2021届高三理科数学《大题精练》11

这是一份2021届高三理科数学《大题精练》11，共13页。试卷主要包含了已知数列的前n项和，其中，已知函数f=ln−x1+x.等内容，欢迎下载使用。
2021届高三数学（理）“大题精练”11 17．已知数列的前n项和，其中．（1）证明是等比数列，并求其通项公式；（2）若，求． 18．为推进“千村百镇计划”，年月某新能源公司开展“电动莆田 绿色出行”活动，首批投放台型新能源车到莆田多个村镇，供当地村民免费试用三个月．试用到期后，为了解男女试用者对型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表（满分为分）．最后该公司共收回份评分表，现从中随机抽取份（其中男、女的评分表各份）作为样本，经统计得到如下茎叶图：（1）求个样本数据的中位数；（2）已知个样本数据的平均数，记与的最大值为．该公司规定样本中试用者的“认定类型”：评分不小于的为“满意型”，评分小于的为“需改进型”．①请根据个样本数据，完成下面列联表：根据列联表判断能否有的把握认为“认定类型”与性别有关？②为做好车辆改进工作，公司先从样本“需改进型”的试用者按性别用分层抽样的方法，从中抽取8人进行回访，根据回访意见改进车辆后，再从这8人中随机抽取3人进行二次试用，记这3人中男性人数为，求的分布列及数学期望.  19．如图，正方体的棱长为2，P是BC的中点，点Q是棱上的动点．（1）点Q在何位置时，直线，DC，AP交于一点，并说明理由；（2）求三棱锥的体积；（3）棱上是否存在动点Q，使得与平面所成角的正弦值为，若存在指出点Q在棱上的位置，若不存在，请说明理由．   20．如图，中心为坐标原点O的两圆半径分别为，，射线OT与两圆分别交于A、B两点，分别过A、B作垂直于x轴、y轴的直线、，交于点P．（1）当射线OT绕点O旋转时，求P点的轨迹E的方程；（2）直线l：与曲线E交于M、N两点，两圆上共有6个点到直线l的距离为时，求的取值范围．  21．已知函数.（Ⅰ）若时，，求的最小值；（Ⅱ）设数列的通项，证明：. 22．已知曲线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C经过伸缩变换得到曲线E，直线l：（t为参数）与曲线E交于A，B两点，（1）设曲线C上任一点为，求的最小值；（2）求出曲线E的直角坐标方程，并求出直线l被曲线E截得的弦AB长；   23．已知函数，且的解集为（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，都是正实数，且，求证：.   2020届高三数学（理）“大题精练”11（答案解析） 17．已知数列的前n项和，其中．（1）证明是等比数列，并求其通项公式；（2）若，求．【解】（1）∵,,∴．当时,,两式相减,得,即,∵,．∴．即,即,（）,∴是等比数列,公比,当时,,即,∴；（2）若,则,即,则,得 18．为推进“千村百镇计划”，年月某新能源公司开展“电动莆田 绿色出行”活动，首批投放台型新能源车到莆田多个村镇，供当地村民免费试用三个月．试用到期后，为了解男女试用者对型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表（满分为分）．最后该公司共收回份评分表，现从中随机抽取份（其中男、女的评分表各份）作为样本，经统计得到如下茎叶图：（1）求个样本数据的中位数；（2）已知个样本数据的平均数，记与的最大值为．该公司规定样本中试用者的“认定类型”：评分不小于的为“满意型”，评分小于的为“需改进型”．①请根据个样本数据，完成下面列联表：根据列联表判断能否有的把握认为“认定类型”与性别有关？②为做好车辆改进工作，公司先从样本“需改进型”的试用者按性别用分层抽样的方法，从中抽取8人进行回访，根据回访意见改进车辆后，再从这8人中随机抽取3人进行二次试用，记这3人中男性人数为，求的分布列及数学期望.【解】（1）由茎叶图可知：（2）因为，，所以①由茎叶图值，女性试用者评分不小于的有个，男性试用者评分不小于的有个，根据题意得列联表： 满意型需改进型合计女性男性合计 由于查表得：所以有的把握认为“认定类型”与性别有关②由①知，从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法抽出女性名，男性名的所有可能取值为，，则，，所以的分布列如下： 所以的数学期望为： 19．如图，正方体的棱长为2，P是BC的中点，点Q是棱上的动点．（1）点Q在何位置时，直线，DC，AP交于一点，并说明理由；（2）求三棱锥的体积；（3）棱上是否存在动点Q，使得与平面所成角的正弦值为，若存在指出点Q在棱上的位置，若不存在，请说明理由． 【解】（1）当Q是中点时,直线,DC,AP交于一点．理由如下：延长AP交DC于M,连结交于点Q,∵,∴,∴．∵,∴,∴．∴Q是中点．（2）V棱锥棱锥．（3）以D为原点,DA,DC,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建系则,,,,,,设面的法向量为,则取,,即设与面所成角为则化简得解得或（舍去）所以存在点Q,且点Q为的中点 20．如图，中心为坐标原点O的两圆半径分别为，，射线OT与两圆分别交于A、B两点，分别过A、B作垂直于x轴、y轴的直线、，交于点P．（1）当射线OT绕点O旋转时，求P点的轨迹E的方程；（2）直线l：与曲线E交于M、N两点，两圆上共有6个点到直线l的距离为时，求的取值范围．【解】设,OT与x轴正方向夹角为,则即化简得,即P点的轨迹E的方程为（2）当两圆上有6个点到直线1的距离为时,原点O至直线l的距离,即,解得联立方程得设,,则,则21．已知函数.（Ⅰ）若时，，求的最小值；（Ⅱ）设数列的通项，证明：.【解】（Ⅰ）由已知，，.若，则当时，，所以.若，则当时，，所以当时，.综上，的最小值是.（Ⅱ）证明：令.由（Ⅰ）知，当时，，即.取，则.于是.所以. 22．已知曲线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C经过伸缩变换得到曲线E，直线l：（t为参数）与曲线E交于A，B两点，（1）设曲线C上任一点为，求的最小值；（2）求出曲线E的直角坐标方程，并求出直线l被曲线E截得的弦AB长；【解】（1）根据,进行化简得C：,∴曲线C的参数方程（为参数）,∴,则的最小值为；（2）∵,∴代入C得∴E：,将直线l的参数方程（t为参数）,代入曲线E方程得：,∴,． 23．已知函数，且的解集为（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，都是正实数，且，求证：.【解】（I）依题意,即,∴                                        （II）方法1:∵∴当且仅当,即时取等号          方法2: ∵∴由柯西不等式得 整理得当且仅当,即时取等号.