2021年四川省南充市中考数学一模试卷
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这是一份2021年四川省南充市中考数学一模试卷,共24页。试卷主要包含了选择题每小题都有代号为A等内容,欢迎下载使用。
2021年四川省南充市中考数学一模试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项,其中只有一个是正确的,请将正确选项的代号填涂答题卡对应位置,涂正确记4分,不涂、涂错或多涂记0分.
1.(4分)在实数﹣2,﹣,0,中,最小的是( )
A.﹣2 B. C.0 D.﹣
2.(4分)方程(9x﹣1)2=1的解是( )
A.x1=x2= B.x1=x2=
C.x1=0,x2= D.x1=0,x2=﹣
3.(4分)若分式的值是负数,则x的取值范围是( )
A.x> B.x> C.x< D.x<
4.(4分)如图,AB∥CD,与EF交于B,∠ABF=3∠ABE,则∠E+∠D的度数( )
A.等于30° B.等于45° C.等于60° D.不能确定
5.(4分)如图,将5个大小相同的正方形置于直角坐标系中,若顶点M,N的坐标分别为(3,9),(12,9),则顶点P的坐标为( )
A.(13,7) B.(14,6) C.(15,5) D.(15,3)
6.(4分)如图,E,F是BD上两点,BE=DF,∠AEF=∠CFE,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△AED≌△CFB的是( )
A.∠B=∠D B.AD=BC C.AE=CF D.AD∥BC
7.(4分)如图,每个小三角形都是等边三角形,再将1个小三角形涂黑,使4个小三角形构成轴对称图形.不同涂法有( )
A.2种 B.3种 C.4种 D.6种
8.(4分)在一次“爱心互助”捐款活动中,某班第一小组8名同学捐款的金额(单位:元)如下表:
金额/元
10
12
14
20
人数
2
3
2
1
这8名同学捐款的平均金额为( )
A.15 B.14 C.13.5 D.13
9.(4分)如图,圆内接四边形ABCD中,AB=AC,AC⊥BD,则∠DAC是∠BAC的( )
A. B. C. D.
10.(4分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(﹣1,0),(0,3),对称轴在y轴右侧,则下列结论:①a<0;②抛物线经过(1,0);③方程ax2+bx+c=1有两个不相等的实数根;④﹣3<a+b<3.正确的有( )
A.①③ B.①②③ C.①③④ D.③④
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)请将答案填在答题卡对应题号的横线上.
11.(4分)方程x2+a=0的一个解是x=﹣1,另一个解是 .
12.(4分)计算(﹣2a)2﹣2a2,结果是 .
13.(4分)如图,将三角板的直角顶点放在点O处,两条直角边分别交⊙O于A,B,点P在优弧APB上,则∠P的大小为 .
14.(4分)将一个表面涂满红色的正方体木料每条棱10等分,分割成若干个小正方体,装入布袋中.任意摸1个小正方体,各面均无色的小正方体的概率是 .
15.(4分)如果两个一元二次方程x2+x+k=0与x2+kx+1=0有且只有一个根相同,那么k的值是 .
16.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2,D为AB的中点,E为边BC上一点,将△ADE沿DE翻折得到△A'DE,A'D与BC交于F.若△A'DE与△BDE重叠部分的面积占△ABE面积的,则BF的长为 .
三、(本大题共9小题,共86分)解答题应写出必要的文字说明或推演步骤.
17.(8分)计算:÷(1﹣).
18.(8分)如图,在▱ABCD中,∠ADC的平分线经过BC的中点E,与AB的延长线交于点F.求证:AE⊥DF.
19.(8分)4张看上去无差别的卡片上分别印正三角形、菱形、正五边形、圆.将印有图案的一面朝下,混合均匀.
(1)从中随机抽取1张,抽到的图案是中心对称图形的概率为 ;
(2)从中随机抽取两张,求抽到的图案都是中心对称图形的概率.
20.(10分)m为实数,关于x的方程x(x﹣2m)+m(m﹣1)=0有实数根.
(1)求m的取值范围.
(2)若方程两实根的平方和为12,试求m的值.
21.(10分)如图,直线y=kx+b与x轴交于点A,与y轴交于点B,与双曲线y=(x<0)交于C(﹣8,1),D(﹣m,m2)两点.
(1)求直线和双曲线的解析式.
(2)比较AC和BD的大小.直接填空:AC BD.
(3)写出直线对应函数值大于双曲线对应函数值自变量x的取值范围.直接填空: .
22.(10分)如图,PB切⊙O于点B,连接PO并延长交⊙O于点E,过点B作BA⊥PE交⊙O于点A,连接AP,AE.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)如果AB=DE,OD=3,求⊙O的半径.
23.(10分)一家超市,经销一种地方特色产品,每千克成本为50元.这种产品在不同季节销量与单价满足一次函数变化关系.下表是其中不同4个月内一天的销量y(kg)与单价x(元/kg)的对应值.
单价x(元/kg)
55
60
65
70
销量y(kg)
70
60
50
40
(1)求y(kg)与x(元/kg)之间的函数关系式.
(2)平均每天获得600元销售利润的季节,顾客利益也较大,销售单价是多少?
(3)当销售单价为多少时,一天的销售利润最大?最大利润是多少?
24.(10分)如图,点E是矩形ABCD中CD边上一点,将△ADE沿AE折叠,点D恰好落在BC边F处.
(1)写出图中一定相似的三角形,并证明.
(2)若图中的相似三角形超过2对,试求这样的矩形两邻边,即的值.
25.(12分)如图,抛物线与x轴负半轴交于点A,正半轴交于点B,与y轴交于点C,OB=OC=3OA=3.P是对称轴上一动点,PH⊥x轴于H.
(1)求抛物线的解析式.
(2)在抛物线上求一点Q,使以O,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形.
(3)若Q为x轴上一动点,求CQ+BQ的最小值.
2021年四川省南充市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项,其中只有一个是正确的,请将正确选项的代号填涂答题卡对应位置,涂正确记4分,不涂、涂错或多涂记0分.
1.(4分)在实数﹣2,﹣,0,中,最小的是( )
A.﹣2 B. C.0 D.﹣
【分析】根据正数大于零,零大于负数的方法对四个数进行比较即可.
【解答】解:∵=0.01,﹣≈﹣2.236,
又|﹣2|=2,|﹣|=2.236,
∴0.01>0>﹣2>﹣2.236,
即>0>﹣2>﹣.
故选:D.
2.(4分)方程(9x﹣1)2=1的解是( )
A.x1=x2= B.x1=x2=
C.x1=0,x2= D.x1=0,x2=﹣
【分析】利用直接开平方法求解即可.
【解答】解:∵(9x﹣1)2=1,
∴9x﹣1=1或9x﹣1=﹣1,
解得x1=0,x2=,
故选:C.
3.(4分)若分式的值是负数,则x的取值范围是( )
A.x> B.x> C.x< D.x<
【分析】根据题意列出不等式即可求出x的取值范围.
【解答】解:由题意可知:2﹣3x<0,且x2+1>0恒成立,
∴x>,
故选:B.
4.(4分)如图,AB∥CD,与EF交于B,∠ABF=3∠ABE,则∠E+∠D的度数( )
A.等于30° B.等于45° C.等于60° D.不能确定
【分析】根据平角的定义,得到∠ABE的度数,然后根据平行线的性质,得∠EFC的度数,最后由三角形的外角得到答案.
【解答】解:∵∠ABF=3∠ABE,∠ABF+∠ABE=180°,
∴4∠ABE=180°,
∴∠ABE=45°,
∵AB∥CD,
∴∠CFE=∠ABE=45°,
∴∠E+∠D=∠CFE=45°.
故选:B.
5.(4分)如图,将5个大小相同的正方形置于直角坐标系中,若顶点M,N的坐标分别为(3,9),(12,9),则顶点P的坐标为( )
A.(13,7) B.(14,6) C.(15,5) D.(15,3)
【分析】由图形可得MN∥x轴,MN=9,BN∥y轴,可求正方形的边长,即可求解.
【解答】解:如图:
∵顶点M、N的坐标分别为(3,9)、(12,9),
∴MN∥x轴,MN=9,BN∥y轴,
∴正方形的边长为3,
∴BN=6,
∴点B(12,3),
∵PB∥MN,
∴PB∥x轴,
∴点P(15,3)
故选:D.
6.(4分)如图,E,F是BD上两点,BE=DF,∠AEF=∠CFE,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△AED≌△CFB的是( )
A.∠B=∠D B.AD=BC C.AE=CF D.AD∥BC
【分析】根据全等三角形的判定方法判断即可.
【解答】解:∵BE=DF,
∴BE+EF=DF+EF,
即BF=DE,
∵∠AEF=∠CFE,
A、添加∠B=∠D,利用ASA能判定△AED≌△CFB,不符合题意;
B、添加AD=BC,不能判定△AED≌△CFB,符合题意;
C、添加AE=CF,利用SAS能判定△AED≌△CFB,不符合题意;
D、添加AD∥BC,得出∠B=∠D,利用ASA能判定△AED≌△CFB,不符合题意;
故选:B.
7.(4分)如图,每个小三角形都是等边三角形,再将1个小三角形涂黑,使4个小三角形构成轴对称图形.不同涂法有( )
A.2种 B.3种 C.4种 D.6种
【分析】对称轴的位置不同,结果不同,根据轴对称的性质进行作图即可.
【解答】解:如图所示,满足题意的涂色方式有4种,
故选:C.
8.(4分)在一次“爱心互助”捐款活动中,某班第一小组8名同学捐款的金额(单位:元)如下表:
金额/元
10
12
14
20
人数
2
3
2
1
这8名同学捐款的平均金额为( )
A.15 B.14 C.13.5 D.13
【分析】直接利用加权平均数的定义列式计算即可.
【解答】解:这8名同学捐款的平均金额为=13(元),
故选:D.
9.(4分)如图,圆内接四边形ABCD中,AB=AC,AC⊥BD,则∠DAC是∠BAC的( )
A. B. C. D.
【分析】利用等腰三角形的性质,直角三角形两锐角互余等知识解决问题即可.
【解答】解:如图,
∵AB=AC,
∴∠4=∠ABC,
∴∠1+2∠4=180°,
∵AC⊥BD,
∴∠2+∠3=90°,
∴2∠2+2∠3=180°,
∵∠3=∠4,
∴∠1=2∠2.
故选:A.
10.(4分)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(﹣1,0),(0,3),对称轴在y轴右侧,则下列结论:①a<0;②抛物线经过(1,0);③方程ax2+bx+c=1有两个不相等的实数根;④﹣3<a+b<3.正确的有( )
A.①③ B.①②③ C.①③④ D.③④
【分析】①由抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(﹣1,0),(0,3),对称轴在y轴右侧,即可判断开口向下,结论①正确;
②由抛物线过点(﹣1,0),对称轴在y轴右侧,即可得出当x=1时y>0,结论①错误;
②过点(0,1)作x轴的平行线,由该直线与抛物线有两个交点,可得出方程ax2+bx+c=1有两个不相等的实数根,结论③正确;
④由当x=1时y>0,可得出a+b>﹣c,由抛物线与y轴交于点(0,3)可得出c=3,进而即可得出a+b>﹣3,由抛物线过点(﹣1,0)可得出a+b=2a+c,结合a<0、c=3可得出a+b<3,综上可得出﹣3<a+b<3,结论④正确.此题得解.
【解答】解:①∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(﹣1,0),(0,3),对称轴在y轴右侧,
∴抛物线开口向下,
∴a<0,结论①正确;
②∵抛物线过点(﹣1,0),对称轴在y轴右侧,
∴当x=1时y>0,结论②错误;
③∵顶点的纵坐标大于3,
∴过点(0,1)作x轴的平行线与抛物线有两个交点,
∴方程ax2+bx+c=1有两个不相等的实数根,结论③正确;
④∵当x=1时y=a+b+c>0,
∴a+b>﹣c.
∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)经过点(0,3),
∴c=3,
∴a+b>﹣3.
∵当x=﹣1时,y=0,即a﹣b+c=0,
∴b=a+c,
∴a+b=2a+c.
∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∴a+b<c=3,
∴﹣3<a+b<3,结论④正确.
故选:C.
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)请将答案填在答题卡对应题号的横线上.
11.(4分)方程x2+a=0的一个解是x=﹣1,另一个解是 x=1 .
【分析】先将x=﹣1代入方程求出a的值,再利用直接开平方法求解即可.
【解答】解:根据题意,将x=﹣1代入,得:1+a=0,
解得a=﹣1,
则方程为x2﹣1=0,
∴x2=1,
∴x1=1,x2=﹣1,
故答案为:x=1.
12.(4分)计算(﹣2a)2﹣2a2,结果是 2a2 .
【分析】积的乘方法则:把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,据此化简后,再合并同类项即可.
【解答】解:(﹣2a)2﹣2a2=4a2﹣2a2=2a2,
故答案为:2a2.
13.(4分)如图,将三角板的直角顶点放在点O处,两条直角边分别交⊙O于A,B,点P在优弧APB上,则∠P的大小为 45° .
【分析】∠AOB与∠APB为所对的圆心角和圆周角,已知∠AOB=90°,利用圆周角定理求解.
【解答】解:∵∠AOB与∠APB为所对的圆心角和圆周角,
∴∠APB=∠AOB=×90°=45°.
故答案为:45°.
14.(4分)将一个表面涂满红色的正方体木料每条棱10等分,分割成若干个小正方体,装入布袋中.任意摸1个小正方体,各面均无色的小正方体的概率是 .
【分析】将正方体每条棱五等份可分割成103=1000个小正方体,无色的小正方体的个数为83=512,再由概率公式求解即可.
【解答】解:将正方体每条棱10等分,可分割成103=1000个小正方体,
其中从中任取一个小正方体,各面均无色的小正方体有83=512个,
∴从中任取一个小正方体,各面均无色的概率为=,
故答案为:.
15.(4分)如果两个一元二次方程x2+x+k=0与x2+kx+1=0有且只有一个根相同,那么k的值是 ﹣2 .
【分析】设它们的相同根为t,利用方程根的定义得到t2+t+k=0①,t2+kt+1=0②,利用②﹣①得(k﹣1)t=k﹣1,则t=1,然后把t=1代入①中可求出k的值.
【解答】解:设它们的相同根为t,
根据题意得t2+t+k=0①,t2+kt+1=0②,
②﹣①得(k﹣1)t=k﹣1,
∵t有且只有一个值,
∴k﹣1≠0,
∴t=1,
把t=1代入①得1+1+k=0,
∴k=﹣2.
故答案为﹣2.
16.(4分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2,D为AB的中点,E为边BC上一点,将△ADE沿DE翻折得到△A'DE,A'D与BC交于F.若△A'DE与△BDE重叠部分的面积占△ABE面积的,则BF的长为 .
【分析】依据勾股定理可得AB的长,再根据三角形中位线定理以及勾股定理即可得出CE的长,进而得到BF的长.
【解答】解:Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2,
∴AB=,
∵点D是AB的中点,
∴S△BDE=S△ABE,
又∵△DEF的面积占△ABE面积的,
∴S△FDE=S△ABE=S△DBE,
∴F是BE的中点,
又∵D是AB的中点,
∴DF是△ABE的中位线,
∴DF∥AE,
∴∠2=∠3,
又∵∠2=∠1,
∴∠1=∠3,
∴AD=AE=,
Rt△ACE中,CE==,
∴BE=2﹣=,
∴BF=BE=,
故答案为:.
三、(本大题共9小题,共86分)解答题应写出必要的文字说明或推演步骤.
17.(8分)计算:÷(1﹣).
【分析】先根据分式的减法法则算减法,把除法变成乘法,再算乘法即可.
【解答】解:原式=÷
=•
=.
18.(8分)如图,在▱ABCD中,∠ADC的平分线经过BC的中点E,与AB的延长线交于点F.求证:AE⊥DF.
【分析】利用中点定义可得BE=EC,根据平行四边形的性质可得AB∥CD,根据平行线的性质可得∠F=∠CDE,然后可利用AAS判定△CDE≌△BFE;然后证明∠F=∠ADF,根据等角对等边可得AD=AF,再根据全等三角形的性质可得EF=DE,再根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥DF.
【解答】证明:∵E是BC边的中点,
∴BE=EC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠F=∠CDE,
在△BEF和△CED中,
∴△CDE≌△BFE(AAS);
∵DF平分∠ADC,
∴∠ADE=∠CDE,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠F=∠CDE,
∴∠F=∠ADF,
∴AD=AF,
∵△CDE≌△BFE,
∴EF=ED,
∴AE⊥DF.
19.(8分)4张看上去无差别的卡片上分别印正三角形、菱形、正五边形、圆.将印有图案的一面朝下,混合均匀.
(1)从中随机抽取1张,抽到的图案是中心对称图形的概率为 ;
(2)从中随机抽取两张,求抽到的图案都是中心对称图形的概率.
【分析】(1)直接根据概率公式求解即可;
(2)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:(1)从中随机抽取1张,抽到的图案是中心对称图形的概率为=,
故答案为:;
(2)分别用A、B、C、D表示正三角形、菱形、正五边形、圆,
画树状图得:
∵共有12种等可能的结果,抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的有2种情况,
∴抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的概率为=.
20.(10分)m为实数,关于x的方程x(x﹣2m)+m(m﹣1)=0有实数根.
(1)求m的取值范围.
(2)若方程两实根的平方和为12,试求m的值.
【分析】(1)若一元二次方程有两个实数根,则根的判别式△=b2﹣4ac≥0,建立关于m的不等式,求出m的取值范围;
(2)两个实数根的平方和为12,即(x1+x2)2﹣2x1x2=12,根据一元二次方程的根与系数的关系解答.
【解答】解:(1)已知方程整理为x2﹣2mx+m2﹣m=0是一元二次方程
∵△=4m2﹣4(m2﹣m)=4m≥0,
∴m≥0.即m的取值范围是m≥0;
(2)设方程两实根为x1,x2,则x1+x2=2m,x1x2=m2﹣m,
由x12+x22=12,得(x1+x2)2﹣2x1x2=12,
∴4m2﹣2(m2﹣m)=12,
整理,得m2+m﹣6=0,
解得m=2或m=﹣3,
∵m≥0,
∴m=2.
21.(10分)如图,直线y=kx+b与x轴交于点A,与y轴交于点B,与双曲线y=(x<0)交于C(﹣8,1),D(﹣m,m2)两点.
(1)求直线和双曲线的解析式.
(2)比较AC和BD的大小.直接填空:AC = BD.
(3)写出直线对应函数值大于双曲线对应函数值自变量x的取值范围.直接填空: ﹣8<x<﹣2 .
【分析】(1)先把C点坐标代入y=(x<0)中求出a得到反比例函数解析式为y=﹣,再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到﹣m•m=﹣8,解方程求出m得到C点坐标,然后利用待定系数法求直线解析式;
(2)作CE⊥x轴于E,DF⊥y于F,证得△ACE≌△DBF即可得到结论;
(3)根据图象即可求得.
【解答】解:(1)∵双曲线y=(x<0)经过点C(﹣8,1),
∴a=﹣8×1=﹣8,
∴双曲线解析式为y=﹣,
将D(﹣m,m2)代入,得﹣m•m=﹣8,
∴m3=8,
∴m=2,
∴D(﹣2,4),
∴,解得k=,b=5,
∴直线解析式为y=x+5;
(2)作CE⊥x轴于E,DF⊥y于F,
∵直线y=x+5与x轴交于点A,与y轴交于点B,
∴A(﹣10,0),B(0,5),
∵C(﹣8,1),D(﹣2,4),
∴AE=DF=2,CE=BF=1,
在△ACE和△DBF中,
,
∴△ACE≌△DBF(SAS),
∴AC=BD,
故答案为=;
(3)由图象可知,直线对应函数值大于双曲线对应函数值自变量x的取值范围是﹣8<x<﹣2,
故答案为﹣8<x<﹣2.
22.(10分)如图,PB切⊙O于点B,连接PO并延长交⊙O于点E,过点B作BA⊥PE交⊙O于点A,连接AP,AE.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)如果AB=DE,OD=3,求⊙O的半径.
【分析】(1)连接OA、OB,根据切线的性质得出∠PBO=90°,由等腰三角形的性质∠POA=∠POB,继而证得△PAO≌△PBO,然后利用全等三角形的性质证得∠PAO=∠PBO,根据切线的判定定理即可得出结论;
(2)由垂径定理证得AB=2AD,设AD=x,得出DE=2x,OA=OE=2x﹣3,由勾股定理得出方程,解方程求出x,即可求出⊙O的半径.
【解答】(1)证明:如图,连接OA,OB,如图所示:
∵PB是⊙O的切线,
∴∠PBO=90°,
∵OA=OB,BA⊥PE于点D,
∴∠POA=∠POB,
在△PAO和△PBO中,
,
∴△PAO≌△PBO(SAS),
∴∠PAO=∠PBO=90°,
∴PA⊥OA,
∵OA是半径,
∴PA为⊙O的切线;
(2)解:∵BA⊥PE.
∴OD⊥AB,
∴AD=BD,
∴AB=2AD,
∵AB=DE,
∴DE=2AD,
∵DE=OD+OE=OD+AO,
∴AO=2AD﹣OD=2AD﹣3,
设AD=x,
∴AO=2x﹣3,
在Rt△AOD中,
∵AO2=AD2+OD2,
∴(2x﹣3)2=32+x2,
解得:x=4,或x=0(不合题意舍去),
∴OA=2x﹣3=5,
即⊙O的半径为5.
23.(10分)一家超市,经销一种地方特色产品,每千克成本为50元.这种产品在不同季节销量与单价满足一次函数变化关系.下表是其中不同4个月内一天的销量y(kg)与单价x(元/kg)的对应值.
单价x(元/kg)
55
60
65
70
销量y(kg)
70
60
50
40
(1)求y(kg)与x(元/kg)之间的函数关系式.
(2)平均每天获得600元销售利润的季节,顾客利益也较大,销售单价是多少?
(3)当销售单价为多少时,一天的销售利润最大?最大利润是多少?
【分析】(1)用待定系数法求解即可.
(2)根据每千克的利润乘以销售量等于600,得出关于x的一元二次方程,求得方程的解并根据题意作出取舍即可.
(3)根据一天的利润等于每千克的利润乘以一天的销售量,列出w关于x的函数关系式,将其写成顶点式,根据二次函数的性质可得答案.
【解答】解:(1)设y=kx+b,由题意得:
,
解得,
∴y(kg)与x(元/kg)之间的函数关系式为y=﹣2x+180.
(2)由题意得:
(x﹣50)(﹣2x+180)=600,
整理,得x2﹣140x+4800=0,
解得x1=60,x2=80,
∵顾客利益也较大,
∴x=60,
∴平均每天获得600元销售利润的季节,顾客利益也较大,销售单价是60元/千克.
(3)一天的销售利润为:
w=(x﹣50)(﹣2x+180)
=﹣2x2+280x﹣9000
=﹣2(x﹣70)2+800,
∴当x=70时,w最大=800.
∴当销售单价为70元/kg时,一天的销售利润最大,最大利润是800元.
24.(10分)如图,点E是矩形ABCD中CD边上一点,将△ADE沿AE折叠,点D恰好落在BC边F处.
(1)写出图中一定相似的三角形,并证明.
(2)若图中的相似三角形超过2对,试求这样的矩形两邻边,即的值.
【分析】(1)由折叠的性质可得△ADE≌△AFE,由余角的性质可证∠BAF=∠CFE,可证△ABF∽△FCE;
(2)由相似三角形的性质可求∠BAF=∠FAE=∠DAE=30°,由锐角三角函数可求解.
【解答】解:(1)相似的三角形有:△ADE∽△AFE,△ABF∽△FCE,
理由如下:∵将△ADE沿AE折叠,
∴△ADE≌△AFE,
∴△ADE∽△AFE,
∴∠AFE=∠D=90°,
∴∠AFB+∠BAF=∠AFB+∠EFC=90°,
∴∠BAF=∠CFE,
又∵∠B=∠C=90°,
∴△ABF∽△FCE;
(2)若图中的相似三角形超过2对,则必有△AFE∽△ABF,
∴∠BAF=∠FAE,
又∵△ADE≌△AFE,
∴AD=AF,∠FAE=∠DAE,
∴∠BAF=∠FAE=∠DAE,
∵∠BAD=90°,
∴∠BAF=∠FAE=∠DAE=30°,
∴cos∠BAF==.
25.(12分)如图,抛物线与x轴负半轴交于点A,正半轴交于点B,与y轴交于点C,OB=OC=3OA=3.P是对称轴上一动点,PH⊥x轴于H.
(1)求抛物线的解析式.
(2)在抛物线上求一点Q,使以O,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形.
(3)若Q为x轴上一动点,求CQ+BQ的最小值.
【分析】(1)求出A、B、C坐标即可求抛物线的解析式;
(2)设出P、Q坐标,用对角线中点重合列方程组即可求解;
(3)以B为顶点,BA为一边,在x轴下方作射线BE,使∠ABE=30°,BE交y轴于E,连接CQ,过Q作QF⊥BE于F,过C作CG⊥BE于G,交x轴于Q′,则QF=BQ,CQ+BQ最小需C、Q、F共线,最小值为CG的长度,在△COQ′和△BGQ′中分别求出CQ′和GQ′即可得答案.
【解答】解:(1)∵OB=OC=3OA=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3),
设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c,将A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3)代入得:
,解得,
∴抛物线的解析式是y=﹣x2+2x+3;
(2)∵抛物线y=﹣x2+2x+3的对称轴是x=1,P在对称轴上,Q在抛物线上,
∴设P(1,m),Q(n,﹣n2+2n+3),而O(0,0),B(3,0),
以O,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,分三种情况:
①以OB、PQ为对角线,则OB中点为(,),PQ的中点为(,),而OB中点和PQ的中点重合,
∴,解得,
∴Q(2,3),
②以OP、BQ为对角线,同理可得:
,解得,
∴Q(﹣2,﹣5),
③以OQ、BP为对角线,同理可得:
,解得,
∴Q(4,﹣5),
综上所述,以O,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,Q的坐标为:(2,3)或(﹣2,﹣5)或(4,﹣5);
(3)以B为顶点,BA为一边,在x轴下方作射线BE,使∠ABE=30°,BE交y轴于E,如图:
连接CQ,过Q作QF⊥BE于F,过C作CG⊥BE于G,交x轴于Q′,
∵∠ABE=30°,QF⊥BE,
∴QF=BQ,
CQ+BQ最小即是CQ+QF最小,
∴此时C、Q、F共线,即Q与Q′重合,F与G重合,CQ+BQ最小值即为CG的长度,
∵∠CQ′O=∠BQ′G,∠COQ′=∠BGQ′,
∴∠OCQ′=∠Q′BG=30°,
而OC=3,
∴OQ′=OC•tan30°=,CQ′==2,
∵OB=3,
∴Q′B=OB﹣OQ′=3﹣,
∴Q′G=Q′B•sin30°=,
∴CG=CQ′+Q′G=+,
∴CQ+BQ最小值为=+.
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