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2021年北京市海淀区中考数学一模试卷
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这是一份2021年北京市海淀区中考数学一模试卷，共30页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
2021年北京市海淀区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．球 C．三棱柱 D．长方体
2．（2分）2021年2月24日6时29分，我国自主研制的首个火星探测器“天问一号”成功实施第三次近火制动，进入近火点280千米、远火点59000千米、周期2个火星日的火星停泊轨道．将59000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.59×105 B．5.9×105 C．5.9×104 D．5.9×103
3．（2分）七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种颜色，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向白色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．1
5．（2分）已知正多边形的一个外角等于60°，则该正多边形的边数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2分）实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a＜0 B．a＜b C．b+5＞0 D．|a|＞|b|
7．（2分）已知x＝1是不等式2x﹣b＜0的解，b的值可以是（ ）
A．4 B．2 C．0 D．﹣2
8．（2分）如图，AB是⊙O直径，点C，D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且∠APQ＝115°，则点Q所在的弧是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若式子有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（2分）方程组的解为 ．
11．（2分）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果图中∠1是70°，那么∠2的度数是 ．
12．（2分）若+a的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数a的值 ．
13．（2分）计算：（﹣）•＝ ．
14．（2分）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+4＝0有两个相等的实数根，则m的值是 ．
15．（2分）图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1﹣S2的值为 ．
16．（2分）图1是一个2×2正方形网格，两条网格线的交点叫做格点，甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下：
游戏规则
a．两人依次在网格中画线段，线段的起点和终点均为格点；
b．新画线段的起点为前一条线段的终点，且与任意已画出线段不能有其他公共点；
c．已画出线段的所有端点中，任意三个端点不能在同一条直线上；
d．当某人无法画出新的线段时，则另一人获胜．
如图2，甲先画出线段AB，乙随后画出线段BC．若这局游戏继续进行下去，最终的获胜者是 （填“甲”，“乙”或“不确定”）．
三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23题6分，第24题5分，第25--26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）计算：|﹣|﹣2cos45°+（π﹣1）0+．
18．（5分）解不等式组：．
19．（5分）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．
20．（5分）已知a2+a﹣1＝0，求代数式（a+2）（a﹣2）+a（a+2）的值．
21．（6分）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE⊥ED．
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）F为AE延长线上一点，满足EF＝AE，连接DF交BC于点G．若AB＝2，BE＝1，求GC的长．
22．（5分）我国是世界上最早发明历法的国家之一．《周礼》中记载：垒土为圭，立木为表，测日影，正地中，定四时．如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆．正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．
在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型．如图2，地面上放置一根长2m的杆AB，向正北方向画一条射线BC，在BC上取点D，测得BD＝1.5m，AD＝2.5m．
（1）判断：这个模型中AB与BC是否垂直．答： （填“是”或“否”）；你的理由是： ．
（2）某地部分节气正午时分太阳光线与地面夹角α的值，如下表：
节气
夏至
秋分
冬至
太阳光线与地面夹角α
74°
50°
27°
①记夏至和冬至时表影分别为BM和BN，利用上表数据，在射线BC上标出点M和点N的位置；
②记秋分时的表影为BP，推测点P位于 ．
A．线段MN中点左侧
B．线段MN中点处
C．线段MN中点右侧
23．（6分）已知直线l：y＝kx（k≠0）经过点A（﹣1，2）．点P为直线l上一点，其横坐标为m．过点P作y轴的垂线，与函数y＝（x＞0）的图象交于点Q．
（1）求k的值；
（2）①求点Q的坐标（用含m的式子表示）；
②若△POQ的面积大于3，直接写出点P的横坐标m的取值范围．
24．（5分）牛年伊始，中国电影行业迎来了开门红．春节档期全国总观影人次超过1.6亿，总票房超过80亿元．以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息．
a．两部影片上映第一周单日票房统计图
b．两部影片分时段累计票房如下
上映影片
2月12日﹣18日累计票房（亿元）
2月19日﹣21日累计票房（亿元）
甲
31.56
乙
37.22
2.95
（以上数据来源于中国电影数据信息网）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）2月12日﹣18日的一周时间内，影片乙单日票房的中位数为 ；
（2）对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是 ；
①甲的单日票房逐日增加；
②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差；
③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大．
（3）截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2月19日﹣21日三天内影片甲的累计票房应超过 亿元．
25．（6分）如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，∠ABE＝2∠E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tanE＝，BD＝1，求AB的长．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣2（a＞0）．分别过点M（t，0）和点N（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B．记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包括A，B两点）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）记图象G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m．
①当a＝2时，若图象G为轴对称图形，求m的值；
②若存在实数t，使得m＝2，直接写出a的取值范围．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM＝80°．D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．
（1）依题意补全图形；
（2）判断AB与DF的数量关系并证明；
（3）平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和线段MN，如果点A，O，M，N按逆时针方向排列构成菱形AOMN，且∠AOM＝α，则称线段MN是点A的“α﹣相关线段”．例如，图1中线段MN是点A的“30°﹣相关线段”．
（1）已知点A的坐标是（0，2）．
①在图2中画出点A的“30°﹣相关线段”MN，并直接写出点M和点N的坐标；
②若点A的“α﹣相关线段”经过点（，1），求α的值；
（2）若存在α，β（α≠β）使得点P的“α﹣相关线段”和“β﹣相关线段”都经过点（0，4），记PO＝t，直接写出t的取值范围．
2021年北京市海淀区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．球 C．三棱柱 D．长方体
【分析】根据一个空间几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．
【解答】解：由几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，
故该几何体是一个柱体，
又∵俯视图是一个圆，
故该几何体是一个圆柱．
故选：A．
2．（2分）2021年2月24日6时29分，我国自主研制的首个火星探测器“天问一号”成功实施第三次近火制动，进入近火点280千米、远火点59000千米、周期2个火星日的火星停泊轨道．将59000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.59×105 B．5.9×105 C．5.9×104 D．5.9×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：59000＝5.9×104．
故选：C．
3．（2分）七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
4．（2分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种颜色，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向白色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：∵转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种颜色，
∴指针指向白色区域的概率是＝，
故选：B．
5．（2分）已知正多边形的一个外角等于60°，则该正多边形的边数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】利用外角和360°÷外角的度数即可得到边数．
【解答】解：360°÷60°＝6．
故该正多边形的边数为6．
故选：D．
6．（2分）实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a＜0 B．a＜b C．b+5＞0 D．|a|＞|b|
【分析】根据数轴可以发现b＜a，且，由此即可判断以上选项正确与否．
【解答】解：A．∵2＜a＜3，a＞0，答案A不符合题意；
B．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴a＞b，∴答案B不符合题意；
C．∵﹣4＜b＜﹣3，∴b+5＞0，∴答案C符合题意；
D．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴|a|＜b|，∴答案D不符合题意．
故选：C．
7．（2分）已知x＝1是不等式2x﹣b＜0的解，b的值可以是（ ）
A．4 B．2 C．0 D．﹣2
【分析】将x＝1代入不等式求出b的取值范围即可得出答案．
【解答】解：∵x＝1是不等式2x﹣b＜0的解，
∴2﹣b＜0，
∴b＞2，
故选：A．
8．（2分）如图，AB是⊙O直径，点C，D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且∠APQ＝115°，则点Q所在的弧是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据∠APQ＝115°找到所对应的弧以及弧所对应的圆心角找到∠AOQ的度数即可确定Q所在位置．
【解答】解：∵∠APQ＝115°，
∴∠APQ所对应优弧，
∴根据圆周角定理易知优弧所对圆心角为230°，
则劣弧APQ所对应圆心角∠AOQ＝130°，
∵C、D为的三等分点，
∴∠AOD＝120°
故Q应位于上，
故选：D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若式子有意义，则实数x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】根据二次根式的性质可以得到x﹣1是非负数，由此即可求解．
【解答】解：依题意得
x﹣1≥0，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
10．（2分）方程组的解为 ．
【分析】利用①+②可消除y，从而可求出x，再把x的值代入①，易求出y．
【解答】解：，
①+②，得
3x＝9，
解得x＝3，
把x＝3代入①，得
3+y＝3，
解得y＝0，
∴原方程组的解是．
故答案是．
11．（2分）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果图中∠1是70°，那么∠2的度数是 110° ．
【分析】根据平行线的性质，找到同旁内角、内错角进行推理即可得出∠2度数．
【解答】解：如图所示，由题意可知l∥l'，
∵l∥l'，
∴∠1+∠3＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠3＝110°，
∴∠2＝∠3＝110°（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：110°．
12．（2分）若+a的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数a的值 ﹣（答案不唯一） ．
【分析】直接利用有理数的定义结合二次根式的性质得出答案．
【解答】解：∵+a的值为有理数，
∴符合条件的实数a的值可以为：﹣（答案不唯一）．
故答案为：﹣（答案不唯一）．
13．（2分）计算：（﹣）•＝ 1 ．
【分析】根据分式的运算法则进行化简即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝
＝1，
故答案为：1．
14．（2分）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+4＝0有两个相等的实数根，则m的值是 2或﹣6 ．
【分析】根据方程x2﹣（m+2）x+4＝0有两个相等的实数根可得△＝0，即（m+2）2﹣4×4＝0，解方程即可得m的值．
【解答】解：∵方程x2﹣（m+2）x+4＝0有两个相等的实数根，
∴△＝0，即（m+2）2﹣4×4＝0，
解得：m＝2或m＝﹣6，
故答案为：2或﹣6．
15．（2分）图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1﹣S2的值为 9 ．
【分析】分别表示出S1，S2，即可求解．
【解答】解：设图1中的直角三角形另一条直角边长为b，
∴S1＝32+b2＝9+b2，S2＝b2，
∴S1﹣S2＝9，
故答案为9．
16．（2分）图1是一个2×2正方形网格，两条网格线的交点叫做格点，甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下：
游戏规则
a．两人依次在网格中画线段，线段的起点和终点均为格点；
b．新画线段的起点为前一条线段的终点，且与任意已画出线段不能有其他公共点；
c．已画出线段的所有端点中，任意三个端点不能在同一条直线上；
d．当某人无法画出新的线段时，则另一人获胜．
如图2，甲先画出线段AB，乙随后画出线段BC．若这局游戏继续进行下去，最终的获胜者是 乙 （填“甲”，“乙”或“不确定”）．
【分析】如图，甲只能画3次线段，乙可以画4次线段，如图所示，乙能获胜．
【解答】解：如图，甲只能画3次线段，乙可以画4次线段，如图所示，
所以，乙一定能获胜．
故答案为：乙．
三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23题6分，第24题5分，第25--26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）计算：|﹣|﹣2cos45°+（π﹣1）0+．
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2×+1+2
＝﹣+1+2
＝1+2．
18．（5分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式4（x+1）≥x+7，得：x≥1，
解不等式＞x，得：x＜2，
则不等式组的解集为1≤x＜2．
19．（5分）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．
【分析】证明△ABC≌△DEF（SAS），可得∠A＝∠D．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
20．（5分）已知a2+a﹣1＝0，求代数式（a+2）（a﹣2）+a（a+2）的值．
【分析】原式利用平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a2+a﹣1＝0，
∴a2+a＝1，
原式＝a2﹣4+a2+2a
＝2a2+2a﹣4
＝2（a2+a）﹣4，
当a2+a＝1时，原式＝2﹣4＝﹣2．
21．（6分）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE⊥ED．
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）F为AE延长线上一点，满足EF＝AE，连接DF交BC于点G．若AB＝2，BE＝1，求GC的长．
【分析】（1）由余角的性质可得∠BAE＝∠DEC，可得结论；
（2）由相似三角形的性质可求EC＝4，由等腰三角形的性质和平行线的性质可证EG＝DG，由勾股定理可求解．
【解答】证明：（1）∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°＝∠B＝∠C，
∴∠AEB+∠DEC＝∠AEB+∠BAE，
∴∠BAE＝∠DEC，
∴△ABE∽△ECD；
（2）∵△ABE∽△ECD，
∴，
∴，
∴EC＝4，
∵AE＝EF，∠AED＝90°，
∴AD＝DF，
又∵∠AED＝90°，
∴∠ADE＝∠FDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝∠FDE，
∴DG＝EG，
∵DG2＝DC2+GC2，
∴（4﹣GC）2＝4+GC2，
∴GC＝．
22．（5分）我国是世界上最早发明历法的国家之一．《周礼》中记载：垒土为圭，立木为表，测日影，正地中，定四时．如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆．正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．
在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型．如图2，地面上放置一根长2m的杆AB，向正北方向画一条射线BC，在BC上取点D，测得BD＝1.5m，AD＝2.5m．
（1）判断：这个模型中AB与BC是否垂直．答： 是 （填“是”或“否”）；你的理由是： 勾股定理的逆定理 ．
（2）某地部分节气正午时分太阳光线与地面夹角α的值，如下表：
节气
夏至
秋分
冬至
太阳光线与地面夹角α
74°
50°
27°
①记夏至和冬至时表影分别为BM和BN，利用上表数据，在射线BC上标出点M和点N的位置；
②记秋分时的表影为BP，推测点P位于 A ．
A．线段MN中点左侧
B．线段MN中点处
C．线段MN中点右侧
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判断即可．
（2）①利用量角器，画出图形即可．
②利用图像法判断即可．
【解答】解：（1）∵AB＝2m，BD＝1.5m，AD＝2.5m，
∴AD2＝6.25，AB2+BD2＝6.25，
∴AD2＝AB2+BD2，
∴∠ABD＝90°，
∴△ABD是直角三角形．
故答案为：是，勾股定理的逆定理．
（2）①如图2中，点M，点N即为所求作．
②观察图像可知，点P在线段MN的中点的左侧，
故选A，
故答案为：A．
23．（6分）已知直线l：y＝kx（k≠0）经过点A（﹣1，2）．点P为直线l上一点，其横坐标为m．过点P作y轴的垂线，与函数y＝（x＞0）的图象交于点Q．
（1）求k的值；
（2）①求点Q的坐标（用含m的式子表示）；
②若△POQ的面积大于3，直接写出点P的横坐标m的取值范围．
【分析】（1）将点A的坐标代入y＝kx得：2＝﹣k，即可求解；
（2）①设点P的坐标为（m，﹣2m），当y＝﹣2m＝时，x＝﹣，即可求解；
②由△POQ的面积＝PQ×yP＝×（﹣﹣m）×（﹣2m）＞3，即可求解．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入y＝kx得：2＝﹣k，
即k＝﹣2；
（2）①由（1）知，y＝﹣2x，
设点P的坐标为（m，﹣2m），
当y＝﹣2m＝时，x＝﹣，
故点Q的坐标为（﹣，﹣2m）；
②△POQ的面积＝PQ×yP＝×（﹣﹣m）×（﹣2m）＞3，
解得m＞1或m＜﹣1，
由函数y＝（x＞0），则m＜0，
故m＜﹣1．
24．（5分）牛年伊始，中国电影行业迎来了开门红．春节档期全国总观影人次超过1.6亿，总票房超过80亿元．以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息．
a．两部影片上映第一周单日票房统计图
b．两部影片分时段累计票房如下
上映影片
2月12日﹣18日累计票房（亿元）
2月19日﹣21日累计票房（亿元）
甲
31.56
乙
37.22
2.95
（以上数据来源于中国电影数据信息网）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）2月12日﹣18日的一周时间内，影片乙单日票房的中位数为 4.36 ；
（2）对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是 ② ；
①甲的单日票房逐日增加；
②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差；
③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大．
（3）截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2月19日﹣21日三天内影片甲的累计票房应超过 8.61 亿元．
【分析】（1）根据中位数的概念即可得到答案；
（2）①从图象上直接可以得到答案；②通过观察图象，从图象的缓急程度可得答案；③可以计算一下12日和13日的差值比较即可得到答案；
（3）设19﹣20日的票房为x，根据总票房数相等列出方程，求解即可得到答案．
【解答】解：（1）乙单日票房从小到大排列如下：
1.63，2.32，3.13，4.36，7.49，8.18，10.11，
∴2月12日﹣18日的一周时间内，影片乙单日票房的中位数为4.36，
故答案为：4.36；
（2）①甲的单日票房并未逐日增加，在16日、17日、18日有下降，故错误；
②甲的图象来看更加平缓，方差较小，故正确；
③12日的单日差值为：10.11﹣2.91＝7.2，13日的差值为：8.18﹣3.02＝5.16，均高于17日的差值：5.52﹣2.32＝3.2，故错误．
故选：②；
（3）设19﹣20日的票房为x亿元，则x必须满足：
31.56+x＝37.22+2.95，
∴x＝40.17﹣31.56＝8.61．
∴2月19日﹣21日三天内影片甲的累计票房应超过8.61亿元．
故答案为：8.61．
25．（6分）如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，∠ABE＝2∠E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tanE＝，BD＝1，求AB的长．
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到∠ABE＝∠BOC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；
（2）连接AC，BC，根据圆周角定理得到∠BCE＝90°，推出∠BCD＝∠OCE，得到∠BCD＝∠E，根据三角函数的定义得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OE＝OC，
∴∠E＝∠OCE，
∵∠BOC＝∠E+∠OCE，
∴∠BOC＝2∠E，
∵∠ABE＝2∠E
∴∠ABE＝∠BOC，
∴AB∥OC，
∵AB⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接AC，BC，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BCE＝90°，
∴∠OCE+∠OCB＝90°，
∵∠OCB+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠OCE，
∴∠BCD＝∠E，
∵∠A＝∠E，tanE＝，BD＝1，
∴＝，
∴AD＝9，
∴AB＝8．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣2（a＞0）．分别过点M（t，0）和点N（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B．记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包括A，B两点）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）记图象G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m．
①当a＝2时，若图象G为轴对称图形，求m的值；
②若存在实数t，使得m＝2，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）y＝ax2﹣2ax+a﹣2变形为y＝a（x﹣1）2﹣2，即可得到顶点坐标；
（2）①a＝2时，抛物线对称轴x＝1，由图象G为轴对称图形，可得t的值，从而求出A、B坐标，得到m的值；
②分四种情况讨论：t≤﹣1，﹣1＜t≤0，0＜t＜1，t≥1，根据m＝2分别列出方程，由t的范围即可求出a的范围．
【解答】解：（1）y＝ax2﹣2ax+a﹣2＝a（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣2的顶点为（1，﹣2）；
（2）①当a＝2时，y＝2x2﹣4x，抛物线对称轴x＝1，
∵图象G为轴对称图形，M（t，0），N（t+2，0），
∴1﹣t＝t+2﹣1，
∴t＝0，
∵过点M（t，0）和点N（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B，
∴A（0，0），B（2，0），
∵顶点为（1，﹣2），
∴m＝0﹣（﹣2）＝2；
②∵过点M（t，0）和点N（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B，
∴A（t，at2﹣2at+a﹣2），B（t+2，a（t+2）2﹣2a（t+2）+a﹣2），
又a＞0，抛物线对称轴x＝1，
（一）当t+2≤1，即t≤﹣1时，图象G上A的纵坐标的值最大，B的纵坐标的值最小，
（at2﹣2at+a﹣2）﹣[a（t+2）2﹣2a（t+2）+a﹣2]＝2，
解得t＝﹣，
∴﹣≤﹣1，
∴a≤；
（二）当t＜1＜t+2，且t+2﹣1≤1﹣t，即﹣1＜t≤0时，图象G上A的纵坐标的值最大，顶点纵坐标的值最小，
∴（at2﹣2at+a﹣2）﹣（﹣2）＝2，
∴a＝，
又﹣1＜t≤0，
∴＜a≤2；
（三）当t＜1＜t+2，且t+2﹣1＞1﹣t，即0＜t＜1时，图象G上B的纵坐标的值最大，顶点纵坐标的值最小，
∴a（t+2）2﹣2a（t+2）+a﹣2﹣（﹣2）＝2，
∴a＝，
又0＜t＜1，
∴＜a＜2；
（四）当t≥1时，图象G上B的纵坐标的值最大，A的纵坐标的值最小，
∴a（t+2）2﹣2a（t+2）+a﹣2﹣（at2﹣2at+a﹣2）＝2，
∴t＝，
又t≥1，
∴a≤，
综上所述，若存在实数t，使得m＝2，则a≤2．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM＝80°．D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．
（1）依题意补全图形；
（2）判断AB与DF的数量关系并证明；
（3）平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．
【分析】（1）由题意画出图形，如图所示；
（2）由“SAS”可证△AEC≌△DEF，可得AC＝DF＝AB；
（3）由题意可得点G在以点D为圆心，DC为半径的圆上，点G在以点F为圆心，FB为半径的圆上，则两圆的交点为G，由“SSS”可证△ABF≌△DFG，可得∠BAF＝∠FDG＝140°，即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）AB＝DF，理由如下：
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵C关于点E的对称点为F，
∴CE＝EF，
又∵∠AEC＝∠FED，
∴△AEC≌△DEF（SAS），
∴AC＝DF，
∵AB＝AC，
∴AB＝DF；
（3）如图2，连接AF，
∵AE＝DE，CE＝EF，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∴∠ACM+∠CAF＝180°，AF＝CD，DF＝AC＝AB，
∴∠CAF＝100°＝∠CDF，
∴∠BAF＝140°，
∵DG＝DC，
∴点G在以点D为圆心，DC为半径的圆上，
∵FG＝FB，
∴点G在以点F为圆心，FB为半径的圆上，
∴两圆的交点为G，
∵AB＝DF，AF＝DG，FB＝FG，
∴△ABF≌△DFG（SSS），
∴∠BAF＝∠FDG＝140°，
∴∠CDG＝40°，
同理可证△ABF≌△DFG'，
∴∠BAF＝∠G'DF＝140°，
∴∠CDG'＝360°﹣100°﹣140°＝120°，
综上所述：∠CDG＝40°或120°．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和线段MN，如果点A，O，M，N按逆时针方向排列构成菱形AOMN，且∠AOM＝α，则称线段MN是点A的“α﹣相关线段”．例如，图1中线段MN是点A的“30°﹣相关线段”．
（1）已知点A的坐标是（0，2）．
①在图2中画出点A的“30°﹣相关线段”MN，并直接写出点M和点N的坐标；
②若点A的“α﹣相关线段”经过点（，1），求α的值；
（2）若存在α，β（α≠β）使得点P的“α﹣相关线段”和“β﹣相关线段”都经过点（0，4），记PO＝t，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）①如图1中，根据要求作出图形即可，过点M作MK⊥OA于K．解直角三角形求出KM，OK，可得结论．
②分两种情形分别画出图形求解即可．
（2）如图3中，过点G（0，4）作OP的平行线l，以P为圆心，OP长为半径作⊙P，当⊙P与直线l有两个交点且线段MN，线段M′N′经过G（0，4）时，满足条件．求出两种特殊位置OP的值，可得结论．
【解答】解：（1）①如图1中，图形如图所示，过点M作MK⊥OA于K．
∵A（0，2），
∴OA＝OM＝MN＝AN＝2，
在Rt△OMK中，∠MOK＝30°，
∴MK＝OM＝1，OK＝MK＝，
∴M（1，），N（1，+2）．
②如图2﹣1中，当点M与（，1）重合时，α＝60°．
如图2﹣2中，当点N与（，1）重合时，α＝120°，
综上所述，满足条件的α的值为60°或120°．
（2）如图3中，过点G（0，4）作OP的平行线l，以P为圆心，OP长为半径作⊙P，当⊙P与直线l有两个交点且线段MN，线段M′N′经过G（0，4）时，满足条件．
观察图象可知，满足条件的OP的值为2＜OP≤4，
∴2＜t≤4．
2021年北京市海淀区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．球 C．三棱柱 D．长方体
2．（2分）2021年2月24日6时29分，我国自主研制的首个火星探测器“天问一号”成功实施第三次近火制动，进入近火点280千米、远火点59000千米、周期2个火星日的火星停泊轨道．将59000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.59×105 B．5.9×105 C．5.9×104 D．5.9×103
3．（2分）七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种颜色，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向白色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．1
5．（2分）已知正多边形的一个外角等于60°，则该正多边形的边数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2分）实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a＜0 B．a＜b C．b+5＞0 D．|a|＞|b|
7．（2分）已知x＝1是不等式2x﹣b＜0的解，b的值可以是（ ）
A．4 B．2 C．0 D．﹣2
8．（2分）如图，AB是⊙O直径，点C，D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且∠APQ＝115°，则点Q所在的弧是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若式子有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（2分）方程组的解为 ．
11．（2分）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果图中∠1是70°，那么∠2的度数是 ．
12．（2分）若+a的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数a的值 ．
13．（2分）计算：（﹣）•＝ ．
14．（2分）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+4＝0有两个相等的实数根，则m的值是 ．
15．（2分）图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1﹣S2的值为 ．
16．（2分）图1是一个2×2正方形网格，两条网格线的交点叫做格点，甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下：
游戏规则
a．两人依次在网格中画线段，线段的起点和终点均为格点；
b．新画线段的起点为前一条线段的终点，且与任意已画出线段不能有其他公共点；
c．已画出线段的所有端点中，任意三个端点不能在同一条直线上；
d．当某人无法画出新的线段时，则另一人获胜．
如图2，甲先画出线段AB，乙随后画出线段BC．若这局游戏继续进行下去，最终的获胜者是 （填“甲”，“乙”或“不确定”）．
三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23题6分，第24题5分，第25--26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）计算：|﹣|﹣2cos45°+（π﹣1）0+．
18．（5分）解不等式组：．
19．（5分）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．
20．（5分）已知a2+a﹣1＝0，求代数式（a+2）（a﹣2）+a（a+2）的值．
21．（6分）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE⊥ED．
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）F为AE延长线上一点，满足EF＝AE，连接DF交BC于点G．若AB＝2，BE＝1，求GC的长．
22．（5分）我国是世界上最早发明历法的国家之一．《周礼》中记载：垒土为圭，立木为表，测日影，正地中，定四时．如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆．正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．
在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型．如图2，地面上放置一根长2m的杆AB，向正北方向画一条射线BC，在BC上取点D，测得BD＝1.5m，AD＝2.5m．
（1）判断：这个模型中AB与BC是否垂直．答： （填“是”或“否”）；你的理由是： ．
（2）某地部分节气正午时分太阳光线与地面夹角α的值，如下表：
节气
夏至
秋分
冬至
太阳光线与地面夹角α
74°
50°
27°
①记夏至和冬至时表影分别为BM和BN，利用上表数据，在射线BC上标出点M和点N的位置；
②记秋分时的表影为BP，推测点P位于 ．
A．线段MN中点左侧
B．线段MN中点处
C．线段MN中点右侧
23．（6分）已知直线l：y＝kx（k≠0）经过点A（﹣1，2）．点P为直线l上一点，其横坐标为m．过点P作y轴的垂线，与函数y＝（x＞0）的图象交于点Q．
（1）求k的值；
（2）①求点Q的坐标（用含m的式子表示）；
②若△POQ的面积大于3，直接写出点P的横坐标m的取值范围．
24．（5分）牛年伊始，中国电影行业迎来了开门红．春节档期全国总观影人次超过1.6亿，总票房超过80亿元．以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息．
a．两部影片上映第一周单日票房统计图
b．两部影片分时段累计票房如下
上映影片
2月12日﹣18日累计票房（亿元）
2月19日﹣21日累计票房（亿元）
甲
31.56
乙
37.22
2.95
（以上数据来源于中国电影数据信息网）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）2月12日﹣18日的一周时间内，影片乙单日票房的中位数为 ；
（2）对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是 ；
①甲的单日票房逐日增加；
②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差；
③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大．
（3）截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2月19日﹣21日三天内影片甲的累计票房应超过 亿元．
25．（6分）如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，∠ABE＝2∠E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tanE＝，BD＝1，求AB的长．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣2（a＞0）．分别过点M（t，0）和点N（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B．记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包括A，B两点）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）记图象G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m．
①当a＝2时，若图象G为轴对称图形，求m的值；
②若存在实数t，使得m＝2，直接写出a的取值范围．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM＝80°．D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．
（1）依题意补全图形；
（2）判断AB与DF的数量关系并证明；
（3）平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和线段MN，如果点A，O，M，N按逆时针方向排列构成菱形AOMN，且∠AOM＝α，则称线段MN是点A的“α﹣相关线段”．例如，图1中线段MN是点A的“30°﹣相关线段”．
（1）已知点A的坐标是（0，2）．
①在图2中画出点A的“30°﹣相关线段”MN，并直接写出点M和点N的坐标；
②若点A的“α﹣相关线段”经过点（，1），求α的值；
（2）若存在α，β（α≠β）使得点P的“α﹣相关线段”和“β﹣相关线段”都经过点（0，4），记PO＝t，直接写出t的取值范围．
2021年北京市海淀区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱 B．球 C．三棱柱 D．长方体
【分析】根据一个空间几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．
【解答】解：由几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，
故该几何体是一个柱体，
又∵俯视图是一个圆，
故该几何体是一个圆柱．
故选：A．
2．（2分）2021年2月24日6时29分，我国自主研制的首个火星探测器“天问一号”成功实施第三次近火制动，进入近火点280千米、远火点59000千米、周期2个火星日的火星停泊轨道．将59000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.59×105 B．5.9×105 C．5.9×104 D．5.9×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：59000＝5.9×104．
故选：C．
3．（2分）七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
4．（2分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种颜色，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向白色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：∵转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种颜色，
∴指针指向白色区域的概率是＝，
故选：B．
5．（2分）已知正多边形的一个外角等于60°，则该正多边形的边数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】利用外角和360°÷外角的度数即可得到边数．
【解答】解：360°÷60°＝6．
故该正多边形的边数为6．
故选：D．
6．（2分）实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．a＜0 B．a＜b C．b+5＞0 D．|a|＞|b|
【分析】根据数轴可以发现b＜a，且，由此即可判断以上选项正确与否．
【解答】解：A．∵2＜a＜3，a＞0，答案A不符合题意；
B．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴a＞b，∴答案B不符合题意；
C．∵﹣4＜b＜﹣3，∴b+5＞0，∴答案C符合题意；
D．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴|a|＜b|，∴答案D不符合题意．
故选：C．
7．（2分）已知x＝1是不等式2x﹣b＜0的解，b的值可以是（ ）
A．4 B．2 C．0 D．﹣2
【分析】将x＝1代入不等式求出b的取值范围即可得出答案．
【解答】解：∵x＝1是不等式2x﹣b＜0的解，
∴2﹣b＜0，
∴b＞2，
故选：A．
8．（2分）如图，AB是⊙O直径，点C，D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且∠APQ＝115°，则点Q所在的弧是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据∠APQ＝115°找到所对应的弧以及弧所对应的圆心角找到∠AOQ的度数即可确定Q所在位置．
【解答】解：∵∠APQ＝115°，
∴∠APQ所对应优弧，
∴根据圆周角定理易知优弧所对圆心角为230°，
则劣弧APQ所对应圆心角∠AOQ＝130°，
∵C、D为的三等分点，
∴∠AOD＝120°
故Q应位于上，
故选：D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）若式子有意义，则实数x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】根据二次根式的性质可以得到x﹣1是非负数，由此即可求解．
【解答】解：依题意得
x﹣1≥0，
∴x≥1．
故答案为：x≥1．
10．（2分）方程组的解为 ．
【分析】利用①+②可消除y，从而可求出x，再把x的值代入①，易求出y．
【解答】解：，
①+②，得
3x＝9，
解得x＝3，
把x＝3代入①，得
3+y＝3，
解得y＝0，
∴原方程组的解是．
故答案是．
11．（2分）如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果图中∠1是70°，那么∠2的度数是 110° ．
【分析】根据平行线的性质，找到同旁内角、内错角进行推理即可得出∠2度数．
【解答】解：如图所示，由题意可知l∥l'，
∵l∥l'，
∴∠1+∠3＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠3＝110°，
∴∠2＝∠3＝110°（两直线平行，内错角相等）．
故答案为：110°．
12．（2分）若+a的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数a的值 ﹣（答案不唯一） ．
【分析】直接利用有理数的定义结合二次根式的性质得出答案．
【解答】解：∵+a的值为有理数，
∴符合条件的实数a的值可以为：﹣（答案不唯一）．
故答案为：﹣（答案不唯一）．
13．（2分）计算：（﹣）•＝ 1 ．
【分析】根据分式的运算法则进行化简即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝
＝1，
故答案为：1．
14．（2分）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+4＝0有两个相等的实数根，则m的值是 2或﹣6 ．
【分析】根据方程x2﹣（m+2）x+4＝0有两个相等的实数根可得△＝0，即（m+2）2﹣4×4＝0，解方程即可得m的值．
【解答】解：∵方程x2﹣（m+2）x+4＝0有两个相等的实数根，
∴△＝0，即（m+2）2﹣4×4＝0，
解得：m＝2或m＝﹣6，
故答案为：2或﹣6．
15．（2分）图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1﹣S2的值为 9 ．
【分析】分别表示出S1，S2，即可求解．
【解答】解：设图1中的直角三角形另一条直角边长为b，
∴S1＝32+b2＝9+b2，S2＝b2，
∴S1﹣S2＝9，
故答案为9．
16．（2分）图1是一个2×2正方形网格，两条网格线的交点叫做格点，甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下：
游戏规则
a．两人依次在网格中画线段，线段的起点和终点均为格点；
b．新画线段的起点为前一条线段的终点，且与任意已画出线段不能有其他公共点；
c．已画出线段的所有端点中，任意三个端点不能在同一条直线上；
d．当某人无法画出新的线段时，则另一人获胜．
如图2，甲先画出线段AB，乙随后画出线段BC．若这局游戏继续进行下去，最终的获胜者是 乙 （填“甲”，“乙”或“不确定”）．
【分析】如图，甲只能画3次线段，乙可以画4次线段，如图所示，乙能获胜．
【解答】解：如图，甲只能画3次线段，乙可以画4次线段，如图所示，
所以，乙一定能获胜．
故答案为：乙．
三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23题6分，第24题5分，第25--26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．（5分）计算：|﹣|﹣2cos45°+（π﹣1）0+．
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2×+1+2
＝﹣+1+2
＝1+2．
18．（5分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式4（x+1）≥x+7，得：x≥1，
解不等式＞x，得：x＜2，
则不等式组的解集为1≤x＜2．
19．（5分）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．
【分析】证明△ABC≌△DEF（SAS），可得∠A＝∠D．
【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠A＝∠D．
20．（5分）已知a2+a﹣1＝0，求代数式（a+2）（a﹣2）+a（a+2）的值．
【分析】原式利用平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a2+a﹣1＝0，
∴a2+a＝1，
原式＝a2﹣4+a2+2a
＝2a2+2a﹣4
＝2（a2+a）﹣4，
当a2+a＝1时，原式＝2﹣4＝﹣2．
21．（6分）如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE⊥ED．
（1）求证：△ABE∽△ECD；
（2）F为AE延长线上一点，满足EF＝AE，连接DF交BC于点G．若AB＝2，BE＝1，求GC的长．
【分析】（1）由余角的性质可得∠BAE＝∠DEC，可得结论；
（2）由相似三角形的性质可求EC＝4，由等腰三角形的性质和平行线的性质可证EG＝DG，由勾股定理可求解．
【解答】证明：（1）∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°＝∠B＝∠C，
∴∠AEB+∠DEC＝∠AEB+∠BAE，
∴∠BAE＝∠DEC，
∴△ABE∽△ECD；
（2）∵△ABE∽△ECD，
∴，
∴，
∴EC＝4，
∵AE＝EF，∠AED＝90°，
∴AD＝DF，
又∵∠AED＝90°，
∴∠ADE＝∠FDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC＝∠FDE，
∴DG＝EG，
∵DG2＝DC2+GC2，
∴（4﹣GC）2＝4+GC2，
∴GC＝．
22．（5分）我国是世界上最早发明历法的国家之一．《周礼》中记载：垒土为圭，立木为表，测日影，正地中，定四时．如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆．正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．
在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型．如图2，地面上放置一根长2m的杆AB，向正北方向画一条射线BC，在BC上取点D，测得BD＝1.5m，AD＝2.5m．
（1）判断：这个模型中AB与BC是否垂直．答： 是 （填“是”或“否”）；你的理由是： 勾股定理的逆定理 ．
（2）某地部分节气正午时分太阳光线与地面夹角α的值，如下表：
节气
夏至
秋分
冬至
太阳光线与地面夹角α
74°
50°
27°
①记夏至和冬至时表影分别为BM和BN，利用上表数据，在射线BC上标出点M和点N的位置；
②记秋分时的表影为BP，推测点P位于 A ．
A．线段MN中点左侧
B．线段MN中点处
C．线段MN中点右侧
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判断即可．
（2）①利用量角器，画出图形即可．
②利用图像法判断即可．
【解答】解：（1）∵AB＝2m，BD＝1.5m，AD＝2.5m，
∴AD2＝6.25，AB2+BD2＝6.25，
∴AD2＝AB2+BD2，
∴∠ABD＝90°，
∴△ABD是直角三角形．
故答案为：是，勾股定理的逆定理．
（2）①如图2中，点M，点N即为所求作．
②观察图像可知，点P在线段MN的中点的左侧，
故选A，
故答案为：A．
23．（6分）已知直线l：y＝kx（k≠0）经过点A（﹣1，2）．点P为直线l上一点，其横坐标为m．过点P作y轴的垂线，与函数y＝（x＞0）的图象交于点Q．
（1）求k的值；
（2）①求点Q的坐标（用含m的式子表示）；
②若△POQ的面积大于3，直接写出点P的横坐标m的取值范围．
【分析】（1）将点A的坐标代入y＝kx得：2＝﹣k，即可求解；
（2）①设点P的坐标为（m，﹣2m），当y＝﹣2m＝时，x＝﹣，即可求解；
②由△POQ的面积＝PQ×yP＝×（﹣﹣m）×（﹣2m）＞3，即可求解．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入y＝kx得：2＝﹣k，
即k＝﹣2；
（2）①由（1）知，y＝﹣2x，
设点P的坐标为（m，﹣2m），
当y＝﹣2m＝时，x＝﹣，
故点Q的坐标为（﹣，﹣2m）；
②△POQ的面积＝PQ×yP＝×（﹣﹣m）×（﹣2m）＞3，
解得m＞1或m＜﹣1，
由函数y＝（x＞0），则m＜0，
故m＜﹣1．
24．（5分）牛年伊始，中国电影行业迎来了开门红．春节档期全国总观影人次超过1.6亿，总票房超过80亿元．以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息．
a．两部影片上映第一周单日票房统计图
b．两部影片分时段累计票房如下
上映影片
2月12日﹣18日累计票房（亿元）
2月19日﹣21日累计票房（亿元）
甲
31.56
乙
37.22
2.95
（以上数据来源于中国电影数据信息网）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）2月12日﹣18日的一周时间内，影片乙单日票房的中位数为 4.36 ；
（2）对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是 ② ；
①甲的单日票房逐日增加；
②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差；
③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大．
（3）截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2月19日﹣21日三天内影片甲的累计票房应超过 8.61 亿元．
【分析】（1）根据中位数的概念即可得到答案；
（2）①从图象上直接可以得到答案；②通过观察图象，从图象的缓急程度可得答案；③可以计算一下12日和13日的差值比较即可得到答案；
（3）设19﹣20日的票房为x，根据总票房数相等列出方程，求解即可得到答案．
【解答】解：（1）乙单日票房从小到大排列如下：
1.63，2.32，3.13，4.36，7.49，8.18，10.11，
∴2月12日﹣18日的一周时间内，影片乙单日票房的中位数为4.36，
故答案为：4.36；
（2）①甲的单日票房并未逐日增加，在16日、17日、18日有下降，故错误；
②甲的图象来看更加平缓，方差较小，故正确；
③12日的单日差值为：10.11﹣2.91＝7.2，13日的差值为：8.18﹣3.02＝5.16，均高于17日的差值：5.52﹣2.32＝3.2，故错误．
故选：②；
（3）设19﹣20日的票房为x亿元，则x必须满足：
31.56+x＝37.22+2.95，
∴x＝40.17﹣31.56＝8.61．
∴2月19日﹣21日三天内影片甲的累计票房应超过8.61亿元．
故答案为：8.61．
25．（6分）如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，∠ABE＝2∠E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tanE＝，BD＝1，求AB的长．
【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到∠ABE＝∠BOC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；
（2）连接AC，BC，根据圆周角定理得到∠BCE＝90°，推出∠BCD＝∠OCE，得到∠BCD＝∠E，根据三角函数的定义得到结论．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OE＝OC，
∴∠E＝∠OCE，
∵∠BOC＝∠E+∠OCE，
∴∠BOC＝2∠E，
∵∠ABE＝2∠E
∴∠ABE＝∠BOC，
∴AB∥OC，
∵AB⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接AC，BC，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BCE＝90°，
∴∠OCE+∠OCB＝90°，
∵∠OCB+∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠OCE，
∴∠BCD＝∠E，
∵∠A＝∠E，tanE＝，BD＝1，
∴＝，
∴AD＝9，
∴AB＝8．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣2（a＞0）．分别过点M（t，0）和点N（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B．记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包括A，B两点）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）记图象G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m．
①当a＝2时，若图象G为轴对称图形，求m的值；
②若存在实数t，使得m＝2，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）y＝ax2﹣2ax+a﹣2变形为y＝a（x﹣1）2﹣2，即可得到顶点坐标；
（2）①a＝2时，抛物线对称轴x＝1，由图象G为轴对称图形，可得t的值，从而求出A、B坐标，得到m的值；
②分四种情况讨论：t≤﹣1，﹣1＜t≤0，0＜t＜1，t≥1，根据m＝2分别列出方程，由t的范围即可求出a的范围．
【解答】解：（1）y＝ax2﹣2ax+a﹣2＝a（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣2的顶点为（1，﹣2）；
（2）①当a＝2时，y＝2x2﹣4x，抛物线对称轴x＝1，
∵图象G为轴对称图形，M（t，0），N（t+2，0），
∴1﹣t＝t+2﹣1，
∴t＝0，
∵过点M（t，0）和点N（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B，
∴A（0，0），B（2，0），
∵顶点为（1，﹣2），
∴m＝0﹣（﹣2）＝2；
②∵过点M（t，0）和点N（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B，
∴A（t，at2﹣2at+a﹣2），B（t+2，a（t+2）2﹣2a（t+2）+a﹣2），
又a＞0，抛物线对称轴x＝1，
（一）当t+2≤1，即t≤﹣1时，图象G上A的纵坐标的值最大，B的纵坐标的值最小，
（at2﹣2at+a﹣2）﹣[a（t+2）2﹣2a（t+2）+a﹣2]＝2，
解得t＝﹣，
∴﹣≤﹣1，
∴a≤；
（二）当t＜1＜t+2，且t+2﹣1≤1﹣t，即﹣1＜t≤0时，图象G上A的纵坐标的值最大，顶点纵坐标的值最小，
∴（at2﹣2at+a﹣2）﹣（﹣2）＝2，
∴a＝，
又﹣1＜t≤0，
∴＜a≤2；
（三）当t＜1＜t+2，且t+2﹣1＞1﹣t，即0＜t＜1时，图象G上B的纵坐标的值最大，顶点纵坐标的值最小，
∴a（t+2）2﹣2a（t+2）+a﹣2﹣（﹣2）＝2，
∴a＝，
又0＜t＜1，
∴＜a＜2；
（四）当t≥1时，图象G上B的纵坐标的值最大，A的纵坐标的值最小，
∴a（t+2）2﹣2a（t+2）+a﹣2﹣（at2﹣2at+a﹣2）＝2，
∴t＝，
又t≥1，
∴a≤，
综上所述，若存在实数t，使得m＝2，则a≤2．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM＝80°．D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．
（1）依题意补全图形；
（2）判断AB与DF的数量关系并证明；
（3）平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．
【分析】（1）由题意画出图形，如图所示；
（2）由“SAS”可证△AEC≌△DEF，可得AC＝DF＝AB；
（3）由题意可得点G在以点D为圆心，DC为半径的圆上，点G在以点F为圆心，FB为半径的圆上，则两圆的交点为G，由“SSS”可证△ABF≌△DFG，可得∠BAF＝∠FDG＝140°，即可求解．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）AB＝DF，理由如下：
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵C关于点E的对称点为F，
∴CE＝EF，
又∵∠AEC＝∠FED，
∴△AEC≌△DEF（SAS），
∴AC＝DF，
∵AB＝AC，
∴AB＝DF；
（3）如图2，连接AF，
∵AE＝DE，CE＝EF，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∴∠ACM+∠CAF＝180°，AF＝CD，DF＝AC＝AB，
∴∠CAF＝100°＝∠CDF，
∴∠BAF＝140°，
∵DG＝DC，
∴点G在以点D为圆心，DC为半径的圆上，
∵FG＝FB，
∴点G在以点F为圆心，FB为半径的圆上，
∴两圆的交点为G，
∵AB＝DF，AF＝DG，FB＝FG，
∴△ABF≌△DFG（SSS），
∴∠BAF＝∠FDG＝140°，
∴∠CDG＝40°，
同理可证△ABF≌△DFG'，
∴∠BAF＝∠G'DF＝140°，
∴∠CDG'＝360°﹣100°﹣140°＝120°，
综上所述：∠CDG＝40°或120°．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点A和线段MN，如果点A，O，M，N按逆时针方向排列构成菱形AOMN，且∠AOM＝α，则称线段MN是点A的“α﹣相关线段”．例如，图1中线段MN是点A的“30°﹣相关线段”．
（1）已知点A的坐标是（0，2）．
①在图2中画出点A的“30°﹣相关线段”MN，并直接写出点M和点N的坐标；
②若点A的“α﹣相关线段”经过点（，1），求α的值；
（2）若存在α，β（α≠β）使得点P的“α﹣相关线段”和“β﹣相关线段”都经过点（0，4），记PO＝t，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）①如图1中，根据要求作出图形即可，过点M作MK⊥OA于K．解直角三角形求出KM，OK，可得结论．
②分两种情形分别画出图形求解即可．
（2）如图3中，过点G（0，4）作OP的平行线l，以P为圆心，OP长为半径作⊙P，当⊙P与直线l有两个交点且线段MN，线段M′N′经过G（0，4）时，满足条件．求出两种特殊位置OP的值，可得结论．
【解答】解：（1）①如图1中，图形如图所示，过点M作MK⊥OA于K．
∵A（0，2），
∴OA＝OM＝MN＝AN＝2，
在Rt△OMK中，∠MOK＝30°，
∴MK＝OM＝1，OK＝MK＝，
∴M（1，），N（1，+2）．
②如图2﹣1中，当点M与（，1）重合时，α＝60°．
如图2﹣2中，当点N与（，1）重合时，α＝120°，
综上所述，满足条件的α的值为60°或120°．
（2）如图3中，过点G（0，4）作OP的平行线l，以P为圆心，OP长为半径作⊙P，当⊙P与直线l有两个交点且线段MN，线段M′N′经过G（0，4）时，满足条件．
观察图象可知，满足条件的OP的值为2＜OP≤4，
∴2＜t≤4．
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