中考专项6 证明圆的切线悟“三招”含答案

类型1　见半径，证垂直

1．如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB的延长线与AC的延长线交于点M，∠BOC＝∠APB.求证：PB是⊙O的切线．

证明：∵PA切⊙O于A，∴∠PAO＝90°.

∵∠BOC＋∠AOB＝180°，且∠BOC＝∠APB，

∴∠APB＋∠AOB＝180°，

∴在四边形AOBP中，

∠OBP＝360°－90°－180°＝90°，

∴OB⊥PB.

∵OB是⊙O的半径，∴PB是⊙O的切线．

2．如图，AB是⊙O的直径，C为的中点，延长AC到点D，使CD＝AC，连结BD.[来源:学科网ZXXK]

(1)求∠A的度数；[来源:Z,xx,k.Com]

(2)求证：BD与⊙O相切．

解：(1)连结OC.

∵AB是⊙O的直径，C为的中点，

∴∠BOC＝90°.

∵∠A＝∠BOC，∴∠A＝45°.

(2)证明：∵OA＝OB，AC＝CD，∴OC∥BD，

∴∠BOC＋∠ABD＝180°，

∴∠ABD＝180°－∠BOC＝90°，∴AB⊥BD.

∵点B在⊙O上，∴BD与⊙O相切．

类型2　连半径，证垂直

3．(2019·湖南邵阳二模)如图，AB是⊙O的直径，圆心为点O，点C为⊙O上一点，OM⊥AB于点O交AC于点D，MC＝MD.求证：MC为⊙O的切线．

证明：如图，连结OC.

∵MC＝MD，OA＝OC，

∴∠MCD＝∠MDC，

∠A＝∠OCD.

∵MO⊥AB，∴∠A＋∠ADO＝90°.

又∠ADO＝∠MDC，

∴∠MCD＋∠A＝90°，即∠MCD＋∠DCO＝90°，

∴OC⊥MC，∴MC为⊙O的切线．

4．如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)求DE的长．

解：(1)证明：如图，连结OD.

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAE＝∠DAB.

∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO，

∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE.

∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线．

(2)如图，过点O作OF⊥AC于点F，

∴AF＝CF＝AC＝3，[来源:学科网ZXXK]

∴OF＝＝＝4.

∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，

∴四边形OFED是矩形．

∴DE＝OF＝4.[来源:Zxxk.Com]

5．如图，已知⊙O的半径为4，OA为半径，CD为弦，OA与CD交于点M，将弧CD沿着CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连结PC.

(1)求CD的长；

(2)求证：PC是⊙O的切线．

解：(1)如图，连结OC.

∵弧CD沿CD翻折后，点A与点O重合，

∴OM＝OA＝2，CD⊥OA.∵OC＝4，∴CD＝2CM＝2＝2×＝4.

(2)证明：∵PA＝OA＝4，AM＝OM＝2，CM＝2，

∠CMP＝∠OMC＝90°，

∴PC＝＝＝4.

∵OC＝4，PO＝4＋4＝8，

∴PC2＋OC2＝(4)2＋42＝82＝PO2，∴∠PCO＝90°.∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线．

6．如图，已知AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于点D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F.

(1)求证：DE为⊙O的切线；

(2)若BF＝2，tan∠BDF＝，求⊙O的半径．

解：(1)证明：如图，

连结AD，OD.

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°.

∵E是AC的中点，∴EA＝ED，∴∠EDA＝∠EAD.

∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，

∴∠EDO＝∠EAO.

∵AB⊥AC，∴∠EAO＝90°，

∴∠EDO＝90°，∴DE为⊙O的切线．

(2)∵DE为⊙O的切线，AB为直径，

∴∠ODF＝∠FDB＋∠ODB＝∠FAD＋∠OBD＝90°.

∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠FDB＝∠FAD.

∵tan∠BDF＝，∴tan∠FAD＝＝.

又∵∠F为公共角，∴△FDB∽△FAD，

∴＝＝＝.

又∵BF＝2，∴DF＝4，AF＝8.

∴AB＝AF－BF＝8－2＝6.∴⊙O的半径是3.

类型3　作垂直，证半径

7．(2018·北京通州区三模)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于点E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F.求证：CD与⊙O相切．

证明：如图，过点O作OG⊥DC，垂足为G.

∵AD∥BC，AE⊥BC，

∴OA⊥AD.

∴∠OAD＝∠OGD＝90°.

∵OD平分∠ADC，

∴OA＝OG.

∴DC是⊙O的切线，即CD与⊙O相切．

8．如图，在△ABC中，AB＝AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D.

(1)求证：AB是半圆O所在圆的切线；

(2)若cos∠ABC＝，AB＝12，求半圆O所在圆的半径．

解：(1)证明：如图，作OE⊥AB于点E，连结OD，则OD⊥AC.

∵AB＝AC，O为BC的中点，[来源:学_科_网]

∴∠CAO＝∠BAO.

∵OD⊥AC，OE⊥AB，

∴OD＝OE.

∵点D在圆上，

∴AB是半圆O所在圆的切线．

(2)由cos∠ABC＝，AB＝12，得OB＝8.

由勾股定理，得AO＝＝4.

由三角形的面积，得

S△AOB＝AB·OE＝OB·AO，

解得OE＝＝，

∴半圆O所在圆的半径是.