2021届高三理科数学《大题精练》9

这是一份2021届高三理科数学《大题精练》9，共14页。试卷主要包含了在平面四边形中，，，.，已知实数，设函数，已知函数.等内容，欢迎下载使用。
2021届高三数学（理）“大题精练”9  17．在平面四边形中，，，.（1）若的面积为，求；（2）若，，求.  18．如图，等腰梯形中，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面）.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.  19．为发挥体育核心素养的独特育人价值，越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生的必修课程.惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查.（1）已知在被抽取的学生中高一班学生有6名，其中3名对游泳感兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳感兴趣的概率；（2）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级以上游泳比赛中获奖，具体获奖人数如下表所示.若从高一班和高一班获奖学生中随机各抽取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为,求随机变量的分布列及数学期望.班级一一一一一一一一一一市级比赛获奖人数2233443342市级以上比赛获奖人数2210233212  20．在平面直角坐标系中，已知过点的直线与椭圆交于不同的两点，，其中.（1）若，求的面积；（2）在x轴上是否存在定点T，使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形. 21．已知实数，设函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时，若对任意的，均有，求的取值范围．注：为自然对数的底数．  22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若极坐标系内异于的三点，，都在曲线上.（1）求证：；（2）若过，两点直线的参数方程为（为参数），求四边形的面积. 23．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对任意恒成立，求的取值范围.  2020届高三数学（理）“大题精练”9（答案解析）  17．在平面四边形中，，，.（1）若的面积为，求；（2）若，，求.【解】（1）在中，因为，，，所以，解得：.在中，由余弦定理得：所以（2）设，则如图，在中，因为，所以在中，，由正弦定理，得，即所以所以，即所以，即18．如图，等腰梯形中，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面）.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.【解】（I）证明：在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O，∵AB||CE,AB=CE，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE=BC=AD=DE，∴△ADE为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD中，，,∴在等腰中，∴,即BD⊥BC，∴BD⊥AE，翻折后可得：OP⊥AE,OB⊥AE，又，， ；（II）解：在平面POB内作PQ⊥OB,垂足为Q，因为AE⊥平面POB，∴AE⊥PQ，因为OB平面ABCE, AE平面ABCE,AE∩OB=O∴PQ⊥平面ABCE，∴直线PB与平面ABCE夹角为，又因为OP=OB，∴OP⊥OB，∴O、Q两点重合，即OP⊥平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为,设平面PCE的一个法向量为，则设，则y=-1,z=1，∴，由题意得平面PAE的一个法向量，设二面角A-EP-C为，.易知二面角A-EP-C为钝角，所以. 19．为发挥体育核心素养的独特育人价值，越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生的必修课程.惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查.（1）已知在被抽取的学生中高一班学生有6名，其中3名对游泳感兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳感兴趣的概率；（2）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级以上游泳比赛中获奖，具体获奖人数如下表所示.若从高一班和高一班获奖学生中随机各抽取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为,求随机变量的分布列及数学期望.班级一一一一一一一一一一市级比赛获奖人数2233443342市级以上比赛获奖人数2210233212  【解】（1）记事件从6名学生抽取的3人中恰好有i人有兴趣，，1，2，；则与互斥，故所求概率为 ； （2）由题意知，随机变量的所有可能取值有0，1，2，3； 则的分布列为：0123 p… 数学期望为 20．在平面直角坐标系中，已知过点的直线与椭圆交于不同的两点，，其中.（1）若，求的面积；（2）在x轴上是否存在定点T，使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形.【解】（1）当时，代入椭圆方程可得点坐标为或 若点坐标为，此时直线l：联立，消x整理可得解得或，故B所以的面积为 ，由对称性知的面积也是，综上可知，当时，的面积为. （2）显然直线l的斜率不为0，设直线l： 联立，消去x整理得 由，得则， , 因为直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形，所以 设，则, 即,解得.故x轴上存在定点，使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形． 21．已知实数，设函数．（1）求函数的单调区间；（2）当时，若对任意的，均有，求的取值范围．注：为自然对数的底数．【解】(1)由,解得．①若,则当时,,故在内单调递增；当时,,故在内单调递减．②若,则当时,,故在内单调递增；当时,,故在内单调递减．综上所述,在内单调递减,在内单调递增．(2),即．令,得,则．当时,不等式显然成立,当时,两边取对数,即恒成立．令函数,即在内恒成立．由,得．故当时,,单调递增；当时,,单调递减.因此．令函数,其中,则,得,故当时,,单调递减；当时,,单调递增．又,,故当时,恒成立,因此恒成立,即当时,对任意的,均有成立．22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若极坐标系内异于的三点，，都在曲线上.（1）求证：；（2）若过，两点直线的参数方程为（为参数），求四边形的面积.【解】（1）由 ，则 ；（2）由曲线的普通方程为：，联立直线的参数方程得：解得；平面直角坐标为：则；又得.即四边形面积为为所求.23．已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对任意恒成立，求的取值范围.【解】（1）当时，原不等式等价于，解得，所以；当时，原不等式等价于，解得，所以此时不等式无解；当时，原不等式等价于，解得，所以；综上所述，不等式解集为.（2）由，得当时，恒成立，所以；当时，因为当且仅当即或时，等号成立所以，综上，的取值范围是.