2021届高三理科数学《大题精练》2

2021届高三数学（理）“大题精练”2

17．已知，的内角的对边分别为，为锐角，且.

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积.

18．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，是等边三角形，侧面底面，，，，点、点分别在棱、棱上，，，点是线段上的任意一点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小.

19．在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标.将指标按照，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当时，认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种.

（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：

（2）上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于的贫困户中，随机选取两户，用表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求的分布列和数学期望.

附：，其中.

20．已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）试探究的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.

21．已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）设，当时，对任意，存在，使得，求实数的取值范围.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.

（1）求圆的直角坐标方程；

（2）若直线与圆交于两点，定点，求的值.

23．[选修4-5：不等式选讲]

已知实数正数x, y满足．

（1）解关于x的不等式；

（2）证明：

2020届高三数学（理）“大题精练”2（答案解析）

17．已知，的内角的对边分别为，为锐角，且.

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积.

【详解】

（1）函数

，

由得：，

为锐角，

，

；

（2）由余弦定理有，

，，，

，

，.

18．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，是等边三角形，侧面底面，，，，点、点分别在棱、棱上，，，点是线段上的任意一点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的大小.

【详解】

（1）连接，由，得

平面

且，又，

则四边形为平行四边形，

故，平面

又

面面，

又面

平面.

（2）如图，以中点为原点，的中垂线为轴，直线为轴，过于平行的直线为轴，建立空间直角坐标系

则面的其中一个法向量，

设面的一个法向量

又，，

，

，令得，

则

故二面角的大小为.

19．在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶某村户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标.将指标按照，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”；当时，认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这户家庭的受教育水平进行评测，家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种.

（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关：

（2）上级部门为了调查这个村的特困户分布情况，在贫困指标处于的贫困户中，随机选取两户，用表示所选两户中“亟待帮助户”的户数，求的分布列和数学期望.

附：，其中.

【详解】

（1）由题意可知，绝对贫困户有（户），可得出如列联表：

．

故有的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关．

（2）贫困指标在的贫困户共有（户），

“亟待帮助户”共有（户），

依题意的可能值为，，，

，，

，

则的分布列为

故．

20．已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）试探究的横坐标的乘积是否为定值，说明理由.

【详解】

（1）由已知，的坐标分别是由于的面积为，

，又由得，

解得：，或（舍去），

椭圆方程为；

（2）设直线的方程为，的坐标分别为

则直线的方程为，令，得点的横坐标

直线的方程为，令，得点的横坐标

把直线代入椭圆得

由韦达定理得,

∴，是定值．

21．已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）设，当时，对任意，存在，使得，求实数的取值范围.

【详解】

（1）函数的定义域为，

，

由，得或.

当即时，由得，

由得或；

当即时，当时都有；

当时，单调减区间是，单调增区间是，；

当时，单调增区间是，没有单调减区间.

（2）当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增，

从而在上的最小值为.

对任意，存在，使得，

即存在，使的值不超过在区间上的最小值.

由，.

令，则当时，.

，

当时；当时，，.

故在上单调递减，

从而，

从而.

22．在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.

（1）求圆的直角坐标方程；

（2）若直线与圆交于两点，定点，求的值.

【详解】

（1）将代入，得：，

即圆的直角坐标方程为；

（2）设点对应的参数为，

把直线l的参数方程代入，

得：

化简得，

，

．

23．[选修4-5：不等式选讲]

已知实数正数x, y满足．

（1）解关于x的不等式；

（2）证明：

【详解】

（1）

解得，所以不等式的解集为

（2）解法1： 且，

.

当且仅当时，等号成立.

解法2： 且，

当且仅当时，等号成立.