2 C．x≠1 且x≠2 D．x≠1或 x≠2
02．下列分式一定有意义的是( )
A． B． C． D．
03．若对于分式，不论x取何实数，总有意义，则m的取值范围是_________．
04．（希望杯）若分式；不论x取何实数总有意义，则直线y＝mx－m一定经过＿＿＿＿＿＿象限．
【例2】（天津）若分式的值为0，则x的值等于________________．
【解法指导】若分式的值为0，必须满足分子为0而分母不为0．
解：　　　　　　　∴x ＝２
【变式题组】
01．若代数式有意义，则x的取值范围是( )
A．x≠2 B．x≠2且 x≠－3 C．x≠－3 D．x≠2， x≠－3且x≠1
02．若式子的值为0，则x的值为______________．
03．若分式的值为0，则x的值为______________．
04．（青海）的值为零，则x的值为______________．
【例3】（内蒙古包头）化简，其结果是( )
A． B． C． D．
【解法指导】本题考查整式的因式分解及分式的加减乘除混合运算，要注意运算顺序：先乘除后加减，有括号先算括号里的或按照乘法的分配律去括号．

，故选D．
【变式题组】
01．（上海）计算：


02．（南充）化简：

03．（襄樊）计算：


04．（常德）化简：




【例4】计算：
【解法指导】有些异分母相加时若直接通分，最简公分母非常复杂，因而在观察分母的特点后可采用逐步通分、分组通分、拆项合并、换元法等方法计算
解：
【变式题组】
01．计算：



02．化简：




03．计算：





【例5】已知a整数，且代数式的值也是整数，求a的值．
【解法指导】∵ 由题意可知为整数，
∵a为整数，∴a—4＝±1，±2，±4，±8，∴a＝－4,，0，2，3，5，6，8，12．
【变式题组】
01．求4x2－2xy－12x＋5y＋11＝0的正整数解．



02．求方程4x＋y＝3xy的整数解．



03．（第二届宗沪杯）在平面直角坐标系中，把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点．在函数，整点的个数是_____________．

【例6】甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．
⑴甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？
⑵谁的购货方式更合算？
【解法指导】由于两次饲料的单价有变化，可设第一次购买的饲料的单价为m元／千克，第二次购买的饲料的单价为n元／千克，甲、乙所购买饲料的平均单价应为两次饲料的总价除以两次所买饲料的总质量．在第⑵问中，比较甲、乙所购饲料的平均单价，谁的平均单价低谁的购货方式就更合算，可以用作差比较平均单价．
解：⑴设两次购买的饲料单价分别为m元／千克和n元／千克（m、n是正数，且m≠n）甲两次购买饲料的平均单价为（元／千克），乙两次购买饲料的平均单价为（元／千克）
⑵甲、乙两种饲料的平均单价的差是
由于m、n是正数，且m≠n，所以也是正数，即，因此乙的购买方式更合算．

【变式题组】
01． 西瓜按千克计价，购买西瓜时，希望可以食用的部分占整个西瓜的比例越大越好．如果一批西瓜的皮厚均为d，试问买大西瓜还是买小西瓜合算？（把瓜看作球体，并设西瓜的密度是均匀的，球的体积是，其中R为球的半径）



02．（辽宁大连）A玉米试验田是边长为a米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下部分，B玉米试验田是边长为（a－1）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了500千克．⑴那种玉米的单位面积产量高？⑵高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？





演练巩固 反馈提高
01．下列各式计算正确的是( )
A． B．
C． D．
02．已知a＞1，，， ，则A、B、C的大小关系是( )
A．A＞B＞C B．A＞C＞B C．C＞B＞A D．C＞A＞B
03．（陕西）化简的结果( )
A．a－b B．a＋b C． D．
04．(黄冈)化简的结果是( )
A．－4 B．4 C．2a D．－2a
05．化简等于( )（错）
A． B． C． D．
06．下列计算中，①；②；③；
④；⑤， 其中正确的有________(填序号)．
07．（成都）化简：_____________．
08．若整数x能使分式的值是整数，则符合条件的x的值是______________．
09．（枣庄）a、b为实数，且ab＝1，设P＝， Q＝，则P__________Q．(填“＞”、“＜”或“＝”)
10．计算：
⑴; ⑵;




11．设，先化简y，然后确定当x取什么整数时，能使y的值是正整数．




12．建筑上有这样的规定：民用建筑的采光度等于窗户面积与地面面积之比，但窗户面积必须小于地面面积，采光度越大，说明采光条件越好，问：增加同样的窗户面积和地面面积，采光条件是变好了还是边差了，为什么？



13．（大连）甲、乙两工程队分别承担一条2千米公路的维修工作，甲队有一半时间每天维修公路x千米，另一半时间每天维修公路y千米．乙队维修前1千米公路时，每天维修x千米；维修后1千米公路时，每天维修y千米（x≠y）．
⑴求甲、乙两队完成任务需要的时间（用含x、y的代数式表示）；
⑵问甲、乙两队哪队先完成任务？
培优升级 奥赛检测
01．（北京初二年级竞赛试题）当时，代数式的值是( )
A．－1 B．－ C． D． 1
02．（北京初二年级竞赛试题）的值是( )
A． B． C． D．
03．（仙桃市竞赛试题）设a＞0＞b＞c，a＋b＋c＝1，M＝，N＝，P＝，则M、N、P之间的关系是( )
A．M＞N＞P B．N＞P＞M C． P＞M＞N D．M＞P＞N
04．若实数x、y满足xy≠0，则的最大值是_____________．
05．（浙江竞赛试题）如图是一个数的转换器，每次输入3个不为零的数，经转换器转换后输出3个新数，规律如下：当输入数分别为x，y，z时，对应输出的新数依次为，，．例如，输入1，2，3，则输出，，．那么当输出的新数为，，时，输入的3个数依次为_____________．

06．化简＝____________．
07．化简



08．计算：


09．（全国初中数学竞赛题）当x为何值时，分式有最小值？最小值是多少？
10．小明和小亮两人参加1000米比赛，同时起跑后，小明始终保持a米/秒的速度跑到终点，而小亮开始以（a＋1）米/秒的速度跑了500米，然后剩下的500米，他以（a－1）米/秒的速度跑到了终点．请问小明和小亮谁将获得比赛的胜利？（已知a＞1）






11．如图，一个啤酒瓶的高度为hcm，瓶中装有高为acm的水，将瓶盖好后倒置，这时瓶中水面高度为bcm(b＞a)，求瓶中水的体积与瓶子容积之比．（瓶底厚度不计）





12．商场文具柜以每支a（a为整数）元的价格购进一批“英雄”牌钢笔，决定每支加价2元销售．由于这种品牌的钢笔价格优、质量好、外观美，很快就销售一空．结账时，售货员发现这批钢笔的销售总额为（399a＋805）元．你根据上面的信息求出文具专柜共购进了多少支钢笔、每支钢笔的进价a是多少元吗？





13．（荆州竞赛题）某中学租来同类型大客车若干辆，准备全校师生外出春游，如果每辆车乘坐22人，那么就会余下1人，如果开走一辆空车，那么所有的师生刚好平均分乘余下的汽车．试求原先租多少辆汽车和学校师生共有多少人？（已知每辆汽车的容量不多于32人）




14．（北京市竞赛题）n为自然数，若n3＋1996能被n＋6整除，则称n为1996的吉祥数，如43＋1996能被4＋6整除，4就是1996的一个吉祥数．试求1996的所有吉祥数的和．









第15讲 分式的化简 求值 与证明
考点•方法•破译
1. 分式的化简、求值
先化简，后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略，有条件的化简求值题，条件可直接使用，变形使用，或综合使用，要与目标紧紧结合起来；无条件的化简求值题，要注意挖掘隐含条件，或通过分式巧妙变形，使得分子为0或分子与分母构成倍分关系特殊情况，课直接求出结果.
2. 分式的证明
证明恒等式，没有统一的方法，具体问题还要具体分析，一般分式的恒等式证明分为两类：一类是有附加条件的，另一类是没有附加条件的，对于前者，更要善于利用条件，使证明简化.
经典•考题•赏析
【例1】（湖南常德）先化简代数式(＋)÷,然后选取一个使原式有意义的x的值代入求值.
【解法指导】本题化简并不难，关键是所取的值的选择，因为原式的分母为：x＋1，x2－1，要是原式有意义，则x＋1≠0且x2－1≠0故x≠1，因而可取的值很多，但不能取x≠1
解：(＋)÷
＝[＋]·(x＋1)(x－1)
＝(x－1)2＋2x＝x2＋1
当x＝0时，原式＝1．
【变式题组】
01．（黄石）先化简，再求值，其中a＝2.




02．（荆门）已知x＝2＋,y＝2－，计算代数式的值



03．（齐齐哈尔）先化简：÷(a＋)，当b＝－1时，请你为a任选一个适当的数代入求值.







04.（咸宁）先将代数式(x－)÷(1＋)化简，再从－3＜x＜3的范围内选取一个合适的整数x代入求值.







【例2】已知＋＝5，求的值.
【解法指导】解法1：由已知条件，知xy≠0.将所求分式分子、分母同除以xy，用整体代入法求解.解法2：由已知条件＋＝5，求得x＋y＝5xy，代入求值.
解：方法1：∵＋＝5，，∴x≠0,y≠0，xy≠0将待求分式的分子、分母同除以xy.
原式＝＝＝＝1．
方法2：由＋＝5知x≠0,y≠0，两边同乘以xy，得x＋y＝5xy
故＝＝＝＝1．
【变式题组】
01．（天津）已知－＝4，则的值等于（ ）
A．6 B．－6 C． D．
02．若x＋y＝12，xy＝9,求的值.



03．若4x－3y－6z＝0,x＋2y－7z＝0,求的值.



【例3】（广东竞赛）已知＝1，求的值.
【解法指导】利用倒数有时会收到意外的效果.
解：∵∴＝1∴x－3＋＝1∴x＋＝4.
又∵＝x2－9＋＝(x－)2－11＝16－11＝5.
∴＝.
【变式题目】
01．若x＋＝4，求的值.




02．若a2＋4a＋1＝0，且＝5求m.


【例4】已知＝，＝，＝，求的值.
【解法指导】将已知条件取倒数可得＝3，＝4，＝5，进而可求的值，将所求代数式也取倒数即可求值.
解：由已知可知ac、bc、ab均不为零，将已知条件分别取倒数，
得，即 三式相加可得＋＋＝6，将所求代数式取倒数得＝＋＋＝6，∴＝.
【变式题组】
01．（四川联赛试题）实数a、b、c满足：＝，＝，＝，则ab＋bc＋ac＝ .
02．（天津初赛试题）已知＝2，＝3，＝4，求7x＋5y－2z的值.






【例5】若＝＝，求的值.
【解法指导】观察题目易于发现，条件式和所求代数式中都有a＋b,c＋b,a＋c这些比较复杂的式子，若设
＝＝＝k，用含k的式子表示a＋b,c＋b,a＋c可使计算简化.
解：设＝＝＝k，则a＋b＝ck,c＋b＝ak,a＋c＝bk，三式相加，得2(a＋b＋c)＝(a＋c＋b)k.当a＋b＋c≠0时，k＝2；当a＋b＋c＝0时，a＋b＝－c，，∴k＝－1．
∴当k＝2时，＝k3＝8；当k＝－1时，＝k3＝－1．

【变式题组】
01．已知x、y、z满足＝＝，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
02．(天津竞赛题)已知a、b、c为非零实数，且a＋b＋c≠0，若＝＝，求的值.




【例6】已知abc＝1，求证：＋＋＝1
【解法指导】反复整体利用，选取其中一个的分母不变，将另外两个的分母化为与它的分母相同再相加.
证明：∵＝＝
＝＝＝＝
∵＋＋＝＋＋＝1
【变式题组】
01．（四川省初二数学联赛试题）已知＝＝,a≠b≠c 则a2＋b2＋c2＝（ ）
A．5 B． C．1 D．
02．（四川省初二数学联赛试题）已知不等于零的三个数满足.求证：a、b、c中至少有两个数互为相反数.





03．若：a、b、c都不为0，且a＋b＋c＝0，求的值.




演练巩固 反馈提高
01．已知x－＝3，那么多项式x3－x2－7x＋5的值是（ ）
A．11 B．9 C．7 D． 5
02．若M＝a＋b,N＝a－b,则式子－的值是（ ）
A． B． C． D． 0
03．（内江）已知5x2－3x－5＝0，则5x2－2x －＝ .
04.（烟台）设a＞b＞0,a2＋b2－6ab＝0，则＝ .
05.已知a＝1＋2n,b＝1＋，则用含a的式子表示b是 .
06. a＋b＝2,ab＝－5,则＝ .
07.若a＝,b＝－,c＝，试把a、b、c用“＜”连接起来为 .
08.已知＝，求的值为 .
09.若2x＝,＝81，则xy的值为 .
10.化简为 .
11．（桂林）先化简，再求值：，其中x＝,y＝3．





12．（思施）求代数式的值：，其中x＝2＋.


13．（重庆）先化简，再求值：，其中x＝－3．







14.已知：，求常数A、B的值.








15.若a＋＝3,求2a3－5a2－3＋的值.






















培优升级 奥赛检测
01．（全国初中数学竞赛试题）若＝20,＝10，则的值为（ ）
A． B． C． D．
02．（浙江竞赛试题）已知x＋y＝x－1＋y－1≠0，则xy的值为（ ）
A． －1 B． 0 C． 1 D． 2
03．（天津初赛试题）已知x＋＝7(0＜x＜1)，则－的值为（ ）
A． － B．－ C． D．
04.（四川联赛试题）已知正实数a、b满足ab＝a＋b，则（ ）
A． －2 B． C． D． 2
05.（荆州市八年级数学联赛试题）已知－＝1，则＋的值为（ ）
A． ± B． C． ± D．
06.已知abc≠0，并且a＋b＋c＝0，则a(＋)＋b(＋)＋c(＋)的值为（ ）
A． 0 B． 1 C． －1 D．－3
07.设x、y、z均为正实数，且满足，则x、y、z三个数的大小关系是（ ）
A． z＜x＜y B． y＜z＜x C． x＜y＜z D． z＜y＜x
08.（南昌八年级竞赛试题）如果a是方程x2－3x＋1＝0的根，那么分式的值是 .
09.（南昌八年级竞赛试题）甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录表表明：当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1．01米，经过计算，这条跑道长度不标准，则这条跑道比100米多 .
10.若a＋＝1,b＋＝1，求c＋的值.





11．已知a、b、c、x、y均为实数，且满足＝,＝,＝,＝(y≠)（其中）求x的值.







12．（全国联赛）当分别取值,,,……，1,2，……2007,2008,2009时，分别计算代数式的值，将所得的结果相加，其和是多少？







13．（全国初中数学竞赛试题）在一列数x1,x2,x3…中，已知x1＝1，且当k≥2时，xk＝xk－1＋1－4([－])（取整符号[a]表示不超过实a数的最大整数，例如[2．6]＝2,[0.2]＝0）求x2010的值.







14. （全国初中数学竞赛试题）已知对于任意正整数n，都有a1＋a2＋…＋an＝n3，求＋＋…＋的值.




第16讲 分式方程及其应用
考点·方法·破译
1．分式方程(组)的解法
解分式方程的一般步骤:⑴去分母，将分式方程转化为整式方程;⑵解整式方程;⑶验根.有的分式方程也要依据具体的情况灵活处理.如分式中分子(整式)的次数高于等于分母(整式)的次数时，可利用分拆思想，把分式化为“整式＋分式”的形式，化简原方程再解;或将分式方程两边化为分子(或分母)相等的分式，再利用分母(或分子)相等构成整式方程求解;或利用换元法将分式方程化为整式方程，或利用倒数法使方程更简便.
2．分式方程增根
在解分式方程时，通常将分式方程两边同时乘以最简公分母(化为整式方程)，这就扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.因此，解分式方程时一定要验根.又如求分式方程的解的取值范围(解是正数，或解是负数)时，要注意剔除正数解或负数解中的增根(因为增根不是分式方程的根).
3．列分式方程解应用题
列分式方程解应用题同运用整式方程解应用题的方法和步骤是类似的，但要注意分式方程求出的未知数的解要双重检验，①检验是否是增根，②检验解是否符合实际意义.
经典·考题·赏析
【例1】解下列方程:
⑴－＝1
⑵－－＝4
⑶＋＝＋
【解法指导】对于方程⑴、⑵只需先将分母分解因式，找到最简公分母，然后将分式方程转化为整式方程，求解并验根.对于方程⑶如果按常规方法去分母则计算复杂，若注意到将这四个分式的分母均比分子小这个特点，先化简，如＝＝1＋，按照上述变形，原方程可变为＋＝＋再移项后分组通分求解较简单.
解: ⑴－＝1
(x－2) 2－16＝(x＋2) (x－2)
x2－4x＋4－16＝x2－4
x＝－2
当x＝－2时(x＋2) (x－2)＝0，∴x＝－2是增根，原分式方程无解.
⑵＋－＝4
x－2＋4x2－2(x＋2)＝4(x＋2) (x－2)
∴x＝10
当x＝10时， (x＋2) (x－2) ≠0， ∴原分式方程的解为x＝10.
⑶原方程变形为＋＝＋
1＋＋1＋＝1＋＋1＋
∴＋＝＋
－＝－
两边分别通分得: ＝
∴(x－5) (x－6)＝(x－8) (x－9)
∴x＝7　检验知x＝7是原方程的解.

【变式题组】
⑴＝－2


⑵＋2＝


⑶－＝－


⑷＋＋＝1


【例２】当m为何值时，分式方程－＝会产生增根?
【解法指导】我们很容易测出分式方程可能产生的增根是x＝1或x＝－1，只要把猜测的增根分别代入去分母后的整式方程，即可求出相应的字母的值.
解:原方程去分母并整理得 (m－2) x＝5＋m
假设产生增根x＝1，则有: m－2＝5＋m，方程无解，所以不存在m的值，使原方程产生增根x＝1;
假设产生增根x＝－1，则有:2－m＝5＋m，解得m＝－.
∴m＝－时，分式方程－＝产生增根.
【变式题组】
01．分式方程－＝的增根是__________.
02．若分式方程－＝1有增根，则它的增根为(　　)
A．0 B．1 C．－1 D．1，－1
03．(绥化)若关于x的方程＝1－无解.则m的值为___________.
04．分式方程－＝无解，则m的值为___________.
【例３】(杭州)已知关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围是_________.
【解法指导】求出方程的解x＞0且x≠2即可
解: ＝3　　2x＋m＝3x－6　　x＝m＋6
∴　∴m＞－6且m≠－4

【变式题组】
01．(孝感)关于x的方程＝1的解是正数，则a的取值范围是(　　)
A．a＞－1 B． a＞－1，且a≠0 C． a＜－1 D． a＜－1，且a≠－2
02．当m为何值时，关于x的方程＝ － 的解是正数?




【例４】(山东青岛)某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元.
⑴该商场两次共购进这种运动服多少套?
⑵如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于20%，那么每套售价至少是多少元?
【解法指导】 ⑴设商场第一次购进x套运动服，由题意得: －＝10
解这个方程，得x＝200，经检验， x＝200是原方程的解.
2x＋x＝600
∴商场两次共购进这种运动服600套.
⑵设每套运动服的售价为y元.则有≥20%，y≥200
∴每套运动服售价至少200元.
【变式题组】
01．(泰安)某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套?在这个问题中，设计划每天加工x套，则根据题意可得方程为(　　)
A．＋ ＝18 B． ＋ ＝18
C． ＋ ＝18 D． ＋ ＝18
02．(河池)铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元，购进苹果数量是试销的2倍.
⑴试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元?
⑵如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的七折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元?









03．(广西梧州)由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程， 甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是3:2，两队合做6天可以完成.
⑴求两队单独完成此项工程各需多少天?
⑵此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后，学校付给他们20000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各得到多少元?











演练巩固·反馈提高
01．(牡丹江)关于x的分式方程＝1，下列说法正确的是(　　)
A．方程的解是x＝m＋5 B． m＞－5时，方程的解是正数
C． m＜－5时，方程的解是负数 D．无法确定
02．(安徽)甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是(　　)
A．8 B．7 C．6 D．5
03．(上海)用换元法解分式方程－＋1＝0时，如果设＝y，将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是(　　)
A． y2＋y－3＝0 B． y2－3y＋1＝0 C． 3y2－y＋1＝0 D． 3y2－y－1＝0
04．有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900㎏和1500㎏.已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300㎏，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克.设第一块试验田每亩收获蔬菜x㎏，根据题意，可得方程(　　)
A． ＝ 　　B． ＝
C．＝ 　　D．＝
05．(牡丹江)若关于x的分式方程－＝1无解，则a＝___________.
06．方程＋3＝的解为___________.
07．若x＝1是方程＋＝0的解，则a＝___________.
08．若A＝，B＝＋1，当x＝___________时，A＝B．
09．若x＝3是方程＋＝0的解，则－÷的值为___________.
10．如果关于x的方程1＋＝的解，也是不等式组的一个解，求m的取值范围.




11．关于x的分式方程＝－有解，求k的取值范围.

12．要使关于x、y的二元一次方程组有正整数解，求整数a的值.





13．某工程准备招标，指挥部接到甲、乙两个工程队的标书，从标书中得知:乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍，该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成.
⑴求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天?
⑵已知甲队每天的施工费用为0.67万元，乙队每天的施工费用为0.33万元，该工程预算的施工费用为19万元.为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问:该工程预算的施工费用是否够用?若不够用，需要追加预算多少万元?请说明理由.










14．(桂林)在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算:甲队单独完成这项工程需要60天;若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成.
⑴ 乙队单独完成这项工程需要多少天?
⑵甲队施工一天，需付工程款3．5万元，乙队施工一天需付工程款2万元.若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱，还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱?













培优升级·奥赛检测
01．(江西决赛试题)若实数x、y、z满足方程组:，则有(　　)
A． x＋2y＋3z＝0 B． 7x＋5y＋3z＝0 C． 9x＋6y＋3z＝0 D．10x＋7y＋z＝0
02．(天津初赛试题)某段公路由上坡、平路、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为V1、V2、V3，则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为(　　)
A． B． C． D．
03．(第十八届“希望杯”初二)解分式方程＋＝会产生增根，则m＝___________.
04．方程＋＋…＋＝1＋的解是___________.
05．(全国初中数学竞赛试题)小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_________分钟.
06．解下列方程:
⑴ －＝－ ⑵ ＋＝2




07．已知方程组＝，＝－9， ＝恰好有一组解为x＝a，y＝b，z＝C．求a2＋b2＋c2的值.




08．设x、y都是整数，－＝.求y的最大正整数的解.





09．(莆田)国务院决定从2009年2月1日起，“家电下乡”在全国范围内实施，农民购买入选产品，政府按原价购买总额的13%给予补贴返还.某村委会组织部分农民到商场购买入选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的2倍，且按原价购买冰箱总额为40000元、电视机总额15000元.根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元，求冰箱、电视机各购买多少台?
⑴设购买电视机x台，依题意填充下列表格:
项目
家电种类
购买数量
(台)
原价购买总额(元)
政府补贴返还比例
补贴返还总额(元)
每台补贴返还金额(元)
冰箱

40000
13%


电视机
x
15000
13%



⑵列出方程(组)并解答.







10．(齐齐哈尔)某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降.今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元.
⑴今年三月份甲种电脑每台售价多少元?
⑵为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案?
⑶如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使⑵中所有方案获利相同， a值应是多少?此时，哪种方案对公司更有利?


第17讲 反比例函数的图象与性质
考点·方法·破译
1．反比例函数的定义：形如（或，k≠0）,y叫做x的反比例函数.
2．反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，关于y＝x或y＝－x轴对称，关于原点O成中心对称，当k＞0时，图象的两支分别在第一、三象限，当k＜0时，图象的两支分别在第二、四象限，
3．反比例函数的性质：当k＞0时，在每个象限内，y随x增大而减小；当k＜0时，在每个象限内，y随x增大而增大.
经典·考题·赏析
【例１】（西宁）已知函数中，x＞0时，y随x增大而增大，则y＝kx－k的大致图象为（ ）
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
A
B
C
D

【解法指导】因为中，x＞0时y随x增大而增大，则－k＜0，k＞0，而一 次函数y＝kx－k中，k＞0，－k＜0，因而直线向右上方倾斜,与y轴交点在负半轴上，所以选A．
【变式题组】
01．已知反比例函数（a≠0）的图象，在每一象限内，y的值随着x值增大而减小，则一次函数y＝－ax＋a的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
02．（龙岩）函数y＝x＋m与（m≠0）在同一象限内的图象可以是（
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
A
B
C
D

03．（凉山州）若ab＜0,则正比例函数y＝ax与反比例函数在同一坐标第中的大致图象可能是（ ）
x
y
O
B
y1＝x
A
C
x＝1

x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
A
B
C
D

04．函数y1＝x(x≥0),(x＞0)的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点为（2，2）；②当x＝1时，BC＝3；③当0＜x＜2时，y2＞y1;④当x逐渐增大时，y1随着x的增大而增大，y2随着x的增大而减小.其中正确结论的序号是 .
【例2】如图，A、B分别是反比例函数，图象上的点，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OB、OA，OA交BD于E点，△BOE的面积为S1，四边形ACDE的面积为S2，则S2－S1＝ .
【解法指导】在反比例函数中，k的几何意义为：
O
x
A
D
C
B
E
y
O
x
y
x
y
O
A
B
C
B
A

，或.
题中
【变式题组】
01．（宁波）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数过点A，则k的值是（ ）
A．2 B．－2 C．4 D．－4
02．（兰州）如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线（x＞0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（ ）
A．逐渐增大 B．不变 C．逐渐减小 D．先增大后减小

第1题图
y
x
x
x
x
y
y
y
y
A
O
B
C
O
B
A
A
B
O
A
O
B
C
x
A
B
E
D
O
C
S1
S2
第2题图
第3题图
第4题图
第5题图

03．（牡丹江）如图，点A、B是双曲线上的点，分经过A、B两点向x轴、y轴作垂线，若＝1，则S1＋S2＝ .
04．（河池）如图，A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（ ）
A．S＝2 B．S＝4 C．2＜S＜4 D．S＞4
05．（泰安）如图，双曲线（k＞0）经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于点D，若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
C
A
O
B
y
xy
【例3】（成都）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于点A（－2，1），B（1，n）两点
⑴试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
⑵求△AOB的面积.
【解法指导】利用割补法求图形面积.
解：⑴∵点A（－2，1）在反比例函数的图象上，
∴m＝(－2)×1＝－2，∴反比例函数的表达式为.
∵点 B（1，n）也在反比例函数图象上，∴n＝－2，即B（1，－2）
把点A（－2，1）点B（1，－2）代入一次函数y＝kx＋b中，得
解得 ∴一次函数的表达式为y＝－x－1．
⑵在y＝－x－1中，当y＝0时，得x＝－1，∴直线y＝－x－1与x轴的交点为C（－1，0），∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，
∴.



【变式题组】
B
C
A
O
xy
y
01．（徐州）如图，已知A(n,－2),B(1,4)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线AB与y轴交于点C．
⑴求反比例函数和一次函数的关系式；
⑵求△AOC的面积；
⑶求不等式kx＋b＜0的解集（直接写出答案）





02．已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B点，A(1，n)，B(，－2).
⑴求两函数的解析式；
A
B
O
xy
y
⑵在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；若不存在，说明理由.
⑶求；
⑷若y1＞y2，求x的取值范围.







03．如图，A是反比例函数（x＞0）上一点，AB⊥x轴，C是OB的中点，一次函数y2＝ax＋b的图象经过点A、C两点，并交y轴为D（0，－2），＝4.
A
B
O
xy
y
D
C
⑴求两函数的解析式；
⑵在y轴右侧，若y1＞y2时，求x的取值范围.







C
A
O
B
y
xy
04．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线y＝－x－(k＋1)在第二象限的交点，AB⊥x轴于B，.
⑴求这两个函数的解析式；
⑵求A、C两点的坐标；
⑶若P是y轴上一动点，，求点P的坐标.





【例4】（咸宁）两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点.其中一定正确的是 （把你认为正确的序号都填上）
O
xy
y
D
B
P
A
C


【解法指导】∵A、B两点在的图象上，根 据反比例函数中k的几何意义可知，因而①正确；∵，当k不变时，若P变动，而四边形PAOB的面积不变．因而是②正确；若设P（t,），则A（t,），B（），∴PA＝，PB＝.若PA＝PB，则有.∵k≠1,∴,∵t＞0,,∴当P()时，有PA＝PB，并不是PA与PB始终相等，因而③不正确；当A为PC的中点时，，，∴，∴DB＝PB，因而④正确；故填①，②．④.

【变式题组】
01．（武汉）如图，已知双曲线（k＞0）经过矩形OABC的边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k＝ .
O
xy
y
E
B
F
A
C
第1题图
O
xy
E
B
D
A
C
y
第2题图
02．如图，矩形ABCD对角线BD中点E与A都在反比例函数的图象上，且，则k＝ .











O
xy
y
B
P
A
C
第3题图
03．如图，P为x轴正半轴上一点，过点P作x轴的垂线，交函数（x＞0）的图象于点A，交函数（x＞0）的图象于点B，过点B作x轴的平行线，交（x＞0）于点C，连接AC，当点P的坐标为（t，0）时，△ABC的面积是否随t的变化而变化？






04．函数（x＞0）与（x＞0）的图象如图所示，直线x＝ t（t＞0）分别与两个函数图象交于A、C两点，经过A、C分别作x轴的平行线，交两个函数图象于B、D两点，探索线段AB与CD的比值是否与t有关，请说明理由.
O
xy
y
B
D
A
C
第4题图
x ＝ t









O
xy
y
B
1
1
A
C
第5题图
E
05．如图，梯形AOBC的顶点A、C有反比例函数的图象上，OA∥BC，上底OA在直线y＝x上，下底BC交x轴于E（2，0），求四边形AOEC的面积.









演练巩固·反馈提高
A
B
O
xy
y
01．（恩施自治州）如图，一次函数y1＝x－1与反比例函数的图象点A（2，1）、B（－1，－2），则使y1＞y2的x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B． x＞2或－1＜x＜0
C． －1＜x＜2 D． x＞2或x＜－1



02．（常州）若反比例函数的图象在其每个象限内，y随x的增大而减小，则k的值可以是（ ）
A．－1 B．3 C．0 D．－3
03．（荆州）如图，直线l是经过点（1，0）且与y轴平行的直线，Rt△ABC中直角边AC＝4，BC＝3，将BC边在直线l上滑动，使A、B在函数的图象上，那么k的值是（ ）
A．3 B．6 C．12 D．
04．（丽水）点P在反比例函数（x＞0）的图象上，且横坐标为2，若将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得点为P/，则在第一象限内，经过点P/的反比例函数图象的解析式是（ ）
A． （x＞0）B． （x＞0）C． （x＞0）D． （x＞0）
05．（铁岭）如图所示，反比例函数y1与正比例函数y2的图象的一个交点坐标是A（2，1），若y2＞y1＞0，则x的取值范围在数轴上表示为（ ）
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
A
B
C
D

y
x
0
1
2
3
第8题图
P1
P2
P3
y
x
0
1
－2
－1
第6题图
2
B
l
C
1
O
y
x
A
第3题图
y
x
A(2,1)
0
1
2
1
Y1
Y2
第5题图










06．（泰安）函数图象如图所示，下列对该函数性质的论断不可能正确的是（ ）
A．该函数的图象是中心对称图形 B．当x＞0时，该函数在x＝1时取得上值2
C．在每个象限内，y随x的增大而减小 D． y的值不可能为1
07．（芜湖）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x向上平移一个单位长度得到直线l, 直线l与反比例函数的图象的一个交点为A（a,2）则k的值等于 .
08．（广安）如图，在反比例函数（x＞0）的图象上有三点P1、P2、P3，它们的横坐标依次为1，2，3，分别过这3个点作x轴、y轴的垂线，设斩中阴影部分的面积依次为S1、S2、S3，则S1＋S2＋S3＝ .
09．（十堰）已知函数y＝－x＋1的图象与x轴、y轴分别交于点C、B，与双曲线交于点A、D，若AB＋CD＝BC，则k的值为 .
10．（遵义）如图，在平面直角坐标系中，函数（x＞0，常数k＞0）的图象经过点A（1，2），B（m,n）,(m＞1),过点B作y轴的垂线，垂足为C，若△ABC的面积为2，则点B的坐标为 .




11．如图，点P的坐标为（2，），过点P作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线（x＞0）于点N，作PM⊥AN，交双曲线于（x＞0）于点M．连接AM，已知PN＝4，
⑴求k的值；⑵求△APM的面积.

12．如图，反比例函数的图象与直线y＝x＋m在第一象限交于点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标3，D、C为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴，
⑴直接写出k、m的值；⑵求梯形ABCD的面积.







13．如图，已知双曲线（x＞0）经过Rt△OAB斜边的中点D，与直角边AB相交于点C，若△OBC的面积为3，求k的值.







14．如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴的正半轴上，斜边AC边上的中线BD反向延长交y轴负半轴于E，双曲线（x＞0）的图象经过点A，若＝8，求k的值.







15．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC所在直线的解析式为，AC＝3，若AB的D在双曲线（x＞0）上，将三角形向左平移，当点B落在双曲线上时，求三角形平移的距离.






16．（荆州）如图，D为反比例函数（k＜0）图象上一点，过D作DC⊥y轴于C，DE⊥x轴于E，一次函数与的图象都经过点C，与x轴分别交于A、B两点，若梯形DCAE有面积为4，求k的值.


17．（四川广安）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A（－1，2）、点B（－4，n）
⑴求一次函数和反比例函数的解析式；
⑵求△AOB的面积.





18．（河北省）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A、C分别在坐标，顶点B的坐标为（4，2），过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB、BC交于点M、N，
⑴求直线DE的解析式和点M的坐标；
⑵若反比例函数（x＞0）的图象经过点M，求该反比例例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上？
⑶若反比例函数（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出m的取值范围.




培优升级·奥赛检测
01．如图，直线l与反比例函数与（m＞n＞0）的图象分别交于点A、B，且直线l∥x轴，连接PA、PB，小芳与小丽同学针对△PAB面积的讨论，有以下两种意见：
小芳：点P在x轴上移动时，△PAB的面积总保持不变；
小丽：当直线l上下平移时，△PAB的面积总保持不变；
那么，你认为她们的说法中（ ）
A．只有小芳正确 B．只有小丽正确
C．两人都正确 D．两人都不正确
02．（南昌市八年级竞赛题）在函数（a为常数）的图象上有三点：（－1，y1）,(),( )则函数值y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A． y1＜y2＜y3 B． y3＜y2＜y1 C． y3＜y1＜y2 D． y2＜y1＜y3
03．（济南）如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB＝AC＝2，直角顶点A在直线y＝x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（ ）
A．1＜k＜2 B．1≤k≤3 C． 1≤k≤4 D． 1≤k＜4

04．（第十八届“希望杯”初二）直线l交反比例函数的图象于点A，交x轴于点B，点A、B与坐标原点O构等边三角形，则直线l的函数解析式为
05．（成都）如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数（k＞0，x＜0）的图象上，若点R是该反比例函数图象上异于点B的任意一点，过点R分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，从矩形OMRN的面积中减去其与正方形OABC重合部分的面积，记剩余部分的面积为S，则当S＝m（m为常数，且0＜m＜4）时，点R的坐标是 .（用含m的代数式表示）





06．如图，已知直线与双曲线（k＞0）交于A点，且点A的横坐标为4，若双曲线（k＞0）上一点B的纵坐标为8，求△AOB的面积.






07．（北京）如图，A、B两点在函数（x＞0）的图象上，
⑴求m的值及直线AB的解析式；
⑵如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点，请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数.









08．（温州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴和x轴分别交于点A、点B，与反比例函数在第一象限的图象交于点C（1，6）点D（3，n）.过点C作CE⊥y轴于E，过点D作DF⊥x轴于点F，
⑴求m、n的值；
⑵求直线AB的函数解析式；
⑶求证：△AEC≌△DFB．



09．如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，点P（m，n）是函数（k＞0，x＞0）的图象上的任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设在矩形OEPF中和正方形OABC不重合的部分面积为S.
⑴求点B的坐标和k的值；
⑵当时，求点P的坐标；
⑶写出S关于m的函数关系式.










10．如图，已知A（－6，n），B（3，－4）是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数 图象的两个交点，直线AB与x轴和y轴的交点分别为C、D．
⑴求反比例函数和一次函数的解析式；
⑵求不等式＜0的解集（请直接写出答案）；
⑶求证：AC＝BD；
⑷若y轴上有一动点P，使得△PAB的面积为18，求P点的坐标.



















第18讲 反比例函数的应用
考点·方法·破译
反比例函数在实际问题中的应用，是根据实际问题中的变量之间的关系，建立反比例函数模型，然后利用反比例函数的有关概念和有关性质去解决实际问题.
经典·考题·赏析
【例1】在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（Pa）是它的手力面积S（m2）的的反比例函数，其图象如图所示.
⑴求P与S之间的函数关系式；
⑵求当S＝0.5 m2时物体承受的压强是多少？
【解法指导】
解：⑴∵P与S之间是反比例函数关系
∴P＝（s＞0）
∵函数图象经过（0.1， 1000）
∴ 1000＝， k＝100
∴P＝（s＞0）
⑵ 当S＝0.5时，P＝＝200.
【变式题组】
01．（青岛）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120 kPa时，气球将爆炸.为了安全起见，气球的体积应 （ ）
A．不小于m3 B．小于m3 C．不小于m3 D．小于m3


02． (芜湖)在对物体做功一定的情况下，力F（牛）与此物体在力的方向上移动的距离S S (米)成反比例函数关系，其图象如图所示，P（5，1）图象上，则当达到10时，物体在力的方向上移动的距离是 米.
【例2】某汽车集装箱公司加工一种容积为36立方米的集装箱.
⑴集装箱的地面积s(平方米)与其高a(米)有怎样的函数关系？
⑵公司计划把把集装箱地面积做成12平方米，那么集装箱的高度要加工成多少米？
⑶具体在生产时，由于运输公司受道路运输条件的限制，要求汽车集装箱公司生产的集装箱宽为2米，高度控制在2—2．5米以内（包含2米、2．5米），那么集装箱的长是多少米才能符合要求？
【解法指导】
解：⑴∵sa＝v ∴s＝(a＞0) ∴s与a是反比例函数关系.
⑵当s＝12时，∵s＝ ∴12＝，a＝3
⑶设长为x米，则s＝2x
∴2x＝ x＝ 又∵2≤x≤2．5
根据反比例函数的增减性可知≤x≤ ∴7.2≤x≤9
【变式题组】
01．（淮安）某项工程需要沙石料2×106立方米，阳光公司承担了该工程运送石料的任务.
⑴在这项任务中平均每天的工作量v（立方米/天）与完成任务所需要的时间t（天）之间具有怎样的函数关系？写出这个函数关系式；
⑵阳光公司计划投入A型卡车200辆，每天一共可以运送沙石料2×104立方米，则完成全部运输任务需要多少天？如果工作了25天后，由于工程进度的需要，公司准备再投入A型卡车120辆，在保持每辆车每天工作量不变的前提下，问：是否能提前28天完成任务？









02．小明家离学校的距离为2400m, 他骑自行车上学的速度为v（m/s）,所需时间为t(s).
⑴用含t的代数式表示v, v是t的反比例函数吗？
⑵如果小明骑车的速度最快为5 m/s，他至少需要几分钟到校？
⑶在直角坐标系中作出v与t之间的相应图象；
⑷根据图象指出，小明若用10min到校，那么他骑车的平均速度是多少？










【例3】某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x（元）与日销售量y（个）之间有如下关系：

⑴根据表中数据在直角坐标系中描出实数x、y的对应点.
⑵猜测并确定x与y的函数关系式，并画出图象；
⑶设经营此贺卡的日销售利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式；若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元/个，请你求出日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润.
【解法指导】首先在坐标系中描出各点，根据图象的形状猜测函数类型，再根据表中的条件用待定系数法求出猜测的解析式，把余下的x、y的值带入求出的解析式中进行检验，如全部符合，说明猜测和所求的解析式是正确的，根据利润w＝(售价—进价)×销售量，建立w与x之间的关系式，根据解析式分析出x为何值时，才能获得最大日销售利润.
解：⑴如图所示：
⑵根据图象猜测y与x之间的关系式为：y＝.
当x＝3时，y＝20 ∴20＝, ∴k＝60, ∴y＝
把x、y的实数（4，15），（6，10）带入解析式y＝，都符合
∴x与y的函数关系式为y＝（x＞0）.其图象是第一象限的双曲线，如图所示.
⑶w＝(x－2)y＝(x－2)·＝60 － .
故当x＝10时，w有最大值，最大利润为60－12＝48（元）.

【变式题组】
01．某超市出售一批进价为2元/盒的牙膏，在市场营销中发现此商品的日销售单价x与日销售y盒之间有如下关系：
x（元）
2.4
2.5
3
y (盒)
300
288
240

⑴猜测并确定y与x之间的函数关系式；
⑵设此种牙膏的日销售利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，若物价局规定此牙膏的售价最高不能超过3.6元/盒，请你求出日销售单价为多少时，日利润最大.

【例4】某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：
⑴分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的关系式；
⑵求出图中a的值；
⑶下表是该小学的作息时间，若同学们希望在上午第一节下课8：20时能喝到不超过40℃的开水，已知第一节下课前无人接水，请直接写出生活委员应该在什么时间或时间段接通饮水机电源．（不可以用上课时间接通饮水机电源）

【解法指导】⑴当0≤x≤8时，设y＝k1x＋b，将（0，20），（8，100）代入y＝k1x＋b
得k1＝10，b＝20∴当0≤x≤8时，y＝10x＋20，当8＜x≤a时，设y＝，将（8，100）代入y＝，得k2＝800∴当8＜x≤a时，y＝ ；⑵将y＝20代入y＝，解得a＝40；⑶要想喝到不超过40℃的热水，则：∵10x＋20≤40，∴0＜x≤2，∵≤40，∴20≤x＜40，因为40分钟为一个循环，所以8：20要喝到不超过40℃的热水，则需要在8：20－（40＋20）分钟＝7：20或在（8：20－40分钟）－2分钟＝7：38～7：45打开饮水机.
故在7：20或7：38～7：45时打开饮水机．

【变式题组】
01．制作一种产品，需先将材料加热达到60°C，再进行操作.设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．
⑴分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；
⑵根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？


02．为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”.已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg．据以上信息解答下列问题：
⑴求药物燃烧时y与x的函数关系式．
⑵求药物燃烧后y与x的函数关系式．
⑶当每立方米空气中含药量不低于3mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？

演练巩固 反馈提高
01．一项工作有a台相同机器一起工作a小时可以完成，当由x台机器（x是不大于a的正整数）完成这项工作时，所需的是时间（时）与机器台数x之间的关系是 （ ）
A．y＝ B． y＝ C． y＝ D． y＝

02．下列各问题中两个变量成反比例关系的是 （ ）
A．一个容器的容积是20cm3,该容器盛满某种溶液的质量m（g）与其密度ρ（g/cm3）的关系
B．小丽完成400米赛跑时，所用的时间y（秒）与她的平均速度v（米/秒）的关系
C．圆的面积s（cm2）与其周长x(cm)之间的关系
D．一根弹簧原长10cm，在其弹性范围内所挂物体的质量y（千克）与弹簧总长度x(cm)之间的关系

03．（湛江）已知三角形的面积一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是 （ ）


04．（襄樊）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg/m3）是体积V（单位：m3）的反比例函数，它的图象如图所示，当V＝10m3时，气体的密度是（　　）

A．5kg/m3 B． 2 kg/m3 C． 100 kg/m3 D． 2 kg/m3


05．京沪高速公路全长约1262km,汽车沿京沪高速公路从上海驶往北京，汽车完成全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为 .

06．（梅州）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，已知400度近视眼睛镜片的焦距为0.25米，则眼镜的度数y与镜片焦距x的函数关系式为 .

07．一幢新建宾馆的建筑工程已完工，接下来要进行装修，总装修工程经预算用一人18000个工作日，且每人工作效率相同.
⑴装修的天数y（单位：天）与装修工人数x(单位：人)之间有怎样的函数关系？
⑵工程队原有工人100人，由于业主希望赶在春节前开业，要求工程队不超过150天内完成任务，那么工程队至少需要增加多少工人？

08．（嘉兴）一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系：t＝，其图象为如图所示的一段曲线且端点为A（40，1）和B（m，0.5）．
⑴求k和m的值；
⑵若行驶速度不得超过60km/h，则汽车通过该路段最少需要多少时间？


09．码头工人往一艘轮船上装载货物，装完货物所需的时间y（分钟）与装载速度x（吨/分钟）之间满足反比例函数关系，图象如图所示.
⑴这批货物的质量是多少？
⑵若b－c＝40（分钟），请根据图中提供的信息求b、c、d的值．
⑶在⑵的条件下，若轮船到达目的地后，以d（吨/分钟）的速度开始装货，装到一半时，一辆吊车发生故障，因而每分钟少装1吨，那么装满这船货物一共需要多少时间？



培优升级 奥赛检测
01．某市为满足市民休闲需要，要在居民区旁修建一个面积为40000m2的人民广场，广场的地面需要铺满大小都为2500cm2的红、白、蓝、黄四种颜色的瓷砖.
⑴所需要的瓷砖块数x与每块瓷砖的面积s(cm2)有什么样的函数关系式？
⑵为了广场颜色的协调，使用红、白、蓝、黄四种颜色瓷砖的比例为3：3：1：1，则需要四种瓷砖各多少块？






02．某地上一年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增电量y（亿度）与（x－0.4）成反比例，又当x＝0.65元时，y＝0.8．
⑴y与x之间的函数关系式；
⑵若每度电成本价0.3元，则电价调至多少元时，本年度电力部门收益比上一年度增加20%？[收益＝用电量×（实际电价—成本价）]（只列方程并化简，不求解）






03．（杭州）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：
⑴写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围；
⑵据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？






04．某个公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：

第1天
第2天
第3天
第4天
第5天
第6天
第7天
第8天
售价x（元/千克）
400

250
240
200
150
125
120
销售量y（千克）
30
40
48

60
80
96
100

观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品的每天销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）之间都满足这一关系．
⑴写出这个反比例函数的解析式，并补全表格；
⑵在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？














05．经过市场调查，一段时间内某地区特种农产品的需求量y（千克）与市场价格x（元/千克）存在下列函数关系式：y＝＋6000(0＜x＜100);又已知该地区农民的这种农产品的生产数量z（千克）与市场价格x（元/千克）成正比例关系：z＝400x（0＜x＜100），现不计其它因素影响，如果需求数量y等于生产数量z时，即供需平衡，此时市场处于平衡状态．
⑴根据以上市场调查，请你分析当市场处于平衡状态时，该地区这种农产品的市场价格与这段时间内农民的总销售收入各是多少？
⑵受国家“三农”政策支持，该地区农民运用高科技改造传统生产方式，减少产量，以大力提高产品质量．此时生产数量z与市场价格x的函数关系发生改变，而需求函数关系未发生变化，当市场再次处于平衡状态时，市场价格已上涨了a（0＜a＜25）元，问在此后的相同时间段内该地区农民的总销售收入是增加了还是减少了，变化多少？









第19讲 勾股定理
考点·方法·破译
1．会用勾股定理解决简单问题.
2．会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
3．勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证.
经典·考题·赏析
【例1】 (达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( )
A．13 B．26 C．47 D．94
【解法指导】 观察勾股树，发现正方形A、B的边长恰好是一直角三角形相邻的两直角边.此时直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即两个较小正方形面积之和等于较大正方形的面积，从而正方形E的面积等于正方形A、B、C、D四个面积之和，故选C．
【变式题组】
第3题图
A
C
B
l1
l2
l3
第2题图
l
A
1
D
C
B
2
第1题图
01．(安徽)如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形的边长是___________.

02．(浙江省温州)在直线l上的依次摆放着七个正方形(如图所示)，己知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______.
B
A
3cm
1cm
6cm
03．(浙江省丽江)如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为2，l2、l3之间的距离为3，则AC的长是( )
A． B． C． D．7
【例2】(青岛)如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_____cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要______cm.
B 5
10
15
A
20
C
第1题图
【解法指导】细线缠绕时绕过几个面，则将这几个面展开后在同一平面内利用线段的公理：两点之间线段最短.画出线路，然后利用勾股定理解决，应填10，.
【变式题组】
01．(恩施)如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )
A． B．25 C． D．35

A D
B E C
F M
N
第2题图
A
B
吸管
10
6
5








02．(荆州)如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位:cm)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的长为hcm，则h的最小值大约为_____cm.(精确到个位，参考数据:＝1．4，＝1．7:＝2．2)
03．(荆州)若一边长为40cm的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径最小值为_____cm.(铁丝粗细忽略不计)
【例3】(荆州)如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为NM，则线段CN的长是( )
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【解法指导】对折问题即对称问题，设CN＝x，DN＝NE＝8－x.在Rt△CEN中，(8－x)2＝42＋x2 x＝5.故选C
A
B
C
D
【变式题组】
01．在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝13，AD＝12．求S四边形ABCD．






02．如图，△ABC中，AB＝13，AD＝6，AC＝5 ，D为BC边的中点.求S△ABC．





03．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，BC＝4，CD＝.求AC．


A
O
B
y
x
y＝－2x

【例4 】（四川省初二数学联赛试题)如图，直线OB是一次函数y＝－2x的图象，点A的坐标为(0，2)，在直线OB上找点C，使得△ACO为等腰三角形，求点C坐标.
【解法指导】求C点坐标需分类讨论.
(1) 若以O为顶点，OA为腰，则C在以O为圆心，OA的长为半径的圆与y＝－2x的交点处.
A
y
x
D
O
C
(2) 若以A为顶点，AO为腰，则C在以A为圆心， AO的长为半径的圆与y＝－2x的交点处.
(3) 若以C为顶点，则C在OA的中垂线与y＝－2x的交点处.


【解】⑴若以O为顶点，OA为腰，如图设C(t，－2t)，则在Rt△COD中，
OC2＝OD2＋CD2 4＝t2＋(－2t)2 5t2＝4 t＝
O
C
y
x
E
∴C1(，），C2(，）
⑵若以A为顶点，AO为腰，如图，设C(t，－2t)，在Rt△ACE中
A
AC2＝CE2＋AE2 22＝t2＋(－2t－2)2 t＝0（舍去），t＝ ∴ C3(，) ⑶若C为顶点，C在OA的中垂线上.∴C4(，1)
【变式题组】
01．若A（3，2），B为x轴上一点，O为坐标原点.若△AOB是等腰三角形.求B点坐标.





A(4,0)
y＝2x
x
y
O
02．如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B为y＝2x上一点，若△AOB为等腰三角形.求B点坐标.





A
y＝2x
x
y
O
03．如图.在平面直角坐标系中，A(0，4)，B为y＝2x上一点，若△AOB为直角三角形.求B点坐标.





【例5】(福建省漳州)几何模型：条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点.
问题：在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小.
方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交l于点P，则PA＋PB＝A'B的值最小(不必证明).
模型应用：⑴如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点.连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P，则PB＋PE的最小值是__________；
O
A
Q
P
B
R
P1
P2
O
A
Q
P
B
R
图2
B
D
C
A
P
E
图1
A’
A
P
B
l
(2) 如图2，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值.






【解】
(1)
(2) 如图2，作P关于OB的对称点P1，关于OA的对称点P2，
连接P1P2，交OB于R，交OA于Q，则△PRQ的周长最小，且此时△PRQ的周长为PR＋RQ＋QP＝P1P2．
连接OP1，OP2，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠2＋∠3＝45°
∴∠P1OP2＝90°，OP1＝OP＝OP2，
在Rt△OP1P2中，P1P22＝OP12＋OP22，
∴P1P2＝
【变式题组】
01．(荆门)一次函数y＝kx＋b的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）.
⑴求该函数的解析式；
O C A x
y
B
D
P
⑵O为坐标原点，设OA 、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标.





C
A
B
D
M
N
02．（四川联赛试题)已知矩形ABCD的AB＝12，AD＝3，E、F分别是AB，DC上的点，则折线AFEC长的最小值为____________.
03．(陕西)如图，在锐角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是___________.
【例6】求＋的最小值.
【解法指导】所求的两个根式之和的最小值，因被开方数不是完全平方式而无法化A
C
2
F
B
4
D
x H 8－x
E
简，用代数方法求解困难，但被开方数的特点x2＋4＝x2＋22，(8－x)2＋16＝(8－x)2＋42均为平方和结构，由此联想到勾股定理，题目就是求以，为斜边的两边之和的最小值，于是根据数形结合的思想转化为构造图形问题来解决.
【解】如图，作AB＝8，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝2，BD＝4.E是AB上一动点.设AE＝x.则BE＝8－x.∴CE＝，DE＝.所以求代数式最小值问题转化为在AB上求一点E，使CE＋DE值最小.根据线段公理，连接CD交AB于H，则CD为所求.作CF⊥DB交DB延长线于F.在Rt△CDF中，CD＝＝10.∴所求最小值为10.
【变式题组】
01.（恩施自治州）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x.
⑴用含x的代数式表示AC＋CE的长；
⑵请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小?

A
B
C
D
E
⑶根据⑵中的规律和结论，请构图求出代数式＋的最小值




02．(咸宁)问题背景:
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网络(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示.这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.
⑴请你将△ABC的面积直接填写在横线上______；
思维拓展:
⑵我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法.若△ABC三边的长分别为a、a、a(a＞0)，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积；
探索创新:
⑶若△ABC三边的长分别为、、（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积.

【例7】.(天津)已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N.
⑴当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2 ＝ AM2＋BN2；
【思路点拨】考虑MN2＝AM2＋BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决.可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连接DN，只需证DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了.
请你完成证明过程:
⑵当扇形GEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2＝AM2＋BN2是否仍然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
【解法指导】观察求证的结论容易发现MN2＝AM2＋BN2符合匀股定理的结构形式.因此我们设法构造以MN为斜边的直角三角形.
【解】(l)证明:将△ABM沿直线CM对折，得△DCM，连DN.
∵△ACM≌△DCM ∴∠1＝∠2，AC＝CD，∠A＝∠MDC
∵AC＝BC∴CD＝BC
∵∠MCN＝45°，∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3∴∠3＝∠4
在△DCN和△BCN中，
CD＝CB
∠3＝∠4 ∴△CDN≌△CBN，∴∠CDN＝∠B＝45°，BN＝DN
CN＝CN
∴∠MDN＝90°在Rt△DMN中，MN2＝DM2＋DN2∴NM2＝AM2＋BN2
⑵将△ACM沿直线CM对折，得△GCM，连接GN.
∵△GCM≌△ACM，∴∠CGM＝∠CAM＝135°，∠1＝∠2，AM＝GM
∵∠BCN＝90°－∠3＝90°－(45°－∠1)＝45°＋∠1＝45°＋∠2
∠CGN＝∠1＋∠3＋∠2＝45°＋∠2
∴∠BCN＝∠CGN
在△BCN和△GCN中
CN＝CN
∠BCN＝∠CGN ∴△BCN≌△GCN，∴∠CGN＝∠B＝45°， GN＝BN
CB＝CG
∴∠MGN＝135°－45°＝90°，在Rt△MGN中，MN2＝MG2＋GN2，∴MN2＝AM2＋BN2
【变式题组】
01．在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB边的中点，DE⊥DF.求证：EF2＝AE2＋BF2


02．我们给出如下定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.
⑴写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的一种图形的名称________；
⑵如图1，请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；
⑶如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，∠DCB＝30°.求证：四边形ABCD是勾股四边形.







03．(台州)如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB＝∠F＝90°，∠A＝∠E＝30°.△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE、DF分别交线段AC于点M、K.



⑴观察:①如图2、图3，当∠CDF＝0°或60°时，AM＋CK______MK(填“＞”、“＜”或“＝”).②如图4，当∠CDF＝30°时，AM＋CK______MK（只填“＞”或“＜”).⑵猜想:如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM＋CK______MK，证明你所得到的结论.
⑶如果MK2＋CK2＝AM2，请直接写出∠CDF的度数和的值.




演练巩固·反馈提高
A
B
C
01．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高为（ ）
A． B． C． D．
A
B
C
D
E
F
02．(哈尔滨)如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8cm，把长方形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若AF＝cm，则AD的长为( )
A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm
03．(滨州)已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD为8，则边BC的长为( )
A．21 B．15 C．6 D．21或9
04．在同一平面内把边BC＝3，AC＝4，AB＝5的三角形沿最长边AB翻折后得到△ABC'，则CC'的长等于( )
A． B． C． D．
05．一个三角形三边长度之比为3:4:5，则这个三角形的三边上高的之比为( )
A．3:4:5 B．5:4:3 C．20:15:12 D．9:16:25
06．(山西)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为( )
A． B． C． D．2









07．(湖州)如图，在正三角形ABC中，AB＝1，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF面积为_____.
08．(安顺)如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_______.
09．(安徽)长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了_______m.
10．(滨州)某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB＝4米，∠BAC＝30°，∠C＝90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为______.
11．(湖州)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，面积分别记为S1、S2则S1＋S2的值等于________.
y
x
12．(呼和浩特)如图，四边形ABDC中，∠ABD＝120°，AB⊥AC，BD⊥CD，AB＝4，CD＝，则该四边形的面积是_______.
13．已知等腰三角形ABC的底边AB＝20cm，P是腰AC上一点，且AP＝12cm，BP＝16cm，则腰长是_________.
14．(沪州)如图，△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，D是BC的中点，且它关于AC的对称点为D′，则BD′＝_______.
15．如图，点A在反比例函数的图象上，OA＝4，AC⊥x轴，OA的中垂线交x轴于B．求△ABC的周长.



16．有一人字形屋架(等腰三角形)，其顶角为120°，两腰长均为4米，现拟定以其中一腰和底重新组成一个三角架，试问将屋架的第三边改为多少时，新的三角架为直角三角形?




17．(牡丹江)有一块直角三角形的绿地，量得两直角边分别为6m，8m.现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以原来绿地8m长的边为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.




A(3,4)
B(a,1))
x
y
O
18．如图A(3，4)，B(a，1)，AB＝5，C、D分别为x轴、y轴上的两动点.求四边形ABCD周长的最小值.





19．如图，在正△ABC中，DC＝4，DB＝3，DA＝5，求∠CDB．






20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为三角形内一点，DC＝2，DB＝1，DA＝3．求∠CDB．





培优升级•奥赛检测

01．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E在斜边BC上且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，得到△AFB，连接EF，则下列结论:①△AED≌AEF；②△ABE≌△ACD；③BE＋DC＝DE；④BE2＋DC2＝DE2其中正确的是( )
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
02．(四川联赛试题)BD是△ABC的中线，AC＝6且∠ADB＝45°，∠C＝30°，则AB＝( )
A． B． C． D．6
03．（江西竞赛）若将三条高线长度分别为x、y、z的三角形记为(x，y，z)，现在以下四个三角形(6，8，10)，(8，15，17)，(12，15，20)，(20，21，29)中，直角三角形的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
04．(北京竞赛)如图，ABCD是一张长方形纸片，将AD，BC折起、使A、B两点重合于CD边上的P点，然后压平得折痕EF与GH.若PE＝8cm，PG＝6cm，EG＝10cm，则长方形纸片ABCD的面积为（）cm2
A．105.6 B．110.4 C．115.2 D．124.8
05．如图，在由单位正方形组成的网格图中标出了AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( )
A．CD、EF、GH B．AB、CD、EF C．AB、CD、GH D．AB、EF、GH








06．(四川省初二数学联赛试题)如图，等边三角形ABC内有一点P，过点P向三边作垂线，垂足分别为S、Q、R，且PQ＝6，PR＝S，PS＝10，则△ABC的面积等于( )
A． B． C． D．
07．(四川省初二数学联赛试题)如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，当P点移动____秒时，PA与腰垂直.
08．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，AB＝AD＝2，AC＝4，且BD:DC＝2:3则BC＝______.
09．(黑龙江竞赛)小宇同学在布置班级文化园地时，想从一块长为20cm，宽为8cm的长方形彩色纸板上剪下一个腰长为10cm的等腰三角形，并使其一个顶点在长方形的一边上，另两个顶点落在对边上，请你帮他计算出所剪下的等腰三角形的底边长.









10．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB，AC上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5.求.S△DEF




11．如图①，已知直线y＝－2x＋4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．
⑴求点A、C的坐标；
⑵将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；
D
x
y
O
B
A
C
B’
图②
⑶在坐标平面内，是否存在点P(除点B外)，使得△APC与△ABC全等，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由.
图①
x
y
O
B
A
C








12．(浙江省义乌)如图1，已知∠ABC＝90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点(点P与B不重合)，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F.
⑴如图2，当BP＝BA时，∠EBF＝_____°，猜想∠QFC＝_______°；
⑵如图l，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；
⑶已知线段AB＝，设BP＝x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式.











13．一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一卫生站A，距公路30km的地方有一居民点B，A、B之间的距离为60km.一天某司机驾车从卫生站送一批急救药品到居民点.已知汽车在公路上行驶的最快速度是60km/h.在草地上行驶的最快速度是30km/h，问司机应以怎样的路线行驶，所用的行车时间最短?最短时间是多少?








14．是否存在这样的直角三角形，它的两条直角边长为整数，且它的周长与面积的数值相等?若存在，求出它的边长；若不存在，说明理由.






第20讲 平行四边形
考点•方法•破译
⒈理解并掌握平行四边形的定义、性质、和判定方法，并运用它们进行计算与证明.
⒉理解三角形中位线定理并会应用.
⒊了解平行四边形是中心对称图形.
经典•考题•赏析
【例1】（莆田）已知:如图在□ ABCD中,过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA的延长线AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F．
⑴观察图形并找出一对全等三角形：△ ≌△ ，请加以证明；
⑵在⑴中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？
【解】⑴①△DOE≌△BOF
证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD
∴∠MBO ＝∠NDO,∠BMO＝∠DNO，又∵BO＝DO ∴△BOM≌△DON（AAS）
③△ABD≌△CDB
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝CB，AB＝CD，又∵BD＝DB ∴△ABD≌△CDB（SSS）
⑵绕点O旋转180°后得到或以点O为中心作对称变换得到．
【变式题组】
01．（吉林省长春）如图，在□ ABCD中，∠BAD＝32°．分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF，使BE＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF，延长AB交边EC于点上，点H在E、C两点之间，连接AE、AF．⑴求证：△ABE≌△FDA；
⑵当AE⊥AF时，求∠EBH的度数．

02．（沈阳）如图，已知在□ ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG．
求证：四边形GEHF是平行四边形．




02．（长春）如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使CD＝BC．点E在边AC上，以CD、CE为邻边作□ CDFE．过点C作CG∥AB交EF于点G，连接BG、DE．
⑴∠ACB与∠DCG有怎样的数量关系？请说明理由；
⑵求证：△BCG≌△DCE．

【例2】如图，□ ABCD的周长为20，BE⊥AD，BF⊥CD，BE＝2，BF＝3.则□ ABCD的面积为 ．
【解法指导】在三角形或平行四边形中，若题目中有高，常利用面积等式建立方程，从而求解．
【解】∵□ ABCD的周长为20，∴AD＋DC＝10，设AD＝x, 则DC＝10－x
S□ ABCD＝AD•BE＝DC•BF ∴2x＝3（10－x） ∴x＝6
S□ ABCD＝AD•BE＝6×2＝12
【变式题组】
01．如图，□ ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，∠EBF＝60°,AE＝3,DF＝2.求EC、EF的长．

02．（上海竞赛）在□ ABCD中，M是AD的中点,N是DC的中点，BM＝1,BN=2，∠MBN＝60°
求BC的长．

03．（北京初二年级竞赛试题）平行四边形ABCD中,AD＝a,CD＝b,过点B分别作AD边上的高Ha和CD边上的高Hb,已知Ha≥a, Hb≥b,对角线AC＝20厘米,求平行四边形ABCD的面积.






【例3】（南昌）如图:在平面直角坐标系中,有A（0,1）,B（－1,0）,C（1,0）三点.
⑴若点D与A、B、C三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标；
⑵选择⑴中符合条件的一点D，求直线BD的解析式．
【解法指导】已知固定的三个点，作平行四边形应有三种可能性，如图所示，因而本题D点坐标应有三种可能性．
【解】 ⑴D1（2，1） D2（－2，1） D3（0，－1）
⑵若选择D3（0，－1），可求得解析式：y＝－x－1
【变式题组】 已知固定的三个点，作平行四边形时应有三种可能性，如图所示，因而本题D点坐标应有三种可能性．
【解】⑴D1（2，1） D2（－2，1） D3（0，－1）
⑵若选择D3（0，－1），可求得解析式：y＝－x－1
【变式题组】
01．如图，直线l1:y＝－＋3与y轴交于点A，与直线l2交于x轴上同一点B，直线l2交y轴于点C，且点C与点A关于x轴对称．
⑴求直线l2的解析式 ；
⑵设D（0，－1），平行于y轴的直线x＝t分别交直线l1和l2于点E、F．是否存在t的值，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．



02．如图，在直角坐标系中，A（1，0），B（3，0），P是y轴上一动点，在直线y＝x上是否存在点Q，使A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出对应的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．


03．（四川资阳）若一次函数y＝2x－1和反比例函数y＝的图象都经过点（1，1）．
⑴求反比例函数的解析式；
⑵已知点A在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A的坐标；
⑶利用⑵的结果，若点B的坐标为（2，0），且以点A、O、B、P为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P的坐标．



【例4】（齐齐哈尔）如图1.在四边形ABCD中,AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则∠BME＝∠CNE（不需证明）
(温馨提示:在图1中，连接BD,取BD的中点H,连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE＝HF，从而∠1＝∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME＝∠CNE．)
问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O,AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF,分别交DC、AB于M、N，判断∆OMN的形状，请直接写出结论．
问题二:如图3，在∆ABC中，AC>AB,D点在AC上，AB＝CD,E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G,若∠EFC＝60°,连接GD,判断∆AGD的形状并证明.
【解法指导】出现中点，联想到三角形中位线是常规思路，因为三角形中位线不仅能进行线段的替换，也可通过平行进行角的转移．

【解】⑴△OMN为等腰三角形．
⑵△AGD为含有30°的直角三角形．
证明：连接BD，取BD的中点M，连接FM、EM．
∵AF＝FD，BM＝MD ∴MFAB 同理MECD．∵AB＝CD ∴MF＝ME，
又∵∠2＝∠1＝60°，∴△MEF为等边三角形，∴∠4＝∠3＝60°，∠5＝60°
R
P
D
C
B
A
E
F

∴△AGF为等边三角形 ∴FG＝FD ∴∠ADG＝30°
∴△AGD为含有30°的直角三角形．
【变式题组】
01．（扬州）如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，
E、F分别是 AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不
动时，那么下列结论 成立的是 （ )
A、线段EF的长逐渐增大 B、线段EF的长逐渐减小
C、线段EF的长不变 D、线段EF的长与点P的位置有关
02．如图，在△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平分线， BD⊥AD于D,AB＝12,AC＝22,则MD的长为（ ）.
A.3 B.4 C.5 D.6
【例5】（浙江竞赛）如图1，在△ABC中，∠C＝90°,点M在BC上，且BM＝AC,点N在AC上，且AN＝MC,AM与BN相交于点P,求证：∠BPM＝45°.
【解法指导】题中相等线段关联性不强，能否把相等的线段（或角）通过改变位置，将分散的条件集中，从而构造全等三角形解决问题．
【解】方法一、如图2，过M作 MEAN,连接BE,EN,则得 AMEN, ∴ME⊥BC,AM＝EN
在△AMC和△BEM中 ，AC＝BN,∠BNE＝∠C＝90°, ME＝MC
∴△AMC≌△BEM ∴BE＝AM＝EN,∠3＝∠4 ∵∠1＝∠2,∠1＋∠4＝90°
∴∠2＋∠3＝90°, ∴△BEN为等腰直角三角形， ∠BNE＝45°,∴∠BPM＝45°
方法2：如图3，过B作BFAN,连接AF,FM也可证得．
【变式题组】
01．如图，在等腰△ABC中， AB＝AC,延长边AB到点D,延长CA到点E,连接DE，若AD＝BC＝CE＝DE,求∠BAC的度数．


演练巩固 反馈提高
01．（东营）如图，□ ABCD中，已知AD＝8cm,AB＝6cm,DE平分∠ADC交BC边于点E,则BE等于（ ）
A.2cm B.4cm
C.6cm D.8cm
02．(桂林）如图，□ABCD中，AC,BD为对角线，BC＝6,BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（ ）
A.3 B.6 C .12 D.24
03．(威海）如图，在四边形ABCD中，E为BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F,AB＝BF,添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你认为四个条件中可选择的是（ ）
A．AD＝BC B.CD＝BF C.∠A＝∠C D.∠F＝∠CDE
04．(日照）如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD,AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E,则△ABE的周长为（ ）
A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm
05．（浙江金华）某广场有一个形状是平行四边形的花坛（如图）分别种有红黄蓝绿橙紫6得颜色的花，如果有AB∥EF∥DC,BC∥GH∥AD,那么下列说法错误的是
A．红花，绿花种植面积一定相等 B.紫花，橙花种植面积一定相等
C.红花，蓝花种植面积一定相等 D.蓝花，黄花种植面积一定相等
06．（陕西）如图，l1 ∥ l2 BE∥CF, BA⊥l1 DC ⊥l2,下面四个结论中AB＝DC; ‚BE＝CF ƒS△ADE＝S△DCF ④S□ABCD＝S□BCFE,其中正确的有（ ）
A.4个 B .3个 C.2个 D .1个
07．(成都）已知四边形ABCD,有以下四个条件： AB∥CD ‚AB＝CD ƒBC∥AD ④BC＝AD 从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD为平行四边形的选法种数有（ ）
A.6种 B.5种 C.4种 D.3种
08．（厦门）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E,F分别是AB,CD的中点，AD＝BC,∠PEF＝180,则∠PFE的度数为________
09．.如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD中，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A恰好落在CD上的F点，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为_________
10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝3,AC＝4,将△ABC沿直线BC向右平移2.5个单位得到△DEF,AC与DE相交于点G,连接AD,AE,则下列结论中成立的是____
四边形ABED是平行四边；‚△AGD≌△CGE ƒ△ADE为等腰三角形 ④AC平分∠EAD




11．(长春）如图□ABCD中，E是BC边上一点，且AB＝AE.
11. 求证:△ABC≌△EAD
12. 若AE平分∠DAB,∠EAC＝25°,求∠AED的度数．





12．(荆州)如图，□ABCD内一点E满足ED⊥AD于D,且∠EBC＝∠EDC,∠ECB＝45°,找出图中一条与EB相等的线段，并加以证明．





13．已知，如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将线段DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F,连接DC,AE.
⑴求证：△ADE≌△DFC
⑵过点E作EH∥DC交DB于点G ,交BC于点H,连接AH,求∠AHE的度数．

























培优升级 奥赛检测
01．(铁岭)△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B,C 重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB,AC于点F,G ,连接BE.
⑴如图1所示，当点D在线段BC上时，求证：△AEB≌△ADC;‚探究四边形BCGE是怎样特殊四边形？并说明理由．
⑵如图2所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出(1)中的两个结论是否成立？












02．(山东省初中数学竞赛试题)如图，△ABC中，AB＝3,AC＝4,BC＝5,△ABD ,△ACE △BCF都是等边三角形，求四边形AEFD的面积．











03．(武汉) 如图，□ABCD中，BC＝2AB,CE⊥AB,E为垂足，F为AD的中点，若∠AEF＝54°,求∠B的度数．









04．(南昌市)八年级竞赛试题四边形ABCD的对角线AC,BD交于P,过点P作直线EF,交AD于E ,交BC于F,若PE＝PF,且AP＋AE＝CP＋CF,求证：四边形ABCD为平行四边形．




05．(荆州市八年级数学联赛试题)如图，已知在四边形ABCD中，AB＝AD,AB⊥AD;连接AC,过点A作AE⊥AC且使AE＝AC;连接BE,过点A作AH⊥CD,垂足为H,且交BE于点F,求证：BF＝EF.











06．在课外小组活动时，小慧拿来一道题和小东，小明交流．
题目：如图1，已知△ABC,∠ACB＝90°,∠ABC＝45°,分别以AB,BC为边向外作△ABD与△BCE,且DA＝DB,EB＝EC,∠ADB＝∠BEC＝90°,连接DE交AB于点F,探究线段DF与EF的数量关系．
小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于点G,构造全等三角形，通过推理使问题得解．
小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC＝30°,∠ADB＝∠BEC＝60°.
小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．
请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：
(1)写出题目中DF与EF的数量关系；
(2)如图2，若∠ABC＝30°,∠ADB＝∠BEC＝60°,题目中的其他条件不变，你在(1)中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
(3)如图3，若∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，题目中的其他条件不变，你在(1)中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．











第21讲 菱形与矩形
考点·方法·破译
1．理解并掌握菱形的定义、性质和判定方法，并运用它们进行计算与证明；
2．理解并掌握矩形的定义、性质和判定方法，并运用它们进行计算与证明；
3．理解“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”并会应用．
经典·考题·赏析
【例1】(衢州)如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．
求证：PA＝PQ．
A
B
C
D
Q
P

【解法指导】证明线段相等的方法有如下：⑴若在同一三角形中可利用等腰三角形的判定定理；⑵若在不同三角形中可利用全等三角形证明；⑶利用三角形中位线定理与直角三角形谢边上中线等于斜边一半证明；(4)利用特殊四边形的边与对角线的关系证明等．
证明：∵四边形ABCD为矩形，△PBC、△QCD都是等边三角形
∴BA＝CD＝CQ，∠PBA＝30°，BP＝CP，∠DCP＝∠BCQ＝30°，∴∠PCQ＝30°
在△ABP和△QCP中BA＝CQ，∠ABP＝∠QCP，BP＝CP
∴△ABP≌△QCP，∴PA＝PQ
【变式题组】
01．(荆州)如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE与F，连接DE．求证：DF＝DC．
A
B
C
D
E
F

02．(荆州)如图，矩形ABCD中，DP平分∠ADC交BC于点P，将一个直角三角板的直角顶点放在P点处，且使它的一条直角边过A点，另一条直角边交CD于E．找出图中与PA相等的线段．并说明理由．
A
B
C
E
D
6图duAD,AB)___P

03．如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，求∠BOE的度数．
A
B
C
E
D
O

A
B
C
E
D
O
【例2】已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，AE＞DE，BE＝BC，点O是线段CE的中点．
⑴试说明CE平分∠BED；
⑵若AB＝3，BC＝5，求BO的长；
⑶在直线AD上是否存在点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是菱形？如果存在，试画出点F的位置，并作适当的说明；如果不存在，请说明理由．
【解】⑴∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BCE＝∠DEC．
又∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC．∴∠BEC＝∠DEC，∴CE平分∠BED．
⑵在Rt△中，AB＝3，BE＝BC＝5，∴AE＝4．
在Rt△CDE中，CD＝3，DE＝1，∴EC＝．
在Rt△BOC中，BC＝5，CO＝，∴BO＝＝．(注：此处用面积法求BO也可)
⑶在直线AD上存在点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是菱形．
A
B
C
O
x
y
延长ED至F，使得EF＝BC，此时四边形BCFE是菱形．
∵AE＞DE，∴BE＞CE，
因此在EA的延长线上不存在点F，使得四边形BCEF为菱形．
【变式题组】
01．(烟台)如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数y＝的图像上，菱形的面积为_________．
02．(益阳)两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A＝60°，AC＝1．固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：
⑴如图1，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连接DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积；
⑵如图2，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．
A
B
C
F
E
D
图1
F
C
E
B
D
A
图2



【例3】(全国联赛)如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E、F分别是垂足，则PE＋PF＝__________．
A
B
C
F
E
D
O
P
G
F
E
D
A
P
C
O
B

【解法指导】因为P是AD上任意一点，故想求出PE、PF长的具体数据是不可能的，从特殊位置考虑，当P与A重合时，PE＋PF就等于点A到BD的距离，因而只需要求出A到BD的距离，事实上利用面积法可以证明下列命题“等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．”
解：如图，过A作AG⊥BD于G，∵等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离之和等于腰上的高．∴PE＋PF＝AG．Rt△ABD中，AD＝12，AB＝5，BD＝13．S△ABC＝AB•AD＝BD•AG，∴AG＝，∴PE＋PF＝．
【变式题组】
01．⑴观察与发现：讲矩形纸片AOCB折叠，使点C与点A重合，点B落在点B＇处(如图1)，折痕为EF．小明发现△AEF为等腰三角形，你同意吗？请说明理由．
⑵实验与应用：以点O为坐标原点，分别以矩形的边OC、OA为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，若顶点B的坐标为(9，3)，请求出折痕EF的长及EF所在直线的函数关系式．
A
B
C
F
E
B＇
O
A
B
C
F
E
B＇
O
y
x
图1
图2

02．(佳木斯)如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠使点B落到B＇的位置，AB＇与CD交于点E．
⑴试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；
⑵若AB＝8，DE＝3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG＋PH的值，并说明理由．
A
B
C
E
D
H
G
P
B＇　


【例4】(沈阳)如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；
⑴延长MP交CN于点E(如图2)．①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PM＝PN；
⑵若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其他条件不变，此时PM＝PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
⑶若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其他条件不变．请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM＝PN还成立吗？不必说明理由．
A
B
C
M
N
P
a
A
B
C
M
N
P
a
E
A
a
N
P
M
B
C
图1
图2
图3

【解法指导】
⑴证明：①如图2，∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMN＝∠CNM＝90°，∴BM∥CN，∴∠MBP＝∠ECP，∵P为BC的中点，∴BP＝CP，又∵∠BMP＝∠CPE，∴△BPM≌△CPE，
②∵△BPM≌△CPE，∴PM＝PE，∴PM＝ME，∴在Rt△MNE中，PN＝ME，∴PM＝PN；
⑵成立，如图3，
A
B
C
D
O
M
A＇　　
60°
45°
证明：延长MP与NC的延长线相较于点E，∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMN＝∠CMN＝90°，∴∠BMN＋∠CNM＝180°，∴BM∥CN，∴∠MBP＝∠ECP，∵P为BC的中点，∴BP＝CP，∵∠BPM＝∠CPE，∴△BPM≌△CPE，∵PM＝PE，∴PM＝ME，则在Rt△MNE中，PN＝ME，∴PM＝PN．
⑶四边形MBCN是矩形，PM＝PN成立．
【变式题组】
01．(绵阳)如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，AB＝a．将△ABO沿BO对折于△A’BO，M为BC上一动点，则A’M的最小值为________．
02．(营口)如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC＝PA，PD＝PB，∠APC＝∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．
⑴猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；、
⑵当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，⑴中的结论还成立吗？说明理由．
⑶如果⑵中，∠APC＝∠BPD＝90°，其他条件不变，先补全图3，再判定四边形EFGH的形状，并说明理由．
A
B
C
H
G
F
E
D
P
A
B
C
H
G
F
E
D
P
A
B
P
图1
图2
图3









03．(北京)如图所示，一根长为2a的木棍(AB)，斜靠在与地(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．
⑴请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由；
⑵在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．
A
B
O
P
M
N


演练巩固 反馈提高
01．(仙桃)将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为( )
A． B．2 C．3 D．
O
A
B
C
x
y
C１
D
A
B
C
F
E
B１
A
B
C
E
D
A＇　
第3题图
第2题图
第1题图

02．(长春)菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝，则点B的坐标为( )
A．(，1) B．(1，) C．(＋1，1) D．(1，＋1)
03．(浙江丽水)如图，在△ABC中，AB＞AC，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE沿线段DE翻折，使点A落在边BC上，记为A’，若四边形ADA’E是菱形，则下列说法正确的是( )
A．DE是△ABC的中位线 B．AA’是BC边上的中线
C．AA’是BC边上的高 D．AA’是△ABC的角平分线
04．(山东临沂)如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为( )
A． B． C． D．3
A
C
D
E
F
B
A
B
C
F
E
D
H
G
A
B
C
D
E
F
A
B
C
F
E
D
O
H
第4题图
第5题图
第6题图
(方案一)
(方案二)

05．一次数学课上，老师让大家在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，折出一个菱形．甲同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH(见方案一)，乙同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB的方法得到菱形AECF(见方案二)，请你通过计算，比较这两种折法中，菱形面积较大的是( )
A．甲 B．乙 C．甲乙相等 D．无法判断
06．(大兴安岭)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED，正确的结论为_________________．
07．(临沂)如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，则CE的长为__________．
A
B
C
D
F
E
第8题图
60°
第9题图
A
B
C
D
M
B＇
第10题图
第7题图
C
F
E
D
O
A
B

08．如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD＝6，则AF＝____________．
09．红丝带是关注艾滋病防止问题的国际性标志．将宽为1cm的红丝带交叉成60°角重叠在一起(如图)，则重叠四边形的面积为_______cm．
10．(荆州)如图，一张长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b(a＞b)，在BC边上选取一点M，将△ABM沿AM翻折后B至B’的位置，若B’为长方形纸片ABCD的对称中心，则的值是__________．

11．(郴州)一种千斤顶利用了四边形的不稳定性．如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小(菱形的边长不变)，从而改变千斤顶的高度(即A、C之间的距离)．若AB＝40cm，当∠ADC从60°变为120°时，千斤顶升高了多少？(＝1．414，＝1．732，结果保留整数)
A
B
C
D
手柄

12．如图所示，四边形OABC是矩形，点D在OC边上，以AD为折痕，将△OAD向上翻折，点O恰好落在BC边上的点E处，若△ECD的周长为2，△EBA的周长为6．
⑴矩形OABC的周长为_______；
⑵若点A坐标为(，0)，求线段AD所在直线的解析式．
A
B
C
E
D
O
x
y



13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，ME⊥AC，MF⊥BC，D是AB的中点．求证：△DEF是等腰直角三角形．
A
B
C
F
E
D
M



14．如图，矩形ABCD中，AC＝2AB，O为AC的中点，延长AB到E，使BE＝AB，连接EO并延长交BC于F，交AD于M．求证：四边形AFCM是菱C
F
E
D
O
M
B
A
形．


15．如图，矩形ABCD，E是CB延长线上一点，且CE＝CA，F是AE的中点．求证：DF⊥BF．
A
B
C
F
E
D

16．(南平)如图1，在△ABC中，AB＝BC，P为AB边上一点，连接CP，以PA、PC为邻边作□APCD，AC与PD相交于点E，已知∠ABC＝∠AEP＝α(0°＜α＜90°)．
⑴求证：∠EAP＝∠EPA；
⑵□APCD是否为矩形？请说明理由；
⑶如图2，F为BC的中点，连接FP，将∠AEP绕点E顺时针旋转适当的角度，得到∠MEN(点M、N分别是∠MEN的两边与BA、FP延长线的交点)．猜想线段EM与EN之间的数量关系，并证明你的结论．
图1
A
B
D
C
E
P
图2
A
B
D
C
E
P
M
N
F




培优升级 奥赛检测
01．在一次函数y＝－x＋3的图象上取一点P，作PA⊥x轴，垂足为A，作PB⊥y轴，垂足为B，且矩形OAPB的面积为，则这样的点P共有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
02．(杭州)如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E、F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠EPC＝( )
A．35° B．45° C．50° D．55°
03．(安顺)如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则微型机器人停在_____点．
D
C
B
A
E
F
P
D
C
B
A
E
F
G
第2题图
第3题图
C
B
A
O
xB
yxB
第4题图
第5题图

04．(湖州市竞赛试题)如图，在平面直角坐标系xOy中，长方形OABC的顶点B的坐标为(15，6)，直线y＝x＋b恰好将长方形OABC的面积两等分，那么b＝_________．
05．(烟台)如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是_________．

06．Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AB于F，M为EF中点，则AM的最小值为_________．
P
C
A
E
F
B
M
A
B
C
D
E
第6题图
第7题图
A
B
C
D
Q
A＇
第8题图
A
B
C
O
第9题图
x
y

07．(四川省初二联赛试题)已知如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，BC＝且∠ADB＝30°，则△ECD的面积为_________．

08．(河南)动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为_________．
09．(潍坊)已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则OC长的最大值是_________．

10．(全国初中数学竞赛试题)如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别时O(0，0)，A(0，6)，B(4，6)，C(4，4)，D(6，4)，E(6，0)．若直线l经过点M(2，3)，且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是__________________．
D
C
B
A
E
O
M
y
lyYB
xyYB

11．(山东烟台)如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE＋CF＝2．
⑴求证：△BDE≌△BCF；
⑵判定△BEF的形状，并说明理由；
⑶设△BEF的面积为S，求S的取值范围．





12．某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD(AB＜BC)的对角线交点O选择(如图1→2→3)，图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．
⑴该学习小组中一名成员意外地发现：在图1(三角板的一直角边与OD重合)中，BN2＝CD2＋CN2；在图3(三角板的一直角边与OC重合)中，CN2＝BN2＋CD2．请你对这名成员在图1和图3中发现的结论选择其一说明理由；
⑵试探究图2中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
A
B
C
D
O
N
图3

图1

O
A
B
C
D
N
A
B
C
D
O
N
M
图2








13．(四川省初二联赛试题)如图，在凸四边形ABCD中，M为边AB的中点，且MC＝MD，分别过C、D的垂线，设两条垂线的交点为P．求证：∠PAD＝∠PBC．
D
C
B
A
M
P

14．如图已知五边形ABCDE中，∠ABC＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠EAD，F是CD的中点，求证：BF＝EF．
A
B
C
F
E
D





15．(江苏竞赛)如图在△ABC中，D是BC边上的中点，E、F分别是AC、AB边上的点，且∠ABE＝∠ACF，OQ⊥AB，OP⊥AC．求证：DP＝DQ．
A
C
F
E
D
O
P
Q
B





16．(天津)在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点．
⑴若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；(温馨提示：如图，可以作点D关于x轴的对称点D’，连接CD’与x轴交于点E，此时△CDE的周长是最小的．这样，你只需求出OE的长，就可以确定点E的坐标了．
⑵若E、F为边OA上的两个动点，且EF＝2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．
y
B
O
D
C
A
x
E
D′
y
B
O
D
C
A
x








17．(广州)如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3，0)，(0，1)，点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合)，过点D作直线y＝－x＋b交折线OAB于点E．
⑴记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；
⑵当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
C

D

B
A

E

O

x

y












18．(河南)⑴操作发现：如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF＝DF，你同意吗？说明理由．
⑵问题解决：保持⑴中的条件不变，若DC＝2DF，求的值；
⑶类比探求：保持⑴中的条件不变，若DC＝nDF，求的值；
A
E
D
B
C
F
G





第22讲 正方形
考点·方法·破译
1．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫正方形，即邻边相等的矩形或有一个角为直角的菱 形叫正方形．
2．熟练掌握正方形的性质，并能在解决问题时将正方形与等腰直角三角形进行替换思考．
3．掌握正方形的判断方法，并应用它的对称性质解决问题．
经典•考题•赏析
A
B
D
O
C
E
【例1】（上海）如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
⑴求证：四边形ABCD是菱形；
⑵若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
【解法指导】根据条件合理选择判断方法是解决问题的关键．本题可选“对角线
垂直的平行四边形是菱形；有一个角为直角的菱形是正方形”．
证明：⑴∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO
∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC，即DB⊥AC
∴平行四边形ABCD是菱形
⑵∵△ACE是等边三角形，∴∠ACE＝60°，∵EO⊥AC，∴∠AEO＝∠ACE ＝30°，
∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，∵∠ADO＝∠EAD ＋∠ADEO＝45°
∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC＝2∠ADO＝90°
∴四边形ABCD是正方形．
【变式题组】
01．如图，已知正方形ABCD的对角线AC和BD相交于O，点M、N分别在OA、OD上,且MN∥AD．探究：线段DM和CN之间的数童关系，写出结论并给出证明．
M
A
D
N
C
B
O









E
A
D
F
C
B
P
02．如图，点P是正方形ABCD对角线AC上的点，PE⊥AB，PF⊥BC，E、F是垂足，问PD与EF有怎样的关系？ 请说明理由．









G
F
C
B
A
D
E
M
O
N
03．（荆州）如图，将正方形ABCD中的 绕对称中心O旋转至△GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N．请猜想BM与FN有怎样的数量关系？并证明你的结论．









04．(荆州)把一个正方形分成面积相等的四个三角形的方法有很多，除了可以分成相互全等的四个三角形外，你还能用三种不同的方法将正方形分成面积相等的四个三角形吗？请分别画出示意图．





E
G
D
F
C
B
O
A
【例2】（扬州）如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O．
⑴以图中已标有字母的点为端点连接两条线段（正方形的对角线除外），要求所连接的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；
⑵若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为cm2，求旋转的角度.
【解法指导】解⑴AO⊥DE证明：∵在Rt△ADO与Rt△AEO中，AD＝AE，AO＝AO，∴△ADO∽△AEO(HL) ，∴∠DAO＝∠OAE(即AO平分∠DAE) ，AO⊥DE(等腰三角形三线合一)[注：其他的结论也成立如GD⊥BE]
⑵30°∵四边形AEOD的面积为cm2，∴△ADO的面积＝，
在Rt△AOD中， AO2＝OD2＋AD2，
∴AO＝，∴AO＝2OD，∴AD＝2，OD＝，∠DAO＝30°，∴∠DAE＝60°，∴∠EAB＝30°，
【变式题组】
01．(青岛)如图，边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕点A顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是　　　　　．
02．我们给定两个全等的正方形ABCD、AEFG它们共顶点A(如图1)，可以绕顶点A旋转， CD、EF相交于点P．
⑴连接BE、DG（如图2），求证：BE＝DG，BE⊥DG





⑵连接BG、CF(如图)，求证：BG∥CF．



【例3】（临沂）数学课上，张老师提出了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是BC边的中点．∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE＝EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则似AM＝EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF．
在此基础上，同学们进一步的研究：
⑴小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
(2）小华提出：如图3，点E是边BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

【解法指导】若证明两个三角形中的线段相等，而这两三角形又不全等时，可通过构造全等三角形证明线段相等．
解：⑴正确．证明：在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．
∴BM＝BE，∠BME＝45°，∴∠AME＝135°
∵∠ECF＝∠ECD＋∠DCF＝135°
∴∠AME＝∠ECF，∵∠1＋∠AEB＝90°，∠2＋∠AEB＝90°
∴∠1 ＝∠2，∴△AME≌△ECF，AE＝EF
⑵正确．如图，在BA延长线上取一点N，使AN＝CE，连接NE，
∴BN＝BE，∴∠N＝∠FCE ＝45°
∠NAE＝90°＋∠1，∠CEF＝45°
∴∠NAE＝∠CEF，△ANE≌△ECF
∴AE＝EF
【变式题组】
01．(福建省宁德)如图，已知正方形ABCD在直线MN上方，BC在直线MN上；E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．
⑴连接GD，求证：△ADG≌△ABE；
⑵连接FG，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由．

02．(南宁)如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE丄EF．
⑴延长EF交正方形外角平分线CP于点P，试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；
⑵在AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

【例4】（荆州市竞赛题）已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别CB、DC(或它们的延长线)点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BN＝DN时（如图1），易证BM＋DN＝MN．
⑴当∠MAN绕点A旋转到BN≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
⑵当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想并 明．




图1　　　　　　　图2　　　　　　　　图3
【解法指导】欲证两条线段之和等于第三条线段，可通过截长补短，构造全等三角形解决．
解：⑴MN ＝BM＋DN．
证明：延长CB到E，使BE＝DN，连接AE．
∵AB＝AD，BE＝DN，∠ABE＝∠ADN，△ABE≌△ADN．
∴∠1 ＝∠2，AE＝AN，∵∠MAN＝45°，∠1 ＋∠3＝45°
∴∠1 ＋∠2＝45°，∴∠EAM＝∠NAM，AM＝AM
∴△AEM≌△ANM，∴MN＝ME，∴MN＝BM＋DN
⑵ MN ＝ DN－BM．
证明：在DN上截取DF＝BM，连接AF．
∵AB＝AD，∠D＝∠ABM，BM＝DF，∴△ABM≌△ADF．
∴∠4 ＝∠5，AF＝AM，∵∠4 ＋∠6＝45°，∴∠5 ＋∠6＝45°，∴∠FAN＝45°
∴∠FAN＝∴∠MAN，AF＝AM，AN ＝AN，∴△AFN≌△AMN．
∴MN＝FN，MN＝DN－BM．
【变式題组】
01．（衡阳）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F移动过程中：
⑴ ∠EAF的大小是否有变化？请说明理由；
⑵ △ECF的周长是否有变化？请说明理由．



02．如图，有四个动点P、Q、E、F分别从边长为1的正方形ABCD的四个顶点出发，沿AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动
⑴试判断四边形PQEF的形状，并证明；
⑵PE是否总过某一定点，并说明理由；
⑶四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小和最大？各是多少？





03．（济宁）在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕点O顺时针旋转，当A点第一次落在直线y＝x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N(如图)．
⑴旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；
⑵设△MBN的周长为p，在正方形OABC旋转的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论．

【例5】小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到了这样一道题：
“已知正方形ABCD，点E、F、G、H只分别在AB、BC、CD、DA上，若EG丄FH，则GE＝FH”经过思考，大家给出了以下两个方案：
(甲）过点A做AM∥HF交BC于点M，过点B作BN∥EG交CD于点N；
(乙）过点A做AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N；
小杰和他的同学顺利的解决了该题后，人家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索．
⑴对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图1）；
⑵如果把条件中的“EG丄HF”改为“EG与HF的夹角为45°”，并假设正方形ABCD的边长为1，FH的长为(如图2)，试求EG的长度．






【解】⑴证明：如图3过点A作AM∥HF交BC于点M，作AN∥EG交CD的延长线于点N
∴AM＝HF，AN＝EG，∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠BAD＝∠AND＝90°
∵EG⊥FH，∴∠NAM＝90°，∴∠BAM＝∴∠DAN
在△ABM和△ADN中∴△ABM≌△ADN，∴AM＝AN，即EG＝FH
⑵解：如图4过点A作AM∥HF交BC于点M，过点A作AN∥EG交于点N，
∵AB＝1，AM＝FH＝，∴在Rt△ABM中，BM＝
将△ADN绕点A旋转到△APB，∵EG与FH的夹角为45°
∴∠MAN＝45°，∴∠DAN＋∠MAB＝45°即∠PAM＝∠MAN＝45°
从而，△APM≌△ANM，∴PM＝NM
设DN＝x，则NC＝1－x，MN＝PM＝＋x
在Rt△ABM中，(＋x)2＝＋(1－x)2解得x＝，∴EG＝AN＝＝．
【变式题组】
01．（哈尔滨）若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，BE＝3，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为 ．
02．（天孝）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1．以点A为中心，把△ADE顺时针旋转 90°，得△ADE'，连接EE'，则EE'的长等于 ．
03．（上海）已知正方形ABCD中,点E在边DC上，DE＝2，EC＝1(如图所示)把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为 ．
04．(盐城)小明尝试着将矩形纸片ABCD(如图①，AD＞CD)沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处,折痕为(如图②)；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG(如图③)．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，矩形ABCD长与宽的比值为 ．


05．（黑龙江鸡西）平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作以CE丄MN于点E，过点B作BF丄MN于点F．当点E与A重合时（如图1），易证：AF＋BF＝2CE．当三角板绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，清直接写出你的猜想，并证明．








演练巩固·反馈提高
01．（江苏常州）顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ）
A．等腰梯形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形
02．（烟台）如图，将n个边长为1cm瓜的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积为（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2

03．（山西省）如图⑴，把一个长为m、宽为n的长方形（m＞n）沿虚线剪开，并拼成图⑵，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ）
A．　　　 B．m－n 　　　C．　　　　　 D．
04．（白银）如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE丄AD于点E，且四边形ABCD的面积为8， 则BE＝（ ）
A．2　　　 B．　　　　C．3　　　　　 D．
05．（抚顺）如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC 有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A．　　　 B．　　　　　C．3　　　　　 D．
06．（贺州）如图，正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是 cm2．

07．如图，四边形ABCD是正方形，直线l1、l2、l3分别经过A、B、C三点，且l1∥l2∥l3，若l1与l2的距离为a，l2与l3的距离为b，则正方形ABCD的面积是 ．
08．（重庆）如图，在正方形纸片ABCD中，对角线八AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点 A恰好与BD上的点F重合．展开后，折痕DE分别交AB、AC于点E、G．连接GF．下列结论：①∠ADG＝112．5°；②AD＝2AE；③S△ACG＝ S△OCD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE＝2OG，其中正确的结论序号是 ．
09．（北京）如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N＝ ，若M、N分别是AD、BC边上的距DC最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N＝ （用含有n的式子表示）．


10．（威海）如图1，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，HA＝EB＝FC＝GD，连接EG、FH，交点为O．
⑴如图2，连接EF、FG、HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
⑵将正方形ABCD沿线段EG、HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形，若正方形ABCD的边长为3 cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1cm，则图3中阴影部分的面积为 cm2．

11．(黄石)如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E， 交∠BCA的外角平分线于F．
⑴探究线段OE与OF的数量关系并证明；
⑵当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；
⑶当点O运动到何处时，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？







12．（常德）如图1，若四边形ABCD、四边形GFED都是正方形，显然图中有AG＝CE，AG⊥CE．
⑴当正方形GFED绕D旋转到如图2的位置时，AG＝CE是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说 明理由；
⑵当正方形GFED绕D旋转到如图3的位置时，延长CE交AG于H交，于AD于M．①求证：AG丄CH；②当AD＝4，DG＝时，求CH的长．










13．如图，在△AEC中，以∠AEC为锐角，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AH的中点是M．
求证：△FMH是等腰直角三角形．












培优升级·奥赛检测
01．（南昌市八年级竞赛试题）P为正方形ABCD内一点，若PA﹕PB﹕PC＝1﹕2﹕3，则∠APB的度数为（ ）
A．120° B．135° C．150° D．以上都不对
02．（四川省初二联赛试题）如图，边长为1的正方形ABCD绕A逆时针旋转
30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
03．在正方形所在的平面内有一点P，便△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是
等腰三角形，那么具有这样性质的P点共有（ ）
A．9个 B．7个 C．5个 D．1个
04．如图，G是边长为4的正方形ABCD的边长BC上一点，矩形DEFG的边EF过点A，GD＝5，则EG的长为 ．








05．（第十九届江苏省初二竞赛试題）如图，四边形ABCD为正方形，AB为边向正方形外作等边三角形ABE．CE与DB相交于点F ，则∠AFD＝ 度．
06．（荆州市八年级联赛试题）如图，已知：△AEC是以正方形ABCD的对角线为边的等边三角形，EF丄AB，交AB延长线于F，则∠BEF的度数为 ．
07．按如图所示，把一张边长超过10的正方形纸片剪成5个部分，则中间的小正方形（阴影部分）的周长为 ．
08．如图，正方形ABCD在坐标系中的位置如图所示，点B坐标为(4，4)，当三角板直角顶点P坐标为(3，3)时，设一直角边与x轴交于点E，另一直角边与y轴交点于F．在三角板绕点P旋转的过程中，使得△POE成为等腰三角形．有满足条件的点F的坐标为 ．
09．（湖州市竞赛试题）在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O(0，0) 、A(100，0) 、B(100，100) 、C(0，100)．若正方形OABC内部（边界及顶点除外）一格点P满足；S△POA×S△PAC ＝ S△PAB×S△POC就称格点P为“好点”，则正方形OABC内部“好点”的个数为 个．



10．如图，已知正方形ABEF和正方形ACGH在△ABC的外部．若M是BC的中点，求证FH＝2AM









11．如图，把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG＞BC)，取线段AE的中点M．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．












12．（宁德）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将服BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
⑴求证：△AMB≌△ENB；
⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
⑶当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长．












第23讲　　梯　形
考点•方法•破译
１. 掌握梯形的定义与特殊梯形的性质．
２. 掌握特殊梯形的判定方法．
３. 掌握梯形中常见５种辅助线：①平移腰，②平移对角线，③作高，④延长两腰，⑤平移底．
经典•考题•赏析
A
D
【例１】（齐齐哈尔）梯形ABCD中，AD‖BC，AD＝1,BC＝4,∠C＝70°,∠B＝40°,则AB的长为（　　　）
A．2 B ．3 C． 4 D． 5
【解法指导】过A作AE∥DC,将梯形转化为一个平行四边形和一个　　　
C
B
三角形，其中△ABE中各内角可求出，易知AB＝BE,故选B.
E
【变式题组】
01．如图，四边形ABCD中,AB∥CD,∠B＝２∠D,若AB＝3,BC＝5,则CD＝______.
02．已知四边形ABCD中，AB＝DC,AC＝BD,AD≠BC,求证：四边形ABCD是等腰梯形．
03．(荆州)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠C＝90°中 AB＝AD,连接BD过A作BD的垂线,交BC于E,如果EC＝3㎝,CD＝4㎝,那么梯形ABCD的面积是_______cm2.
D
A
04．(宿迁)如图,在梯形ABCD中, AD∥BC,AB＝CD.∠B＋∠C＝90°,AD＝1,BC＝3,E.F分别是AD、BC的中点，则EF＝________.
D
E
A
D
A
B
A
　　
第４题图
F
C
B
第３题图
C
B
第２题图
C
B
第１题图
C
D


E


【例２】（桂林）梯形ABCD中，AD∥BC,AB＝CD,AC⊥BD,AD＝6,BC＝8,求梯形的高．
E
B
A
【解法指导】由于条件与对角线有关，因而可考虑平移对角线，从而构造等腰直角三角形解决问题．解：过D作DE‖AC交BC的延长线于E，过D作DF⊥BC,∵AD‖BC,AB＝AD∴AC＝BD,∵AD‖CE,AC‖DE　∴四边形ACED是平行四边形，∴AC＝DE
D
∴Rt△BDE中,BD＝DE,∵DF⊥BE
∴DF是BE边上的中线
∴DF＝
C
F
　　　　　　　　　

【变式题组】
01．（临沂）如图在等腰梯形ABCD中，AD‖BC,对角线AC⊥BD于点O,DF⊥BC,垂足分别为E、F,设AD＝a，BC＝b,则四边形AEFD的周长是(　　)．
　A.3a＋b B.2(a＋ｂ) C.2b＋a D.4a＋b
02．如图，在梯形ABCD中，AD‖BC,对角线AC⊥BD,AC＝8㎝,BD＝6㎝.则梯形的高为__㎝.
第2题图
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
O

1题图





03．在数学活动课中，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为４５０㎝２，则两对角线所用的竹条至少需要（　　）．
　A.㎝. B.30㎝. C.60㎝. D. ㎝
E
D
C
B
A
04．(上海)已知梯形ABCD中，AB∥BC,AB＝AD(如图所示)，∠BAD的平分线AE交BC于点E,连接DE．
（１）求证：四边形ABED是菱形；
（２）∠ABC＝60°EC＝2BE,求证：ED⊥DC

O



【例３】(乐山)在直角梯形ABCD中，AD‖BC.点E是边CD的中点，若AB＝AD＋BC,,求梯形的面积．
【解法指导】若梯形中已知条件与腰的中点有关，则可作另一腰中点构造梯形的中位线或连接AE并延长交BC的延长线天F点，从而构造全等三角形，这样求出△ABF的面积即为梯形的面积．
F
E
D
C
B
A
解：连接AE并延长交BC延长线于F.
∵AD∥BF,∠D＝∠ECF, ∠DEA＝∠CEF,DE＝CE
∴△ADE≌△FCE
∴AE＝EF,AD＝CF
∵AB＝AD＋BC
∴AB＝BF
∴△ABF为等腰直角三角形．
∴BE⊥AF,2BE＝AF＝5
∴S梯形ABCD＝ S△ABF＝×5×＝
【变式题组】
01．(浙江湖州)如图，已知在直角梯形AOBC中，AC∥OB,CB⊥OB,OB＝18,BC＝12,AC＝9,对角线OC、交天点D,点E、F、G分别是CD,BD,BC的中点，以O为原点，直线OB为轴建立平面直角坐标系，则G、E、D、F四个点中与点A在同一反比例函数图象上的是（　　　）．
A.点G B.点E C.点D D.点F
02．（东营）如图，点C是线段AB上的一个动点，△ACD和△BCE是在AB同侧的两个等边三角形，DM、EN分别是△ACD和△BCE的高，点C在线段AB上沿着从点A向点B的方向移动（不与点A、BT重合），连接DE,这个四边形的面积变化情况为（　　）．
　　　A.逐渐增大　　　　　　B. .逐渐减小　　　C.始终不变　　　D.先增大后变小
03．（桂林）如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上，且AC＝DB＝2;P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB,连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动的路径的长是_______.
A
B
C
O
·
E
F
D
G
• ·
·

1题图
A
B
C
D
E
M
N
2题图
●
●
●
A
C
B
D
P
E
G
F
3题图
A
B
C
D
E
F
4题图
04． (眉山)在直角梯形ABCD中，AB∥DC,AB⊥BC,AB＝2CD,E、F分别为AB、AD的中点，连接EF、BF、CF.在不添加其他条件下，写出图中一对全等三角形，并证明．


演练巩固 反馈提高.
01．(荆门)等腰梯形ABCD中,E、F、G﹑H分别是各边的中点,则四边形EFGH的形状是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
02．(威海)在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A＝60°, ∠B＝30°,AD＝CD＝6,则AB的长度为( ).
A.9 B.12 C.18 D.6＋
03．(淄博)如图,梯形ABCD中, ∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P,若EF＝3,则梯形ABCD的周长为( )
A.9 B.10.5 C.12 D.15
04．(鄂州)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD＝2BC＝CD＝5,点P在BC上移动,则当PA＋PD取最小值时,△APD中边AP上的高为( ).
A. B. C. D.3
05．(遂宁)如图,在梯形ABCD中, ,AB∥CD, ∠D＝90°AD＝DC＝4,AB＝1,F为AD的中点,则点 F到BC的距离是( )
A.2 B.4 C.8 D.1
A
B
C
D
E
F
P
3题图
• ●
A
B
C
D
P
4题图
●
A
B
C
D
5题图

06．(山西太原)在梯形ABCD中,AD∥BC,AB＝DC＝3,沿对角线BD翻折梯形ABCD,若点A恰好落在下底BC的中点E处,则梯形的周长为________.
07．如图(1), △ABC是直角三角形,如果用四张与△ABC全等的三角纸片恰好拼成一个等腰梯形,如图(2),那么在Rt △ABC中,的值是_______.
A
B
C
A
B
C
D
图(1)
图(2)
7题图
(1)
(2)
8题图
S1
S2
S3
9题图

08．(白银)如图(1)是一个等腰梯形,由6个这样的等腰梯形恰好可以拼出如图(2)所示的一个菱形,对于图(1)中的等腰梯形,请写出它的内角度数或腰与底边长度之间关系的一个正确结论____________.
09．(陕西省)如图,梯形ABCD中,AB∥DC, ∠ADC＋∠BCD＝90°,且DC＝2AB,分别以DA,AB,BC为　边向梯形外作正方形,其面积分别为要 S1、S2、S3,则S1、S2、S3之间的关系是__________.
10．如图,在梯形ABCD中, AD∥BC, ∠B＝90°,AB＝4cm,AD＝18cm,BC＝21cm,点P从点A出发,沿边AD向点D以2cm/s的速度移动,点Q从点C出发沿边BC向点B以6cm/s速度移动,P﹑Q同时出发,若有一点运动到端点时,另一点也随之停止,则经过____移后,PQ＝CD.
11．如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC, AB⊥BC,AD＝2,将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至ED,连接AE,CE, △ADE面积为3,则BC的长为________.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
10题图
11题 图


12．(威海)从边长为ɑ的大正方形纸板中间挖去一个边长为b的小正方形后,将其截成四个相,同的等腰梯形(如图1),可以拼成一个平行四边形(如图2),已知∠A＝45°,AB＝6,AD＝4,若将该纸片按图2方式截成四个相同的等腰梯形,然后按图1方式拼图,则得到的大正方形的面积为_______.
A
B
C
D
图(1)
图(2)
图3
ɑ
b

13.(深圳)如图在梯形ABCD中,AB∥DC,DB平分∠ADC,过点A作AE∥BD,交CD的延长于点E,且∠C＝2∠E.
A
B
C
D
E
(1)求证:梯形ABCD是等腰梯形;
(2)若∠BDC＝30°,AD＝5,求CD的长.


A
C
D
E
B
O
p
14．(河南)如图,直线与反比例函数的图象交于A(1,6),B(ɑ,3)两点.
(1)求k1,K2的值;
(2)直接写出k1x＋b－＞0时x的取值范围;
(3)如图,等腰梯形OBCD中,BC∥OD,OB＝CD,OD边在x轴上
过点C作CE⊥OD于点E,CE和反比例函数的图象交于点P,当梯形OBCD的面积为12时,请判断PC和PE的大小关系,并说明理由.




15.(河南)如图梯形ABCD中.AD∥BC,E是BC的中点,AD＝5,BC＝12,CD＝,∠C＝45°,点P是BC边上一动点,设PB的长为x.
(1)当x的值为_____时,以点P、A、D、E、为顶点的四边形为直角梯形;
(2)当x的值 为____时,以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形;
(3)点P在BC边上运动的过程中,以P、A、D、为顶点的四边形能否构成菱形？时说明理由．C
D
E
P
A
B






C
D
E
F
A
B
16．（重庆）已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC＝DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E.
求证:(1)△BFC≌△DFC;(2)AD＝DE






17.(泰安)如图所示,在直角梯形ABCD中, ∠ABC＝90°, AD∥BC,E是AB的中点,CE⊥BD.
(1)求证:BE＝AD;
C
D
E
A
B
(2)求证:AC是线段ED的垂直平分线;
(3) △DBC是等腰三角形吗?并说明理由.




18.(重庆)已知:如图,在直角梯形ABCD中, AD∥BC, ∠ABC＝90°, ,E是DC的中点,过点E作DC的垂线交AB于点P,交CB的延长线于点M上.且满足CF＝AD,MF＝MA.
C
D
E
F
P
A
B
M
(1)若∠MFC＝120°,求证:AM＝2MB;
(2)求证: ∠MPB＝90°－∠FCM.





A
B
O
M
19.(绥化)如图,在平面直角坐标系中,函数y＝2x＋12的图象分别交x轴,y轴于A.B两点,过点A的直线交y轴正半轴于点M,且点M为线段OB的中点.
(1)求直线AM的解析式;
(2)试在直线AM上找一点P,使得S△ABP ＝ S△AOB, 请直接写出点P的坐标.
(3)若点H为直坐标平面内任意一点,在坐标平面内是否存在这样的点H,使以点A、B、M、H为顶点的四边形是等腰梯形?若存在直接写出点H的坐标,若不存在,请说明理由.




培优升级 奥赛检测
01.(武汉)在直角梯形ABCD中, AD∥BC, ∠ABC＝90°,AB＝BC,E为AB边上一点,∠BCE＝15°,且AE＝AD.连接DE交对角线AC于H,连接BH.下列结论:①△ACD≌△ACE②△CDE为等边三角形;③;④,其中结论正确的是( )
A. 只有①② B.只有①②④ C.只有③④ D. ①②③④
02.(浙江竞赛)如图,在平面直角坐标系内放置一个直角梯形AOCD,已知AD＝3,AO＝8,OC＝5,若点P在梯形内且,那么点P的坐标是＿＿＿.
A
C
D
E
F
3题图
A
B
C
D
C
1题图
E
A
B
O
H
3
5
8
2题图
D
03．梯形ABCD中,AD∥BC,F是CD的中点,AF⊥AB,E是BC上一点,且AE＝BE,若AB＝m,则EF的长为________.






04.(齐齐哈尔)有一底角为60°的直角梯形,上底为10cm,与底垂直的腰长为10cm,以上底或与底垂直的腰为一边作三角形,使三角形的另一边为15cm,第三个顶点落在下底上.请计算所作三角形的面积为_____.
A
B
C
D
05.如图,梯形ABCD中,AB∥DC,AB＝AC,DA＝DB, ∠ADB＝90°,求∠BAC的度数.





P
06.(义乌)如图,直角梯形纸片ABCD,AD⊥AB,AB＝8,AD＝CD＝4,点E,F分别在线段AB、AD上将△AEF沿EF翻折,点A的落点记为P.
E
F
A
B
C
D
(1)当AE＝5,P落在线段CD上时,求PD的值;
(2)当P落在直角梯形ABCD内部时,求PD的最小值.



07.(江西)如图在等腰梯形ABCD中, AD∥BC, E为AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F,AB＝4,BC＝6, ∠B＝60°
(1)求点E到BC的距离;
(2)点P为线段EF上的一个动点,过P作PM⊥EF,交BC于点M,过M作MN∥AB交折线ADC于点N,连接PN,设PN＝x
①当点N线段AD上时, △PMN的形状是否发生改变?若不变,求出△PMN的周长;若改变,请说　明理由.
②当点N在线段DC上时,是否存在点P, △PMN为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x的值;若不存在请说明理由.
A
B
C
D
E
F
P
A
B
C
D
C
图(1)
图(2)
E
A
B
M
N
图3
p
D
F
E
F
M
N





08.(四川)如图,分别以△ABC的边AC和BC为一边,向三角形外作正方形ACDE和CBFG,点P是EF的中点,PH⊥AB,垂足是H,如果AB＝,求PH.
A
E
F
P
C
G
D







09.(吉林)如图,在直角梯形ABCD中, AD∥BC, AE⊥BC于点E,DF⊥BC于点F,AD＝2cm,BC＝6cm,AE＝4cm.点P,Q分别在线段AE、DF上,顺次连接B、P、Q、C,线段BP、PQ、QC、CB所围成封闭图形记为M,若点P在线段AE上运动时,点Q也随之在线段DF上运动,使图形M的形状发生改变,但面积始终为10cm2,设EP＝xcm,FQ＝ycm,解答下列问题
(1)直接写出当x＝3时y的值;
(2)求y与x之间的函数 关系式,并写出自变量x的取值范围.
(3)当x取何值时,图形M成为等腰梯形?图形M成为三角形?
B
C
D
E
F
P
A
B
C
D
E
A
F
F
Q
备用图
(4)直接写出线段PQ在运动过程中所能扫过的区域面积.











10.(河北)如图,在直角梯形ABCD中AD∥BC,∠B＝90°,AD＝6,BC＝8,AB＝3,点M是BC的中点,点P从点M出发沿MB以1个单位长的速度向点B匀速运动,到达点B后立刻以原速度沿BM返回;点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动,在点P、Q的运动过程中，以PQ为边作等边△EPQ,使它与梯形ABCD在射线BC同侧.点P、Q同时　　出发，当点P返回到点M时停止运动,点Q也随之停止.设点P﹑Q运动的时间是t秒(t﹥0).
(1)设PQ的长为y,在点P从点M向点B运动的过程中,写出y与t之间的函数关系式(不必写t的取值范围);
(2)当BP＝1时,求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积.
(3)随着时间t的变化,线段AD会有一部分被△EPQ覆盖,被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值,请回答:该最大值能否持续一个时段?若能,请直接写出t的取值范围;若不能,请说明理由.

B
C
D
P
A
B
C
D
●
图(1)
A
E
M
Q
备用图
●
M












11.(陕西)问题探究
(1)请你在图1中作一条直线,使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分;
(2)如图2,点M是长矩形ABCD内一点,请你在图2中过点M作一条直线,使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分.
问题解决
(3)如图3,在平面直角坐标系中,直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图,其中DC∥OB,OB＝6,CD＝4.开发区统合服务管理委员会(其占地面积不计)设在点P(4,2)处．为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分，你认为直线是否存在？若存在，请说明理由．
• ●
C
图(2)
B
图(3)
D
B
C
D
P
A
B
C
D
图(1)
A
●
M
O











12.（北京）问题：已知△ABC中，∠BAC＝2∠ACB,点D是△ABC内的一点，且AD＝CD,BD＝BA,探究∠DBC与∠ABC度数的比值．
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．
⑴当∠BAC＝90°时，依问题中的条件补全右图．
观察图形，AB与AC的量关系为____;
当推出∠DAC＝15°时，可进一步推出∠DBC的度数为＿＿＿；
可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为＿＿＿；
⑵当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与⑴中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．
B
A
C

















第24讲 数据的分析
考点·方法·破译
一、数据的代表
1．“算”出来的平均数反映的是一组数据中各个数据的平均大小，作为“一般水平”的代表，平均数可以通过计算得到.
⑴平均数：一般地，对于n个数x1，x2，x3…xn，＝（x1＋x2＋…＋xn）叫做这n个数的平均数.
⑵加权平均数：如果x1出现f1次，x2出现f2次，…xk出现fk次（f1＋f2＋f3＋…＋fk＝n），则叫做x1，x2…xk个k个数的加权平均数.
2．“排”出来的中位数:中位数是将数据按大小顺序排列（即使相等的数也应全部参加排序）后找到的，当数据的个数是奇数时中位数就是最中间的那个数，当数据的个数是偶数时，最中间的两个数的平均数为中位数.
3．“数”出来的众数：众数就是数据中出现次数最多的那个数据，有时一组数据中的众数不唯一.
二、数据的波动
1．极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差.
2．方差：设有n个数据x1，x2，x3…xn，我们把叫做这组数据的方差，方差越大，数据的波动越大；数据越小，数据的波动越小.
3．标准差：
经典·考题·赏析
【例１】：（包头）某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位后选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用，三位候选人的各项测试成绩如下表所示：
测试项目
测试成绩
甲
乙
丙
教学能力
85
73
73
科研能力
70
71
65
组织能力
64
72
84
⑴如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用，请说明理由；
⑵根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试的分按5：3：2的比例确定每人的成绩，谁将被录用，说明理由.
【解法指导】⑴甲的平均成绩为：（85＋70＋64）÷3＝73，乙的平均成绩：（73＋71＋72）÷3＝72，丙的平均成绩为：（73＋65＋84）÷3＝74，∴候选人丙将被录用.
⑵甲的测试成绩为：（85×5＋70×3＋64×2）÷（5＋3＋2）＝76.3，
乙的测试成绩为：（73×5＋71×3＋72×2）÷（5＋3＋2）＝72．2，
丙的测试成绩为：（73×5＋65×3＋84×2）÷（5＋3＋2）＝72．8，
∴候选人甲将被录用.
【变式题组】
01．（内江）某人为了了解他所在地区的旅游情况，收集了该地区2005年至2008年每年旅游收入的有关数据，整理并绘成图，根据图中信息，可知该地区2005年到2008年四年的旅游平均收入是__________亿元.
02．（齐齐哈尔）A、B、C三名大学生竞选系学生会主席，他们的笔试成绩和口试成绩（单位：分）分别用了两种方式进行统计，如表一和图一：
表一
　
A
B
C
笔试
85
95
90
口试
　
80
85

⑴请将表一和图一中的空缺部分补充完整；
⑵竞选的最后一个程序时由本系的300名学生进行投票，三位候选人的得票情况如图二（没有弃权票，每名学生只能推荐一个），请计算出每人的得票数.
⑶若每票计1分，系里将笔试、口试、得票三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的最后成绩，并根据成绩判断谁能当选.
【例2】数学老师将本班学生的身高数据（精确到1厘米）交给甲、乙两同学，要求他们各自独立地绘制一幅频数分布直方图，甲绘制的如图1所示，乙绘制的如图2所示，经确认，甲绘制的图是正确的，乙在整理数据与绘图过程中均有个别错误.
请回答下列问题:
⑴该班学生有多少人？
⑵甲同学身高165厘米，他说：“我们班上比我高的人不超过”，他的说法正确吗？说明理由
⑶写出乙同学在整理或绘制过程中的错误（写出一个即可）.
⑷设该班学生的身高数据中位数为a，试写出a的值.
【解法指导】⑴该班学生有50人
⑵正确，因为身高165厘米及以上的人数为10＋5＝15（人），所以说超过了.
⑶在整理数据是漏了一个数据，这个数据在165.5～169.5范围内；或绘制的图中157.5～161．5这个矩形的高度不正确.
⑷由图1知中位数小于159.5，而大于154.5，所以中位数是155，156，157，158或159.
【变式题组】
01．（吉林身）某校七年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（ ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．极差
02．（天津）为参加2009“天津市初中毕业生升学体育考试”，小刚同学进行了刻苦的练习，在投掷实心球时，测得5次投掷的成绩（单位：m）为：8，8.5，9，8.5，9.2．这组数据的众数、中位数依次是（ ）
A．8.5，8.5 B．8.5，9 C．8.5，8.75 D．8.64，9
03．（遂宁）“只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间”，在今年的慈善一日捐活动中，济南市某中学八年级三班50名学生自发组织献爱心活动，班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图，根据下图提供的信息，捐款金额的众数和中位数分别是（ ）
A．20，20 B．30，20 C．30，30 D．20，30


04．（台湾）图为某班35名学生投篮成绩的条形统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完整，已知该班学生投篮成绩的中位数是5，则根据图形，下列哪一选项中的数值无法确定？（ ）
A．3球以下（含3球）的人数 B．4球以下（含4球）的人数
C．5球以下（含5球）的人数 D．6球以下（含6球）的人数
05.（陕西省）王老师为了了解本班学生课业负担情况，在班中随机调查了10名学生，他们每人上周平均每天完成家庭作业所用的时间分别是（单位：小时）：1．5，2，2，2，2．5，2．52．5，2．53，3．5.则这10个数据的平均数和众数分别是（ ）
A．2．4，2．5 B．2．4，2 C．2．5，2．5 D．2．5，2
【例3】 （福建南平）某商场家电销售部有营业员20名，为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，即确定一个月的销售额目标，根据目标完成情况对营业员进行适当的奖惩，为此，商场统计了这20名营业员在某月的销售额，数据如下：（单位：万元）
25 26 21 17 28 26 20 25 26 30 20 21 20 26 30 25 21 19 28 26
⑴请根据以上信息完成下表：
销售额（万元）
17
19
20
21
25
26
28
30
频数（人数）
1
1
3
3




⑵上述数据中，众数是_________万元，中位数是_________,平均数是________万元；
⑶如果将众数作为月销售额目标，能否让至少一半的营业员都能达到目标？请说明理由.
【解法指导】⑴3，5，2，2 ⑵26，25，24 ⑶不能 因为此时众数26万元＞中位数25万元（或：因为从统计表中可知20名营业员中，只有9名达到或超过目标，不到半数）
【变式题组】
01．（呼和浩特）某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，即确定一个月销售目标，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖惩，为了确定一个适当的目标，商场统计了每个营业员在某月的销售额，并整理得到了如下统计图（单位：万元），请分析统计数据完成下列问题.
⑴月销售额在那个值的人数最多？中间的月销售额是多少？平均的月销售额是多少？
⑵如果想让一半左右的营业员都能达到目标，你认为越销售额定位多少合适？并说明理由.









02．某校为了了解九年级学生的体能情况，抽调了一部分学生进行一分钟跳绳测试，将测试成绩整理后做出如下统计图，甲同学计算出前两组的频数和是0.12，乙同学计算出跳绳次数不少于100次的同学占96%，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为4：17：15.结合统计图回答下列问题：
⑴这次共抽调了多少人？
⑵若跳绳次数不少于130次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是多少？
⑶如果这次测试成绩的中位数是120次，那么这次测试中，成绩为120次的学生至少有多少人？









【例4】（江西）经市场调查，某种优质西瓜质量为（5±0，25）kg的最为畅销，为了控制西瓜的质量，农科所采用A、B两种种植技术进行试验，现从这两种技术种植的西瓜中个随机抽取20颗，记录他们的质量如下（单位：kg）：
A:4.1 4.8 5.4 4.9 4.7 5.0 4.9 4.8 5.8 5.2 5.0 4.8 5.2 4.9 5.2 5.0 4.8 5.2 5.1 5.0
B:4.5 4.9 4.8 4.5 5.2 5.1 5.0 4.5 4.7 4.9 5.4 5.5 4.6 5.3 4.8
5.0 5.2 5.3 5.0 5.3
⑴若质量为（5±0，25）kg的为优等品，根据以上信息完成下表:

优等品数量（颗）
平均数
方差
A

4.990
0.103
B

4.975
0.093


⑵请分别从优等品数量、平均数与方差三个方面对A、B两种技术作出评价；从市场销售的角度看，你认为推广哪种技术种植技术较好.
【解法指导】⑴依次为16颗，10颗
⑵从优等品的数量的角度看因A技术种植的西瓜优等品数量较多，所以A技术较好；从平均数的角度看，因A技术的种植的西瓜质量的平均数更接近5kg，所以A技术较好；从方差的角度看，因B技术种植的西瓜质量方差更小，所以B技术种植的西瓜质量更为稳定；从市场销售的角度看，因优等品更畅销，A技术种植的西瓜优等品数量更多，且平均质量更接近5kg，因而更适合推广A种技术.
【变式题组】
01．（娄底）我市统计局发布的统计公报显示，2004年到2008年，我市GDP增长率分别为9.6%，10.2%，10.4%，10.6%，10.3%.经济学家评论说，这5年的年度GDP增长率相当平稳，从统计学的角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据的______比较小.
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
2．（黄冈）为了比较市场上甲、乙两种电子钟每日走时误差的情况，从这两种电子钟中，各随机抽取10台进行测试，两种电子钟走时误差的数据如下表（单位:秒）：
⑴计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数；
⑵计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差；
⑶根据经验，走时稳定性的电子钟质量更优，若两种类型的电子钟价格相同，请问：你买哪种电子钟？为什么


演练巩固·反馈提高
01．（绍兴）跳远比赛中，所有15位参赛者的成绩互不相同，在已知自己成绩的情况下，要想知道自己是否能进入前8名，只需要最多参赛者成绩的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
02．（佳木斯）已知5个正数a1，a2，a3，a4，a5的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4＞a5，则数据a1，a2，a3，0，a4，a5的平均数和中位数是（ ）
A．a，a3 B．a， C． D．
03．（台湾）某篮球队队员共有16人，下表为其投进球数的次数分配表，若该队投进球的中位数是2．5，则众数是（ ）
投进球数
0
1
2
3
4
5
6
次数（人）
2
2
a
b
3
2
1
A．2 B．3 C．4 D．6
04．（荆门）某住宅小区六月份中1日至6日每天用水量变化情况如折线图所示，那么这6天的平均用水量是（ ）
A．30吨 B．31吨 C．32吨 D．33吨
05．如图所示是光明中学兵乓球队队员年龄分布的条形图，这些年龄的众数、中位数依次分别是（ ）
A．15，15 B．15，15.5 C．14.5.15 D．14.5，14.5

06．（金华）如图十我市某景点6月份内1－10日每天的最高温度折线统计图，由图信息可知该景点这10天的最高气温的中位数是__________.
测试项目
测试成绩
A
B
面试
90
95
综合知识测试
85
80
07．（青岛）某市广播电视局欲招聘播音员一名，对A、B两名候选人进行了两项素质测试，两人的两项测试成绩如下表所示，根据实际需要，广播电视局将面试，综合测试的得分按3：2的比例计算两人的总成绩，那么_________（填A或B）将被录用.

08．甲、乙两支篮球队在集训期内进行了五场比赛，将比赛成绩进行统计后，绘制成如图1、如图2的统计图.
⑴在图2中画出折线表示乙队在集训期内这五场比赛成绩的变化情况；
⑵已知甲队五场比赛成绩的平均分＝90分，请你计算乙队五场比赛成绩的平均分.
⑶根据这五场比赛，分别计算两队成绩的极差.
⑷如果从甲、乙两队中选派一支球队参加篮球锦标赛，根据上述统计情况，试从平均分、这显得走势、获胜场次和极差四个方面分别进行简单分析，你认为选派哪支球队参赛更能取得好的成绩？










09．（日照）某中学对全校学生60秒跳绳的次数进行了统计，全校平均次数是100次，某班体育委员统计了全班50名学生60秒跳绳的成绩，列出频数分布直方图如下（每个分组包括左端点，不包括右端点）：
求：⑴该班60秒胎生的平均次数至少是多少？是否超过全校平均次数？
⑵该班一个学生说：“我的跳绳成绩在我班是中位数”，请你给出该生跳绳成绩的所在范围.









培优升级·奥赛检测
01．（烟台）某市教育行政部门为了了解初一学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校初一学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）
请你根据图中的信息，回答下列问题：
⑴求出扇形统计图中的a的值，并求出该校初一学生总数；
⑵分别求出活动时间为5天、7天的学生人数，并补全频数分布直方图；
⑶求出扇形统计图中“活动时间为4天”的扇形所对的圆心角的度数；
⑷在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？
（5）如果该市共有初一学生6000人，请你估计“活动时间不少于4天”大约有多少？









02．（河北）如下右图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图，教练组规定：体能测试成绩70分以上）（包括70分）为合格.
⑴请根据右图中所提示的信息填写表格:


平均数
中位数
体能测试成绩
合格次数
甲

65

乙
60





⑵请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断：
①依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙，_________的体能测试成绩较好；
②依据平均数与中位数比较甲和乙，__________的体能测试成绩较好.
⑶依据折线统计图和成绩合格的次数，分析哪位运动员体能训练的效果较好.
03．（河北）在某旅游景区上山的一条小路上，有一些断断续续的台阶，如图是其中的
图中的数字表示每一阶的高度（单位：cm）.并且数15，16，16，14，14，15的方差S2甲＝，数据11，15，18，17，10，19的方差S2乙＝
甲、乙段台阶路得示意图.


请你用所学过的有关统计知识（平均数、中位数、方差和极差）回答下列问题：
⑴两段台阶路有哪些相同点和不同点/
⑵哪段台阶路走起来更舒服？为什么？
⑶为了方便游客行走，需要重新整修上山的小路，对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况下，请你提出合理的整修意见.




04．（安徽）某校九年级学生共900人，为了解这个年级学生的体能，从中随机抽取部分学生进行1min的跳绳测试，并指定甲、乙、丙、丁四名同学对这次测试结果的数据作出整理，下图是这四名同学提供的部分信息：
甲：将全体测试数据分成6组绘成直方图（如图）
乙：跳绳次数不少于105次的同学占96%.
丙：第①、②两组的频率之和为0.12，且第②组和第⑥组频数都是12．
丁：第②、③、④组的频数之比为4：17：15.
根据这四名同学提供的材料，请解答如下问题：
⑴这次跳绳测试共抽取多少名学生？各组多少人？
⑵如果跳绳次数不少于135次为优秀，根据这次抽查的结果，估计全年级达到跳绳优秀的人数为多少？
⑶以每组的组中值（每组的中点对应的数据）作为这组跳绳次数的代表，估计这批学生1min跳绳次数的平均值.



05．（山东泰安）为了解某品牌A、B两种型号的冰箱的销售情况，王明对其专卖店开业以来连续七个月的销售情况进行可统计，并将得到的数据制成如下的统计表：
月份
一月
二月
三月
四月
五月
六月
七月
A型销售量（单位：台）
10
14
17
16
13
14
14
B型销售量（单位：台）
6
10
14
15
16
17
20
⑴完成下表（结果精确到0.1）；
　
平均数
中位数
方差
A型销售量
　
14
　
B型销售量
14
　
18.6


⑵请你根据七个月的销售情况在图中绘制折线统计图，并依据折线图的变化趋势，对专卖店今后进货情况提出建议（字数控制在20~50字）．
06．（茂名）某文具店王经理统计了2008年1月至5月的A、B、C这三种型号的钢笔平均每月销售量，并绘制图1（不完整），销售这三种型号钢笔平均每月获得的总利润为600元，每种型号钢笔获得的利润分布情况如图2，已知A、B、C这三种型号钢笔每支的利润分别是0.5元、0.6元、1．2元，请你结合图中的信息，解答下列问题：
⑴求出C种型号钢笔平均每月的销售量，并将图1补充完整；
⑵王经理计划6月份购进A、B、C这三种型号钢笔共900支，请你结合1月至5月平均每月的销售情况（不考虑其他因素），设计一个方案，使获得的利润最大，并说明理由.









07．（四川竞赛）将最小的31个正整数分成A、B两组，且10在A组，如果把10从A组移到B组，则A组中各数的平均数增加，B组中各数的平均数也增加，问A组中原有多少个数？




08．（全国联赛）某班参加一次智力竞赛，共a、b、c三道题，每题答对得满分，答错得0分，其中a题满分20分，b、c每题满分均为25分，竞赛结果：每个学生至少答对1题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对a题的人数与答对b题的之和为29人，答对a题的人数与答对c题的人数之和为25人，答对b题的人数与答对c题的人数之和为20人.问这个班的平均成绩是多少人？

















模拟测试卷（一）
一、 选择题（每小题6分，共36分）
01．已知c＜－1，a＝︱c＋1︱－︱c︱,b＝︱c︱－︱c－1︱，那么，a与b的关系是（ ）
A. a＞b B. a = b C. a≤b D. a＜b
02．（眉山）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A. 90° B. 60° C. 45° D.30°
03．（眉山）如图，已知双曲线y=(k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D,且与直角边AB相交于C.若点A的坐标为（－6，4）,则△AOC的面积为( )
A
B
C
第2题图
A
C
B
O
x
D
y
第3题图
第6题图
A
E
B
P
D
C
A
B
第4题图
A. 12 B. 9 C. 6 D.4

04．(株洲)如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点,已知A、B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则点C的个数是( )
A. 6 B. 7 C. 8 D.9
05．若P是边长为2的等边三角形内任一点,则P到这个三角形三边的距离之和是( )
A. 1 B. C. 2 D.
06．(重庆)已知,如图,正方形ABCD外取一点E,连接AE,BE,DE.过点A作AE的垂线交DE于点P.若AE=AP=1,PB=.下列结论:①△APD≌△AEB;②点B到直线AE的距离为;③EB⊥ED;④S△APD＋S△APB=1＋;⑤S正方形ABCD=4＋.其中正确结论的序号是( )
A. ①③④ B. ①②⑤ C. ③④⑤ D. ①③⑤
二、填空题(每小题6分,共24分)
07．已知直角三角形有一边是11,另两边的长度均为自然数,那么这个三角形的周长是 .
B
A
D
C
O
08．已知实数a,b满足条件a＞0,b＞0,且a＋b＝4,则代数式的最小值是
.
09．如图,已知△ABC,△BCD,△ACD,△ABD的面积分别为5,9,10,6.则△AOB的面积= .
10．已知实数p、q满足条件：.则代数式的值为 .
三、解答题(每题15分,共60分)
11．(潜江)小王家是新农村建设中涌现出的“养殖专业户”．他准备购置80只相同规格的网箱,养殖A、B两种淡水鱼(两种鱼不能混养).计划用于养鱼的总投资不少于7万元,但不超过7.2万元,其中购置网箱等基础建设需要1.2万元,设他用x只网箱养殖A种淡水鱼,目前平均每只网箱养殖A、B两种淡水鱼所需投入及产出情况如下表:

鱼苗投资(百元)
饲料支出(百元)
收获成品鱼(千克))
成品鱼价格(百元/千克)
A种鱼
2.3
3
100
0.1
B种鱼
4
5.5
55
0.4
⑴小王有哪几种养殖方式?
⑵哪种养殖方案获得的利润最大?
⑶根据市场调查分析,当他的鱼上市时,两种鱼的价格会有所变化,A种鱼价格上涨a%(0＜a＜50),B种鱼价格下降20%,考虑市场变化,哪种方案获得的利润最大?(利润=收入－支出．收入指成品鱼收益,支出包括基础建设投入、鱼苗投资及饲料支出)










C′
D′
D
A
C
E
B
E′
12．(荆州市八年级数学联赛试题)如图,荆州古城河在CC′处直角转弯,河宽均为5米,从A处到达B处,须经两座桥:DD′,EE′(桥宽不计),设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,A、B在东西方向上相距65米,南北方向上相距85米,恰当的架桥可使ADD′E′EB的路程最短,这个最短路程是多少米?















13．已知实数a、b、c、d,且a≠b,c≠d．若关系式:a2＋ac＝4,b2＋bc＝4,c2＋ac＝5,d2＋ad＝5同时成立;求6a＋2b＋3c＋2d的值．












14．(重庆)已知:如图1,在平面直角坐标系xOy中,边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限,顶点A在x轴的正半轴上,另一等腰△OCA的顶点C在第四象限,OC＝AC;∠C＝120°．现有两动点P、Q分别从A、O两点同时出发,点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动,点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止.
⑴求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系,并写出自变量t的取值范围;
⑵在等边△OAB的边上(点A除外)存在点D,使得△OCD为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点D的坐标;
⑶如图2,现有∠MCN＝60°,其两边分别与OB、AB交于点M、N,连接MN.将∠MCN绕着C点旋转(0°＜旋转角＜60°),使得M、N始终在边OB和边AB上.试判断在这一过程中,△BMN的周长是否发生变化?若没有变化,请求出其周长;若发生变化,请说明理由.
C
A
x
P
B
y
O
Q
O
y
B
N
M
C
A
x
图1
图2


































模拟测试卷(二)

一、选择题(每小题6分,共36分)
01．已知数a、b、c的积为负数,和为正数,且x=,则ax3＋bx2＋cx＋1的值为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. －1
02．当x=－1时,代数式2ax3－3bx＋8的值为18,那么代数式9b－6b＋2的值为( )
A. 28 B.－28 C. 32 D. －32
03．(咸宁)如图,菱形ABCD由6个腰长为2,且全等的等腰梯形镶嵌而成,则线段AC的长为( )
A. 3 B. 6 C. 3 D. 6
04．(威海)在平面直角坐标系中,正方形ABCD的位置如图所示,点A的坐标为(1,0),点D的坐标为(0,2)延长CB交x轴于点A1,作正方形A1B1C1C;延长C1B1交x轴于点A2,作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（ ）

C
D
第3题图
A
B
C
G
D
H
A
O
F
E
第5题图
x
B2
C2
C1
C
D
y
O
A
A1
A2
B1
B
第4题图
B
C
D
A
第6题图
A. 5()2009 B. 5()2010 C. 5()2008 D. 5（）4018


05．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，EG与FH交于点O,设四边形AEOH、BFOE、CGOF的面积分别为3，4，5，则四边形DHOG的面积为（ ）
A. B. C. 4 D.6
06．（全国初中数学竞赛）如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB＝2,BC＝4－2，CD＝4，则AD边的长为（ ）
A. 2 B. 4 C. 4+ D. 2+2

二、填空题（每小题6分，共24分）
07．（盐城）如图，A、B是双曲线y=(k＞0)上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a,线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC＝6，则k= ．


第10题图
a
2a
a
2a
2a
2a
08．（河南）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6．点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA＝DE，则AD的取值范围是 ．E
A
B
C
D
第9题图

A
B
D
x
O
y
第7题图
第8题图
D
B
E
C
A










09．（绵阳）如图，四边形ABCD是矩形，AB:AD=4:3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE,则= ．
10．要将如图所示的一块纸板，经过适当的剪切后，拼成一个正方形纸块，请在此图中画出剪切线，并在此图中将剪切后的纸块拼成一个面积最大的正方形。
三、解答题（每小题15分，共60分）
11．（咸宁）在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港,最终达到C港．设甲、乙两船行驶x(h)后，与B港的距离分别为y1、y2与x的函数关系如图所示．
⑴填空：A、C两港口间的距离为 km, a= ;
⑵求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
甲
x/h
a
O
P
y/km
乙
90
30
0.5
3
⑶若两船的距离不超过10km时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x的取值范围。










12．（盐城）如图1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC,∠DCB＝75°，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．
⑴求∠AED的度数；
⑵求证：AB＝BC；
B
图2
C
F
D
A
E
D
A
E
B
C
图1
⑶如图2所示，若F为线段CD上一点，∠FBC＝30°，求的值．







13．［x］表示不大于x的最大整数，求方程[2x]＋[3x]=8x－的所有实数解．












14．已知正整数m、n都是质数，并且7m＋n，mn＋11也是质数，求（mn）n＋（nm）m的值．

































模拟测试卷（三）
一、 选择题（每小题6分，共36分）
C
E
A
D
B
F
01．（浙江省义乌）如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，下列结论中，一定正确的个数是（ ）
①△BDF是等腰三角形 ②DE＝BC ③四边形ADFE是菱形 ④∠BDF＋∠FEC＝2∠A
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
02．（黄冈）已知四条直线y=kx－3，y=－1，y＝3和x＝1所围成的四边形的面积是12，则k的值为（ ）
A. 1或－2 B. 2或－1 C.3 D.4
03．（全国初中数学竞赛）如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8,AD＝6．将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE,再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F,则△CEF的面积为（ ）
D
A
B
C
E
C
B
A
D
D
B
A
F
C
E

A. 2 B.4 C. 6 D.8
O
E
A
x
C
B
D
y
04．（日照）一次函数y=x＋4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C最多有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
05．（衡阳）如图，已知双曲线y＝(k＞0)经过直角三角形OAB斜边OB的中点D,与直角边AB相交于点C,若△OBC的面积为3，则k的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
06．已知长方形的两边的长分别为a和b（a＞b），其中a、b都是小于10的正整数，而且也是整数，那么这样的长方形有（ ）
A. 4个 B .5个 C. 6个 D. 7个
二、 填空题（每小题6分，共24分）
07．正方形纸片ABCD和BEFG的边长分别为5和2，按如图所示的方式剪下2个阴影部分的直角三角形，并摆放成正方形DHFI，则正方形DHFI的边长为 ．
a
C
F
B
D
A
E
5
4
7
10
74
370
116
图2
图1
第8题图
E
F
B
I
A
D
C
H
G
第7题图


08．图1供你研究，图2是以三角形a的三边为边长向外作正方形，正方形的面积表示在图中，则三角形a的面积是 ．
第10题图
C
A
D
B
09．（咸宁）如图，一次函数y＝ax＋b的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y＝的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴、x轴的垂线，垂足为E、F,连接CF、DE．有以下四个结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②CD∥EF;③△DCE≌△CDF；④AC＝BD．其中正确的结论是 ．（把你认为正确的结论的序号都填上）
y
O
A
B
D
x
F
E
C
第9题图



10．四条线段的长分别为9，5，x，1（其中x为正数），用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段（如图），则x可取值的个数为 个．
三、解答题（每小题15分，共60分）
11．对于所有实数x，︱x＋1︱＋≥m－︱x－2︱恒成立，求m可取得的最大值．





12．（连云港）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．例如：平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．
⑴三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有
；
⑵如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E,使CE＝AB，连接AE,那么有S梯形ABCD＝S△ADE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；
D
A
B
C
D
A
B
E
C
图1
图2
⑶如图2，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．











13．（浙江省湖洲）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的拆线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．
⑴根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；
⑵已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t，求t的值；
x(小时)
t
C
A
y(千米)
B
2
1.5
0
70
⑶若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你求出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数关系式，并画出大致图象．












14．已知：在Rt△ABC中，AB＝BC，在Rt△ADE中，AD＝DE,连接EC,取EC的中点M，连接DM和BM．
⑴若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1，探索BM、DM的关系并给予证明；
⑵如果将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图2，那么⑴中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．
C
图1
A
E
B
M
A
E
D
M
B
C
图2