初中数学北师大版八年级下册第四章 因式分解综合与测试精练

这是一份初中数学北师大版八年级下册第四章 因式分解综合与测试精练，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北师大版八年级下册第4章《因式分解》单元练习题一、选择题1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ）A． B．C． D．2．下列由左到右的变形中属于因式分解的是（    ）A． B．C． D．3．我们已经知道，整式可以分解成几个因式的积的形式，类比数的整除，整式也能被其每一个因式整除，下列多项式不能被整除的是（    ）A． B． C． D．4．多项式中，各项的公因式是（    ）A． B．C． D．5．如果多项式的一个因式是，那么另一个因式是（    ）A． B． C． D．6．若，则代数式A的值为（      ）A． B． C． D．7．已知方程组，则的值为（    ）A．-1 B．0 C．2 D．-3二、填空题8．因式分解：2m2﹣2=__．9．分解因式：2x2﹣2x+＝_____．10．分解因式：___________．11．已知x2﹣y2＝14，x﹣y＝2，则x+y等于_____．12．已知，则的值为____________．三、解答题13．因式分解：（1）；                  （2）；   （3）；                     （4）．   14．将下列各式因式分解：（1）6p（p+q）﹣4q（q+p）．         （2）﹣3ma3+6ma2﹣3ma．   15．已知是多项式的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解．   16．观察下面的因式分解过程：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）利用这种方法解决下列问题：（1）因式分解：2a+6b﹣3am﹣9bm（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ac﹣ab+bc＝0，判断△ABC的形状．  17．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x-3=（x2+2x+1）-4=（x+1）2-4=（x+1+2）（x+1-2）=（x+3）（x-1）；求代数式2x2+4x-6的最小值．2x2+4x-6=2（x2+2x+1）-2-6=2（x+1）2-8．可知当x=-1时，2x2+4x-6有最小值，最小值是-8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：x2+4x-5=                    ；（2）当x为何值时，多项式-2x2-4x+3有最大值，并求出这个最大值．     18．观察下列等式：①＝2+，②＝3+，③＝4+，④＝5+，…（1）请按以上规律写出第⑥个等式：　   　；（2）猜想并写出第n个等式：　   　；并证明猜想的正确性．（3）利用上述规律，直接写出下列算式的结果：＝　   　．          参考答案1．B【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据定义即可判断．【详解】解：A、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误；B、是因式分解，选项正确；C、，选项错误；D、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，注意结果是整式的乘积的形式，并且变形前后值不变．2．C【分析】根据因式分解的定义，逐一判断各个选项，即可得到答案．【详解】A. ，等号左边是单项式，不是因式分解，不符合题意；    B. ，等号的右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意；C. ，是因式分解，符合题意；    D. ，是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意．故选C．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义：“把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解”是解题的关键．3．C【分析】利用提公因式法和公式法进行因式分解，从而作出判断【详解】解：A. ，此多项式能被整除，故此选项不符合题意；    B. ，此多项式能被整除，故此选项不符合题意；    C. ，此多项式不能被整除，故此选项符合题意；    D. ，此多项式能被整除，故此选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查提公因式法和公式法因式分解，掌握平方差公式的公式结构和提取公因式的技巧准确分解因式是解题关键．4．C【分析】分别对系数、字母a、字母b、字母c逐个分析即可得到答案．【详解】解：由题意可得：系数的公因式为4，字母a的公因式为，字母b的公因式为b，, 字母c无公因式，所以各项的公因式是．故选：C．【点睛】本题考查了求多项式的公因式，解题的关键是掌握求多项式公因式的方法．5．A【分析】该多项式是有公因式的，提取公因式即可得．【详解】解：原式= 故选A【点睛】本题考查了提取多项式公因式；关键在于能够找到公因式并正确的提取公因式．6．A【分析】利用提取公因式法进行因式分解，从而求解．【详解】解：∴代数式A的值为故选：A．【点睛】本题考查提公因式法分解因式，掌握提取公因式的技巧准确计算是解题关键．7．D【分析】先分别利用加、减法求出x＋y与x−y的值，原式分解后代入计算即可求出值．【详解】解：，①＋②得：，即，①−②得：，．故选：D．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，重点培养学生整体思想的数学中的应用，熟练掌握解二元一次方程组的方法及步骤是解题的关键．8．【分析】先提取公因式2，后运用平方差公式分解即可【详解】∵2﹣2=2=，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式的分解策略是解题的关键．9．2（x﹣）2．【分析】直接提取公因式2，再利用公式法分解因式即可．【详解】解：2x2﹣2x+＝2（x2﹣x+）＝2（x﹣）2．故答案为：2（x﹣）2．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．10．．【分析】先提取公因式m，然后再运用完全平方公式因式分解即可．【详解】解：，＝，＝．故答案为．【点睛】本题考查了因式分解，掌握并灵活运用提取公因式、完全平方公式因式分解是解答本题的关键．11．7【分析】第一个等式左边利用平方差公式因式分解，将x﹣y＝2代入计算即可求出x+y的值．【详解】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝14，x﹣y＝2，∴x+y＝7．故答案为：7．【点睛】本题考查平方差公式因式分解，和代数值的值，掌握平方差公式因式分解方法，整体代入求代数式的值．12．3【分析】利用提公因式分将原式变形为，然后利用整体代入思想代入求解．【详解】解：==∵∴原式====故答案为：3．【点睛】本题考查提公因式法的应用，掌握提公因式的技巧并利用整体思想代入求解是解题关键．13．（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根据提取公因法，即可得到答案；（2）先提取公因式，再合并同类项，再提取公因数，即可得到答案；（3）先提取公因式，再利用平方差公式，即可得到答案；（4）先利用完全平方公式，再利用平方差公式，即可分解因式．【详解】（1）原式=；（2）原式；（3）原式；（4）原式．【点睛】本题主要考查分解因式，熟练掌握提取公因式法，平方差公式以及完全平方公式，是解题的关键．14．（1）2(p+q)( 3p﹣2q)；（2）﹣3ma(a-1)2．【分析】（1）用提取公因式法因式分解即可；（2）用提取公因式法和公式法因式分解即可【详解】（1）6p（p+q）﹣4q（q+p）=2(p+q)( 3p﹣2q)；（2）﹣3ma3+6ma2﹣3ma=﹣3ma（a2﹣2a+1）＝﹣3ma(a-1)2．【点睛】本题主要考查因式分解，灵活选择因式分解的方法是解题的关键．15．，，【分析】由题意可假设多项式x3−x2+ax+b=(x2+2x+1)(x+m)，则将其展开、合并同类项，并与x3− x2+ax+b式子中x的各次项系数对应相等，依次求出m、b、a的值，那么另外一个因式即可确定．【详解】解：设， 则，所以，，，解得，，．所以 ． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，用待定系数法来解较好．16．（1）（a+3b）（2﹣3m）；（2）△ABC是等腰三角形，见解析【分析】（1）仿照样例，先分组，组内提公因式后组与组之间提取公因式，便可达到分解因式的目的；（2）用样例的方法，把已知等式左边分解因式，再根据几个因式积为0的性质得出一次方程求得a、b、c之间的关系，便可确定△ABC的形状．【详解】解：（1）2a+6b﹣3am﹣9bm＝（2a+6b）﹣（3am+9bm）＝2（a+3b）﹣3m（a+3b）＝（a+3b）（2﹣3m）；或  2a+6b﹣3am﹣9bm＝（2a﹣3am）+（6b﹣9bm）＝a（2﹣3m）+3b（2﹣3m）＝（2﹣3m）（a+3b）；（2）∵a2﹣ac﹣ab+bc＝0，∴（a2﹣ac）﹣（ab﹣bc）＝0，∴a（a﹣c）﹣b（a﹣c）＝0，∴（a﹣c）（a﹣b）＝0，∴a﹣c＝0或a﹣b＝0，∴a＝c 或  a＝b，∴△ABC是等腰三角形．【点睛】本题考查因式分解的应用，等腰三角形的判定，解题的关键是正确解读样例，根据样例进行因式分解．17．（1）（x+5）（x-1）；（2）当x=-1时，多项式-x2-4x+3有最大值5【分析】（1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可；（2）利用配方法将多项式2x2﹣8x+5，转化为2（x﹣2）2﹣3，然后利用非负数的性质进行解答．【详解】解：（1），=，=，=，=，故答案为；（2）∵，=，=，=，∴当x＝2时，多项式2x2﹣8x+5有最小值，最小值是﹣3．【点睛】本题考查了配方法因式分解、配方法求代数式的最值、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，读懂材料，掌握配方法的步骤和运用是解答的关键．18．（1）；（2），见解析；（3）4752【分析】（1）根据分母不变，分子是两个数的平方差可得答案；（2）根据发现的规律写出第n个等式并计算可进行验证；（3）根据=2，＝3，＝4…可得原式＝1+2+3……+97-1，进而可得答案．【详解】解：（1）第⑥个式子为：；故答案为：；（2）猜想第n个等式为：，证明：∵左边=＝右边， 故答案为：；（3）原式＝1+2+3+…+97-1＝-1＝4752．故答案为：4752．【点睛】此题考查有理数计算规律探究，有理数的四则混合运算，因式分解的应用，根据例子得到式子的构成规律并应用解决实际问题是解题的关键．