2021届高三文科数学《大题精练》 (2)

2020届高三数学（文）“大题精练”2

17.已知等比数列的各项均为正数，为等比数列的前项和，若，.

(1)恒成立，求的最小值；  (2)设，求数列的前项和.

18.为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求的值；

（2）估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？

参考公式及数据：  

19.如图，在三棱锥中，，，为的中点．

   （1）证明：平面；

  （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．

20.已知椭圆：的左右顶点分别为，，点是椭圆上异于、的任意一点，设直线，的斜率分别为、，且，椭圆的焦距长为4.

（1）求椭圆的离心率；

（2）过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于、两点，分别记，的面积

为、，求的值.

21．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）判断曲线与曲线的位置关系；（2）设点为曲线上任意一点，求的最大值.

22．已知实数正数x, y满足．

（1）解关于x的不等式； （2）证明：

2020届高三数学（文）“大题精练”2（答案解析）

17.已知等比数列的各项均为正数，为等比数列的前项和，若，.

(1)恒成立，求的最小值；  (2)设，求数列的前项和.

【解】(1)因为为等比数列，所以，所以，，所以，

又，所以，所以，

因为恒成立，所以，即的最小值是3.

(2)由(1)可知，所以，

故    ①

    ②

①     -②得：，

整理得，

18.为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．

（1）求的值；

（2）估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？

参考公式及数据：  

【解】（1）由题可得 ，解得．

（2）平均成绩为：

（3）由（2）知，在抽取的名学生中，比赛成绩优秀的有人，由此可得完整的列联表：

∵的观测值，

∴没有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．

19.如图，在三棱锥中，，，为的中点．

   （1）证明：平面；

  （2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．

【解】（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．

连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．

由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．

（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．

故CH的长为点C到平面POM的距离．

由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．

所以OM=，CH==．

所以点C到平面POM的距离为．

20.已知椭圆：的左右顶点分别为，，点是椭圆上异于、的任意一点，设直线，的斜率分别为、，且，椭圆的焦距长为4.

（1）求椭圆的离心率；

（2）过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于、两点，分别记，的面积

为、，求的值.

【解】（1）设点，则，①∵，②

∴联立①②得，∴，∴，∴.

（2）由题意知，，即，由（1）知，，∴，

∴，，∴椭圆的方程为：，由已知得：.

联立，可得.设，，根据韦达定理，得，

于是.

21.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）判断曲线与曲线的位置关系；

（2）设点为曲线上任意一点，求的最大值.

【解】（1）消去得的普通方程为，由得，

∴，即，化为标准方程为，

即曲线是以为圆心，半径为1的圆，圆心到直线的距离，故曲线与曲线相交.

（2）由为曲线上任意一点，可设，

则，其中，

∴的最大值是.

22.已知实数正数x, y满足．

（1）解关于x的不等式； （2）证明：

【解】（1）

，解得，所以不等式的解集为

（2）解法1： 且，

.

当且仅当时，等号成立.

解法2： 且，

，

当且仅当时，等号成立.