2021届高三文科数学《大题精练》 (11)

2021届高三数学（文）“大题精练”11

17．（12分）等差数列的前项和为，，．数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列的前项和满足，求的值．

18．（12分）如图，在五面体中，侧面是正方形，是等腰直角三角形，点是正方形对角线的交点，且．

（1）证明：平面；

（2）若侧面与底面垂直，求五面体的体积．

19．（12分）在中老年人群体中，肠胃病是一种高发性疾病某医学小组为了解肠胃病与运动之间的联系，调查了50位中老年人每周运动的总时长（单位：小时），将数据分成[0，4），[4，8），[8，14），[14，16），[16，20），[20，24]6组进行统计，并绘制出如图所示的柱形图．

图中纵轴的数字表示对应区间的人数现规定：每周运动的总时长少于14小时为运动较少．

每周运动的总时长不少于14小时为运动较多．

（1）根据题意，完成下面的2×2列联表：

（2）能否有99．9%的把握认为中老年人是否有肠胃病与运动有关？

附：K2（n＝a+b+c+d）

20．（12分）已知直线与抛物线：交于，两点，且的面积为16（为坐标原点）．

（1）求的方程．

（2）直线经过的焦点且不与轴垂直，与交于，两点，若线段的垂直平分线与轴交于点，试问在轴上是否存在点，使为定值？若存在，求该定值及的坐标；若不存在，请说明理由．

21．（12分）设函数．

(1)若当时，取得极值，求的值，并求的单调区间．

(2)若存在两个极值点，求的取值范围，并证明：．

（二）选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．【极坐标与参数方程】（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．

（1）写出曲线的普通方程，并说明它表示什么曲线；

（2）已知倾斜角互补的两条直线，，其中与交于，两点，与交于，两点，与交于点，求证：．

23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）

已知函数．

（1）若，求的取值范围；

（2）当时，函数的值域为，求的值

2021届高三数学（文）“大题精练”11（答案解析）

17．（12分）等差数列的前项和为，，．数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列的前项和满足，求的值．

【解析】（1）设等差数列的公差为，则有，解得，则．

又，即，所以．

（2）依题意得：

．

又，则，

因为在上为单调递增函数，所以．

18．（12分）如图，在五面体中，侧面是正方形，是等腰直角三角形，点是正方形对角线的交点，且．

（1）证明：平面；

（2）若侧面与底面垂直，求五面体的体积．

【解析】（1）取的中点，连接、，

侧面为正方形，且，为的中点，

又为的中点，且，

且，，所以，四边形为平行四边形，．

平面，平面，平面．

（2）取的中点，的中点，连接、、，四边形为正方形，．

平面平面，平面平面，平面，底面，

易知，，，，

为中点，，，

平面，平面，，

，、平面，平面．

，平面，且，

，因此，．

19．（12分）在中老年人群体中，肠胃病是一种高发性疾病某医学小组为了解肠胃病与运动之间的联系，调查了50位中老年人每周运动的总时长（单位：小时），将数据分成[0，4），[4，8），[8，14），[14，16），[16，20），[20，24]6组进行统计，并绘制出如图所示的柱形图．

图中纵轴的数字表示对应区间的人数现规定：每周运动的总时长少于14小时为运动较少．

每周运动的总时长不少于14小时为运动较多．

（1）根据题意，完成下面的2×2列联表：

（2）能否有99．9%的把握认为中老年人是否有肠胃病与运动有关？

附：K2（n＝a+b+c+d）

【解析】（1）由柱形图可知，有肠胃病的老年人中运动较少的人数为12+10+8=30，运动较多的人数为2+1+1=4；

无肠胃病的老年人中运动较少的人数为3+2+1=6，运动较多的人数为2+4+4=10．

故2×2列联表如下：

（2），

故有99．9%的把握认为中老年人是否有肠胃病与运动有关．

20．（12分）已知直线与抛物线：交于，两点，且的面积为16（为坐标原点）．

（1）求的方程．

（2）直线经过的焦点且不与轴垂直，与交于，两点，若线段的垂直平分线与轴交于点，试问在轴上是否存在点，使为定值？若存在，求该定值及的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）将代入，得，所以的面积为．

因为，所以，故的方程为．

（2）由题意设直线的方程为，由得．

设，，则，所以．

因为线段的中点的横坐标为，纵坐标为，

所以线段的垂直平分线的方程为，

令，得，所以的横坐标为，

设，则，，

所以当且仅当，即时，为定值，且定值为2，故存在点，且的坐标为．

21．（12分）设函数．

(1)若当时，取得极值，求的值，并求的单调区间．

(2)若存在两个极值点，求的取值范围，并证明：．

【解析】（1）．

时，取得极值，，，

解得或，解得，

的单调增区间为，单调减区间为．

（2），

存在两个极值点，方程即在上有两个不等实根，

，，．

，

所证不等式等价于，即，

不妨设，即证，

令，，，在上递增，

，成立，成立．

（二）选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．【极坐标与参数方程】（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．

（1）写出曲线的普通方程，并说明它表示什么曲线；

（2）已知倾斜角互补的两条直线，，其中与交于，两点，与交于，两点，与交于点，求证：．

【解析】由，得，代入，得，即，

∴的普通方程为，表示开口向右，焦点为的抛物线．

（2）设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，

则直线的参数方程为（为参数），

与联立得，

设方程的两个解为，，则，∴，

则，∴．

23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）

已知函数．

（1）若，求的取值范围；

（2）当时，函数的值域为，求的值．

【解析】（1），得，

即，∴的取值范围是；

（2）当时，函数在区间上单调递增，

则，得，，得，

当时，，

则，得，，得．

综上所述，的值为1或2