2021届高三理科数学《大题精练》7

2021届高三数学（理）“大题精练”7

17．设的内角的对边分别为，且.

（1）求边长的值；

（2）若的面积，求的周长.

18．如图，直三棱柱中，分别是的中点，.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

19．已知函数

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）谈论函数的零点个数

20．已知椭圆的焦距为4，且过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为，取点，连接，过点作的垂线交轴于点，点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆一定有唯一的公共点？并说明理由.

21．心理学研究表明，人极易受情绪的影响，某选手参加7局4胜制的兵乒球比赛.

（1）在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为；但实际上，如果前一句获胜的话，此选手该局获胜的概率可提升到；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降为，求该选手在前3局获胜局数的分布列及数学期望；

（2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为，记为锐角的内角，求证：

22．选修4-4：坐标系与参数方程

已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与，为的中点．

（1）求的轨迹的参数方程；

（2）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点．

23．设函数

（1）证明：；

（2）若，求的取值范围．

2020届高三数学（理）“大题精练”7（答案解析）

17．设的内角的对边分别为，且.

（1）求边长的值；

（2）若的面积，求的周长.

解：解：（1）

过作于，则由，

在中，

（2）由面积公式得得，

又，得，

由余弦定理得：，

的周长．

18．如图，直三棱柱中，分别是的中点，.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

证明：证明：连接交于点，

则为的中点．又是的中点，

连接，则．

因为平面，平面，

所以平面．

（2）由，可得：，即

所以

又因为直棱柱，所以以点为坐标原点，分别以直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，

设平面的法向量为，则且，可解得，令，得平面的一个法向量为，

同理可得平面的一个法向量为， 

则

所以二面角的余弦值为.

19．已知函数

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）谈论函数的零点个数

解：（1）∵，

故，

∵

∴时，，故单调递减，

时，，故单调递增，

所以，时，的单调递减区间是，单调递增区间是

（2）由（1）知，

当时，在处取最小值，

当时，，在其定义域内无零点

当时，，在其定义域内恰有一个零点

当时，最小值，因为，且在单调递减，故函数在上有一个零点，

因为，，，又在上单调递增，故函数在上有一个零点，故在其定义域内有两个零点；

当时，在定义域内无零点；

当时，令，可得，分别画出与，易得它们的图象有唯一交点，即此时在其定义域内恰有一个零点

综上，时，在其定义域内无零点；或时，在其定义域内恰有一个零点；时，在其定义域内有两个零点；

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，函数的零点问题，属于中档题.

20．已知椭圆的焦距为4，且过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为，取点，连接，过点作的垂线交轴于点，点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆一定有唯一的公共点？并说明理由.

解：（1）因为焦距为4，所以，又因为椭圆过点，

所以，故，，从而椭圆的方程为

已知椭圆的焦距为4，且过点.

（2）由题意，点坐标为，设，则，，再由知，，即.

由于，故，因为点是点关于轴的对称点，所以点.

故直线的斜率.

又因在椭圆上，所以.①

从而，故直线的方程为②

将②代入椭圆方程，得

③

再将①代入③，化简得：

解得，，即直线与椭圆一定有唯一的公共点.

21．心理学研究表明，人极易受情绪的影响，某选手参加7局4胜制的兵乒球比赛.

（1）在不受情绪的影响下，该选手每局获胜的概率为；但实际上，如果前一句获胜的话，此选手该局获胜的概率可提升到；而如果前一局失利的话，此选手该局获胜的概率则降为，求该选手在前3局获胜局数的分布列及数学期望；

（2）假设选手的三局比赛结果互不影响，且三局比赛获胜的概率为，记为锐角的内角，求证：

解：（1）依题意，可知可取：

∴

∴随机变量的分布列为：

∴.

（2）∵是锐角三角形，∴，则三局比赛中，该选手至少胜一局的概率为：

由概率的定义可知：，故有：

22．选修4-4：坐标系与参数方程

已知动点都在曲线（为参数）上，对应参数分别为与，为的中点．

（1）求的轨迹的参数方程；

（2）将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点．

解：（1）由题，得，则，可得参数方程；（2）由两点距离公式可得点到坐标原点的距离为，由此的轨迹过坐标原点．

试题解析：（1）由题意有，，因此，的轨迹的参数方程为（为参数，）．

（2）点到坐标原点的距离为，当时，，故的轨迹过坐标原点．

23．设函数

（1）证明：；

（2）若，求的取值范围．

解：本题第（1）问，可由绝对值不等式的几何意义得出，从而得出结论；对第（2）问，由去掉一个绝对值号，然后去掉另一个绝对值号，解出的取值范围.

试题解析：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：，当且仅当时，取等号，所以.

（2）因为，所以

，解得：.