还剩31页未读，
继续阅读
2021年北京市石景山区中考数学一模试卷
展开
这是一份2021年北京市石景山区中考数学一模试卷，共34页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
2021年北京市石景山区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）下列几何体中，是长方体的为（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）2020年11月10日，中国“奋斗者”号载人潜水器在马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度10909米，刷新中国载人深潜的新纪录．将10909用科学记数法表示应为（ ）
A．0.10909×105 B．1.0909×105
C．1.0909×104 D．10.909×103
3．（2分）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．m＜﹣1 B．|﹣2n|＜0 C．m+n＜0 D．n﹣2m＞0
4．（2分）在下列面点烘焙模具中，其图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2分）若一个多边形的内角和为540°，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．（2分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2分）下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（ ）
A．圆的周长与其半径的关系
B．平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高的关系
C．销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系
D．汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间的关系
8．（2分）如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：
①此二次函数表达式为y＝x2﹣x+9；
②若点B（﹣1，n）在这个二次函数图象上，则n＞m；
③该二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；
④当0＜x＜6时，m＜y＜8．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
10．（2分）分解因式：9x2﹣y2＝ ．
11．（2分）若，则代数式的值是 ．
12．（2分）不透明的盒子中有3个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球不放回，再从中随机摸出一个球，两次摸出的恰好都是红球的概率是 ．
13．（2分）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点H，若∠OAB＝40°，则∠ABC＝ °．
14．（2分）如图，小石同学在A，B两点分别测得某建筑物上条幅两端C，D两点的仰角均为60°，若点O，A，B在同一直线上，A，B两点间距离为3米，则条幅的高CD为 米（结果可以保留根号）．
15．（2分）为了解某市常住人口的变化情况，收集并整理了2011年至2020年的常住人口（单位：万人）数据，绘制统计图如下：
根据统计图，写出一条有关该市常住人口变化情况的信息： ．
16．（2分）某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如表所示：
步骤
时间（分钟）
桌别
回收餐具与剩菜、清洁桌面
清洁椅面与地面
摆放新餐具
大桌
5
3
2
小桌
3
2
1
现有三名餐厅工作人员分别负责：①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要清理，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 分钟．
三、解答题（本题共68分，第17-22题每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．（5分）计算：+|﹣5|﹣4cos45°．
18．（5分）解不等式组：．
19．（5分）下面是小景设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l和l外一点A．
求作：直线AE，使得AE⊥l于点E．
作法：①在直线l上取一点B，连接AB（如图2）；
②作线段AB的垂直平分线CD，交AB于点O；
③以O为圆心，OB长为半径作圆，交直线l于点E；
④作直线AE．
所以直线AE即为所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD为线段AB的垂直平分线，
∴OA＝ ．
∴AB＝2OB．
∴AB是⊙O的直径．
∴∠AEB＝90°（ ）（填推理的依据）．
∴AE⊥l．
20．（5分）关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+3k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于1，求k的取值范围．
21．（5分）如图，在▱ABCD中，BC＝2CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接EF．
（1）求证：四边形EFCD是菱形；
（2）连接AF，若AF＝2，∠DEF＝60°，则EF的长为 ；菱形EFCD的面积为 ．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x﹣3与函数y＝（x＞0）的图象G交于点P（4，b）．
（1）求a，b的值；
（2）直线l1：y＝kx（k≠0）与直线l交于点M，与图象G交于点N，点M到y轴的距离记为d1，点N到y轴的距离记为d2，当d1＞d2时，直接写出k的取值范围．
23．（6分）如图，OA是⊙O的半径，AB与⊙相切于点A，点C在⊙O上且AC＝AB，D为AC的中点，连接OD，连接CB交OD于点E，交OA于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若OE＝3，sin∠AOD＝，求BF的长．
24．（6分）阅读下面材料：
小石遇到这样一个问题：如图1，∠ABC＝90°，DE分别是∠ABC的边BA，BC上的动点（不与点B重合），∠ADE与∠DEC的角平分线交于点P，△DBE的周长为a，过点P作PM⊥BA于点M，PN⊥BC于点N，求PM+PN与△DBE的周长a的数量关系．
小石通过测量发现了垂线段PM与PN的数量关系，从而构造全等三角形和直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：线段PM与PN的数量关系为 ；
PM+PN与a的数量关系是 ．
参考小石思考问题的方法，解决问题：
如图2，当∠ABC＝60°时，其它条件不变，判断点P到DE的距离与△DBE的周长a的数量关系，并简要说明理由．
25．（6分）某校举行“云端好声音”线上歌唱比赛活动丰富同学们的居家生活．由1至4号的专业评委和5至10号的大众评委进行评分．
例如：A节目演出后各个评委所给分数如表：
评委编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
评分/分
7.2
7.5
7.8
7.5
8.2
9.7
7.9
6.7
8.5
9.4
评分方案如下：
方案一：取各位评委所给分数的平均数则该节目的得分为＝＝8.04．
方案二：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余八位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为＝＝8.00．
回答下列问题：
（1）小乐认为“方案二”比“方案一”更合理，你 小乐的说法吗（填“同意”或“不同意”）？理由是 ；
（2）小乐认为评分既要突出专业评审的权威性又要尊重大众评审的喜爱度，因此设计了“方案三”：先计算1至4号评委所给分数的平均数＝7.5，5至10号评委所给分数的平均数＝8.4，再根据比赛的需求设置相应的权重（f1表示专业评委的权重，f2表示大众评委的权重，且f1+f2＝1）．
如当f1＝0.7时，则f2＝1﹣0.7＝0.3．
该节目的得分为＝f1+f2＝0.7×7.5+0.3×8.4＝7.77．
Ⅰ．当按照“方案三”中f1＝0.6评分时，A节目的得分为 ．
Ⅱ．关于评分方案，下列说法正确的有 ．
①当f1＝0.5时，A节目按照“方案三”和“方案一”评分结果相同；
②当f1＞0.4时，说明“方案三”评分更注重节目的专业性；
③当f1≠0.3时，A节目按照“方案三”评分的结果比“方案一”和“方案二”都高．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A是抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2m+1的顶点．
（1）求点A的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）若射线OA与x轴所成的锐角为45°，求m的值；
（3）将点P（0，1）向右平移4个单位得到点Q，若抛物线与线段PQ只有一个公共点，直接写出m的取值范围．
27．（7分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°）．点E是△ABC内动点，连接AE，CE，将△AEC绕点A顺时针旋转α，使AC边与AB重合，得到△ADB，延长CE与射线BD交于点M（点M与点D不重合）．
（1）依题意补全图1；
（2）探究∠ADM与∠AEM的数量关系为 ；
（3）如图2，若DE平分∠ADB，用等式表示线段MC，AE，BD之间的数量关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点p和线段ST，我们定义点P关于线段ST的线段比k＝．
（1）已知点A（0，1），B（1，0）．
①点Q（2，0）关于线段AB的线段比k＝ ；
②点C（0，c）关于线段AB的线段比k＝，求c的值．
（2）已知点M（m，0），点N（m+2，0），直线y＝x+2与坐标轴分别交于E，F两点，若线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤，直接写出m的取值范围．
2021年北京市石景山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）下列几何体中，是长方体的为（ ）
A． B． C． D．
【分析】长方体指6个长方形所围成的立体图形．
【解答】解：A、该几何体是长方体，故本选项符合题意．
B、该几何体是圆柱，故本选项不符合题意．
C、几何体是圆锥，故本选项不符合题意．
D、几何体是球体，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．（2分）2020年11月10日，中国“奋斗者”号载人潜水器在马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度10909米，刷新中国载人深潜的新纪录．将10909用科学记数法表示应为（ ）
A．0.10909×105 B．1.0909×105
C．1.0909×104 D．10.909×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：10909用科学记数法可以表示：1.0909×104．
故选：C．
3．（2分）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．m＜﹣1 B．|﹣2n|＜0 C．m+n＜0 D．n﹣2m＞0
【分析】A选项根据数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大去判断；B选项根据绝对值的非负性判断；C选项，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号；D选项根据不等式的性质判断．
【解答】解：A．∵数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，
∴m＞﹣1，不符合题意；
B．∵一个数的绝对值具有非负性，
∴B选项不符合题意；
C．∵m＜0，n＞0，|m|＜|n|，
∴m+n＞0；
∴C选项不符合题意；
D．∵m＜0，
∴﹣2m＞0，
∵n＞0，
∴n﹣2m＞0，
∴D选项符合题意．
故选：D．
4．（2分）在下列面点烘焙模具中，其图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念作答．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
【解答】解：A、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意；
B、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意；
C、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意；
D、是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
5．（2分）若一个多边形的内角和为540°，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】n边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，由此列方程求n．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
则（n﹣2）•180°＝540°，
解得n＝5，
故选：B．
6．（2分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设人数为x人，物价为y钱，根据“每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设人数为x人，物价为y钱，
依题意得：．
故选：B．
7．（2分）下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（ ）
A．圆的周长与其半径的关系
B．平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高的关系
C．销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系
D．汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间的关系
【分析】根据反比例函数的定义逐个分析可进行判断．
【解答】解：A．圆的周长与其半径是正比例函数，故不符合题意；
B．平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高是反比例函数，故符合题意；
C．销售单价一定时，销售总价与销售数量是正比例函数，故不符合题意；
D．汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间是正比例函数，故不符合题意．
故选：B．
8．（2分）如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：
①此二次函数表达式为y＝x2﹣x+9；
②若点B（﹣1，n）在这个二次函数图象上，则n＞m；
③该二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；
④当0＜x＜6时，m＜y＜8．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【分析】根据函数图象和性质逐一求解即可．
【解答】解：①从图象看，抛物线的顶点坐标为（2，9），抛物线和x轴的一个交点坐标为（8，0），
则设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+9，
将（8，0）代入上式得：0＝a（8﹣2）2+9，解得a＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣x+8，故①错误，不符合题意；
②从点A、B的横坐标看，点A距离抛物线对称轴远，故n＞m正确，符合题意；
③抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线和x轴的一个交点坐标为（8，0），则另外一个交点为（﹣4，0），
故③正确，符合题意；
④从图象看，当0＜x＜6时，m＜y≤9，故④错误，不符合题意；
故选：C．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥5 ．
【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数列出方程，解方程即可．
【解答】解：根据题意得：x﹣5≥0，
解得x≥5．
故答案为：x≥5．
10．（2分）分解因式：9x2﹣y2＝ （3x+y）（3x﹣y） ．
【分析】利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：原式＝（3x+y）（3x﹣y），
故答案为：（3x+y）（3x﹣y）．
11．（2分）若，则代数式的值是 ﹣ ．
【分析】利用x与y的比可x＝2t，y＝3t，然后把它们代入代数式中进行分式的运算．
【解答】解：∵，
∴设x＝2t，y＝3t，
∴＝＝＝﹣．
故答案为﹣．
12．（2分）不透明的盒子中有3个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球不放回，再从中随机摸出一个球，两次摸出的恰好都是红球的概率是 ．
【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，两次摸出的恰好都是红球的结果有6个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有12个等可能的结果，两次摸出的恰好都是红球的结果有6个，
∴两次摸出的恰好都是红球的概率为＝，
故答案为：．
13．（2分）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点H，若∠OAB＝40°，则∠ABC＝ 25 °．
【分析】先利用垂直得到∠AHO＝90°，再利用互余计算出∠O＝50°，然后根据圆周角定理得到∠ABC的度数．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴∠AHO＝90°，
∴∠O＝90°﹣∠OAB＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ABC＝∠O＝25°．
故答案为25．
14．（2分）如图，小石同学在A，B两点分别测得某建筑物上条幅两端C，D两点的仰角均为60°，若点O，A，B在同一直线上，A，B两点间距离为3米，则条幅的高CD为 3 米（结果可以保留根号）．
【分析】根据题意和锐角三角函数可以得到CD的长，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
∠CAO＝∠DBO＝60°，∠COA＝∠DOB＝90°，
∵tan∠CAO＝，tan∠DBO＝，
∴tan60°＝，tan60°＝，
∴OC＝OA，（OA+3）＝OC+CD，
∴（OA+3）＝OA+CD，
解得CD＝3，
故答案为：3．
15．（2分）为了解某市常住人口的变化情况，收集并整理了2011年至2020年的常住人口（单位：万人）数据，绘制统计图如下：
根据统计图，写出一条有关该市常住人口变化情况的信息： 该市常住人口逐年增加，2020年首次出现下降 ．
【分析】根据条形统计图中每年的常住人口数量得出合理信息均可．
【解答】解：由条形统计图知，该市常住人口逐年增加，2020年首次出现下降，
故答案为：该市常住人口逐年增加，2020年首次出现下降（答案不唯一）．
16．（2分）某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如表所示：
步骤
时间（分钟）
桌别
回收餐具与剩菜、清洁桌面
清洁椅面与地面
摆放新餐具
大桌
5
3
2
小桌
3
2
1
现有三名餐厅工作人员分别负责：①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要清理，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 12 分钟．
【分析】设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，工作人员2负责②清洁椅面与地面，工作人员3负责③摆放新餐具，当工作人员1清理大桌子的同时，工作人员2清理2张小桌子，5分钟后，当工作人员1清理2张小桌子的同时，工作人员2开始清理1张大桌子，第8分钟，工作人员3开始在大桌上摆放新餐具，进而即可求解．
【解答】解：设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，工作人员2负责②清洁椅面与地面，工作人员3负责③摆放新餐具，具体流程如下图：
将三张桌子收拾完毕最短需要12分钟，
故答案是：12．
三、解答题（本题共68分，第17-22题每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．（5分）计算：+|﹣5|﹣4cos45°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质、负整数的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2+2+5﹣4×
＝2+2+5﹣2
＝7．
18．（5分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+5＞3，得：x＞﹣2，
解不等式≥，得：x≥2，
则不等式组的解集为x≥2．
19．（5分）下面是小景设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l和l外一点A．
求作：直线AE，使得AE⊥l于点E．
作法：①在直线l上取一点B，连接AB（如图2）；
②作线段AB的垂直平分线CD，交AB于点O；
③以O为圆心，OB长为半径作圆，交直线l于点E；
④作直线AE．
所以直线AE即为所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD为线段AB的垂直平分线，
∴OA＝ OB ．
∴AB＝2OB．
∴AB是⊙O的直径．
∴∠AEB＝90°（ 直径所对的圆周角为直角 ）（填推理的依据）．
∴AE⊥l．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，从而得到AE⊥l．
【解答】解：（1）如图，直线AE为所作；
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD为线段AB的垂直平分线，
∴OA＝OB．
∴AB＝2OB．
∴AB是⊙O的直径．
∴∠AEB＝90°（直径所对的圆周角为直角）．
∴AE⊥l．
故答案为OB；直径所对的圆周角为直角．
20．（5分）关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+3k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于1，求k的取值范围．
【分析】（1）先计算出判别式的值得到△＝（k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）先解方程得到x1＝﹣3，x2＝﹣k，则根据题意得到﹣k＞1，然后解不等式即可．
【解答】（1）证明：∵△＝（k+3）2﹣4×3k
＝k2+6k+9﹣12k
＝（k﹣3）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）∵（x+3）（x+k）＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣k，
∵该方程有一个根大于1，
∴﹣k＞1，解得k＜﹣1，
即k的范围为k＜﹣1．
21．（5分）如图，在▱ABCD中，BC＝2CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接EF．
（1）求证：四边形EFCD是菱形；
（2）连接AF，若AF＝2，∠DEF＝60°，则EF的长为 2 ；菱形EFCD的面积为 ．
【分析】（1）由平行四边形的判定和中点性质可得DE＝CF＝CD，即可得结论；
（2）过点F作FH⊥AD于H，由勾股定理可求EH的长，即可求解．
【解答】证明：（1）在▱ABCD中，BC＝2CD，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2CD，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴DE＝CF＝CD，
又AD∥BC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
又∵CD＝DE，
∴四边形EFCD是菱形；
（2）如图，过点F作FH⊥AD于H，
∵四边形EFCD是菱形，
∴DE＝EF＝AE，
∵∠DEF＝60°，
∴∠EFH＝30°，
∴EH＝EF，FH＝EH，
∴AH＝AE+EH＝3EH，
∵AF2＝AH2+HF2，
∴12＝9EH2+3EH2，
∴EH＝1，
∴EF＝2＝DE，HF＝，
∴菱形EFCD的面积＝2×＝2，
故答案为：2，．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x﹣3与函数y＝（x＞0）的图象G交于点P（4，b）．
（1）求a，b的值；
（2）直线l1：y＝kx（k≠0）与直线l交于点M，与图象G交于点N，点M到y轴的距离记为d1，点N到y轴的距离记为d2，当d1＞d2时，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）将P（4，b）先代入y＝x﹣3求出b，再通过反比例函数xy＝k求出a．
（2）分别求出两直线与双曲线交于同一点的两种情况求临界值．
【解答】解：将（4，b）代入y＝x﹣3得b＝4﹣3＝1，
∴点P坐标为（4，1），
∴a＝4×1＝4，
故a＝4，b＝1．
（2）∵图象G：y＝在第一象限，
∴正比例函数y＝kx中k＞0时与图象G有交点，
∵直线l1：y＝kx（k≠0）与直线l有交点，
∴k≠1，
当交点M在第一象限时，0＜k＜1，
当交点M，P，N时重合时，d1＝d2，
此时k＝1÷4＝，
∴＜k＜1满足题意．
当交点M在第三象限且d1＝d2时，
由对称性可知点M，N同时在双曲线上，
联立方程，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴点M横坐标为﹣1，
把x＝﹣1代入y＝x﹣3得y＝﹣4，
∴点M坐标为（﹣1，﹣4），
此时k＝＝4，
∴1＜k＜4．
综上所述，＜k＜1或1＜k＜4．
23．（6分）如图，OA是⊙O的半径，AB与⊙相切于点A，点C在⊙O上且AC＝AB，D为AC的中点，连接OD，连接CB交OD于点E，交OA于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若OE＝3，sin∠AOD＝，求BF的长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质及切线的性质得出∠CED＝∠AFB，得出∠OEF＝∠OFE，则可得出结论；
（2）设AD＝3x，OA＝5x，则OD＝4x，求出x＝1，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】（1）证明：∵OC＝OA，D为AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴∠DCE+∠DEC＝90°，
∵AB与⊙相切于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∴∠FAB+∠B＝90°，
∵AC＝AB，
∴∠ACB＝∠B，
∴∠CED＝∠AFB，
∵∠CED＝∠OEF，∠AFB＝∠OFE，
∴∠OEF＝∠OFE，
∴OE＝OF；
（2）解：∵sin∠AOD＝，
∴，
设AD＝3x，OA＝5x，
∴OD＝4x，
∵OE＝OF＝3，
∴DE＝4x﹣3，AF＝5x﹣3，
∴AC＝2AD＝6x，
∴AB＝6x，
∵∠ACB＝∠B，
∴tan∠ACB＝tan∠B，
∴，
∴，
解得x＝1，
∴AF＝2，AB＝6，
∴BF＝＝＝2．
24．（6分）阅读下面材料：
小石遇到这样一个问题：如图1，∠ABC＝90°，DE分别是∠ABC的边BA，BC上的动点（不与点B重合），∠ADE与∠DEC的角平分线交于点P，△DBE的周长为a，过点P作PM⊥BA于点M，PN⊥BC于点N，求PM+PN与△DBE的周长a的数量关系．
小石通过测量发现了垂线段PM与PN的数量关系，从而构造全等三角形和直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：线段PM与PN的数量关系为 PM＝PN ；
PM+PN与a的数量关系是 PM+PN＝a ．
参考小石思考问题的方法，解决问题：
如图2，当∠ABC＝60°时，其它条件不变，判断点P到DE的距离与△DBE的周长a的数量关系，并简要说明理由．
【分析】过点P作PG⊥DE，垂足为G，由角平分线的性质得PM＝PG＝PN，根据HL得Rt△PNE≌Rt△PGE，Rt△PGD≌Rt△PMD，从而得到结论；
连接BP，过P作PH⊥DE于H，根据全等三角形的判定与性质得DM＝DH，同理，PH＝PN，HE＝EN，然后根据特殊直角三角形的性质及三角函数关系可得答案．
【解答】解：过点P作PG⊥DE，垂足为G，
∵∠ADE与∠DEC的角平分线交于点P，PM⊥BA于点M，PN⊥BC于点N，
∴PM＝PG＝PN，∠PNE＝∠PGE＝∠PGD＝∠PMD＝90°，
∵PE＝PE，PD＝PD，
∴Rt△PNE≌Rt△PGE（HL），Rt△PGD≌Rt△PMD（HL），
∴MD＝GD，NE＝GE，
∵△DBE的周长为a，
∴PM+PN＝BD+DM+BE+EN＝BD+DG+BE+GE＝BD+BE+DE＝a．
故答案为：PM＝PN，PM+PN＝a；
解决问题：
PH＝a．
连接BP，过P作PH⊥DE于H，
∵DP平分∠ADE，PM⊥BA，
∴PM＝PH，∠MDP＝∠HDP，
∴△PMD≌△PHD（AAS），
∴DM＝DH，
同理，PH＝PN，HE＝EN，
∴PM＝PN，
∵PM⊥BM，PN⊥BC，
∴Rt△BMP≌Rt△BNP（HL），
∴∠PBN＝∠PBM∠ABC＝30°，MB＝NB，
∵MB+NB＝DB+DM+BE+EN＝PB+BE+DE＝a，
∴MB＝NB＝，
∴PM＝MB•tan30°＝a．
25．（6分）某校举行“云端好声音”线上歌唱比赛活动丰富同学们的居家生活．由1至4号的专业评委和5至10号的大众评委进行评分．
例如：A节目演出后各个评委所给分数如表：
评委编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
评分/分
7.2
7.5
7.8
7.5
8.2
9.7
7.9
6.7
8.5
9.4
评分方案如下：
方案一：取各位评委所给分数的平均数则该节目的得分为＝＝8.04．
方案二：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余八位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为＝＝8.00．
回答下列问题：
（1）小乐认为“方案二”比“方案一”更合理，你 同意 小乐的说法吗（填“同意”或“不同意”）？理由是 平均数易受极端值影响 ；
（2）小乐认为评分既要突出专业评审的权威性又要尊重大众评审的喜爱度，因此设计了“方案三”：先计算1至4号评委所给分数的平均数＝7.5，5至10号评委所给分数的平均数＝8.4，再根据比赛的需求设置相应的权重（f1表示专业评委的权重，f2表示大众评委的权重，且f1+f2＝1）．
如当f1＝0.7时，则f2＝1﹣0.7＝0.3．
该节目的得分为＝f1+f2＝0.7×7.5+0.3×8.4＝7.77．
Ⅰ．当按照“方案三”中f1＝0.6评分时，A节目的得分为 7.86 ．
Ⅱ．关于评分方案，下列说法正确的有 ③ ．
①当f1＝0.5时，A节目按照“方案三”和“方案一”评分结果相同；
②当f1＞0.4时，说明“方案三”评分更注重节目的专业性；
③当f1≠0.3时，A节目按照“方案三”评分的结果比“方案一”和“方案二”都高．
【分析】（1）利用平均数的性质回答即可；
（2）Ⅰ．当f1＝0.6时，由题意知，f2＝1﹣f1＝0.4，＝7.5，＝8.4，利用公式计算即可；
Ⅱ．分别根据加权平均数公式及权重进行分析即可得到答案．
【解答】解：（1）同意，理由：平均数易受极端值影响，故方案二更合理；
故答案为：同意，平均数易受极端值影响，故方案二更合理；
（2）Ⅰ．当f1＝0.6时，由题意知，f2＝1﹣f1＝0.4，＝7.5，＝8.4，
∴该节目得分：＝f1+f2＝0.6×7.5+0.4×8.4＝7.86
∴f1＝0.6时，A节目的得分为7.86．
故答案为：7.86；
Ⅱ．正确的有③．
①f1＝0.5时，＝f1+（1﹣f1）＝0.5×7.5+0.5×8.4＝7.95，
8.04≠7.95，故①错误；
②f1＞0.5时，说明方案三评的更注重节目的专业性，故②错误；
③f1＝0.3，＝0.3×7.5+0.7×8.4＝8.13，
∵8.13＞8.04，8.13＞8.00，
∴③正确．
故答案为：③．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A是抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2m+1的顶点．
（1）求点A的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）若射线OA与x轴所成的锐角为45°，求m的值；
（3）将点P（0，1）向右平移4个单位得到点Q，若抛物线与线段PQ只有一个公共点，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）直接将解析式配成顶点式，可以求得点A坐标；
（2）因为OA与x轴夹角为45°，则点A到坐标轴距离相等，所以需要分类讨论，即横坐标与纵坐标相等，或者横坐标与纵坐标互为相反数，同时，也可以发现点A在直线y＝2x+1上运动；
（3）先由平移知识，可以得到Q点坐标，且PQ∥x轴，画出草图，可以发现，顶点A所在直线y＝2x+1也经过P点，并且当A与P重合时，此时m取得最小值，当A沿直线y＝2x+1向上运动时，m值越来越大，最大值位置是当抛物线刚好经过Q点时，同时，要注意排除抛物线与直线PQ的两个交点均落在线段PQ上的特殊情况．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+2m+1＝﹣（x﹣m）2+2m+1，
∴顶点 A（m，2m+1）；
（2）设x＝m，y＝2m+1，消掉m，得y＝2x+1，
∴A在直线y＝2x+1上运动，
∴A所在象限可能为第一、第二、第三象限，
∵射线OA与x轴所成的夹角为45°，
∴可以分两类讨论，
①当A在第一、第三象限时，m＝2m+1，
解得m＝﹣1，
②当A在第二象限时，m+2m+1＝0，
解得m＝，
∴m＝﹣1或；
（3）当P（0，1）向右平移4个单位长度得到Q，
则Q（4，1），且PQ∥x轴
∵抛物线与线段PQ只有一个交点，且抛物线顶点A在直线y＝2x+1上运动，
∴由图1可得，当顶点A与P点重合时，符合条件，此时m＝0，
由图2，数形结合，当顶点A沿直线y＝2x+1向上运动时，抛物线与直线PQ均有两个交点，
当抛物线经过Q点时，即当x＝4，y＝1时，﹣（4﹣m）2+2m+1＝1，
∴m＝2或8，
当m＝2时，抛物线为y＝﹣（x﹣2）2+5，它与线段PQ的交点为P和Q，有两个交点，不合题意，舍去，
当m＝8时，抛物线对称轴右侧的部分刚好经过点Q，符合题意，
∴当0≤m≤8，且m≠2时，抛物线与线段PQ只有一个交点
27．（7分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°）．点E是△ABC内动点，连接AE，CE，将△AEC绕点A顺时针旋转α，使AC边与AB重合，得到△ADB，延长CE与射线BD交于点M（点M与点D不重合）．
（1）依题意补全图1；
（2）探究∠ADM与∠AEM的数量关系为 ∠ADM＝∠AEM ；
（3）如图2，若DE平分∠ADB，用等式表示线段MC，AE，BD之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）按要求作图即可；
（2）△AEC绕点A顺时针旋转得到△ADB可得∠AEC＝∠ADB，即可得到答案；
（3）由∠ADM＝∠AEM可得A、M、D、E共圆，证明△AMD≌△EDM得AD＝ME，从而可得MC＝AE+BD．
【解答】解：（1）补全图1如下：
（2）∵将△AEC绕点A顺时针旋转得到△ADB，
∴∠AEC＝∠ADB，
∴∠ADM＝∠AEM，
故答案为：∠ADM＝∠AEM．
（3）MC＝AE+BD，理由如下：
连接AM，△AMD和△AME公共边为AM，且∠ADM＝∠AEM，
∴A、M、D、E共圆，如图：
∵A、M、D、E共圆，
∴∠MAD＝∠MED，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠EDB，
∵将△AEC绕点A顺时针旋转得到△ADB，
∴AD＝AE，BD＝EC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠EDB＝∠AED，
∴BM∥AE，
∴∠DME＝∠AEM，
∵∠ADM＝∠AEM，
∴∠DME＝∠ADM，
在△AMD和△EDM中，
，
∴△AMD≌△EDM（AAS），
∴AD＝ME，
∴AE＝ME，
∵MC＝ME+EC，
∴MC＝AE+BD．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点p和线段ST，我们定义点P关于线段ST的线段比k＝．
（1）已知点A（0，1），B（1，0）．
①点Q（2，0）关于线段AB的线段比k＝ ；
②点C（0，c）关于线段AB的线段比k＝，求c的值．
（2）已知点M（m，0），点N（m+2，0），直线y＝x+2与坐标轴分别交于E，F两点，若线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）①求出QA、QB、AB，根据线段比定义即可得到答案；
②方法同①，分c＞0和c≤0讨论；
（2）分两种情况，画出图象，根据线段比定义，分别在M（N）为“临界点”时列出不等式，即可得到答案．
【解答】解：（1）①∵A（0，1），B（1，0），Q（2，0），
∴AB＝，QA＝，QB＝1，
根据线段比定义点Q（2，0）关于线段AB的线段比k＝＝；
故答案为：；
②∵A（0，1），B（1，0），C（0，c），
∴AB＝，AC＝|1﹣c|，BC＝，
AC2＝1+c2﹣2c，BC2＝1+c2，
当c＞0时，AC2＜BC2，即AC＜BC，
由C（0，c）关于线段AB的线段比k＝可得：
＝，解得c＝3或c＝﹣1（舍去），
∴c＝3，
当c≤0时，AC2≥BC2，即AC≥BC，
由C（0，c）关于线段AB的线段比k＝可得：
＝，
解得c＝（舍去）或c＝﹣，
∴c＝﹣，
综上所述，点C（0，c）关于线段AB的线段比k＝，c＝3或c＝﹣；
（2）∵直线y＝x+2与坐标轴分别交于E，F两点，
∴E（﹣2，0），F（0，2），
∵点M（m，0），点N（m+2，0），
∴MN＝2，N在M右边2个单位，
当M、N在点E左侧时，如图：
线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤，
∴≤，即≤，
解得：m≥﹣，
当M、N在点E右侧时，过M作MH⊥EF于H，如图：
线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤，
∴≤，即≤，
∴HM≤，
而E（﹣2，0），F（0，2），
∴∠FEO＝45°，
∴△HEM时等腰直角三角形，
∴HM＝EM，
∴EM≤，即[m﹣（﹣2）]≤，
解得：m≤﹣2+，
综上所述，线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤，则﹣≤m≤﹣2+．
2021年北京市石景山区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）下列几何体中，是长方体的为（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）2020年11月10日，中国“奋斗者”号载人潜水器在马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度10909米，刷新中国载人深潜的新纪录．将10909用科学记数法表示应为（ ）
A．0.10909×105 B．1.0909×105
C．1.0909×104 D．10.909×103
3．（2分）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．m＜﹣1 B．|﹣2n|＜0 C．m+n＜0 D．n﹣2m＞0
4．（2分）在下列面点烘焙模具中，其图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2分）若一个多边形的内角和为540°，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．（2分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2分）下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（ ）
A．圆的周长与其半径的关系
B．平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高的关系
C．销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系
D．汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间的关系
8．（2分）如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：
①此二次函数表达式为y＝x2﹣x+9；
②若点B（﹣1，n）在这个二次函数图象上，则n＞m；
③该二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；
④当0＜x＜6时，m＜y＜8．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
10．（2分）分解因式：9x2﹣y2＝ ．
11．（2分）若，则代数式的值是 ．
12．（2分）不透明的盒子中有3个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球不放回，再从中随机摸出一个球，两次摸出的恰好都是红球的概率是 ．
13．（2分）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点H，若∠OAB＝40°，则∠ABC＝ °．
14．（2分）如图，小石同学在A，B两点分别测得某建筑物上条幅两端C，D两点的仰角均为60°，若点O，A，B在同一直线上，A，B两点间距离为3米，则条幅的高CD为 米（结果可以保留根号）．
15．（2分）为了解某市常住人口的变化情况，收集并整理了2011年至2020年的常住人口（单位：万人）数据，绘制统计图如下：
根据统计图，写出一条有关该市常住人口变化情况的信息： ．
16．（2分）某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如表所示：
步骤
时间（分钟）
桌别
回收餐具与剩菜、清洁桌面
清洁椅面与地面
摆放新餐具
大桌
5
3
2
小桌
3
2
1
现有三名餐厅工作人员分别负责：①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要清理，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 分钟．
三、解答题（本题共68分，第17-22题每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．（5分）计算：+|﹣5|﹣4cos45°．
18．（5分）解不等式组：．
19．（5分）下面是小景设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l和l外一点A．
求作：直线AE，使得AE⊥l于点E．
作法：①在直线l上取一点B，连接AB（如图2）；
②作线段AB的垂直平分线CD，交AB于点O；
③以O为圆心，OB长为半径作圆，交直线l于点E；
④作直线AE．
所以直线AE即为所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD为线段AB的垂直平分线，
∴OA＝ ．
∴AB＝2OB．
∴AB是⊙O的直径．
∴∠AEB＝90°（ ）（填推理的依据）．
∴AE⊥l．
20．（5分）关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+3k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于1，求k的取值范围．
21．（5分）如图，在▱ABCD中，BC＝2CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接EF．
（1）求证：四边形EFCD是菱形；
（2）连接AF，若AF＝2，∠DEF＝60°，则EF的长为 ；菱形EFCD的面积为 ．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x﹣3与函数y＝（x＞0）的图象G交于点P（4，b）．
（1）求a，b的值；
（2）直线l1：y＝kx（k≠0）与直线l交于点M，与图象G交于点N，点M到y轴的距离记为d1，点N到y轴的距离记为d2，当d1＞d2时，直接写出k的取值范围．
23．（6分）如图，OA是⊙O的半径，AB与⊙相切于点A，点C在⊙O上且AC＝AB，D为AC的中点，连接OD，连接CB交OD于点E，交OA于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若OE＝3，sin∠AOD＝，求BF的长．
24．（6分）阅读下面材料：
小石遇到这样一个问题：如图1，∠ABC＝90°，DE分别是∠ABC的边BA，BC上的动点（不与点B重合），∠ADE与∠DEC的角平分线交于点P，△DBE的周长为a，过点P作PM⊥BA于点M，PN⊥BC于点N，求PM+PN与△DBE的周长a的数量关系．
小石通过测量发现了垂线段PM与PN的数量关系，从而构造全等三角形和直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：线段PM与PN的数量关系为 ；
PM+PN与a的数量关系是 ．
参考小石思考问题的方法，解决问题：
如图2，当∠ABC＝60°时，其它条件不变，判断点P到DE的距离与△DBE的周长a的数量关系，并简要说明理由．
25．（6分）某校举行“云端好声音”线上歌唱比赛活动丰富同学们的居家生活．由1至4号的专业评委和5至10号的大众评委进行评分．
例如：A节目演出后各个评委所给分数如表：
评委编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
评分/分
7.2
7.5
7.8
7.5
8.2
9.7
7.9
6.7
8.5
9.4
评分方案如下：
方案一：取各位评委所给分数的平均数则该节目的得分为＝＝8.04．
方案二：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余八位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为＝＝8.00．
回答下列问题：
（1）小乐认为“方案二”比“方案一”更合理，你 小乐的说法吗（填“同意”或“不同意”）？理由是 ；
（2）小乐认为评分既要突出专业评审的权威性又要尊重大众评审的喜爱度，因此设计了“方案三”：先计算1至4号评委所给分数的平均数＝7.5，5至10号评委所给分数的平均数＝8.4，再根据比赛的需求设置相应的权重（f1表示专业评委的权重，f2表示大众评委的权重，且f1+f2＝1）．
如当f1＝0.7时，则f2＝1﹣0.7＝0.3．
该节目的得分为＝f1+f2＝0.7×7.5+0.3×8.4＝7.77．
Ⅰ．当按照“方案三”中f1＝0.6评分时，A节目的得分为 ．
Ⅱ．关于评分方案，下列说法正确的有 ．
①当f1＝0.5时，A节目按照“方案三”和“方案一”评分结果相同；
②当f1＞0.4时，说明“方案三”评分更注重节目的专业性；
③当f1≠0.3时，A节目按照“方案三”评分的结果比“方案一”和“方案二”都高．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A是抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2m+1的顶点．
（1）求点A的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）若射线OA与x轴所成的锐角为45°，求m的值；
（3）将点P（0，1）向右平移4个单位得到点Q，若抛物线与线段PQ只有一个公共点，直接写出m的取值范围．
27．（7分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°）．点E是△ABC内动点，连接AE，CE，将△AEC绕点A顺时针旋转α，使AC边与AB重合，得到△ADB，延长CE与射线BD交于点M（点M与点D不重合）．
（1）依题意补全图1；
（2）探究∠ADM与∠AEM的数量关系为 ；
（3）如图2，若DE平分∠ADB，用等式表示线段MC，AE，BD之间的数量关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点p和线段ST，我们定义点P关于线段ST的线段比k＝．
（1）已知点A（0，1），B（1，0）．
①点Q（2，0）关于线段AB的线段比k＝ ；
②点C（0，c）关于线段AB的线段比k＝，求c的值．
（2）已知点M（m，0），点N（m+2，0），直线y＝x+2与坐标轴分别交于E，F两点，若线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤，直接写出m的取值范围．
2021年北京市石景山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）下列几何体中，是长方体的为（ ）
A． B． C． D．
【分析】长方体指6个长方形所围成的立体图形．
【解答】解：A、该几何体是长方体，故本选项符合题意．
B、该几何体是圆柱，故本选项不符合题意．
C、几何体是圆锥，故本选项不符合题意．
D、几何体是球体，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．（2分）2020年11月10日，中国“奋斗者”号载人潜水器在马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度10909米，刷新中国载人深潜的新纪录．将10909用科学记数法表示应为（ ）
A．0.10909×105 B．1.0909×105
C．1.0909×104 D．10.909×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：10909用科学记数法可以表示：1.0909×104．
故选：C．
3．（2分）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．m＜﹣1 B．|﹣2n|＜0 C．m+n＜0 D．n﹣2m＞0
【分析】A选项根据数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大去判断；B选项根据绝对值的非负性判断；C选项，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号；D选项根据不等式的性质判断．
【解答】解：A．∵数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，
∴m＞﹣1，不符合题意；
B．∵一个数的绝对值具有非负性，
∴B选项不符合题意；
C．∵m＜0，n＞0，|m|＜|n|，
∴m+n＞0；
∴C选项不符合题意；
D．∵m＜0，
∴﹣2m＞0，
∵n＞0，
∴n﹣2m＞0，
∴D选项符合题意．
故选：D．
4．（2分）在下列面点烘焙模具中，其图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念作答．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
【解答】解：A、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意；
B、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意；
C、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，使它绕这一点旋转180度以后，能够与它本身重合，即不满足中心对称图形的定义．不符合题意；
D、是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
5．（2分）若一个多边形的内角和为540°，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】n边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，由此列方程求n．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
则（n﹣2）•180°＝540°，
解得n＝5，
故选：B．
6．（2分）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设人数为x人，物价为y钱，根据“每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设人数为x人，物价为y钱，
依题意得：．
故选：B．
7．（2分）下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（ ）
A．圆的周长与其半径的关系
B．平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高的关系
C．销售单价一定时，销售总价与销售数量的关系
D．汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间的关系
【分析】根据反比例函数的定义逐个分析可进行判断．
【解答】解：A．圆的周长与其半径是正比例函数，故不符合题意；
B．平行四边形面积一定时，其一边长与这边上的高是反比例函数，故符合题意；
C．销售单价一定时，销售总价与销售数量是正比例函数，故不符合题意；
D．汽车匀速行驶过程中，行驶路程与行驶时间是正比例函数，故不符合题意．
故选：B．
8．（2分）如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：
①此二次函数表达式为y＝x2﹣x+9；
②若点B（﹣1，n）在这个二次函数图象上，则n＞m；
③该二次函数图象与x轴的另一个交点为（﹣4，0）；
④当0＜x＜6时，m＜y＜8．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【分析】根据函数图象和性质逐一求解即可．
【解答】解：①从图象看，抛物线的顶点坐标为（2，9），抛物线和x轴的一个交点坐标为（8，0），
则设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+9，
将（8，0）代入上式得：0＝a（8﹣2）2+9，解得a＝﹣，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣x+8，故①错误，不符合题意；
②从点A、B的横坐标看，点A距离抛物线对称轴远，故n＞m正确，符合题意；
③抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线和x轴的一个交点坐标为（8，0），则另外一个交点为（﹣4，0），
故③正确，符合题意；
④从图象看，当0＜x＜6时，m＜y≤9，故④错误，不符合题意；
故选：C．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥5 ．
【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数列出方程，解方程即可．
【解答】解：根据题意得：x﹣5≥0，
解得x≥5．
故答案为：x≥5．
10．（2分）分解因式：9x2﹣y2＝ （3x+y）（3x﹣y） ．
【分析】利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：原式＝（3x+y）（3x﹣y），
故答案为：（3x+y）（3x﹣y）．
11．（2分）若，则代数式的值是 ﹣ ．
【分析】利用x与y的比可x＝2t，y＝3t，然后把它们代入代数式中进行分式的运算．
【解答】解：∵，
∴设x＝2t，y＝3t，
∴＝＝＝﹣．
故答案为﹣．
12．（2分）不透明的盒子中有3个红球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球不放回，再从中随机摸出一个球，两次摸出的恰好都是红球的概率是 ．
【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，两次摸出的恰好都是红球的结果有6个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有12个等可能的结果，两次摸出的恰好都是红球的结果有6个，
∴两次摸出的恰好都是红球的概率为＝，
故答案为：．
13．（2分）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点H，若∠OAB＝40°，则∠ABC＝ 25 °．
【分析】先利用垂直得到∠AHO＝90°，再利用互余计算出∠O＝50°，然后根据圆周角定理得到∠ABC的度数．
【解答】解：∵OC⊥AB，
∴∠AHO＝90°，
∴∠O＝90°﹣∠OAB＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ABC＝∠O＝25°．
故答案为25．
14．（2分）如图，小石同学在A，B两点分别测得某建筑物上条幅两端C，D两点的仰角均为60°，若点O，A，B在同一直线上，A，B两点间距离为3米，则条幅的高CD为 3 米（结果可以保留根号）．
【分析】根据题意和锐角三角函数可以得到CD的长，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
∠CAO＝∠DBO＝60°，∠COA＝∠DOB＝90°，
∵tan∠CAO＝，tan∠DBO＝，
∴tan60°＝，tan60°＝，
∴OC＝OA，（OA+3）＝OC+CD，
∴（OA+3）＝OA+CD，
解得CD＝3，
故答案为：3．
15．（2分）为了解某市常住人口的变化情况，收集并整理了2011年至2020年的常住人口（单位：万人）数据，绘制统计图如下：
根据统计图，写出一条有关该市常住人口变化情况的信息： 该市常住人口逐年增加，2020年首次出现下降 ．
【分析】根据条形统计图中每年的常住人口数量得出合理信息均可．
【解答】解：由条形统计图知，该市常住人口逐年增加，2020年首次出现下降，
故答案为：该市常住人口逐年增加，2020年首次出现下降（答案不唯一）．
16．（2分）某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如表所示：
步骤
时间（分钟）
桌别
回收餐具与剩菜、清洁桌面
清洁椅面与地面
摆放新餐具
大桌
5
3
2
小桌
3
2
1
现有三名餐厅工作人员分别负责：①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要清理，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 12 分钟．
【分析】设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，工作人员2负责②清洁椅面与地面，工作人员3负责③摆放新餐具，当工作人员1清理大桌子的同时，工作人员2清理2张小桌子，5分钟后，当工作人员1清理2张小桌子的同时，工作人员2开始清理1张大桌子，第8分钟，工作人员3开始在大桌上摆放新餐具，进而即可求解．
【解答】解：设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，工作人员2负责②清洁椅面与地面，工作人员3负责③摆放新餐具，具体流程如下图：
将三张桌子收拾完毕最短需要12分钟，
故答案是：12．
三、解答题（本题共68分，第17-22题每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
17．（5分）计算：+|﹣5|﹣4cos45°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质、负整数的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2+2+5﹣4×
＝2+2+5﹣2
＝7．
18．（5分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+5＞3，得：x＞﹣2，
解不等式≥，得：x≥2，
则不等式组的解集为x≥2．
19．（5分）下面是小景设计的“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图1，直线l和l外一点A．
求作：直线AE，使得AE⊥l于点E．
作法：①在直线l上取一点B，连接AB（如图2）；
②作线段AB的垂直平分线CD，交AB于点O；
③以O为圆心，OB长为半径作圆，交直线l于点E；
④作直线AE．
所以直线AE即为所求作的直线．
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD为线段AB的垂直平分线，
∴OA＝ OB ．
∴AB＝2OB．
∴AB是⊙O的直径．
∴∠AEB＝90°（ 直径所对的圆周角为直角 ）（填推理的依据）．
∴AE⊥l．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，从而得到AE⊥l．
【解答】解：（1）如图，直线AE为所作；
（2）完成下面的证明．
证明：∵CD为线段AB的垂直平分线，
∴OA＝OB．
∴AB＝2OB．
∴AB是⊙O的直径．
∴∠AEB＝90°（直径所对的圆周角为直角）．
∴AE⊥l．
故答案为OB；直径所对的圆周角为直角．
20．（5分）关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+3k＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根大于1，求k的取值范围．
【分析】（1）先计算出判别式的值得到△＝（k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）先解方程得到x1＝﹣3，x2＝﹣k，则根据题意得到﹣k＞1，然后解不等式即可．
【解答】（1）证明：∵△＝（k+3）2﹣4×3k
＝k2+6k+9﹣12k
＝（k﹣3）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）∵（x+3）（x+k）＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝﹣k，
∵该方程有一个根大于1，
∴﹣k＞1，解得k＜﹣1，
即k的范围为k＜﹣1．
21．（5分）如图，在▱ABCD中，BC＝2CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接EF．
（1）求证：四边形EFCD是菱形；
（2）连接AF，若AF＝2，∠DEF＝60°，则EF的长为 2 ；菱形EFCD的面积为 ．
【分析】（1）由平行四边形的判定和中点性质可得DE＝CF＝CD，即可得结论；
（2）过点F作FH⊥AD于H，由勾股定理可求EH的长，即可求解．
【解答】证明：（1）在▱ABCD中，BC＝2CD，
∴AD∥BC，AD＝BC＝2CD，
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴DE＝CF＝CD，
又AD∥BC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
又∵CD＝DE，
∴四边形EFCD是菱形；
（2）如图，过点F作FH⊥AD于H，
∵四边形EFCD是菱形，
∴DE＝EF＝AE，
∵∠DEF＝60°，
∴∠EFH＝30°，
∴EH＝EF，FH＝EH，
∴AH＝AE+EH＝3EH，
∵AF2＝AH2+HF2，
∴12＝9EH2+3EH2，
∴EH＝1，
∴EF＝2＝DE，HF＝，
∴菱形EFCD的面积＝2×＝2，
故答案为：2，．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x﹣3与函数y＝（x＞0）的图象G交于点P（4，b）．
（1）求a，b的值；
（2）直线l1：y＝kx（k≠0）与直线l交于点M，与图象G交于点N，点M到y轴的距离记为d1，点N到y轴的距离记为d2，当d1＞d2时，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）将P（4，b）先代入y＝x﹣3求出b，再通过反比例函数xy＝k求出a．
（2）分别求出两直线与双曲线交于同一点的两种情况求临界值．
【解答】解：将（4，b）代入y＝x﹣3得b＝4﹣3＝1，
∴点P坐标为（4，1），
∴a＝4×1＝4，
故a＝4，b＝1．
（2）∵图象G：y＝在第一象限，
∴正比例函数y＝kx中k＞0时与图象G有交点，
∵直线l1：y＝kx（k≠0）与直线l有交点，
∴k≠1，
当交点M在第一象限时，0＜k＜1，
当交点M，P，N时重合时，d1＝d2，
此时k＝1÷4＝，
∴＜k＜1满足题意．
当交点M在第三象限且d1＝d2时，
由对称性可知点M，N同时在双曲线上，
联立方程，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴点M横坐标为﹣1，
把x＝﹣1代入y＝x﹣3得y＝﹣4，
∴点M坐标为（﹣1，﹣4），
此时k＝＝4，
∴1＜k＜4．
综上所述，＜k＜1或1＜k＜4．
23．（6分）如图，OA是⊙O的半径，AB与⊙相切于点A，点C在⊙O上且AC＝AB，D为AC的中点，连接OD，连接CB交OD于点E，交OA于点F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若OE＝3，sin∠AOD＝，求BF的长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质及切线的性质得出∠CED＝∠AFB，得出∠OEF＝∠OFE，则可得出结论；
（2）设AD＝3x，OA＝5x，则OD＝4x，求出x＝1，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【解答】（1）证明：∵OC＝OA，D为AC的中点，
∴OD⊥AC，
∴∠DCE+∠DEC＝90°，
∵AB与⊙相切于点A，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∴∠FAB+∠B＝90°，
∵AC＝AB，
∴∠ACB＝∠B，
∴∠CED＝∠AFB，
∵∠CED＝∠OEF，∠AFB＝∠OFE，
∴∠OEF＝∠OFE，
∴OE＝OF；
（2）解：∵sin∠AOD＝，
∴，
设AD＝3x，OA＝5x，
∴OD＝4x，
∵OE＝OF＝3，
∴DE＝4x﹣3，AF＝5x﹣3，
∴AC＝2AD＝6x，
∴AB＝6x，
∵∠ACB＝∠B，
∴tan∠ACB＝tan∠B，
∴，
∴，
解得x＝1，
∴AF＝2，AB＝6，
∴BF＝＝＝2．
24．（6分）阅读下面材料：
小石遇到这样一个问题：如图1，∠ABC＝90°，DE分别是∠ABC的边BA，BC上的动点（不与点B重合），∠ADE与∠DEC的角平分线交于点P，△DBE的周长为a，过点P作PM⊥BA于点M，PN⊥BC于点N，求PM+PN与△DBE的周长a的数量关系．
小石通过测量发现了垂线段PM与PN的数量关系，从而构造全等三角形和直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：线段PM与PN的数量关系为 PM＝PN ；
PM+PN与a的数量关系是 PM+PN＝a ．
参考小石思考问题的方法，解决问题：
如图2，当∠ABC＝60°时，其它条件不变，判断点P到DE的距离与△DBE的周长a的数量关系，并简要说明理由．
【分析】过点P作PG⊥DE，垂足为G，由角平分线的性质得PM＝PG＝PN，根据HL得Rt△PNE≌Rt△PGE，Rt△PGD≌Rt△PMD，从而得到结论；
连接BP，过P作PH⊥DE于H，根据全等三角形的判定与性质得DM＝DH，同理，PH＝PN，HE＝EN，然后根据特殊直角三角形的性质及三角函数关系可得答案．
【解答】解：过点P作PG⊥DE，垂足为G，
∵∠ADE与∠DEC的角平分线交于点P，PM⊥BA于点M，PN⊥BC于点N，
∴PM＝PG＝PN，∠PNE＝∠PGE＝∠PGD＝∠PMD＝90°，
∵PE＝PE，PD＝PD，
∴Rt△PNE≌Rt△PGE（HL），Rt△PGD≌Rt△PMD（HL），
∴MD＝GD，NE＝GE，
∵△DBE的周长为a，
∴PM+PN＝BD+DM+BE+EN＝BD+DG+BE+GE＝BD+BE+DE＝a．
故答案为：PM＝PN，PM+PN＝a；
解决问题：
PH＝a．
连接BP，过P作PH⊥DE于H，
∵DP平分∠ADE，PM⊥BA，
∴PM＝PH，∠MDP＝∠HDP，
∴△PMD≌△PHD（AAS），
∴DM＝DH，
同理，PH＝PN，HE＝EN，
∴PM＝PN，
∵PM⊥BM，PN⊥BC，
∴Rt△BMP≌Rt△BNP（HL），
∴∠PBN＝∠PBM∠ABC＝30°，MB＝NB，
∵MB+NB＝DB+DM+BE+EN＝PB+BE+DE＝a，
∴MB＝NB＝，
∴PM＝MB•tan30°＝a．
25．（6分）某校举行“云端好声音”线上歌唱比赛活动丰富同学们的居家生活．由1至4号的专业评委和5至10号的大众评委进行评分．
例如：A节目演出后各个评委所给分数如表：
评委编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
评分/分
7.2
7.5
7.8
7.5
8.2
9.7
7.9
6.7
8.5
9.4
评分方案如下：
方案一：取各位评委所给分数的平均数则该节目的得分为＝＝8.04．
方案二：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余八位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为＝＝8.00．
回答下列问题：
（1）小乐认为“方案二”比“方案一”更合理，你 同意 小乐的说法吗（填“同意”或“不同意”）？理由是 平均数易受极端值影响 ；
（2）小乐认为评分既要突出专业评审的权威性又要尊重大众评审的喜爱度，因此设计了“方案三”：先计算1至4号评委所给分数的平均数＝7.5，5至10号评委所给分数的平均数＝8.4，再根据比赛的需求设置相应的权重（f1表示专业评委的权重，f2表示大众评委的权重，且f1+f2＝1）．
如当f1＝0.7时，则f2＝1﹣0.7＝0.3．
该节目的得分为＝f1+f2＝0.7×7.5+0.3×8.4＝7.77．
Ⅰ．当按照“方案三”中f1＝0.6评分时，A节目的得分为 7.86 ．
Ⅱ．关于评分方案，下列说法正确的有 ③ ．
①当f1＝0.5时，A节目按照“方案三”和“方案一”评分结果相同；
②当f1＞0.4时，说明“方案三”评分更注重节目的专业性；
③当f1≠0.3时，A节目按照“方案三”评分的结果比“方案一”和“方案二”都高．
【分析】（1）利用平均数的性质回答即可；
（2）Ⅰ．当f1＝0.6时，由题意知，f2＝1﹣f1＝0.4，＝7.5，＝8.4，利用公式计算即可；
Ⅱ．分别根据加权平均数公式及权重进行分析即可得到答案．
【解答】解：（1）同意，理由：平均数易受极端值影响，故方案二更合理；
故答案为：同意，平均数易受极端值影响，故方案二更合理；
（2）Ⅰ．当f1＝0.6时，由题意知，f2＝1﹣f1＝0.4，＝7.5，＝8.4，
∴该节目得分：＝f1+f2＝0.6×7.5+0.4×8.4＝7.86
∴f1＝0.6时，A节目的得分为7.86．
故答案为：7.86；
Ⅱ．正确的有③．
①f1＝0.5时，＝f1+（1﹣f1）＝0.5×7.5+0.5×8.4＝7.95，
8.04≠7.95，故①错误；
②f1＞0.5时，说明方案三评的更注重节目的专业性，故②错误；
③f1＝0.3，＝0.3×7.5+0.7×8.4＝8.13，
∵8.13＞8.04，8.13＞8.00，
∴③正确．
故答案为：③．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A是抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2m+1的顶点．
（1）求点A的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）若射线OA与x轴所成的锐角为45°，求m的值；
（3）将点P（0，1）向右平移4个单位得到点Q，若抛物线与线段PQ只有一个公共点，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）直接将解析式配成顶点式，可以求得点A坐标；
（2）因为OA与x轴夹角为45°，则点A到坐标轴距离相等，所以需要分类讨论，即横坐标与纵坐标相等，或者横坐标与纵坐标互为相反数，同时，也可以发现点A在直线y＝2x+1上运动；
（3）先由平移知识，可以得到Q点坐标，且PQ∥x轴，画出草图，可以发现，顶点A所在直线y＝2x+1也经过P点，并且当A与P重合时，此时m取得最小值，当A沿直线y＝2x+1向上运动时，m值越来越大，最大值位置是当抛物线刚好经过Q点时，同时，要注意排除抛物线与直线PQ的两个交点均落在线段PQ上的特殊情况．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+2m+1＝﹣（x﹣m）2+2m+1，
∴顶点 A（m，2m+1）；
（2）设x＝m，y＝2m+1，消掉m，得y＝2x+1，
∴A在直线y＝2x+1上运动，
∴A所在象限可能为第一、第二、第三象限，
∵射线OA与x轴所成的夹角为45°，
∴可以分两类讨论，
①当A在第一、第三象限时，m＝2m+1，
解得m＝﹣1，
②当A在第二象限时，m+2m+1＝0，
解得m＝，
∴m＝﹣1或；
（3）当P（0，1）向右平移4个单位长度得到Q，
则Q（4，1），且PQ∥x轴
∵抛物线与线段PQ只有一个交点，且抛物线顶点A在直线y＝2x+1上运动，
∴由图1可得，当顶点A与P点重合时，符合条件，此时m＝0，
由图2，数形结合，当顶点A沿直线y＝2x+1向上运动时，抛物线与直线PQ均有两个交点，
当抛物线经过Q点时，即当x＝4，y＝1时，﹣（4﹣m）2+2m+1＝1，
∴m＝2或8，
当m＝2时，抛物线为y＝﹣（x﹣2）2+5，它与线段PQ的交点为P和Q，有两个交点，不合题意，舍去，
当m＝8时，抛物线对称轴右侧的部分刚好经过点Q，符合题意，
∴当0≤m≤8，且m≠2时，抛物线与线段PQ只有一个交点
27．（7分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°）．点E是△ABC内动点，连接AE，CE，将△AEC绕点A顺时针旋转α，使AC边与AB重合，得到△ADB，延长CE与射线BD交于点M（点M与点D不重合）．
（1）依题意补全图1；
（2）探究∠ADM与∠AEM的数量关系为 ∠ADM＝∠AEM ；
（3）如图2，若DE平分∠ADB，用等式表示线段MC，AE，BD之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）按要求作图即可；
（2）△AEC绕点A顺时针旋转得到△ADB可得∠AEC＝∠ADB，即可得到答案；
（3）由∠ADM＝∠AEM可得A、M、D、E共圆，证明△AMD≌△EDM得AD＝ME，从而可得MC＝AE+BD．
【解答】解：（1）补全图1如下：
（2）∵将△AEC绕点A顺时针旋转得到△ADB，
∴∠AEC＝∠ADB，
∴∠ADM＝∠AEM，
故答案为：∠ADM＝∠AEM．
（3）MC＝AE+BD，理由如下：
连接AM，△AMD和△AME公共边为AM，且∠ADM＝∠AEM，
∴A、M、D、E共圆，如图：
∵A、M、D、E共圆，
∴∠MAD＝∠MED，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠EDB，
∵将△AEC绕点A顺时针旋转得到△ADB，
∴AD＝AE，BD＝EC，
∴∠ADE＝∠AED，
∴∠EDB＝∠AED，
∴BM∥AE，
∴∠DME＝∠AEM，
∵∠ADM＝∠AEM，
∴∠DME＝∠ADM，
在△AMD和△EDM中，
，
∴△AMD≌△EDM（AAS），
∴AD＝ME，
∴AE＝ME，
∵MC＝ME+EC，
∴MC＝AE+BD．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点p和线段ST，我们定义点P关于线段ST的线段比k＝．
（1）已知点A（0，1），B（1，0）．
①点Q（2，0）关于线段AB的线段比k＝ ；
②点C（0，c）关于线段AB的线段比k＝，求c的值．
（2）已知点M（m，0），点N（m+2，0），直线y＝x+2与坐标轴分别交于E，F两点，若线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）①求出QA、QB、AB，根据线段比定义即可得到答案；
②方法同①，分c＞0和c≤0讨论；
（2）分两种情况，画出图象，根据线段比定义，分别在M（N）为“临界点”时列出不等式，即可得到答案．
【解答】解：（1）①∵A（0，1），B（1，0），Q（2，0），
∴AB＝，QA＝，QB＝1，
根据线段比定义点Q（2，0）关于线段AB的线段比k＝＝；
故答案为：；
②∵A（0，1），B（1，0），C（0，c），
∴AB＝，AC＝|1﹣c|，BC＝，
AC2＝1+c2﹣2c，BC2＝1+c2，
当c＞0时，AC2＜BC2，即AC＜BC，
由C（0，c）关于线段AB的线段比k＝可得：
＝，解得c＝3或c＝﹣1（舍去），
∴c＝3，
当c≤0时，AC2≥BC2，即AC≥BC，
由C（0，c）关于线段AB的线段比k＝可得：
＝，
解得c＝（舍去）或c＝﹣，
∴c＝﹣，
综上所述，点C（0，c）关于线段AB的线段比k＝，c＝3或c＝﹣；
（2）∵直线y＝x+2与坐标轴分别交于E，F两点，
∴E（﹣2，0），F（0，2），
∵点M（m，0），点N（m+2，0），
∴MN＝2，N在M右边2个单位，
当M、N在点E左侧时，如图：
线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤，
∴≤，即≤，
解得：m≥﹣，
当M、N在点E右侧时，过M作MH⊥EF于H，如图：
线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤，
∴≤，即≤，
∴HM≤，
而E（﹣2，0），F（0，2），
∴∠FEO＝45°，
∴△HEM时等腰直角三角形，
∴HM＝EM，
∴EM≤，即[m﹣（﹣2）]≤，
解得：m≤﹣2+，
综上所述，线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤，则﹣≤m≤﹣2+．
相关试卷
2023年北京市石景山区中考数学一模试卷（含解析）： 这是一份2023年北京市石景山区中考数学一模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年北京市石景山区中考数学一模试卷（含解析）： 这是一份2023年北京市石景山区中考数学一模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年北京市石景山区中考数学一模试卷（含答案）： 这是一份2023年北京市石景山区中考数学一模试卷（含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
