2021届高三理科数学《大题精练》12

2021届高三数学（理）“大题精练”12

17．某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：

该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下：

假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：

（1）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；

（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为元，求的分布列和数学期望

18．的内角，，的对边分别为，，，设.

（1）求；

（2）若的周长为8，求的面积的取值范围.

19．如图，在四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

20．设椭圆，过点的直线，分别交于不同的两点、，直线恒过点

（1）证明：直线，的斜率之和为定值；

（2）直线，分别与轴相交于，两点，在轴上是否存在定点，使得为定值?若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

21．设函数，，，.

（1）证明：；

（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.

22．在直角坐标系中，直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点，.

（1）当时，求直线与曲线的普通方程；

（2）若，其中，求直线的倾斜角.

23．已知函数

（1）当时，求不等式的解集；

（2）当时，不等式成立，证明：

2020届高三数学（理）“大题精练”12（答案解析）

17．某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：

该公司注册的会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如下：

假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：

（1）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；

（2）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为元，求的分布列和数学期望

【解】（1）∵第一次消费为200元，利润为50元：第二次消费190元，利润为40元

∴两次消费的平均利润为45元

（2）若该会员消费1次，则

若该会员消费2次，则

若该会员消费3次，则

若该会员消费4次，则

若该会员消费5次，则

故X的分布列为：

的期望为（元）

18．的内角，，的对边分别为，，，设.

（1）求；

（2）若的周长为8，求的面积的取值范围.

【解】（1）且

，

又，

（2）由题意知：

，

或（舍）（当时取“”）

综上，的面积的取值范围为

19．如图，在四棱柱中，底面是边长为2的菱形，且，，.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

【解】（1）令的中点为，连接，，

，

且

又∵底面为边长为2的菱形，

且

又

又平面，平面

又平面，∴平面平面，

（2）过作直线于，连接

∵平面，面，

为二面角所成的平面角

又

，

20．设椭圆，过点的直线，分别交于不同的两点、，直线恒过点

（1）证明：直线，的斜率之和为定值；

（2）直线，分别与轴相交于，两点，在轴上是否存在定点，使得为定值?若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

【解】（1）设，直线的斜率分别为，由得

，可得：，

（2）由，令，得，即

同理，即，设轴上存在定点则

，要使为定值，即

故轴上存在定点使为定值，该定值为1

21．设函数，，，.

（1）证明：；

（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.

【解】（1）在上单调递增，，

所以存在唯一，.当，递减；

当，递增.

所以，

（2），

当时，，在上单调递减，

，满足题意

当时，在上单调递增，

，，

所以存在唯一，.

当，递减；当，递增

而，.所以存在唯一.

当，递增；当递减.

要时，恒成立，即所以

当时，，当，递减，

在递增，与题意矛盾

综上：的取值范围为

22．在直角坐标系中，直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点，.

（1）当时，求直线与曲线的普通方程；

（2）若，其中，求直线的倾斜角.

【解】（1）当时直线的普通方程为：；曲线的普通方程为；

（2）将直线代入得

所以直线的倾斜角为或

23．已知函数

（1）当时，求不等式的解集；

（2）当时，不等式成立，证明：

【解】（1）解：当时

若则

若则成立

若则

综上，不等式的解集为

（2）当时