初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 第3章第2节 机械能（含答案）

这是一份初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 第3章第2节 机械能（含答案），共13页。教案主要包含了重力势能，弹性势能，动能，机械能和机械能守恒，功和能量变化的关系等内容，欢迎下载使用。
第二节  机械能 自然界中的能量有很多，诸如电能、内能、化学能、核能等。机械能是重力势能、弹性势能和动能的总称。一、重力势能1．重力做功的特点当物体上升或者下降时，重力就会对物体做功，重力所做的功对应着物体与地球之间能量的变化。如图5.28所示，我们分别计算物体沿不同路径从高度运动至高度时，重力做的功。物体沿下落时，有。物体沿下落时，设与水平方向夹角为，则，因为，因此。可见，，无论物体沿着竖直方向下落，还是沿着倾斜直线下落，重力所做的功都等于重力大小与下降高度的乘积。这个结论可以用来求解沿下降时重力的功。将曲线分割成无限多的微元段，则每一个微元段可以视为倾斜的直线，微元段的竖直高度分别为，，，…，则综上可知，重力做功与物体的移动路径无关，只与物体的初、末位置的高度差有关，可以用来计算重力做的功，其中表示物体在初、末位置的高度差，如果物体有一定的形状和大小，则表示物体的重心在初、末位置的高度差。2．重力势能的定义重力做功时，对应着物体能量的变化。这种能量是由于物体与地球之间存在引力作用，而该种引力(重力)做功又与路径无关，只与初、末位置有关，物体和地球间的这种由相对位置决定的能叫做重力势能。重力势能是物体和地球所共有的，为了叙述方便，可以说成是某一物体的重力势能。重力势能的计算公式为，在国际单位制中，重力势能的单位是焦()。式中是物体重心相对某个参考平面(零势能面)的高度，选择不同的参考平面，物体的高度不同，物体的重力势能也就不同，所以物体的重力势能具有相对性。但是物体从一个高度运动到另一高度，重力势能的变化量是绝对的，跟参考平面的选取无关，例如，质量为的物体从房顶落到地面，下落高度为，不论选择怎样的参考平面，该物体的重力势能总是减少。例1  (上海第27届大同杯初赛)两个完全相同的正方体均匀物块，分别沿各自虚线切割掉一半，将剩余部分和按照图5.29所示位置摆放在同一水平面上，两物块的重力势能的比较结果为(    )。A．比较大  B．比较大C．一样大  D．无法判断分析与解  和质量相同，比较它们重力势能的大小，只需比较两者的重心高度即可。设原来正方体的边长为，则的重心高度为。的重心高度等于图中等腰直角三角形的重心高度，而三角形的重心在底边中线上，且重心距底边的距离为的中线长度，因此重心的高度，显然，选项正确。例2  一根质量为、长为的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半挂在桌边，桌面足够高，若在链条两端和中央各挂一个质量为的小球，如图5.30所示。由静止释放，当链条刚离开桌面时，重力做功为________，系统重力势能变化量为________。       分析与解  本题若要计算链条与铁球系统的重心下降高度，则较为烦琐，现利用“等效法”来处理。画出链条刚离开桌面时的位置如图5.31所示，并与链条的初始状态相比较，可见，原来位于链条中部和底部的两铁球的，相当于后来的，位置，其间的链条位置也相当于位置，未发生变化。整个链条下落的过程仅相当于桌面上的铁球运动到了最低处，以及间的链条运动到了处。由此，铁球下降的高度为，链条的重心下降了，则重力做的功为，系统重力势能减少了。二、弹性势能弹性势能是指物体由于发生弹性形变而具有的能量，拉伸的橡皮筋、被拉伸或被压缩的弹簧都具有弹性势能。弹性势能用表示，单位是焦耳。对弹簧而言，在弹性限度内，弹簧的弹力与其形变量成正比，即。利用图像，可以得出弹簧的弹性势能与形变量的关系。如图5.32()所示，设弹簧在原长位置时的弹性势能为零。向右缓慢拉动弹簧时，弹簧的弹性势能的大小就等于弹簧克服拉力所做的功，也就是等于拉力对弹簧所做的功。由于拉力等于弹簧弹力，可画出拉力随弹簧形变量的关系，如图5.32()所示，当弹簧形变为时，图下方三角形的面积即为拉力所做的功：，则弹簧的弹性势能为，其中为弹簧的劲度系数。三、动能动能是指物体由于运动而具有的能量，大小等于质量与速率平方乘积的一半，即，动能的单位是(焦耳)。注意动能公式中的“”是指速度的大小，即速率，当物体只是速度方向改变时，动能不变。动能没有方向，不能误以为物体运动的方向就是动能的方向。由于速度的大小与参考系有关，所以动能也具有相对性。例3  某地强风的风速约为，空气密度(即体积为的空气质量为)，如果把通过横截面积为的风能全部转化为电能，则利用上述物理量计算电功率的公式________，产生的电功率的大小约为________。分析与解  经过时间，有长度为的空气柱通过截面，如图5.33所示，则时间内通过截面的空气柱体积为，空气柱的质量，空气柱的动能，由于风的动能全部转化为电能，得电功率，代入数据可得。四、机械能和机械能守恒在物理学中，重力势能、弹性势能和动能统称为机械能。机械能是用来表示物体的机械运动状态的物理量，一个物体可能同时具有动能、重力势能等，物体的机械能就是这些能量的总和。对于一般的单个运动物体，我们考虑其动能和重力势能比较多，因此通常情况下所说的物体的机械能往往是动能与重力势能之和。不同形式的机械能之间可以相互转化，比如物体从高处下落时重力势能可以转化为动能，压缩的弹簧把木块弹开时弹性势能转化为动能等，实现这种相互转化的条件是做功。当只有重力或者是弹簧的弹力做功时，物体(包括弹簧)的机械能总和保持不变，即机械能守恒。机械能守恒是指动能和势能相互转化但总和不变，即势能的变化量等于动能的变化量。在分析物体机械能转化情况时，尤其要注意机械能是只在一个物体内转化，还是在不同的物体之间转化。例4  如图5.34所示，小球从点自由落下，在点恰与竖立在地面上的弹簧接触，并在点将弹簧压缩得最短，计空气阻力，则下列说法正确的是(    )。A．小球从点下落到点的过程中，小球机械能守恒B．小球从点下落到点的过程中，小球机械能守恒C．小球在点速度达到最大D．小球在点时弹簧的弹性势能小于小球在点时的重力势能分析与解  小球从点下落到点的过程中，不考虑空气阻力，则只有重力做功，小球的重力势能减少，动能增加，减少的重力势能全部转化为小球的动能，因此，这个过程小球的机械能守恒，选项正确。小球从到的过程中，小球在点和在点速度均为零，小球减少的重力势能最终并未转化为小球的动能，而是转化为弹簧的弹性势能，因此，小球的机械能减少，减少的那一部分机械能转化为弹簧的弹性势能，选项B错误。小球到达点时，弹簧还未被压缩，小球在点还要加速，当弹簧的压缩量很小时，弹簧对小球的弹力也很小，小于重力，那么小球仍要向下加速，可见，点并不是小球速度最大的位置，速度最大的位置(弹力等于重力的位置)应在，两点之间，选项C错误。当小球到达点时，弹簧被压缩得最短，小球速度为零，小球在点时的重力势能转化为弹簧的弹性势能与小球在点的重力势能，因此，选项D正确。本题正确选项为AD。例5  如图5.35所示，一根质量分布均匀的木杆竖直立在水平地面上，在木杆倾倒过程中底部没有滑动，不计空气阻力。以地面为重力势能零点，则动能恰好与重力势能相等时，木杆与水平地面间的夹角为(    )。A．15°  B．30°C．45°  D．60°分析与解  木杆在倒地过程中，其机械能守恒。设木杆质量为，长为，则木杆初始状态动能为0，重心高度为，重力势能为，因此初始状态下的机械能为，设木杆动能与重力势能相等时，木杆与水平面的夹角为，则其重心高度为，重力势能为，此时的机械能为。由杆的机械能守恒，得，即，显然，。选项正确。五、功和能量变化的关系能量是一个状态量，一定的状态对应一定的能量；功是一个过程量，物体由一个状态变化到另一个状态，对应的能量发生了变化，这一个过程一定涉及做功；做功多少则能量变化多少。功和能的关系是：功是能量变化的量度。1．重力做功和重力势能变化的关系设一个质量为的物体，如果初状态时的高度为(相对于某一位置)，重力势能为；末状态时的高度为，重力势能为，这一过程中，重力做的功。由上式可得：(1)若，表示物体高度下降，重力做正功，，即重力势能减少；若，表示物体高度上升，重力做负功，，即重力势能增加。(2)只要始末位置一定，即，一定，不管经过哪一路径，重力做的功就是一定的，即重力做功跟路径无关。2．外力做功和物体动能变化的关系设一个质量为的物体，初状态时的速度为，在恒定的外力的作用下，发生一段位移，的方向与速度方向相同，末状态时的速度为，则有外力做的功，如果物体受几个力，上述结论仍正确，但是所有外力对物体做的功的代数和。上式表示：外力对物体做的功等于物体动能的增量。这一结论叫做动能定理。从上式可得：合外力是动力，物体的动能就增加，增加的动能等于动力对物体所做的功。合外力是阻力，物体的动能就减小，物体克服阻力做的功等于物体动能的减少量。例6  (上海第27届大同杯初赛)如图5.36所示，一个质量为的圆环在一根固定的水平粗糙直杆上，现给环一个向右的初速度，如果在运动过程中还受到一个方向始终竖直向上的力的作用，已知力的大小(为常数，为环的运动速度)，物体的动能与速度的关系为，则环在整个运动过程中克服摩擦力所做的功(杆足够长)可能为(    )。A．  B．0C．  D．分析与解  本题中由于力与速度有关，因此杆对环的弹力也在发生变化，则环受到的摩擦力大小也随速度变化，直接求解环克服摩擦力做的功有困难。由于环运动过程中只有摩擦力做功，则环克服摩擦力做的功等于其动能的减少量。下面分情况讨论环的运动情况：①若初始时，即，，则杆对环的弹力，滑动摩擦力为零，环恰以速度做匀速直线运动，克服摩擦力做功为零。选项正确。②若初始时，即，则杆对环的弹力，方向垂直于杆向下，环受滑动摩擦力，因此环将减速，而随着环速度的减小，力逐渐减小，当力减小到时，即环的速度时，杆对环的弹力，滑动摩擦力为零，此后环保持这个速度做匀速直线运动，因此环克服摩擦力做功为，选项正确。③若初始时，即，则杆对环的弹力，方向垂直于杆向上，环受滑动摩擦力而减速，随着环速度的减小，力逐渐减小，而弹力逐渐增大，滑动摩擦力逐渐增大，直至环速度减为零。因此，环克服摩擦力做功为，选项正确。综上所述，本题正确选项为。3．外力做功与机械能变化的关系如果除了重力(和弹力)外，还有其他外力对物体做功，则物体的机械能不守恒，机械能和其他形式能之间发生转化。若其他力做正功，物体的机械能增加；其他力做负功，物体的机械能减少。用表示重力和弹簧弹力以外的力做的功，，分别表示物体初、末状态的机械能，则有，即除重力、弹力以外的其他力做的功等于物体机械能的增加量。例7  (上海第30届大同杯初赛)滑块以某初速度从固定的粗糙斜面底端向上运动，然后又滑回到斜面底端，若滑块向上运动的距离中点为，取斜面底端重力势能为零，则滑块(    )。A．上滑过程机械能减小，下滑过程机械能增大B．上滑过程机械能减小，下滑过程机械能也减小C．上滑至点时动能大于重力势能D．下滑至点时动能大于重力势能分析与解  设滑块的质量为，受到的摩擦力为；滑块上滑的高度为，通过的路程为。根据能量关系，滑块在最开始具有的动能为。当滑块上滑至斜面中点时，具有的重力势能为；具有的动能为。所以，此时动能大于重力势能。当滑块下滑至斜面中点时，具有的重力势能为；具有的动能为。所以，此时动能小于重力势能。本题正确选项为。利用功能关系，可以求解变力做的功，即只需要确定变力所做的功等于哪些能量的变化，求出这些能量的增减情况，就可以得出变力做功的值。例8  (上海第27届大同杯初赛)如图5.37所示，容器的质量为，若从容器的底部通过小孔向容器内注入质量为的水，需要做功为。现将小孔打开，水自然会从小孔流出，与此同时提升容器，使容器内的水面相对地面始终保持原有高度，当容器内的水全部流走时，需要做的功为(    )。A． B．C． D．分析与解  本题中的变力较为复杂，所做的功也显然无法用第一节中求变力做功的几种方法求解，因此可以考虑利用功能关系来求解。通过小孔向容器内注入质量为的水，需要做功为，设这些水的重心高度为，则水的重力势能，即。当提升容器，使得水面高度恒为时，实际上相当于将水的重心提高了的高度，因此要对水做功，而容器最终被提升的高度为，因此对容器做的功，所以，提升容器时需要做的总功为，选项正确。 练习题1．长为的细绳，一端被固定于点，另一端系住一个质量为的小球，若让小球从图5.38中的点下摆至最低位置点，小球的重力势能减少了(    )A．  B．C．  D．2．下列有关动能的叙述，正确的是(    )。A．甲、乙两物体质量之比为，它们的速度之比为，则两物体的动能是相等的B．甲、乙两物体质量之比为，它们的速度之比为，则两物体的动能之比为4：1C．甲、乙两物体质量之比为，它们的速度之比为，则两物体的动能之比为2：1D．甲、乙两物体质量之比为，它们的速度之比为，则两物体的动能之比为1：43．(上海第7届大同杯复赛)一只垒球以某一速度飞向木栅栏，会被木栅栏弹回来，而一辆汽车以相同的速度撞向这一栅栏，木栅栏就会被汽车撞坍，这是因为汽车(    )。A．具有较大的势能  B．具有较大的动能C．具有较大的弹性  D．具有较大的功率4．(上海第9届大同杯复赛)如图5.39所示，用倾斜放置的传送带将货物匀速地自低处运送到高处。在这一过程中，货物的重力势能不断增加。这是因为(    )。A．静摩擦力做功  B．重力做功C．支持力做功  D．动能转化为势能5．(上海第10届大同杯复赛)两辆汽车分别在水平公路和盘山公路上行驶，如果它们的牵引力相同，当它们行驶了相同的路程后，汽车牵引力所做的功分别为和，则(    )。A．  B．C．  D．条件不足，无法比较6．(上海第31届大同杯初赛)如图5.40所示，弹簧开始处于原长，在物体由静止释放后下降的过程中(    )。A．物体的动能与下降的距离成正比B．物体重力势能的变化量与下降的距离成正比C．弹簧的弹性势能与下降的距离成正比D．物体的重力势能与弹簧的弹性势能之和先减小，后增大7．(上海第29届大同杯初赛)将小球竖直上抛，然后又落回到抛出点。小球向上过程的中点为，取抛出点的重力势能为零。若该球在整个过程所受的空气阻力大小不变，则小球(    )。A．上升过程损失的机械能大于下降过程损失的机械能B．上升过程损失的机械能等于下降过程损失的机械能C．上升至点时的动能大于势能D．下落至点时的动能大于势能8．(上海第27届大同杯初赛)关于功、功率和机械效率相互关系的说法中，正确的是(    )。A．机械效率越高，机械做功越快 B．做功越多的机械，机械效率越高C．功率越大的机械，做功越多 D．做功越快的机械，功率越大9．(上海第27届大同杯初赛)如图5.41所示，一轻质弹簧一端固定在墙上的点，另一端可自由伸长到点。今使一质量为的小物体靠着弹簧，将弹簧压缩到点，然后释放，小物体能在水平面上运动到点静止，已知；若将小物体系在弹簧上，在点静止释放，直到最后静止，小物体通过的总路程为，则下列说法中可能的是(    )。A． B． C． D．10．(上海第26届大同杯初赛)如图5.42所示，长为的轻杆一端通过光滑铰链铰在竖直墙上，另一端装一轻小光滑滑轮，重力的物体通过细线经滑轮系于墙上点，平衡时恰好水平。现将点沿着竖直墙向上缓慢移动少许，重新平衡后轻杆受到的压力恰好也为，该过程中，外力所做的功至少为(数点后保留两位)(    )。A．  B．C．  D．11．某物体速度增大为原来的3倍，则它的动能增大为原来的________倍。洒水车在洒水过程中匀速前进，则它的动能________，重力势能________(选填“减小”“增大”或“不变”)。12．某物体在离地高处具有的重力势能，该物体的质量为________，若将该物体移至离地高处，则它的重力势能增加了________．(取)13．一质量为且分布均匀、边长为的立方体金属块放在水平地面上，以地面为参照平面，则金属块的重力势能为________。14．(上海第8届大同杯复赛)已知铜的密度大于铝的密度。把质量相等的实心铜球和实心铝球静止地放在同一水平桌面上，如图5.43所示，则铜球具有的机械能________铝球具有的机械能；若它们都由图示位置掉落到水平地面上，则铜球减少的重力势能________铝球减少的重力势能(填“大于”“小于”或“等于”)。15．(上海第17届大同杯复赛)有报道说：台湾地区一家厂商发明了一种“手机自生能”技术，装上特制的电池，上下左右摇晃，即可产生电能，每摇一分钟可通话两分钟。如果将手机上下摇动一次，相当于将的重物举高，每秒约摇一次，则根据报道可知手机使用时的功率约为________()。16．如图5.44所示，边长为、质量为的正方形均匀木板竖直放置在水平地面上，若以此板的一个顶点为支点，使木板在竖直平面内缓慢绕此支点转动，它的重力势能的最大值为________，此过程中外力做的功为________。17．(上海第26届大同杯复赛)交通运输中用“客运效率”来反映交通工具的某项效能，即客运效率=人数×路程/消耗能量。一个人骑电动自行车，消耗100万焦的能量可行驶30千米，一辆载有4人的普通轿车，消耗3200万焦的能量可行驶100千米，则电动自行车与这辆轿车的客运效率之比是________。有一种自动充电式电动车，前轮装有发电机，发电机与蓄电池连接。当骑车者用力蹬车或车自行滑行时，自行车就可以连通发电机向蓄电池充电，转化成电能储存起来。某人骑车以500焦的初动能在粗糙的水平路面上滑行，若关闭自动充电装置，让车自由滑行，其动能随位移变化关系如图5.45中的图线1所示；若启动自动充电装置，其动能随位移变化关系如图线2所示，则向蓄电池所充电能是________焦。18．如图5.46所示，一块质量为、边长为的立方体石块放在粗糙地面上，缓慢地翻动它，使石块移动距离，对石块至少要做多少功？如果用水平力推石块，使石块匀速移动距离，所做的功跟缓慢地翻动石块做的功一样多，则石块和地面之间的动摩擦因数为多少？19．(上海第9届大同杯复赛)某学生用质量不同的滑块以不同的速度，从地面沿倾角为的光滑斜面往上滑，如图5.47所示。他记录了滑块滑至最高点(此时小球速度为零)的高度，如表5.1所示.表5．1滑块质量123速度1.02.03.04.05.01.02.03.04.05.01.02.03.04.05.0高度0.050.200.450.801.250.050.200.450.801.250.050.200.450.801.25根据上述数据分析，归纳出：(1)小球能够达到的最大高度跟它在斜面底端的速度和质量有无关系，有何关系，并写出关系式。(2)若假定小球在地面的重力势能为0，且重力势能的大小跟小球离地高度成正比，跟小球质量成正比，则小球在斜面底端的动能与小球在斜面底端的速度、质量有何关系。 参考答案1．D。先求出，两点的竖直高度差。点到点的竖直高度差为，则，间的竖直高度差为，重力势能的减少量。2．D。提示：动能的表达式为。3．B。垒球和汽车以相同的速度撞向栅栏，汽车能把栅栏撞坍，是因为汽车质量较大，具有较大的动能。4．A。物块受重力、支持力和静摩擦力的作用，其中支持力与传送带垂直，不做功，重力做负功。由于物块有相对于传送带下滑的趋势，静摩擦力方向沿传送带向上，静摩擦力与物块运动方向相同，使物体匀速上升，重力势能增加，因此静摩擦力对物块做正功是物块重力势能增加的原因。5．B。提示：汽车牵引力始终朝向汽车运动方向，因此牵引力做功等于牵引力与路程的乘积。6．BD。设物体下落距离为，则物体重力势能减少了，弹簧的弹性势能增加了，减少的重力势能一部分转化为弹簧的弹性势能，另一部分转化为物块的动能，则物体动能，可见，动能与下落距离是二次函数的关系，选项错误，选项正确；由可知，当时(即此时弹力与重力等大)，动能取得最大值，可见，动能一定是先增大，又减小，而对于弹簧与物块组成的系统，重力势能、弹性势能、动能三者之和为一定值，因此在动能最大时，重力势能与弹性势能之和必最小，选项正确。7．BC。设小球上升的最大高度为，空气阻力为，小球在上升和下降时，克服空气阻力做的功均为，所以小球在上升和下降过程中损失的机械能相同，选项正确。由功能关系，小球在刚抛出时具有的机械能为，在上升至中点时，动能为，重力势能，可见，选项正确。小球达到最高点时，速度为零，具有的机械能为，然后下落至中点，此时的动能为，此时的重力势能，可见，选项错误。8．D。功率是表示做功快慢的物理量，与做功多少无关；机械效率是指有用功占总功的百分比，与功率也无关。对同一机械，机械效率往往是固定的。9．BCD。设物体位于位置时，弹性势能为，再设物体与地面之间的摩擦力为，则物体在由运动到的过程中，由功能关系，弹簧释放的弹性势能等于物体克服摩擦力做的功，即；将小物体系在弹簧上后，物体最终静止时，弹簧可能还有弹性势能，设为，则，即，解得，可见，若，即物体恰好静止在点，则，若，则，本题正确选项为。10．A。结合功能关系，外力所做的功等于物体重力势能的增加量，因此只要求出物体上升的高度，即可由求得外力的功。不妨设杆长为，绳子总长度为。由于杆为轻杆，因此杆与两边绳子的夹角必相等，所以初始时杆与绳子夹角为45°，则物块与点的竖直高度差为。再设将绳端由点向上移动至点时，轻杆受到的压力恰等于，则易得杆与绳子的夹角为60°，如图5.48所示，杆末端滑轮下降的高度为，此时物体与点的竖直高度差为，物体上升的高度，因此外力做功，选项正确。11．9；减小，减小。由动能表达式，可知速度增加为原来的3倍，则动能增加为原来的9倍。洒水车洒水时，虽然速率不变，但质量减小，所以动能减小；同时由于车内水的重力势能减少，洒水车整体的重力势能也减小。12．50，4000。由，解得，重力势能的增加量。13．250。提示：公式中，是指重心的高度，正方体的重心在其几何中心，重心离地面高度为。14．小于；等于。提示：铝的密度小于铜，质量相同的实心铝球和实心铜球，铝球的体积较大，重心(在球心位置)比铜球重心高，因此铝球重力势能较大。两者都从水平桌面掉落到水平地面上时，下降的高度相同，减少的重力势能也相同。15．。由题意，每摇一分钟可通话两分钟，可见手机使用时的功率为发电功率的一半。摇动手机时的发电功率为，可见手机使用时的功率为。16．，。木板的重心在其中心，初始时重心高度为。当木板绕图5.49中的顶点在竖直面内转过135°时，木板的重心高度最大，为，因此重力势能的最大值为，外力做的功等于重力势能的增加量，所以外力做功=。17．24:1，200。利用客运效率=人数×路程/消耗能量，可计算出一个人骑电动自行车的客运效率为，而客车的客运效率为，因此两者的客运效率之比为24:1。由图线1，不开启充电装置时，自行车滑行的过程中动能全部用来克服地面的阻力做功，设阻力为，则，解得；开启充电装置时，自行车滑行的过程中动能一部分转化为电能，另一部分用来克服阻力做功，即，解得。18．；。缓慢地翻动石块时，只需将石块翻转45°，石块就会在重力作用下继续翻转过去，因此翻转一次做的功等于将石块翻转45°的过程中克服重力做的功，则；设石块与地面之间的动摩擦因数为，则用水平推力使石块缓慢移动距离应做功，由，解得。19．(1)小球能够达到的最大高度跟它的质量无关。因为从表中数据可以看出，当质量不同时，小球以相同的速度从斜面底端冲上斜面，所能到达的最大高度是相同的。小球能够达到的最大高度跟它在斜面底端的速度有关。当上升高度为时，速度为，，当上升高度为时，速度为，可以看出，依此类推可以得出。(2)依题意，设物体的重力势能，其中为比例系数。小球达到最大高度时，其动能全部转化为重力势能，则，将代入，得，可见，动能与质量成正比，与速度的平方成正比。