2020-2021学年甘肃省张掖市甘州区九年级下册数学期中考试卷（有答案）

这是一份2020-2021学年甘肃省张掖市甘州区九年级下册数学期中考试卷（有答案），共15页。试卷主要包含了4的平方根是，下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。

九年级下册期中考试卷
一．选择题（30分）
1．4的平方根是（　　）
A．2 B．﹣2 C．± D．±2
2．下列运算正确的是（　　）
A．a2•a3＝a5 B．（﹣a）4＝﹣a4 C．（a2）3＝a5 D．a2+a4＝a6
3．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠2＝∠3，若∠1＝80°，则∠4等于（　　）

A．20° B．40° C．60° D．80°
5．如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点（﹣1，﹣2）．“馬”位于点（2，﹣2），则“兵”位于点（　　）

A．（﹣1，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣3，1） D．（1，﹣2）
6．某社区青年志愿者小分队年龄情况如下表所示：
年龄（岁）
18
19
20
21
22
人数
2
5
2
2
1
则这12名队员年龄的众数、中位数分别是（　　）
A．2岁，20岁 B．2岁，19岁 C．19岁，20岁 D．19岁，19岁

7．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，AC是弦，AC＝2，∠AOC＝（　　）

A．120° B．130° C．140° D．150°
8．二次函数y＝﹣x2+2x+2化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（　　）
A．y＝﹣（x﹣1）2+2 B．y＝﹣（x﹣1）2+3 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣2）2+4
9．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
10．如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第一幅图中有1个菱形，第二幅图中有3个菱形，第三幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2021个菱形，则n为（　　）

A．1000 B．1010 C．1011 D．2020
二．填空题（32分）
11．分解因式：x2y2﹣9y2＝　 　．
12．若式子有意义，则x的取值范围是　 　．
13．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
14．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则tanB的值为　 　．
15．定义一种新的运算：x*y＝，如：3*1＝＝，则（2*3）*2＝　 　．
16．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠D＝50°，则∠BAC等于 　　 .


17．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将其如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则DE的值是　 　．

18．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以1单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，写出
①AB＝　 　；②CD＝　 　（提示：过A作CD的垂线）；③BC＝　 　．

三．解答题（88分）
19．（1）计算：﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣（）﹣1； （2）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．





20．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字，有一本诗集，五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字，则这本诗集中两种诗各多少首？







21．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（3，3）、B（1，2），△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．
（1）画出△A1OB1，直接写出点A1，B1的坐标；
（2）在旋转过程中，点B经过的路径的长；
（3）求在旋转过程中，线段AB所扫过的面积．

22．国庆70周年，某校举行班级“唱红歌”歌咏比赛，歌曲有：A：《没有共产党就没有新中国》，B：《我和我的祖国》；C：《走进新时代》．比赛时，将A、B、C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，1班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀．再由2班班长从中随机拍取一张卡片，进行歌咏比赛．
（I）1班抽中歌曲《我和我的祖国）的概率是　 　．
（2）试用画树状图或列表的方法求出1班和2班抽中不同歌曲的概率．


23．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为2米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．

（1）真空管上端B到水平线AD的距离．
（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）
参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈

24．某校有3000名学生．为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了该校部分学生的主要上学方式（参与问卷调查的学生只能从以下六个种类中选择一类）：
种类
A
B
C
D
E
F
上学方式
电动车
私家车
公共交通
自行车
步行
其他
并将调查结果绘制成如下不完整的统计图：

根据以上信息，回答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的学生共有　 　人，其中选择B类的人数有　 　人．
（2）在扇形统计图中，求E类对应的扇形圆心角α的度数，并补全条形统计图中C对应的直条．
（3）若将A，C，D，E这四类上学方式视为“绿色出行”，请估计该校每天“绿色出行”的学生人数．
25．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（0，﹣4），反比例﹣函数y＝（k≠0）的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点P是反比例函数在第二象限的图象上的一点，若△PBC的面积等于正方形ABCD的面积，求点P的坐标．







26．如图，已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交CB于D，E为AB延长上一点，∠C+∠BDE＝90°．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若BE＝2，tan∠ABC＝，求⊙O的半径．

27．【方法提炼】
解答几何问题常常需要添辅助线，其中平移图形是重要的添辅助线策略．
【问题情境】
如图1，在正方形ABCD中，E，F，G分别是BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q．求证：AE＝FG．
小明在分析解题思路时想到了两种平移法：
方法1：平移线段FG使点F与点B重合，构造全等三角形；
方法2：平移线段BC使点B与点F重合，构造全等三角形；
【尝试应用】
（1）请按照小明的思路，选择其中一种方法进行证明；
（2）如图2，正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点O．求tan∠AOC的值；
（3）如图3，点P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连接DE分别交线段BC，PC于点M，N．
①求∠DMC的度数；
②连接AC交DE于点H，求的值．


28．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案
一．选择题
1．解：4的平方根是：±＝±2．
故选：D．
2．解：A、a2•a3＝a5，故本选项符合题意；B、（﹣a）4＝a4，故本选项不合题意；
C、（a2）3＝a6，故本选项不合题意；D、a2与a4不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
故选：A．
3．解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
4．解：∵a∥b，∠1＝80°，∴∠2+∠3＝80°，∠3＝∠4．∵∠2＝∠3，∴∠3＝40°，∴∠4＝40°．
故选：B．
5．解：∵在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点（﹣1，﹣2）．“馬”位于点（2，﹣2），
∴可得出原点位置在棋子炮的位置，∴“兵”位于点：（﹣3，1），
故选：C．
6．解：把这些数从小到大排列，最中间的数是第6、7个数的平均数，
则这12名队员年龄的中位数是＝19（岁）；19岁的人数最多，有5个，则众数是19岁．
故选：D．
7．解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴cos∠CAB＝，
∴∠CAB＝30°，∴∠BOC＝2∠BAC＝60°，∴∠AOC＝120°，
故选：A．

8．解：y＝﹣x2+2x+2═﹣x2+2x﹣1+3＝﹣（x﹣1）2+3，
故选：B．
9．解：设甲每小时做x个零件，可得：，
故选：D．
10．解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2﹣1＝3个．
第3幅图中有2×3﹣1＝5个．第4幅图中有2×4﹣1＝7个．…．
可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n﹣1）个．
当图中有2021个菱形时，2n﹣1＝2021，所以：n＝1011，
故选：C．
二．填空题
11．解：原式＝y2（x2﹣9）＝y2（x+3）（x﹣3）．故答案为：y2（x+3）（x﹣3）．
12．解：根据题意，得x+2≥0，且x≠0，解得x≥﹣2且x≠0．
故答案是：x≥﹣2且x≠0．
13．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，∴k＜3且k≠0．故答案为：k＜3且k≠0．
14．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，∴假设BC＝12x，AB＝13x，
∴AC＝5x．∴tanB＝＝．故答案为：．

15．解：根据题中的新定义得：（2*3）*2＝（）*2＝4*2＝＝2，
故答案为：2
16．解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝∠ADC＝50°，∴∠BAC＝90°﹣50°＝40°，
故选：40°．
17．解：根据对折变换性质可知△DBE≌△DAE，∴AD＝BD，
∵直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，∴AB＝10，tanA＝，
Rt△ADE中，DE＝tanA×AD＝．
18．解：①当t＝3时，点P到达A处，即AB＝3．故答案是：3；
②过点A作AE⊥CD交CD于点E，则四边形ABCE为矩形，
∵AC＝AD，∴DE＝CE＝，∴CD＝6，
故答案是：6；
③当S＝15时，点P到达点D处，则S＝CD•BC＝（2AB）•BC＝3×BC＝15，则BC＝5，
故答案是：5．
三．解答题
19．解：（1）﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣（）﹣1＝2﹣2×+1﹣3＝2﹣﹣2＝﹣2；
（2）∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，∴x﹣3＝0或x+1＝0，∴x1＝3，x2＝﹣1．
20．解：设五言绝句x首，七言绝句y首，根据题意，得 解得
答：这本诗集中两种诗各48首、35首．
21．解：（1）△A1OB1如图所示，A1（﹣3，3），B1（﹣2，1）；
（2）由勾股定理得，OB＝＝，所以，弧BB1＝＝π；
（3）由勾股定理得，OA＝＝3，
S扇形OAA1＝＝π，S扇形OBB1＝＝π，
则线段AB所扫过的面积为：π﹣π＝π．

22．解：（1）因为有A，B，C3种等可能结果，所以1班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；
故答案为：；
（2）树状图如图所示：

共有9种可能，1班和2班抽中不同歌曲的概率＝＝．


23．解：（1）过B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，
∵sin∠BAF＝，∴BF＝ABsin∠BAF＝2sin37°≈＝1.2．
∴真空管上端B到AD的距离约为1.2米．
（2）在Rt△ABF中，∵cos∠BAF＝，∴AF＝ABcos∠BAF＝2cos37°≈1.6，
∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD，
∵EC＝0.5米，∴DE＝CD﹣CE＝0.7米，
在Rt△EAD中，∵tan∠EAD＝，∴＝，∴AD＝1.75米，
∴BC＝DF＝AD﹣AF＝1.75﹣1.6＝0.15≈0.2
∴安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.2米．
24．解：（1）参与本次问卷调查的学生162÷36%＝450（人），选择B类的人数450×14%＝63（人），
故答案为450，63；
（2）E类对应的扇形圆心角α的度数：360°×（1﹣36%﹣14%﹣20%﹣16%﹣4%）＝36°，
C对应人数：450×20%＝90（人），
补全如下

（3）估计该校每天“绿色出行”的学生人数：3000×（1﹣14%﹣4%）＝2460（人），
答：估计该校每天“绿色出行”的学生人数2460人．
25．解：（1）∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（0，﹣4），∴AB＝7，
∵四边形ABCD为正方形，∴点C的坐标为（7，﹣4），代入y＝，得k＝﹣28，）
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）设点P到BC的距离为h．∵△PBC的面积等于正方形ABCD的面积，
∴×7×h＝72，解得h＝14，∵点P在第二象限，yP＝h﹣4＝10，此时，xP＝﹣＝﹣，）
∴点P的坐标为（﹣，10）．

26．解：（1）证明：连接OD，

∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C+∠BDE＝90°，∴∠ABC+∠BDE＝90°，
∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ODB+∠BDE＝90°，∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接AD，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∵∠BDE+∠ABD＝90°，∴∠BDE＝∠BAD，∴△BDE∽△DEA，∴，
∵tan∠ABC＝，∴，∴，∵BE＝2，∴DE＝2，AE＝10，∴AB＝10﹣2＝8，
∴⊙O的半径为4．
27．解：（1）①平移线段FG至BH交AE于点K，如图1﹣1所示：
由平移的性质得：FG∥BH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，
∴四边形BFGH是平行四边形，∴BH＝FG，
∵FG⊥AE，∴BH⊥AE，∴∠BKE＝90°，∴∠KBE+∠BEK＝90°，
∵∠BEK+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBH，
在△ABE和△CBH中，，∴△ABE≌△CBH（ASA），∴AE＝BH，∴AE＝FG；
②平移线段BC至FH交AE于点K，如图1﹣2所示：
则四边形BCHF是矩形，∠AKF＝∠AEB，∴FH＝BC，∠FHG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABE＝90°，∴AB＝FH，∠ABE＝∠FHG，
∵FG⊥AE，∴∠HFG+∠AKF＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠HFG，
在△ABE和△FHG中，，∴△ABE≌△FHG（ASA），∴AE＝FG；
（2）将线段AB向右平移至FD处，使得点B与点D重合，连接CF，如图2所示：
∴∠AOC＝∠FDC，设正方形网格的边长为单位1，
则AC＝2，AF＝1，CE＝2，DE＝4，FG＝3，DG＝4，
根据勾股定理可得：CF＝＝＝，CD＝＝＝2，DF＝＝＝5，
∵（）2+（2）2＝52，∴CF2+CD2＝DF2，∴∠FCD＝90°，
∴tan∠AOC＝tan∠FDC＝＝＝；
（3）①平移线段BC至DG处，连接GE，如图3﹣1所示：
则∠DMC＝∠GDE，四边形DGBC是平行四边形，∴DC＝GB，
∵四边形ADCP与四边形PBEF都是正方形，∴DC＝AD＝AP，BP＝BE，∠DAG＝∠GBE＝90°
∴DC＝AD＝AP＝GB，∴AG＝BP＝BE，
在△AGD和△BEG中，，∴△AGD≌△BEG（SAS），
∴DG＝EG，∠ADG＝∠EGB，∴∠EGB+∠AGD＝∠ADG+∠AGD＝90°，
∴∠EGD＝90°，∴∠GDE＝∠GED＝45°，
∴∠DMC＝∠GDE＝45°；
②如图3﹣2所示：∵AC为正方形ADCP的对角线，∴∠DAC＝∠PAC＝∠DMC＝45°，
∴AC＝AD，
∵∠HCM＝∠BCA，∴∠AHD＝∠CHM＝∠ABC，∴△ADH∽△ACB，
∴＝＝＝．


28．解：（1）由于抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：y＝a（x+3）（x﹣1），将C点坐标（0，﹣3）代入，得：a（0+3）（0﹣1）＝﹣3，解得 a＝1，
则y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，所以抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N．设直线AC的解析式为y＝kx+m，由题意，得
，解得，∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3．
设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），则点N的坐标为（x，﹣x﹣3），
∴PN＝PE﹣NE＝﹣（x2+2x﹣3）+（﹣x﹣3）＝﹣x2﹣3x．
∵S△PAC＝S△PAN+S△PCN，∴S＝PN•OA
＝×3（﹣x2﹣3x）
＝﹣（x+）2+，
∴当x＝﹣时，S有最大值，此时点P的坐标为（﹣，﹣）；

（3）在y轴上是存在点M，能够使得△ADM是直角三角形．理由如下：
∵y＝x2+2x﹣3＝y＝（x+1）2﹣4，∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4），
∵A（﹣3，0），∴AD2＝（﹣1+3）2+（﹣4﹣0）2＝20．
设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：
①当A为直角顶点时，如图3①，
由勾股定理，得AM2+AD2＝DM2，即（0+3）2+（t﹣0）2+20＝（0+1）2+（t+4）2，解得t＝，
所以点M的坐标为（0，）；
②当D为直角顶点时，如图3②，
由勾股定理，得DM2+AD2＝AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20＝（0+3）2+（t﹣0）2，
解得t＝﹣，所以点M的坐标为（0，﹣）；
③当M为直角顶点时，如图3③，
由勾股定理，得AM2+DM2＝AD2，即（0+3）2+（t﹣0）2+（0+1）2+（t+4）2＝20，
解得t＝﹣1或﹣3，所以点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）；
综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．